1、港珠澳大桥是连接香港、 珠海、 澳门的超大型跨海通道， 全长约 55000 米， 把 55000 用科学记数法表示为（ ） A55103 B5.5104 C5.5105 D0.55105 3 （3 分）下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ） A B C D 4 （3 分）如图是由 4 个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A B C D 5 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2+a3a5 B （a2）3a5 Ca4a3a Da4a3a 6 （3 分）小明同学 5 次数学小测验成绩分别是 90 分、95 分、85 分、95 分、100 分，则小 明这 5 次成绩的众数和中位数
2、分别是（ ） A95 分、95 分 B85 分、95 分 C95 分、85 分 D95 分、90 分 第 2 页（共 28 页） 7 （3 分）如图，直线 AD，BE 被直线 BF 和 AC 所截，则1 的同位角和5 的内错角分别 是（ ） A4，2 B2，6 C5，4 D2，4 8 （3 分） 如图， 已知ABCDCB， 添加以下条件， 不能判定ABCDCB 的是 （ ） AAD BACBDBC CACDB DABDC 9 （3 分）某文具店一本练习本和一支水笔的单价合计为 3 元，小妮在该店买了 20 本练习 本和 10 支水笔，共花了 36 元如果设练习本每本为 x 元，水笔每支为 y
3、元，那么根据 题意，下列方程组中，正确的是（ ） A B C D 10（3 分） 如图， 在ABCD 中， B60， C 的半径为 3， 则图中阴影部分的面积是 （ ） A B2 C3 D6 11 （3 分）如图所示，抛物线 yax2+bx+c 的顶点为 B（1，3） ，与 x 轴的交点 A 在点（ 3，0）和（2，0）之间，以下结论：b24ac0，2ab0，a+b+c0；c a3，其中正确的有（ ）个 第 3 页（共 28 页） A1 B2 C3 D4 12 （3 分）如图，CE 是ABCD 的边 AB 的垂直平分线，垂足为点 O，CE 与 DA 的延长线 交于点 E、连接 AC，BE，DO
4、，DO 与 AC 交于点 F，则下列结论： 四边形 ACBE 是菱形；ACDBAE；AF：BE2：3；S四边形AFOE：SCOD 2：3 其中正确的结论有（ ）个 A1 B2 C3 D4 二填空题（每题二填空题（每题 3 分，共分，共 12 分）分） 13 （3 分）分解因式：4y2+4y1 14 （3 分）若式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 15 （3 分）如图，若菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为（3，0） ， （2，0） ，点 D 在 y 轴上，则点 C 的坐标是 16 （3 分）如图，已知反比例函数 y（x0）的图象经过点 A（3，4） ，在该图象上找 一点 B，
5、使 tanBOA，则点 B 的坐标为 第 4 页（共 28 页） 三、解答题（共三、解答题（共 7 小题，满分小题，满分 52 分）分） 17 （5 分）计算：2sin30（）0+|1|+（） 1 18 （6 分）先化简，再求值： （），其中 a 19 （7 分）王老师为了解同学们对金庸武侠小说的阅读情况，随机对初三年级的部分同学 进行调查，将调查结果分成以下五类：A：看过 03 本，B：看过 46 本，C：看过 7 9 本，D：看过 1012 本，E：看过 1315 本，并根据调查结果绘制了如图 1、图 2 两 幅不完整的统计图 （1）图 2 中的 a ，D 所对的圆心角度数为 （2）请补全
6、条形统计图； （3）本次调查中 E 类有 2 男 1 女，王老师想从中抽取 2 名同学分别撰写一篇读书笔记， 请用列表或画树状图的方法求所抽取的两名学生恰好是一男一女的概率 20 （8 分）如图，BC 是路边坡角为 30，长为 10 米的一道斜坡，在坡顶灯杆 CD 的顶端 D 处有一探射灯， 射出的边缘光线 DA 和 DB 与水平路面 AB 所成的夹角DAN 和DBN 分别是 37和 60（图中的点 A、B、C、D、M、N 均在同一平面内，CMAN） （1）求灯杆 CD 的高度； （2） 求 AB 的长度 （结果精确到 0.1 米） （参考数据：1.73sin370.60，cos37 0.80
7、，tan370.75） 第 5 页（共 28 页） 21 （8 分）俄罗斯足球世界杯点燃了同学们对足球运动的热情，某学校计划购买甲、乙两 种品牌的足球供学生使用已知用 1000 元购买甲种足球的数量和用 1600 元购买乙种足 球的数量相同，甲种足球的单价比乙种足球的单价少 30 元 （1）求甲、乙两种品牌的足球的单价各是多少元？ （2）学校准备一次性购买甲、乙两种品牌的足球共 25 个，但总费用不超过 1610 元，那 么这所学校最多购买多少个乙种品牌的足球？ 22 （9 分）如图，在 RtABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上 一点，经过点 A，D 的O
8、 分别交 AB，AC 于点 E，F，连接 OF 交 AD 于点 G （1）求证：BC 是O 的切线； （2）求证：AD2ABAF； （3）若 BE8，sinB，求 AD 的长， 23 （9 分）已知抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（2，0） ，B（0、4）与 x 轴交于另一点 C，连接 BC （1）求抛物线的解析式； （2）如图，P 是第一象限内抛物线上一点，且 SPBOSPBC，求证：APBC； （3）在抛物线上是否存在点 D，直线 BD 交 x 轴于点 E，使ABE 与以 A，B，C，E 中 的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说 明理由 第
9、6 页（共 28 页） 第 7 页（共 28 页） 2020 年广东省深圳市龙岗区宝龙学校中考数学一模试卷年广东省深圳市龙岗区宝龙学校中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）1 的相反数是（ ） A1 B0 C1 D2 【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数 【解答】解：1 的相反数是 1 故选：A 【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上符号就是这个数的相反数 2（3 分） 港珠澳大桥是连接香港、 珠海、 澳门的超大型跨海通道， 全长约 55000 米， 把 55000 用科学记数法表示
10、为（ ） A55103 B5.5104 C5.5105 D0.55105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：55000 用科学记数法可表示为：5.5104， 故选：B 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3 （3 分）下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ）
11、 A B C D 【分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误； 第 8 页（共 28 页） B、不是轴对称图形，故本选项正确； C、是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项错误 故选：B 【点评】本题考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分 折叠后可重合 4 （3 分）如图是由 4 个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A B C D 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中 【解答】解：从正面看易得第一层有 3 个正方形，第二层最右边有一个正方形 故选
12、：B 【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图 5 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2+a3a5 B （a2）3a5 Ca4a3a Da4a3a 【分析】根据合并同类项法则，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母 的指数不变；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各 选项分析判断后利用排除法求解 【解答】解：A、a2、a3不是同类项不能合并，故 A 错误； B、 （a2）3a6，故 B 错误； C、a4、a3不是同类项不能合并，故 C 错误； D、a4a3a，故 D 正确 故选：D 第 9 页（共 28 页） 【点评】本题考查合并
13、同类项、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则 是解题的关键 6 （3 分）小明同学 5 次数学小测验成绩分别是 90 分、95 分、85 分、95 分、100 分，则小 明这 5 次成绩的众数和中位数分别是（ ） A95 分、95 分 B85 分、95 分 C95 分、85 分 D95 分、90 分 【分析】将题目中的数据按照从小到大排列，从而可以得到这组数据的众数和中位数 【解答】解：将这 5 位同学的成绩从小到大排列为 85、90、95、95、100， 由于 95 分出现的次数最多，有 2 次，即众数为 95 分， 第 3 个数为 95，即中位数为 95 分， 故选：A 【点评
14、】本题考查众数和中位数，解题的关键是明确众数和中位数的定义，会找一组数 据的众数和中位数 7 （3 分）如图，直线 AD，BE 被直线 BF 和 AC 所截，则1 的同位角和5 的内错角分别 是（ ） A4，2 B2，6 C5，4 D2，4 【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的 同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可 根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并 且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行分析即可 【解答】解：1 的同位角是2，5 的内错角是6， 故选：B 【
15、点评】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构 成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形 8 （3 分） 如图， 已知ABCDCB， 添加以下条件， 不能判定ABCDCB 的是 （ ） 第 10 页（共 28 页） AAD BACBDBC CACDB DABDC 【分析】全等三角形的判定方法有 SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可 【解答】解：A、AD，ABCDCB，BCBC，符合 AAS，即能推出ABC DCB，故本选项错误； B、ABCDCB，BCCB，ACBDBC，符合 ASA，即能推出ABCDCB， 故本选项错误； C、ABCDCB，ACBD，
16、BCBC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出 ABCDCB，故本选项正确； D、ABDC，ABCDCB，BCBC，符合 SAS，即能推出ABCDCB，故本选 项错误； 故选：C 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能正确根据 全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定方法有 SAS， ASA，AAS，SSS 9 （3 分）某文具店一本练习本和一支水笔的单价合计为 3 元，小妮在该店买了 20 本练习 本和 10 支水笔，共花了 36 元如果设练习本每本为 x 元，水笔每支为 y 元，那么根据 题意，下列方程组中，正确的是（ ） A B
17、C D 【分析】等量关系为：一本练习本和一支水笔的单价合计为 3 元；20 本练习本的总价+10 支水笔的总价36，把相关数值代入即可 【解答】解：设练习本每本为 x 元，水笔每支为 y 元， 根据单价的等量关系可得方程为 x+y3， 根据总价 36 得到的方程为 20x+10y36， 所以可列方程为：， 第 11 页（共 28 页） 故选：B 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，得到单价和总价的 2 个等 量关系是解决本题的关键 10（3 分） 如图， 在ABCD 中， B60， C 的半径为 3， 则图中阴影部分的面积是 （ ） A B2 C3 D6 【分析】根据平行四边
18、形的性质可以求得C 的度数，然后根据扇形面积公式即可求得 阴影部分的面积 【解答】解：在ABCD 中，B60，C 的半径为 3， C120， 图中阴影部分的面积是：3， 故选：C 【点评】本题考查扇形面积的计算、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意， 利用扇形面积的计算公式解答 11 （3 分）如图所示，抛物线 yax2+bx+c 的顶点为 B（1，3） ，与 x 轴的交点 A 在点（ 3，0）和（2，0）之间，以下结论：b24ac0，2ab0，a+b+c0；c a3，其中正确的有（ ）个 A1 B2 C3 D4 【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断 【解答】解：抛物线与 x 轴有两个
19、交点， 0， 第 12 页（共 28 页） b24ac0，故错误； 由于对称轴为 x1， x3 与 x1 关于 x1 对称， x3 时，y0， x1 时，ya+b+c0，故正确； 对称轴为 x1， 2ab0，故正确； 顶点为 B（1，3） ， yab+c3， ya2a+c3， 即 ca3，故正确； 故选：C 【点评】本题考查抛物线的图象与性质，解题的关键是熟练运用抛物线的图象与性质， 本题属于中等题型 12 （3 分）如图，CE 是ABCD 的边 AB 的垂直平分线，垂足为点 O，CE 与 DA 的延长线 交于点 E、连接 AC，BE，DO，DO 与 AC 交于点 F，则下列结论： 四边形 A
20、CBE 是菱形；ACDBAE；AF：BE2：3；S四边形AFOE：SCOD 2：3 其中正确的结论有（ ）个 A1 B2 C3 D4 【分析】根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质 一一判断即可； 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， EC 垂直平分 AB， 第 13 页（共 28 页） OAOBABDC，CDCE， OADC， ， AEAD，OEOC， OAOB，OEOC， 四边形 ACBE 是平行四边形， ABEC， 四边形 ACBE 是菱形，故正确， DCE90，DAAE， ACADAE， ACDADCBAE，故正确， OACD
21、， ， ，故错误， 设AOF 的面积为 a，则OFC 的面积为 2a，CDF 的面积为 4a，AOC 的面积 AOE 的面积3a， 四边形 AFOE 的面积为 4a，ODC 的面积为 6a S四边形AFOE：SCOD2：3故正确， 故选：C 【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、 等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题， 属于中考常考题型 二填空题（每题二填空题（每题 3 分，共分，共 12 分）分） 13 （3 分）分解因式：4y2+4y1 （2y1）2 第 14 页（共 28 页） 【分析】直接提取1，再利用完全平方
22、公式分解因式进而得出答案 【解答】解：4y2+4y1（4y24y+1）（2y1）2 故答案为：（2y1）2 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键 14 （3 分）若式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x2 【分析】根据被开方数是非负数，可得答案 【解答】解：由题意，得 x20， 解得 x2， 故答案为：x2 【点评】此题考查了二次根式的意义和性质概念：式子（a0）叫二次根式性质： 二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义 15 （3 分）如图，若菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为（3，0） ， （2，0） ，点 D 在 y 轴上，则点 C
23、 的坐标是 （5，4） 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出 DO 的长，进而求出 C 点坐标 【解答】解：菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为（3，0） ， （2，0） ，点 D 在 y 轴 上， AB5， AD5， 由勾股定理知：OD4， 点 C 的坐标是： （5，4） 故答案为： （5，4） 第 15 页（共 28 页） 【点评】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出 DO 的长是解题关键 16 （3 分）如图，已知反比例函数 y（x0）的图象经过点 A（3，4） ，在该图象上找 一点 B，使 tanBOA，则点 B 的坐标为 （2，）或（，） 【分析】如图取点 E
24、（4，2） ，连接 AE，OE证明AOE 是直角三角形，tanAOE， 求出直线 OE 与反比例函数的图象的交点即可解决问题再根据对称性求出另一个符合 题意的点 B 【解答】解：如图取点 E（4，2） ，连接 AE，OE A（3，4） ， OA5，AE，OE2， OA2AE2+OE225， AEO90， tanAOE， 延长 OE 交反比例函数的图象于 B，点 B 即为所求， 第 16 页（共 28 页） A（3，4）在 y上， k12， 直线 OE 的解析式为 yx， 由，解得或（舍弃） ， B（2，） ， 作点 E 关于直线 OA 的对称点 E，则 E（，） ，射线 OE交反比例函数的图象
25、 于 B，则点 B即为所求， 直线 OE的解析式为 yx， 由，解得或（舍弃） ， B（，） ， 综上所述，满足条件的点 B 的坐标为（2，）或（，） 补充确定点 E 的方法二：如图，当 tanAOB时，过点 A 作 AEAB 于 E，作 EMx 轴于 M，作 ANME 交 ME 的延长线于 N设 ANa， tanAOE， 由ANEEMO，得到， OM3+a，ANa， EM2a，EN， MN4， 第 17 页（共 28 页） 2a+4， 解得 a1， 可得 E（4，2） ， 接下来方法同上 故答案为（2，）或（，） 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的应用等知识，解题的关
26、键是学会寻找特殊点解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中 考填空题中的压轴题 三、解答题（共三、解答题（共 7 小题，满分小题，满分 52 分）分） 17 （5 分）计算：2sin30（）0+|1|+（） 1 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简 得出答案 【解答】解：原式21+1+2 1+ 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 18 （6 分）先化简，再求值： （），其中 a 【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 a 的值代入计算可得 【解答】解：原式 ， 当 a时， 原式52 【点评】本题主要考
27、查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法 则 19 （7 分）王老师为了解同学们对金庸武侠小说的阅读情况，随机对初三年级的部分同学 进行调查，将调查结果分成以下五类：A：看过 03 本，B：看过 46 本，C：看过 7 9 本，D：看过 1012 本，E：看过 1315 本，并根据调查结果绘制了如图 1、图 2 两 第 18 页（共 28 页） 幅不完整的统计图 （1）图 2 中的 a 25 ，D 所对的圆心角度数为 54 （2）请补全条形统计图； （3）本次调查中 E 类有 2 男 1 女，王老师想从中抽取 2 名同学分别撰写一篇读书笔记， 请用列表或画树状图的方法求所抽取
28、的两名学生恰好是一男一女的概率 【分析】 （1）先求得总人数，即可得到 a 的值和 D 所对的圆心角度数； （2）依据 A 对应的人数，即可补全条形统计图； （3）依据树状图可得，共有 6 种等可能的结果，选取的两名同学恰好是一男一女的有 4 种情况 【解答】解： （1）总人数为 2135%60， a%100%25%， D 所对的圆心角度数为36054， 故答案为：25，54； （2）A 对应的人数为 6021159312， 如图所示： （3）画树状图得： 第 19 页（共 28 页） 共有 6 种等可能的结果，选取的两名同学恰好是一男一女的有 4 种情况 选取的两名同学恰好是一男一女的概率为
29、： 【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率以及条形统计图、扇形统计图的应用用 到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 20 （8 分）如图，BC 是路边坡角为 30，长为 10 米的一道斜坡，在坡顶灯杆 CD 的顶端 D 处有一探射灯， 射出的边缘光线 DA 和 DB 与水平路面 AB 所成的夹角DAN 和DBN 分别是 37和 60（图中的点 A、B、C、D、M、N 均在同一平面内，CMAN） （1）求灯杆 CD 的高度； （2） 求 AB 的长度 （结果精确到 0.1 米） （参考数据：1.73sin370.60，cos37 0.80，tan370.75） 【分析】 （1）延长 DC
30、 交 AN 于 H只要证明 BCCD 即可； （2）在 RtBCH 中，求出 BH、CH，在 RtADH 中求出 AH 即可解决问题； 【解答】解： （1）延长 DC 交 AN 于 H DBH60，DHB90， BDH30， CBH30， CBDBDC30， BCCD10（米） 第 20 页（共 28 页） （2）在 RtBCH 中，CHBC5，BH58.65， DH15， 在 RtADH 中，AH20， ABAHBH208.6511.4（米） 答：AB 的长度约为 11.4 米 【点评】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅 助线，构造直角三角形解决问题，属于中考
31、常考题型 21 （8 分）俄罗斯足球世界杯点燃了同学们对足球运动的热情，某学校计划购买甲、乙两 种品牌的足球供学生使用已知用 1000 元购买甲种足球的数量和用 1600 元购买乙种足 球的数量相同，甲种足球的单价比乙种足球的单价少 30 元 （1）求甲、乙两种品牌的足球的单价各是多少元？ （2）学校准备一次性购买甲、乙两种品牌的足球共 25 个，但总费用不超过 1610 元，那 么这所学校最多购买多少个乙种品牌的足球？ 【分析】 （1）设甲种品牌的足球的单价为 x 元/个，则乙种品牌的足球的单价为（x+30） 元/个，根据数量总价单价结合用 1000 元购买甲种足球的数量和用 1600 元购
32、买乙种 足球的数量相同，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设这所学校购买 m 个乙种品牌的足球，则购买（25m）个甲种品牌的足球，根据 总价单价数量结合总费用不超过 1610 元， 即可得出关于 m 的一元一次不等式， 解之 取其中的最大值即可得出结论 【解答】 解： （1） 设甲种品牌的足球的单价为 x 元/个， 则乙种品牌的足球的单价为 （x+30） 元/个， 根据题意得：， 解得：x50， 经检验，x50 是所列分式方程的解，且符合题意， x+3080 答：甲种品牌的足球的单价为 50 元/个，乙种品牌的足球的单价为 80 元/个 （2）设这所学校购买 m
33、个乙种品牌的足球，则购买（25m）个甲种品牌的足球， 根据题意得：80m+50（25m）1610， 解得：m12 第 21 页（共 28 页） 答：这所学校最多购买 12 个乙种品牌的足球 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1） 找准等量关系，正确列出分式方程； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不 等式 22 （9 分）如图，在 RtABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上 一点，经过点 A，D 的O 分别交 AB，AC 于点 E，F，连接 OF 交 AD 于点 G （1）求证：BC 是O 的切线； （2）
34、求证：AD2ABAF； （3）若 BE8，sinB，求 AD 的长， 【分析】 （1）先判断出 ODAC，得出ODB90，即可得出结论； （2）先判断出AEFB再判断出AEFADF，进而得出BADF，进而判 断出ABDADF，即可得出结论； （3）先利用三角函数求出O 的半径，进而求出 AE，AB，再判断出AEFB，进而 利用三角函数求出 AF，最后借助（2）的结论即可得出结论 【解答】解： （1）如图 1，连接 OD，则 OAOD， ODAOAD， AD 是BAC 的平分线， OADCAD， ODACAD， ODAC， ODBC90， 点 D 在O 上， BC 是O 的切线； （2）如图 2
35、， 第 22 页（共 28 页） 连接 OD，DF，EF， AE 是O 的直径， AFE90C， EFBC， BAEF， AEFADF， BADF， 由（1）知，BADDAF， ABDADF， ， AD2ABAF； （3）如图 3， 连接 OD，由（1）知，ODBC， BDO90， 设O 的半径为 R，则 OAODOER， BE8， OBBE+OE8+R， 在 RtBDO 中，sinB， sinB， R5， AE2OE10，ABBE+2OE18， 连接 EF，由（2）知，AEFB，AFEC90， sinAEFsinB， 在 RtAFE 中，sinAEF， AF 由（2）知，AD2ABAF18，
36、 第 23 页（共 28 页） AD 【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，圆周角的性质，相似三角形的判 定和性质，锐角三角函数，求出圆的半径是解本题的关键 23 （9 分）已知抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（2，0） ，B（0、4）与 x 轴交于另一点 C，连接 BC （1）求抛物线的解析式； （2）如图，P 是第一象限内抛物线上一点，且 SPBOSPBC，求证：APBC； （3）在抛物线上是否存在点 D，直线 BD 交 x 轴于点 E，使ABE 与以 A，B，C，E 中 的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说 明理由 第 24 页（
37、共 28 页） 【分析】 （1）利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）令 y0 求抛物线与 x 轴的交点 C 的坐标，作POB 和PBC 的高线，根据面积相 等可得 OECF，证明OEGCFG，则 OGCG2，根据三角函数列式可得 P 的坐 标，利用待定系数法求一次函数 AP 和 BC 的解析式，k 相等则两直线平行； （3）先利用概率的知识分析 A，B，C，E 中的三点为顶点的三角形，有两个三角形与 ABE 有可能相似，即ABC 和BCE， 当ABE 与以 A， B， C 中的三点为顶点的三角形相似， 如图 2， 根据存在公共角BAE BAC，可得ABEACB，列比例式可得 E 的坐标，利
38、用待定系数法求直线 BE 的 解析式，与抛物线列方程组可得交点 D 的坐标； 当ABE 与以 B，C、E 中的三点为顶点的三角形相似，如图 3，同理可得结论 【解答】解： （1）把点 A（2，0） ，B（0、4）代入抛物线 yx2+bx+c 中得： ，解得：， 抛物线的解析式为：yx2x4； （2）当 y0 时，x2x40， 解得：x2 或 4， C（4，0） ， 如图 1，过 O 作 OEBP 于 E，过 C 作 CFBP 于 F，设 PB 交 x 轴于 G， SPBOSPBC， ， OECF， 易得OEGCFG， OGCG2， 设 P（x，x2x4） ，过 P 作 PMy 轴于 M， ta
39、nPBM， BM2PM， 4+x2x42x， x26x0， 第 25 页（共 28 页） x10（舍） ，x26， P（6，8） ， 易得 AP 的解析式为：yx+2， BC 的解析式为：yx4， APBC； （3）以 A，B，C，E 中的三点为顶点的三角形有ABC、ABE、ACE、BCE，四 种，其中ABE 重合，不符合条件，ACE 不能构成三角形， 当ABE 与以 A，B，C，E 中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：ABC 和BCE， 当ABE 与以 A，B，C 中的三点为顶点的三角形相似，如图 2， BAEBAC，ABEABC， ABEACB45， ABEACB， ， ， AE，
40、OE2 E（，0） ， B（0，4） ， 易得 BE：y3x4， 则x2x43x4， x10（舍） ，x28， D（8，20） ； 当ABE 与以 B，C、E 中的三点为顶点的三角形相似，如图 3，此时 E 在 C 的左边， BEABEC， 当ABEBCE 时，ABEBCE， ， 设 BE2m，CE4m， RtBOE 中，由勾股定理得：BE2OE2+OB2， 第 26 页（共 28 页） ， 3m28m+80， （m2） （3m2）0， m12，m2， OE4m412 或， OE2，AEB 或BEC 是钝角，此时ABE 与以 B，C、E 中的三点为顶点的三 角形不相似，如图 4， E（12，0
41、） ； 同理得 BE 的解析式为：yx4， x4x2x4， x或 0（舍） D（，） ； 同理可得 E 在 C 的右边时，ABEBCE， ， 设 AE2m，BE4m， RtBOE 中，由勾股定理得：BE2OE2+OB2， ， 3m2+2m50， （m+） （3m）0， m1，m2， OE12（舍）或， OE4，BEC 是钝角，此时ABE 与以 B，C、E 中的三点为顶点的三角形不相 似， 综上，点 D 的坐标为（8，20）或（，） 第 27 页（共 28 页） 【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二 次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、一元二次方程、三角 形面积以及勾股定理，第 3 问有难度，确定三角形与ABE 相似并画出图形是关键
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