1、【2020 年海口市高考调研考试数学试题 第 1 页（共 5 页） 】 保密启用前 2020 年海口市高考调研考试 数 学 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷的指定位置上 2回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡 指定位置上。写在本试卷上无效 3本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1设集合1,2,3,4A ，3, 4,5,
2、 6, 7B ，集合 |Mx xBxA且，则M A1, 2 B3, 4 C5, 6, 7 D3, 4,5, 6, 7 2在复平面内，复数 1 1 i i 对应的点与复数i对应的点的距离是 A1 B2 C2 D2 2 3设向量( 1, 2) a，向量b是与a方向相同的单位向量，则b A(1,2) B 52 5 (,) 55 C 12 (,) 5 5 D 52 5 (,) 55 4 6 1 (2 )x x 的展开式中的常数项是 A160 B80 C80 D160 5苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑， “门”的造型是东方之门的 立意基础， “门” 的内侧曲线呈抛物线型， 如图
3、1， 两栋建筑第八层由一条长 60m 的连桥连接， 在该抛物线两侧距连桥 150m 处各有一窗户，两窗户的水平距离为 30m，如图 2，则此抛物 线顶端 O 到连桥 AB 距离为 图 1 图 2 A180m B200m C220m D240m 【2020 年海口市高考调研考试数学试题 第 2 页（共 5 页） 】 6函数 2 1 ( )ln | 1 f xx x 的图象大致是 A B C D 7点A，B，C在球O表面上，2AB，4BC，60ABC，若球心O到截面ABC 的距 离为2 2，则该球的表面积为 A16 B.24 C.36 D.48 8已知数列 n a满足 * 1 log(2)() n
4、n annN，设 * 12 (N ) kk Ta aa k，若 * k TN，称数k为 “企盼数” ，则区间1, 2020内所有的企盼数的和为 A2020 B2026 C2044 D2048 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 9空气质量指数 AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数越小，表明空气质量越好，表 1 是空气质量指数与空气质量的对应关系，图 1 是经整理后的某市 2019 年 2 月与 2020 年 2 月的空气质量指数频率分布直方图 表 1 1
5、 空气质量指数（AQI） 优（AQI50） 良（50AQI100） 轻度污染（100AQI150） 中度污染（150AQI200） 重度污染（200AQI300） 严重污染（AQI300） 下列叙述正确的是 A该市2020年2月份的空气质量为优的天数的频率为0.032 B该市2020年2月份的空气质量整体上优于2019年2月份的空气质量 C该市2020年2月份空气质量指数的中位数小于2019年2月份空气质量指数的中位数 D该市2020年2月份空气质量指数的方差大于2019年2月份空气质量指数的方差 10设有一组圆 k C： 22 (1)(2 )1xkyk，下列说法正确的是 A这组圆的半径均为1
6、 B直线220xy平分所有的圆 k C C存在无穷多条直线l被所有的圆 k C截得的弦长相等 D存在一个圆 k C与x轴和y轴均相切 【2020 年海口市高考调研考试数学试题 第 3 页（共 5 页） 】 11如右图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为1，过点A作平面 1 ABD的垂 线，垂足为点H则以下命题正确的是 A点H是 1 ABD的重心 BAH 平面 11 CB D CAH延长线经过点 1 C D直线AH和 1 BB所成角为45 12 “已知函数 2 ( )cosf xxx， 对于, 22 上的任意 1 x， 2 x， 若_， 则必有 12 ( )()f xf x 恒成立”在
7、横线中填上下列选项中的某个条件，使得上述说法正确的可以是 A 12 |xx B 12 0xx C 22 12 xx D 1 2 1 x x 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 132020 年初，新冠肺炎疫情爆发，全国人民万众一心，共同抗击疫情武汉市某医院传染科有 甲、乙、丙、丁、戊五位医生，每位医生从周一至周五轮流安排一个夜班若丁比乙晚两天， 丙比甲早一天，戊比丙早两天，则周一值夜班的医生是_ 14已知(,) 2 ，且 4 sin 5 ，则tan() 4 的值为_ 15如图，从双曲线 22 1 916 xy 的左焦点 1 F引圆 22 9xy的切线，切点为T，延长 1
8、 FT交双曲 线右支于P点. 设M为线段 1 FP的中点，O为坐标原点，则 1 |FT_， |MOMT_（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 第 15 题图 第 16 题图 16拥有“千古第一才女”之称的宋代女词人李清照发明了古代非常流行的游戏“打马” ，在她 的打马赋中写道“实博弈之上流，乃闺房之雅戏”“打马”游戏用每轮抛掷三枚完全 相同的骰子决定“马”的行走规则，每一个抛掷结果都有对应走法的名称，如结果由两个 2 点和一个 3 点组成，叫做“夹七” ，结果由两个 2 点和一个 4 点组成，叫做“夹八”则在 某一轮中，能够抛出“夹七”或“夹八”走法的概率是_ 四、解答题：本题共 6 小题，
9、共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分） 从7a， 2b， 13 cos 14 B.这三个条件中任选两个， 分别补充在下面问题的横线中， 回答有关问题设ABC的角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，若_， _，且满足(2)coscosbcAaC，求ABC其余各边的长度和ABC的面积S （注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分.） 【2020 年海口市高考调研考试数学试题 第 4 页（共 5 页） 】 18 （12 分） 已知数列 n a的首项 1 1a，且点 * 1 (,)() nn a anN在函数 2 1yx的图象上 （）求数列 n a的通项公式；
10、 （）若数列 n b满足 1 1b， 1 2 n a nn bb，证明： 2 21nnn b bb 19 （12 分） 如图，四棱锥SABCD满足SA平面ABCD，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O， 4SAAB，侧棱SC上有一点E满足3SEEC （）证明：OE平面SDB； （）求二面角EBDC的余弦值 20 （12 分） 已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的其中一个焦点与抛物线 2 8yx的焦点相同， 点(4, 3)D到 圆O： 222 xyb上点的最大距离为 7，点A，B分别是椭圆C的左右顶点 （）求圆O和椭圆C的方程； （）如图，已知位于y轴两侧的P，Q分别是椭
11、圆C和圆O上的动点，且直线PQ与x轴 平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N，证明：MQN为定值 【2020 年海口市高考调研考试数学试题 第 5 页（共 5 页） 】 21 （12 分） 零部件生产水平， 是评判一个国家高端装备制造能力的重要标准之一.其中切割加工技术是一 项重要技术.某研究机构自主研发了一种切割设备， 经过长期生产经验， 可以认为设备正常状 态下切割的零件尺寸服从正态分布 2 ( ,)N.按照技术标准要求，从该设备切割的一个批次 零件中任意抽取 10 件作为样本，如果样本尺寸的平均值与零件标准尺寸相差的绝对值小于 0.1（单位：mm） ，且所有零件尺寸均在(3 ,3 )
12、范围内，则认定该切割设备的技术标 准为 A 级；如果样本尺寸的平均值与零件标准尺寸相差的绝对值大于等于 0.1 小于 0.5，且 所有零件尺寸均在(3 ,3 )范围内，则认定该切割设备的技术标准为 B 级；如果样本 尺寸的平均值与零件标准尺寸相差的绝对值大于等于 0.5 或存在零件尺寸在(3 ,3 ) 范围外，则认定该切割设备的技术标准为 C 级 （）设某零件的标准尺寸为 100mm，下面是检验员抽取该设备切割的 10 个零件尺寸： 100.03 100.4 99.92 100.52 99.98 100.35 99.92 100.44 100.66 100.78 经计算，有 10 2 1 10
13、0601.8 i i x，其中 i x为抽取的第i个样本的尺寸，1, 2, 3,10i，用 样本的平均数x作为的估计值，用样本的标准差s作为的估计值，根据数据 判断该切割设备的技术标准； （）生产该种零件的某制造商购买了该切割设备，正常投入生产，公司制定了两种销售方 案（假设每种方案对销售量没有影响） ： 方案 1：每个零件均按 70 元定价销售； 方案 2：若零件的实际尺寸在(99.7, 100.3)范围内，则该零件为级零件，每个零 件定价 100 元，否则为级零件，每个零件定价 60 元 哪种销售方案能够给公司带来更多的利润？请说明 （附：若随机变量X 2 ( ,)N，则()0.6826P
14、X， (22 )0.9544PX） 22 （12 分） 已知函数( )lnf xmx （）当 * 2cos()mkkN，分析函数 2 ( )( )g xxf x的单调性； （）当0m 时，若函数( )lnf xmx与 1 ( ) 2 x h x x 的图象有且只有一条公切线，求m 的值 【2020 年海口市高考调研考试数学试题参考答案第 1页（共 7 页） 】 2020 年海口市高考调研考试 数学参考答案 一、单项选择题：1、C2、C3、B4、A5、B6、A7、D8、B 二、多项选择题：9、BC10、AB11、ABC12、CD 三、填空题：13、乙14、 1 7 15、 4、116、 1 36
15、 四、解答题 17.解析：在ABC中，已知(2)coscosbcAaC， 由正弦定理得：(2sinsin) cossincosBCAAC1 分 即2sincossincossincosBACAAC, 得2sincossincossincossin()BAACCAAC2 分 又因为sin()sinABCACB，所以，2sincossinBAB3 分 (0),sin0,BB又，得 1 2cos1cos. 2 AA，(0),A，所以，. 3 A 5 分 若选条件，由余弦定理得： 22222 1 2cos42 2247 2 abcbcAcccc 7 分 2 23031()cccc 得，或舍去8 分 所
16、以， 1133 3 sin2 3. 2222 ABC SbcA 10 分 若选条件，由 2 133 3 cos(0)sin1 cos. 1414 BBBB，得6 分 又由正弦定理 73 7 ,. sinsin733 3 214 abb b AB ，得解得7 分 因为,ABC 所以， 31313 34 3 sinsin()sincos+cossin. 2142147 CABABAB8 分 4 3 7 sin8 7 7 . sin73 2 aC c A 从而，9 分 【2020 年海口市高考调研考试数学试题参考答案第 2页（共 7 页） 】 113 74 36 3 sin7. 22777 ABC
17、SabC 10 分 若选条件，由 2 133 3 cos(0)sin1 cos. 1414 BBBB，得6 分 又由正弦定理 214 ,. sinsin333 3 214 aba a AB ，得解得7 分 因为,ABC 所以， 31313 34 3 sinsin()sincos+cossin. 2142147 CABABAB8 分 144 3 sin16 37 . sin33 2 aC c A 又9 分 11144 38 3 sin2. 22373 ABC SabC 10 分 18.解析： （1）由已知得, 1 1 nn aa1 分 所以，数列 n a是以 1 为首项，公差为 1 的等差数列；
18、 2 分 则 n a=1+nn1) 1(4 分 （2）由（1）知 na nn n bb22 1 5 分 112211 )()()(bbbbbbbb nnnnn 12222 321 nnn 12 21 21 n n 9 分 212 2 12 ) 12() 12)(12( nnn nnn bbb 022425 nnn 所以， 2 12 nnn bbb12 分 【2020 年海口市高考调研考试数学试题参考答案第 3页（共 7 页） 】 19.解析： （1）法一 如图，在平面SBC内，过点E作/ /EMCB交SB于点M，则有3SMMB,连OM，取SB的 中点F，连接DF. ,SAABCD因为面 ,SA
19、DBDBACSAACA所以，又， ,DBSAC所以，面 OESAC面，所以OEDB2 分 又因为,SABCABBC SAABA， 所以，,BCSAB 面 ,SBSAB 面所以,BCSB 又/ /EMCB，所以,EMSB 易知SDB为等边三角形，则DFSB,由3SMMB得M为BF的中点， 在DFB中，O为DB的中点，则有/ /OMDF,从而有OMSB 因为,OMEMM OM EMOEM面 所以,SBOEM 面4 分 又OEOEM面，所以，OESB 因为,BDSBB BD SBSDB面 所以，OESDB面6 分 （1）法二 以A为坐标原点，,AB AD AS所在直线分别为, ,x y z轴建系如图
20、： 则(0,0,4),(4,4,0), (4,0,0),(0,4,0)(2,2,0)SCBDO，由4(3,3,1)SCECE ，得2 分 (1,1,1)OE ,(4, 4,0),(4,0, 4)DBSB 【2020 年海口市高考调研考试数学试题参考答案第 4页（共 7 页） 】 440,OE DB 440,OE SB ,OEDB OESB 4 分 ,OEDB OESB SB DBSDB SBDBB面 所以，OESDB面6 分 （2）易得平面 1 (0,0,1)BDCn 法向量8 分 设平面 2 ( , , )BDEnx y z 法向量，(4, 4,0),( 1,3,1)DBBE 由 2 2 n
21、DB nBE 得, 2 2 =0 =0 nDB nBE 即 440 30 xy xyz 取 2 (1,1, 2)n 10 分 则 12 26 cos, 36 n n ，所以,锐二面角EBDC的余弦值为 6 3 12 分 20.解析： （1）由题知抛物线的焦点为(2,0)，则椭圆中2c 1 分 D到圆O的最大距离为7,=5ODbOD，则2b ，2 分 则圆O的方程为 22 4xy3 分 由 222 8abc，椭圆C方程为： 22 1 84 xy 4 分 （2）由题，设( , ),( , ),2,0)(0,2P m n Q t n n 由( 2 2,0), (2 2,0)AB5 分 得：直线:(2
22、 2) 2 2 n PB yx m ，从而 2 2 (0,) 2 2 n N m 直线:(2 2) 2 2 n PA yx m ，从而 2 2 (0,) 2 2 n M m 7 分 2 22 2 (,),(,) 2 22 2 nn QMtn QNtn mm 得 22 2 2 8 m n QM QNt m 9 分 【2020 年海口市高考调研考试数学试题参考答案第 5页（共 7 页） 】 因为P在椭圆C上，所以 22 28mn， 因为Q在圆O上，所以 22 4,tn10 分 所以： 2222 2222 22 (82) =4(4)=0 82 m nn n QM QNttnn mn ,90 ,.QM
23、QNMQN 为定值12 分 21 解析： （）由题意， 10 1 1 100.3 10 i i xx ，1 分 1010 2222 11 11 ()(10)0.09 1010 ii ii xxxx ，3 分 所以100.3，0.3， 样本的均值与零件标准尺寸差为100.3 1000.3， 并且对每一个数据 i x， 均 有(3 ,3 ) i x （1, 2,3,10i ） ， 由 此 判 断 该 切 割 设 备 技 术 标 准 为 B 级 标 准5 分 （）方案 1：每个零件售价为70元 方案 2：设生产的零件售价为随机变量，则可以取60，100由题意，设备正常状态下切割 的零件尺寸为X，且X
24、 2 (100.3, 0.3 )N所以 (100)(99.7100.3)(2)0.4772PPXPX， (60)1(100)0.5228PP ，8 分 所以随机变量的分布列为 60100 P0.52280.4772 所以的数学期望600.52281000.4772600.51000.477770E11 分 综上，方案二能够给公司带来更多的利润12 分 22解析： （1）由已知： 22 ( )( )-2cosln(0,)g xxf xxkxx 2cos ( )2 - k g xx x 1 分 【2020 年海口市高考调研考试数学试题参考答案第 6页（共 7 页） 】 当k为奇数时，cos-1k，
25、 2 ( )20g xx x 2 ( )-2coslng xxkx在区间)0，（上单调递增。2 分 当k为偶数时，cos1k， 2 22(1)2(1)(1) ( )2 - xxx g xx xxx 当 (0,1),( )0;(1,),( )0xg xxg x 所以：( )g x在区间01)（ ，上单调递减，在区间1)（，上单调递增。 3 分 综上所述:当k为奇数时,( )g x在区间)0，（上单调递增; 当k为偶数时，( )g x在区间) 10，（上单调递减，在区间)1，（上单调递增。 4 分 （2） ( ) m fx x , 2 1 ( ) 2 h x x 设函数( )f x与( )h x上
26、各有一点 2 112 2 1 ( ,ln), (,) 2 x A x mxB x x , 则( )f x以点A为切点的切线方程为: 1 1 ln m yxmxm x , ( )h x以点B为切点的切线方程为: 2 2 22 -2 22 xx y xx ， 6 分 由两条切线重合，得: 2 21 2 1 2 1 2 -2 ln 2 m xx x mxm x 由题知，方程组有唯一解 消去 1 x，整理得： 2 2 11 2lnln2-0 2 mxmm m x 8 分 令 22 112121 g( )2lnln2-( ) 2 mmx xmxmm mg x xxxx ， 易知)(g x在区间）（ m2
27、 1 , 0单调递减，在区间), m2 1 （上单调递增。 当x逼近于 0 时，( )g x逼近于， ( )g x有唯一解，则有0) m2 1 (g，即 11 2ln2ln2-0 22 mmmm m m 10 分 【2020 年海口市高考调研考试数学试题参考答案第 7页（共 7 页） 】 1 ln20 2 mmm 令 12 ( )ln2,( )ln21ln2 22 mmmmmmmm m 易知( )m在区间 1 0, 2 （）单调递减，在区间 1 ( ,) 2 上单调递增。 又 1 ( )0 2 所以 1 ln2-0 2 mm m ，只有唯一实根 1 2 m . 当 1 2 m 时，函数( )lnf xmx与 1 ( ) 2 x h x x 的图象有且只有一条公切线 12 分
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