1、凉山州凉山州 2020 届高中毕业班第三次诊断性检测数学（理科）届高中毕业班第三次诊断性检测数学（理科） 本试卷分选择题和非选择题两部分第本试卷分选择题和非选择题两部分第卷（选择题） ，第卷（选择题） ，第卷（非选择题） ，共卷（非选择题） ，共 4 页，考试时间页，考试时间 120 分钟分钟 注意事项：注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、座位号，准考证号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查 条形码粘贴是否正确 2选择题使用 2B 铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔书写在答题卡 的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上
2、答题无效 3考试结束后，将答题卡收回 第第卷卷（选择题） 一一、选择题（本大题共、选择题（本大题共 12 小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ） 1设集合 21 x Ax， 1Bx x，则AB（ ） A1,1 B0,1 C1,1 D0,1 2已知1zi （i是虚数单位） ，则 4 z z （ ） A3 B3i C3 i D3 i 3若a，bR，则“0ab”是“ 2 2 ab ab ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4如图所示的程序框图，若输出的y的值为 2，则输入
3、的x的值为（ ） A4 B2 C2 或2 D4 或2 5 已知正项等比数列 n a， 向量 3, 8 aa， 7,2 ba， 若ab， 则 2 12229 l o gl o gl o gaaa （ ） A12 B16 C18 D 2 6log 5 6 已知角的顶点与原点重合， 始边与x轴正半轴重合， 终边经过点sin30 ,tan135， 则c o s 2（ ） A 3 5 B 3 5 C 4 5 D 4 5 7 若双曲线 22 2 10 3 xy b b 与抛物线 2 8yx有相同的焦点， 则该双曲线的两条渐近线的夹角为 （ ） A 2 B 3 C 4 D 6 8 设函数 2 3sin0 3
4、 f xx 与函数 2cos 3 3 g xx 的对称轴完全相同， 则 的值为（ ） A 6 B 3 C 6 D 3 9已知M，N为平面区域 0 30 3 xy xy y 内的两个动点，向量1,0a ，则MN a的最大值是（ ） A1 B2 C3 D4 10小明有一卷纸，纸非常的薄且紧紧缠绕着一个圆柱体轴心卷成一卷，它的整体外貌如图所示，纸卷的 直径为 12 厘米，轴的直径为 4 厘米，当小明用掉 3 4 的纸后，则剩下的这卷纸的直径最接近于（ ） A6 厘米 B7 厘米 C8 厘米 D9 厘米 11 已知长方体 1111 ABCDABC D的体积12V ，2AB ， 若四面体 11 ABCD
5、的外接球的表面积为S， 则S的最小值为（ ） A8 B9 C16 D32 12 已知函数1yf x的图象关于直线1x 对称， 且当0,x时， ln x f x x 若 2 e af ， 2bf， 2 3 cf ，则a，b，c的大小关系是（ ） Abac Babc Cacb Dcba 第第卷卷（非选择题） 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题）小题） 13若 1 2 n x x 的二项展开式中第 5 项为常数项，则n_ 14 如图，AB是圆O的直径，OCAB， 假设向该圆随机撒一粒黄豆， 则它落到阴影部分的概率为_ 15设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 2 A ，2c ，3
6、b ， 10ADABAC，2DABDAC ，则_ 16阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前 262190 年）的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成 果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地他证明过这样一个命题：平面内与两定 点距离的比为常数0,1k kk的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆 （1）若定点为 1,0A ，1,0B，写出 1 2 k 的一个阿波罗尼斯圆的标准方程_； （2）ABC中，2AB ，1ACk BC k，则当ABC面积的最大值为2 2时，k _ 三、解答题（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤 ）三、解答题（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤
7、） 17 n S为等差数列 n a的前n项和，已知 17 14aa, 9 81S （1）求 n a及 n S （2）设 1 1 n nn b a a ，数列 n b的前n项和为 n T，证明： 11 32 n T 18州电视台为了解州卫视一档中华诗词类节目的收视情况，抽查东西区各 5 个县，统计观看该节目的人 数的数据得到如下的茎叶图（单位：百人） 其中一个数字被污损 （1）求西部各县观看该节目的观众的平均人数超过东部各县观看该节目的平均人数的概率； （2）该节目的播出极大地激发了观众对中华诗词学习的热情，现从观看节目的观众中随机统计了 4 位观众 学习诗词的周平均时间y（单位：小时）与年龄x
8、（单位：岁）的关系，如下表所示： x 20 30 40 50 y 2.5 3 4 4.5 根据表中的数据，试求线性回归方程ybxa，并预测年龄为 60 岁的观众学习诗词的时间 （参考公式： 1 2 2 1 n ii i n i i x ynx y b xnx ，aybx） 19 如图， 四面体ABCD中，O、E分别是BD，BC的中点，2CACBCDBD，2ABAD （1）求证：BDAC； （2）求锐二面角EACD的余弦值 20已知函数 ln0f xax a （1）设函数 2 g xf xx在点 1,1g处的切线方程为20xy，求a的值； （2）若曲线 yf x与曲线 2 yx至少有一条公共切线
9、，求a的取值范围 21已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab ，右顶点2,0A，上顶点为B，左右焦点分别为 1 F， 2 F，且 12 60FBF，过点A作斜率为0k k 的直线l交椭圆于点D，交y轴于点E （1）求椭圆C的方程 （2）设P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的0k k 都有OPEQ？若存在，求出点Q； 若不存在，请说明理由 请考生在第 22、23 两题中选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计 分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半
10、轴为极轴建立极坐标系A、B两点的极坐标分 别为1, 2 ，1, 2 曲线C的参数方程为 2cos sin x y （为参数） （1）求A、B两点的直角坐标及曲线C的普通方程； （2） 设P是曲线C上任意一点 （P不在y轴上） ， 若直线PA、PB分别交x轴于点M、N， 试问OMON 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由 23选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f xxa （1）当1a 时，求不等式 1 1 x f x 的解集； （2）设不等式 21xf xx 的解集为M，若 1 ,1 2 M ，求实数a的取值范围 凉山州凉山州 2020 届高中毕业班第三次诊断性检测数学（理科）
11、参考答案及评分意见届高中毕业班第三次诊断性检测数学（理科）参考答案及评分意见 评分说明： 1本解法给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照 评分参考制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变试题的内容及难度可视影响 的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分的正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严 重的错误，就不再给分 3解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，选择题不给中间分 一、选择题一、选择题 1-12：BCADC ABCCB CD 二、填空题二、填空题 1
12、36 14 1 15 1 3 16 2 2 516 39 xy （写对一个即可） ；2 三、解答题三、解答题 17解： （1）设等差数列 n a的公差为d，则 由 17 14aa得： 1 37ad 又 9 81S ， 1 9 8 981 2 ad 即 1 49ad 由解得： 1 1a ，2d ， 21 n an， 2 n Sn （2）由（1）得： 1 11111 21 212 2121 n nn b a annnn ， 数列 n b的前n项和 123nn Tbbbb 111 111 11111 1 232 352 572 2121nn 11111111 1 2335572121nn 11 1
13、221n 显然， n T随n的增大而增大 1 1 2 n TT，即 11 32 n T 18解： （1）设被污损的数字为,09Nx xx，则 80899091 92442 55 xx X 东 ， 8586879499451 55 X 西 ， 由题意得：XX 西东，即 451442 55 x ，即9x， 所以，西部各县观看该节目的观众的平均数超过东部各县观看该节目的观众的平均数的概率为 9 10 p （2）由已知得： 20304050 35 4 x ， 2.5344.5 3.5 4 y ， 4 1 20 2.530 340 450 4.5525 ii i x y ， 4 22222 1 2030
14、40505400 i i x ， 4 1 42 2 2 1 4 5254 35 3.5 0.07 54004 35 4 ii i i i x yx y b xx ， 3.5 0.07 351.05aybx， 回归直线方程为0.071.05yx， 当60x时，0.07 60 1.055.25y ， 即年龄为 60 岁的观众学习诗词的时间为 5.25 小时 19 （1）证明：连接OC， 在BDC中，2BDBCCD且O是BD的中点， 3OC 且OCBD 在ABD中，2ABAD，2BD ， ABD为等腰直角三角形， 又O是BD的中点， 1 1 2 AOBD且AOBD， 而OCOAO，BD 平面AOC，
15、 AC 平面AOC，BDAC （2）解：在AOC中，3OC ，1AO，2AC ， 222 AOOCAC，即AOOC， 又由（1）知AOBD且BDOCO，AO 平面BCD， 所以建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则 0,0,1A，1,0,0B，0, 3,0C，1,0,0D ， 0, 3, 1AC ，1,0, 1AD ，1,0, 1AB ， 设平面EAC与平面ACD的法向量分别为 111 ,nx y z， 222 ,mxyy，则 0 0 n AB n AC 与 0 0 m AD m AC ， 即 11 11 0 30 xz yz 与 22 22 0 30 xz yz ， 3,1, 3n ， 3
16、, 1,3m ， 1 cos, 7 n m n m n m ， 所以锐二面角EACD的余弦值为 1 7 20解： （1） 2 g xf xx， 2 lng xaxx， 20 a gxx x x ， 又函数 g x在 1,1g处的切线方程为20xy， 11 g ，即21a，即3a （2）设公切线l与函数 lnf xax相切于点 00 , lnx ax，则 由 a fx x ，得 0 0 a fx x ， 公切线l为： 00 0 ln a yxxax x ， 即 00 0 ln0 ax yaaxx x ， 由 0 0 2 ln ax yaax x yx ，得： 2 0 0 ln0 ax xaax
17、x ， 直线l与曲线 2 yx相切， 2 0 2 0 4ln0 a aax x ， 即 22 0000 44ln0,0axxxxa， 设 22 44ln0h xxxx x，则 41 2lnh xxx， 由 0h x，得0xe；又由 0h x，得xe， 函数 h x在 0, e上单增，在 , e 上单减， max 41 ln2h xheeee，02ae， yf x与曲线 2 yx至少有一条公切线时，a的取值范围为0,2e 21解： （1）由题意得：2a， 在 2 RtOBF中， 12 60FBF， 2 30OBF，OBb， 2 OFc， 2 BFa，cos30 b a ， 3 22 b ，3b
18、， 椭圆方程为 22 1 43 xy （2）解法一：设直线AD：20yk xk* 令0x，则2yk ，0, 2Ek， 将*代入 22 1 43 xy 整理得 222 3416120kxk， 设 00 ,D x y，则 2 2 16 2 34 D k x k ， 2 2 86 34 D k x k ， 2 22 8612 2 3434 D kk yk kk ， 设, pp P xy，p为AD的中点， 22 22 1 868 2 2 3434 p kk x kk ， 22 1126 23434 p kk y kk ， 2 22 86 , 3434 kk OP kk ， 设存在 00 ,Q x y使
19、得OPEQ，则 00 ,2EQxyk，0OP EQ， 22 00 22 8612 0 3434 k xkyk kk ，即 2 00 2 4236 0 34 kxky k 对任意的0k 都成立， 0 0 230 0 x y ， 0 3 2 x ， 存在 3 ,0 2 Q 使得OPEQ 解法二：设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 00 ,P x y， 22 11 1 43 xy （1） ， 22 22 1 43 xy （2） ， 由（1）（2） ，得 12121212 1 43 xxxxyyyy ， P为AB中点， 0012 12 3 0 22 xyyy xx ， 12 12 0 AB
20、 yy kk k xx ， 0 0 31 0 22 y k x ， 0 0 OP y k x ， 3 4 OP k k ， 设存在 33 ,Q x y使得OPEQ， 则 3 3 214 3 OP ykk xk ，即 33 22330kkxy* 对任意0k 都成立，即 3 3 2 x ， 3 0y ， 存在 3 ,0 2 Q 使得OPEQ 22解： （1）A、B两点的直角坐标为：0,1A、0, 1B， 由 2cos sin x y 得 cos 2 sin x y ， 2 2 1 4 x y， 曲线C的普通方程为 2 2 1 4 x y （2）解法一：设2cos ,sincos0P， AP l：
21、sin1 1 2cos yx ，令0y ， 2cos 1 sin x ， 同理， BP l： sin1 1 2cos yx ，令0y ， 2cos 1 sin x ， 2cos ,0 1 sin M ， 2cos ,0 1 sin N ， 22 2 4cos4cos 4 1 sin1 sincos OMON ， 4OMON为定值 解法二：设,0P m nm， AP l： 1 1 n yx m ，令0y ， 1 m x n ， 同理， BP l： 1 1 n yx m ，令0y ， 1 m x n ， ,0 1 m M n ，,0 1 m N n ， 又P在椭圆上， 22 22 11 44 mm nn ， 22 22 4 1 4 mm OMON mn ， 4OMON为定值 23解： （1）1a 时， 1 1111 1 x xxx x 1 11 x xx 或 1 11 x xx ，解之得：1x 或01x， 不等式得解集为0,11, （2）不等式得解集为M，且 1 ,1 2 M ，210x ， 2121xf xxxxax 111xaxxxax ， 1 1 2 a a x ， 当1a 时，M为，显然不满足 1 ,1 2 M ； 当1a 时， 1 , 2 a M ， 1 ,1 2 M ， 1 1 2 a ，即1a ，1a ， 综上，a的取值范围为 1
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