1、贵阳市贵阳市 2020 年高三适应性考试年高三适应性考试理科数学理科数学试卷试卷（二）（二） 第卷（选择题）第卷（选择题） 一、选择题：一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 2 2Ax yxx，集合10Bx x ，则AB（ ） A2x x B1x x C12xx D12xx 2已知复数z满足1 i13iz，则其共轭复数z （ ） A1i B1i C1 i D1i 3已知直线a，b和平面满足a，则“ba”是“b”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4已知 2 log 0.7a ， 0.1 2b ，ln2c ，
2、则（ ） Abca Bacb Cbac Dabc 5若抛物线 2 20xpy p的焦点是双曲线 22 1 3 yx pp 的一个焦点，则p （ ） A 1 20 B 1 4 C8 D16 6公元前 5 世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面 1000 米 处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的 10 倍当比赛开始后，若阿基里斯跑了 1000 米，此时乌龟便领先他 100 米；当阿基里斯跑完下一个 100 米时，乌龟仍然前于他 10 米；当阿基里斯跑完 下一个 10 米时，乌龟仍然前于他 1 米，所以，阿基里斯永远追不上乌龟按照这样的规律，若阿
3、基里 斯和乌龟的距离恰好为 1 10米时，乌龟爬行的总距离为（ ） A 5 109 90 B 5 101 900 C 4 101 90 D 4 109 900 7若贵阳某路公交车起点站的发车时间为 6:35，6:50，7:05，小明同学在 6:40 至 7:05 之间到达起点站乘坐 公交车，且到达起点站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 5 分钟的概率是（ ） A 1 5 B 2 3 C 2 5 D 3 5 8函数 2 3cos1x f x x 在,上的图象大致为（ ） ABCD 9在ABC中，在点D为边BC上靠近点B的三等分点，E为AD的中点，则BE （ ） A 21 36 ABAC B 2
4、1 36 ABAC C 52 63 ABAC D 52 63 ABAC 10已知函数 2sin 2 3 f xx ，函数 g x的图象由 f x图象向右平移 4 个单位长度得到，则下列 关于函数 g x的说法正确的是（ ） A g x的图象关于直线 6 x 对称 B g x的图象关于点 ,0 3 对称 C g x在 5 , 24 24 单调递增 D g x在 , 6 3 单调递减 11已知F是双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的右焦点，O是坐标原点过F作C的一条渐近线的垂 线，垂足为P，并交y轴于点Q若3OQOP，则C的离心率为（ ） A 3 2 4 B 3 3 4 C2 D
5、3 12已知函数 222 41 xx f xxxee 有两个零点 1 x， 2 x，则 12 xx（ ） A2 B4 C5 D6 第卷（非选择题第卷（非选择题） 本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 越为 选考题，考生根据要求作答 二、填空题：二、填空题： 13曲线 ln 2 x y x 在1x 处的切线方程为_ 14在 6 2xyxy的展开式中 43 x y的系数为_ 15在数列 n a中， 123 232 n aaananL，则 4 a _，数列 1 n a n 的前n项和为_ 16已知三棱锥PABC外接球的表面积为15，ABC
6、是边长为 3 的等边三角形，且平面ABC 平 面PAB，则三棱锥PABC体积的最大值为_ 三、解答题：三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且 222 s i ns i ns i n s i nc o s1CABCB （1）求A； （2）若ABC为锐角三角形，且1a ，求ABC周长的取值范围 182020 年 2 月以来，由于受新型冠状病毒肺炎疫情的影响，贵州省中小学陆续开展“停课不停学”的网 络学习为了解贵阳市高三学生返校前的网络学习情况，对甲、乙两所高中分别随机抽取了 25 名高三学生 进行调查，根据学生的日均网络学
7、习时长（单位：h）分别绘制了部分茎叶图（如图 1）和乙校学生日均网 络学习时长的部分频率分布直方图（如图 2） ，其中茎叶图缺少乙校茎“5 ”和“6 ”叶的数据 图 1 图 2 注：茎叶图中的茎表示整数位数据，叶表示小数位数据，如乙校收集到的最小数据为3.1 （1）补全图 2 的频率分布直方图，并估计乙校学生日均网络学习时长的平均数（同一组中的数据用该组区 间的中点值作代表） ； （2）求 50 名学生日均网络学习时长的中位数m，并将日均网络学习时长超过m和不超过m的学生人数填 入下面的列联表： 超过m 不超过m 总计 甲 乙 总计 （3）根据（2）中的列联表，能否有 95以上的把握认为甲、乙
8、两校高三学生的网络学习时长有差异？ 附： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中na b cd 2 0 P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 19 如图， 在四棱锥PABCD中，ABCD为正方形， 且平面PAD 平面ABCD， 点F为棱PD的中点 （1）在棱BC上是否存在一点E，使得/CF平面PAE？并说明理由； （2）若PAPDAB，求直线AF与平面PBC所成角的正弦值 20 已知圆 2 2 316A xy的圆心为A， 点 3 , 0B 是圆A内一个定点， 点C是圆A上任意一点， 线段
9、BC的垂直平分线与半径AC相交于点D （1）求动点D的轨迹E的方程； （2）给定点0,1P，设直线l不经过点P且与轨迹E相交于M，N两点，以线段MN为直径的圆过点 P证明：直线l过定点 21已知函数 1 ln1 x f xexa （1）设1x 是 f x的极值点，求a，并求 f x的单调区间； （2）当3a时，证明 1f x 22选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程 3cos 3sin x y （为参数） ，直线l过点1,1，倾斜角为 （1）求曲线C的普通方程和直线l的参数方程； （2）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C截直线l所得线
10、段中点的极坐标 为 3 2, 4 时，求直线l的斜率 23选修 4-5 不等式选讲 设函数 16f xxxa （1）当2a时，求不等式 0f x 的解集； （2）若 23f xa，求a的取值范围 参考答案参考答案 1A 2D 3B 4B 5D 6C 7C 8A 9B 10C 11A 12B 1310xy 1425 15 1 2 ， 2 1 n n 16 27 8 17解： （1）由已知， 222 sinsinsinsinsinCABCB， 222 sinsinsinsinsinBCABC， 在ABC中，由正弦定理得 222 bcabc， 则 222 1 cos 22 bca A bc ， 又0
11、,A，故 3 A （2）由正弦定理， 12 3 sinsinsin3 sin 3 bca BCA ， 则 2 3 sin 3 bB， 2 3 sin 3 cC，且 2 3 BCA， 2 32 32 32 1sinsin1sinsin 3333 abcBCBB 2 333 1sincos12sin 3226 BBB 又ABC为锐角三角形，则 0 2 2 0 32 B B ，解得 , 6 2 B ， 2 , 633 B ，故 3 sin,1 62 B ， 则 12sin13,3 6 B ， 即ABC周长的取值范围为13,2 18解： （1）补全图 2 的频率分布直方图如下图所示： 由此估计乙校学生
12、日均网络学习时长的平均数为 3.5 0.2 4.5 0.4 5.5 0.24 6.5 0.164.86 （2）由茎叶图知， 4.95.0 4.95 2 m ， 列联表如下： 超过m 不超过m 总计 甲 15 10 25 乙 10 15 25 总计 25 25 50 （3）由（2）中的列联表可知： 2 2 5015 15 10 10 23.941 25 25 25 25 K ， 所以没有 95以上的把握认为甲、乙两所高中高三学生的网络学习时长有差异 19解： （1）当E为BC中点时，/CF平面PAE理由如下： 如图，分别取BC，PA中点E，G，连接PE，AE，GE，FG， 又F是PD的中点，/F
13、G AD， 1 2 FGAD， 又ABCD为正方形，则/AD BC，ADBC， /FG BC， 1 2 FGBC， 又E是BC中点，/FG CE，FGCE，则四边形ECFG是平行四边形， /CF EG， 又BG 平面PAE，CF 平面PAE， /CF平面PAE （2）如图，取AD中点O，连接PO，OE， 又PAPD，则POAD， 平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD， PO平面ABCD， 以O为原点，OA，OE，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设2AD ，则1,0,0A，1,2,0B，1,2,0C ， 0,0, 3P， 13 ,0, 22 F ， 3
14、3 ,0, 22 AF ，2,0,0BC ， 1,2,3PB ， 设平面PBC的一个法向量为, ,nx y z，则 2000 230 xyz xyz ， 令3y 得0x，2 3z ，则 0,3,2 3n ，21n ， 37 cos, 7213 n AF n AF nAF ， 直线AF与平面PBC所成角的正弦值为 7 7 20解： （1）如图，由已知，圆心 3,0A，半径4r 点D在线段BC的垂直平分线上，则DCDB， 又ACDADC，ACDADB， 又4ACr，4DADBAB， 则动点D的轨迹E是以 3,0A， 3,0B 为焦点，长轴长24a的椭圆， 从而2a，3c ， 222 1bac， 故
15、所求轨迹E方程为 2 2 1 4 x y （2）由已知，90MPN，则PMPN，故0PM PN， 若l的斜率不存在，设: l xt，由题设知0t ，且2t ， 此时， 2 4 , 2 t M t ， 2 4 , 2 t N t ， 2 4 ,1 2 t PMt ， 2 4 ,1 2 t PNt ， 则 22 2 44 110 22 tt PM PNt ，解得0t ，不符合题设 若l的斜率存在，设:1l ykxm m， 将ykxm代入 2 2 1 4 x y得 222 418440kxkmxm， 由题设可知 22 16 410km ， 设 11 ,M x y， 22 ,N x y，则 12 2
16、8 41 km xx k ， 2 12 2 44 41 m x x k ， 11 ,1PMx y， 22 ,1PNxy，从而 12121212 1111PM PNx xyyx xkxmkxm 2 2 1 212 1110kx xk mxxm 即 2 2 2 22 448 1110 4141 mkm kk mm kk 化简得1 530mm，解得1m（舍去）或 3 5 m ， 此时 2 16 16 40 25 k 成立，于是 3 : 5 l ykx， 故直线l过定点 3 0, 5 21解： （1） 1 1 x fxe xa ， 由1x 是 f x的极值点知， 10 f ，即 1 10 1a ，所以
17、0a 于是 1 ln1 x f xex ，定义域为0,，且 1 1 x fxe x ， 函数 1 1 x fxe x 在 0,上单调递增，且 10 f ， 因此当0,1x时， 0fx；当1,x时， 0fx， 所以 f x的单调递减区间为0,1，增区间为1, （2）当3a，xa时，03xax ，从而lnln3xax，则 11 1ln2ln32 xx f xexaex ， 令 1 ln32 x g xex ，3,x ，则 1 1 3 x gxe x 在3, 单调递增， 且 2 11 10 2 g e ， 11 00g ee ， 故存在唯一的实数 0 1,0x ，使得 0 0gx 当 0 3,xx
18、时， 0g x；当 0, xx时， 0g x 从而当 0 xx时， g x取最小值 由 0 0gx得 0 1 0 1 0 3 x e x ，则 0 1 0 1 3 x e x ， 00 1ln3xx ， 故 0 2 10 000 min 00 21 ln321 2 33 x x g xg xexx xx ， 由 0 1,0x 知， 2 0 0 2 0 3 x x ，故 0 10f xg xg x ， 即当3a时， 1f x 成立 22解： （1）曲线C的直角坐标方程为 22 1 93 xy ， 直线l的参数方程 1cos 1sin xt yt （t为参数） （2）点 3 2, 4 化成直角坐标
19、为1,1， 将 1cos 1sin xt yt 分别代入 22 1 93 xy ， 化简得 22 12sin6sin2cos50tt， 设曲线C截直线l所得线段的两端点所对应的参数分别为 1 t， 2 t， 则 2 2 6sin2cos20 1 2sin0 ， 由已知， 12 0 2 tt ， 12 2 6sin2cos 0 12sin tt ， 即6sin2cos0，则 sin1 cos3 ， 即直线l的斜率为 1 tan 3 k 23解： （1）当2a时， 25,1 3, 12 27,2 xx f xx xx 可得 0f x 的解集为 57 22 xx （2）要使 23f xa，只需 min23f xa即可 又 1616f xxxaa ，且当1x时等号成立 min1623f xaa ，则123aa ， 当230a ，即 3 2 a 时，123aa 恒成立； 当230a ，即 3 2 a 时， 22 123aa， 得 2 31080aa，故 4 2 3 a ， 从而 34 23 a ， 综上， 4 , 3 a
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