1、数学试题 第页( 共页)数学试题 第页( 共页) 绝密启用并使用完毕前 数 学 试 题 本试卷共页, 题, 全卷满分 分 考试用时 分钟 注意事项: 答卷前, 考生务必将自己的姓名、 考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改 动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号回答非选择题时, 将答案写在答题卡上写在本 试卷上无效 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回 参考公式: 锥体的体积公式:V S h( 其中S为锥体的底面积,h为锥体的高) 一、 单项选择题: 本题共小题, 每小题分, 共 分在每小题给出的四个选项中,
2、 只有一项 是符合题目要求的 已知集合Mx| x,Nx|yx, 则MN Ax|x Bx|x Cx| x Dx| x 函数f(x)x x的零点所在的区间为 A(,)B(,)C(,)D(,) 已知命题p:x R,e x e x, 则p 为 A x R,e x e x B x R,e x e x C x R,e x e x D xR,e x e x 如图, 在圆柱OO内有一个球O, 该球与圆柱的上、 下底面及母线均 相切若OO, 则圆柱OO的表面积为 A B C D “ 平均增长量” 是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值, 其计算 方法是将每一期增长量相加后, 除以期数, 即 n i aiai
3、() n 国内生产总值(G D P) 被公 认为是衡量国家经济状况的最佳指标, 下表是我国 年G D P数据 年份 国内生产总值/万亿 根据表中数据, 年我国G D P的平均增长量为 A 万亿B 万亿C 万亿D 万亿 已知双曲线C的方程为x y , 则下列说法错误的是 A双曲线C的实轴长为 B双曲线C的渐近线方程为y x C双曲线C的焦点到渐近线的距离为 D双曲线C上的点到焦点距离的最小值为 已知水平直线上的某质点, 每次等可能的向左或向右移动一个单位, 则在第次移动后, 该质点恰好回到初始位置的概率是 A B C D 在A B C中,c o sAc o sB ,A B 当s i nAs i
4、nB取最大值时,A B C内切圆 的半径为 A B C D 二、 多项选择题: 本题共小题, 每小题分, 共 分在每小题给出的四个选项中, 有多项符 合题目要求全部选对的得分, 部分选对的得分, 有选错的得分 已知复数z c o s i s i n ( ) ( 其中i为虚数单位) , 下列说法正确的是 A复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限 Bz可能为实数 C |z | c o s D z 的实部为 台球运动已有五、 六百年的历史, 参与者用球杆在台上击球若和光 线一样, 台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律如图, 有一 张长方形球台A B C D,A B AD, 现从角落A沿角的方向
5、把球打出去, 球经次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中, 则 t a n的值为 A B CD 如图, 在棱长为的正方体A B C DABCD中,P为线段 B C上的动点, 下列说法正确的是 A对任意点P,DP平面A BD B三棱锥PADD的体积为 C线段DP长度的最小值为 D存在点P, 使得D P与平面A D DA所成角的大小为 数学试题 第页( 共页)数学试题 第页( 共页) 绝密启用并使用完毕前 数 学 试 题 本试卷共页, 题, 全卷满分 分 考试用时 分钟 注意事项: 答卷前, 考生务必将自己的姓名、 考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题
6、卡上对应题目的答案标号涂黑如需改 动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号回答非选择题时, 将答案写在答题卡上写在本 试卷上无效 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回 参考公式: 锥体的体积公式:V S h( 其中S为锥体的底面积,h为锥体的高) 一、 单项选择题: 本题共小题, 每小题分, 共 分在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的 已知集合Mx| x,Nx|yx, 则MN Ax|x Bx|x Cx| x Dx| x 函数f(x)x x的零点所在的区间为 A(,)B(,)C(,)D(,) 已知命题p:x R,e x e x, 则p 为 A x R,e x e x B x
7、 R,e x e x C x R,e x e x D xR,e x e x 如图, 在圆柱OO内有一个球O, 该球与圆柱的上、 下底面及母线均 相切若OO, 则圆柱OO的表面积为 A B C D “ 平均增长量” 是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值, 其计算 方法是将每一期增长量相加后, 除以期数, 即 n i aiai () n 国内生产总值(G D P) 被公 认为是衡量国家经济状况的最佳指标, 下表是我国 年G D P数据 年份 国内生产总值/万亿 根据表中数据, 年我国G D P的平均增长量为 A 万亿B 万亿C 万亿D 万亿 已知双曲线C的方程为x y , 则下列说法错误的是
8、A双曲线C的实轴长为 B双曲线C的渐近线方程为y x C双曲线C的焦点到渐近线的距离为 D双曲线C上的点到焦点距离的最小值为 已知水平直线上的某质点, 每次等可能的向左或向右移动一个单位, 则在第次移动后, 该质点恰好回到初始位置的概率是 A B C D 在A B C中,c o sAc o sB ,A B 当s i nAs i nB取最大值时,A B C内切圆 的半径为 A B C D 二、 多项选择题: 本题共小题, 每小题分, 共 分在每小题给出的四个选项中, 有多项符 合题目要求全部选对的得分, 部分选对的得分, 有选错的得分 已知复数z c o s i s i n ( ) ( 其中i为
9、虚数单位) , 下列说法正确的是 A复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限 Bz可能为实数 C |z | c o s D z 的实部为 台球运动已有五、 六百年的历史, 参与者用球杆在台上击球若和光 线一样, 台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律如图, 有一 张长方形球台A B C D,A B AD, 现从角落A沿角的方向 把球打出去, 球经次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中, 则 t a n的值为 A B CD 如图, 在棱长为的正方体A B C DABCD中,P为线段 B C上的动点, 下列说法正确的是 A对任意点P,DP平面A BD B三棱锥PADD的体积为 C线段DP长度的最小值为
10、 D存在点P, 使得D P与平面A D DA所成角的大小为 数学试题 第页( 共页)数学试题 第页( 共页) 设 an是无穷数列, 若存在正整数k, 使得对任意n N, 均有ankan, 则称 an 是间隔递增数列,k是 an的间隔数下列说法正确的是 A公比大于的等比数列一定是间隔递增数列 B已知ann n , 则 an是间隔递增数列 C已知ann() n , 则 an是间隔递增数列且最小间隔数是 D已知ann t n , 若 an是间隔递增数列且最小间隔数是, 则t 三、 填空题: 本题共小题, 每小题分, 共 分 已知向量a(,),b(,k), 若 (ab)a, 则k的值为 若 (x) a
11、a(x)a(x) a(x) , 则a 的值为 已知F,F分别是椭圆C: x a y b ( ab) 的左、 右焦点,A,B是椭圆上关于x 轴对称的两点,A F的中点P恰好落在y轴上, 若B P A F , 则椭圆C 的离心率的值 为 已知函数f(x) l nx,g(x)a xx ( a)若直线yxb与函数y f(x) ,yg(x)的图象均相切, 则a的值为 ; 若总存在直线与函数yf(x), yg(x)的图象均相切, 则a的取值范围是 ( 本小题第一空分, 第二空分) 四、 解答题: 本题共小题, 共 分解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 ( 分) 已知直角梯形A B C D中,ADB
12、C,A BB C,A B AD B C, 将直角梯形A B C D( 及其内部) 以A B所 在直线为轴顺时针旋转 , 形成如图所示的几何体, 其中M为C E 的中点 ( ) 求证:BMD F; ( ) 求异面直线BM与E F所成角的大小 ( 分) 已知数列 an的前n项和为Sn, 且Sn n n ( ) 求 an的通项公式; ( ) 设bn an,n为奇数, an, n为偶数, 求数列 bn的前n项和Tn ( 分) 已知函数f( x)As i n( x ) ( A,) 只能同时 满足下列三个条件中的两个: 函数f(x)的最大值为;函数f(x)的图象可由y s i n(x )的图象平移得 到;
13、函数f( x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ( ) 请写出这两个条件序号, 并求出f(x)的解析式; ( ) 求方程f(x)在区间 ,上所有解的和 ( 分) 法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人, 他每天都会购买一个面包面包师声称自己出 售的每个面包的平均质量是 g, 上下浮动不超过 g 这句话用数学语言来表达就 是: 每个面包的质量服从期望为 g, 标准差为 g的正态分布 ( ) 假设面包师的说法是真实的, 从面包师出售的面包中任取两个, 记取出的两个面包中 质量大于 g的个数为, 求的分布列和数学期望; ( ) 作为一个善于思考的数学家, 庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录, 天后,
14、得 到数据如下表, 经计算 个面包总质量为 g 庞加莱购买的 个面包质量的统计数据( 单位: g) 尽管上述数据都落在 ( , )上, 但庞加莱还是认为面包师撒谎, 根据所附信息, 从 概率角度说明理由 附: 若XN( , ), 从X 的取值中随机抽取 个数据, 记这 个数据的平均值为Y, 则由统计学知识可知: 随机变量YN( , ); 若N( , ) , 则P( ) ,P( ) ,P( ) ; 通常把发生概率在 以下的事件称为小概率事件 ( 分) 已知函数f( x)al n(xb)x ( ) 若a,b, 求f(x)的最大值; ( ) 当b时, 讨论f(x)极值点的个数 ( 分) 已知平面上一
15、动点A的坐标为 (t , t) ( ) 求点A的轨迹E的方程; ( ) 点B在轨迹E上, 且纵坐标为 t ( i) 证明直线A B过定点, 并求出定点坐标; ( i i) 分别以A,B为圆心作与直线x相切的圆, 两圆公共弦的中点为H在平 面内是否存在定点P, 使得|PH|为定值? 若存在, 求出点P坐标; 若不存在, 请说 明理由 数学试题 第页( 共页)数学试题 第页( 共页) 设 an是无穷数列, 若存在正整数k, 使得对任意n N, 均有ankan, 则称 an 是间隔递增数列,k是 an的间隔数下列说法正确的是 A公比大于的等比数列一定是间隔递增数列 B已知ann n , 则 an是间
16、隔递增数列 C已知ann() n , 则 an是间隔递增数列且最小间隔数是 D已知ann t n , 若 an是间隔递增数列且最小间隔数是, 则t 三、 填空题: 本题共小题, 每小题分, 共 分 已知向量a(,),b(,k), 若 (ab)a, 则k的值为 若 (x) aa(x)a(x) a(x) , 则a 的值为 已知F,F分别是椭圆C: x a y b ( ab) 的左、 右焦点,A,B是椭圆上关于x 轴对称的两点,A F的中点P恰好落在y轴上, 若B P A F , 则椭圆C 的离心率的值 为 已知函数f(x) l nx,g(x)a xx ( a)若直线yxb与函数y f(x) ,yg
17、(x)的图象均相切, 则a的值为 ; 若总存在直线与函数yf(x), yg(x)的图象均相切, 则a的取值范围是 ( 本小题第一空分, 第二空分) 四、 解答题: 本题共小题, 共 分解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 ( 分) 已知直角梯形A B C D中,ADB C,A BB C,A B AD B C, 将直角梯形A B C D( 及其内部) 以A B所 在直线为轴顺时针旋转 , 形成如图所示的几何体, 其中M为C E 的中点 ( ) 求证:BMD F; ( ) 求异面直线BM与E F所成角的大小 ( 分) 已知数列 an的前n项和为Sn, 且Sn n n ( ) 求 an的通项公式
18、; ( ) 设bn an,n为奇数, an, n为偶数, 求数列 bn的前n项和Tn ( 分) 已知函数f( x)As i n( x ) ( A,) 只能同时 满足下列三个条件中的两个: 函数f(x)的最大值为;函数f(x)的图象可由y s i n(x )的图象平移得 到;函数f( x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ( ) 请写出这两个条件序号, 并求出f(x)的解析式; ( ) 求方程f(x)在区间 ,上所有解的和 ( 分) 法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人, 他每天都会购买一个面包面包师声称自己出 售的每个面包的平均质量是 g, 上下浮动不超过 g 这句话用数学语言来表达就 是: 每
19、个面包的质量服从期望为 g, 标准差为 g的正态分布 ( ) 假设面包师的说法是真实的, 从面包师出售的面包中任取两个, 记取出的两个面包中 质量大于 g的个数为, 求的分布列和数学期望; ( ) 作为一个善于思考的数学家, 庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录, 天后, 得 到数据如下表, 经计算 个面包总质量为 g 庞加莱购买的 个面包质量的统计数据( 单位: g) 尽管上述数据都落在 ( , )上, 但庞加莱还是认为面包师撒谎, 根据所附信息, 从 概率角度说明理由 附: 若XN( , ), 从X 的取值中随机抽取 个数据, 记这 个数据的平均值为Y, 则由统计学知识可知: 随机变量YN
20、( , ); 若N( , ) , 则P( ) ,P( ) ,P( ) ; 通常把发生概率在 以下的事件称为小概率事件 ( 分) 已知函数f( x)al n(xb)x ( ) 若a,b, 求f(x)的最大值; ( ) 当b时, 讨论f(x)极值点的个数 ( 分) 已知平面上一动点A的坐标为 (t , t) ( ) 求点A的轨迹E的方程; ( ) 点B在轨迹E上, 且纵坐标为 t ( i) 证明直线A B过定点, 并求出定点坐标; ( i i) 分别以A,B为圆心作与直线x相切的圆, 两圆公共弦的中点为H在平 面内是否存在定点P, 使得|PH|为定值? 若存在, 求出点P坐标; 若不存在, 请说
21、明理由 1 高三年级学习质量评估考试 数学数学参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B C C D B A 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 题号 9 10 11 12 答案 BCD AD ABC BCD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 131；145；15
22、3 3 ；16 2 ， 3 2 a（本小题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 【解析】 （1）证明： 【方法一】 连接CE，与BM交于点N， 根据题意，该几何体为圆台的一部分，且CD与EF相交， 故C，D，F，E四点共面， 因为平面ADF平面BCE， 所以CEDF， 2 分 因为M为CE的中点， 所以CBMEBM= ， 所以N为CE中点，又BCBE=， 所以BNCE，即BMCE， 4 分 所以BMDF. 5 分 【方法二】 如图，以B为坐标原点，BE，BC，BA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间 2 直角坐标系，设1A
23、B =，则1ADAF=，2BCBE=， 所以0 0 0B （ ，），22 0M （，），0 1 1D （ ，），1 0 1F （ ，）， . 2 分 所以22 0BM = （，），11 0DF=（ ， ，）， 所以220BM DF=， . 4 分 所以BMDF. 5 分 （2） 【方法一】 连接DB，DN， 由（1）知，DFEN且DFEN=， 所以四边形ENDF为平行四边形， 所以EFDN， 7 分 所以BND为异面直线BM与EF所成的角， 8 分 因为2BDDNBN=， 所以BND为等边三角形， 所以60BND=， 所以异面直线BM与EF所成角的大小是60 10 分 【方法二】 如图，以B为
24、坐标原点，BE，BC，BA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间 直角坐标系，设1AB =，则1ADAF=，2BE =， 所以0 0 0B （ ，），22 0M （，），2 0 0E （ ，），1 0 1F （ ，）， 7 分 所以22 0BM = （，），1 0 1EF=（，）， 所以 21 cos= 2|22 BM EF BM EF BM EF = ， | | ， 8 分 所以异面直线BM与EF所成角的大小是60 10 分 18 【解析】 （1）因为 2 11 22 n Snn=+， 所以当1n =时， 11 1aS=， . 1 分 3 当2n时， 22 1 1111 (1)(1) 222
25、2 nnn aSSnnnnn =+=， . 4 分 又1n =时符合上式， 所以 n an= 5 分 （2）因为 2 n n nn b n = ，为奇数， ，为偶数， . 7 分 所以对任意的k + N， 2121 (21)(21)2 kk bbkk + =+=，则 21 k b 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列； 22 22 2 2 2 4 2 k k k k b b + + =，则 2 k b是以 4 为首项，4 为公比的等比数列 所以 2135212462 ()() nnn Tbbbbbbbb =+ 2462 (12321)(2222 ) n n=+ . 9 分 (121)4(14
26、 ) 214 n nn+ =+ . 11 分 1 2 44 33 n n + =+ 12 分 19 【解析】 （1）函数sin()( 6 )fAxx +=满足的条件为； . 2 分 理由如下： 由题意可知条件互相矛盾， 故为函数sin()( 6 )fAxx +=满足的条件之一， 由可知，T = ，所以2=， . 4 分 故不合题意， 所以函数sin()( 6 )fAxx +=满足的条件为； 由可知2A=， . 5 分 所以2sin(2)( ) 6 fxx +=； 6 分 （2）因为( )10f x + =， 所以 1 sin(2) 62 x += ， 4 所以2 2() 66 xkk += +
27、Z或22() 66 xkk +=+Z， . 8 分 即 () 6 xkk = + Z或() 2 xkk =+ Z， 又因为 x ， 所以x的取值为 5 6622 ， 11 分 所以方程( )10f x + =在区间 ，上所有解的和为 2 3 . 12 分 20 【解析】 （1）由题意知，的所有可能取值为0 1 2， 1 分 002 2 111 (0)( ) ( ) 224 PC=； 1 2 111 (1) 222 PC=； 220 2 111 (2)( ) ( ) 224 PC= 4 分 所以的分布列为： 0 1 2 P 1 4 1 2 1 4 5 分 所以 111 0121 424 E=+
28、+=（个） 6 分 （2）记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X 假设面包师没有撒谎，则 2 (1000 50 )XN， 根据附，从X的取值中随机抽取 25 个数据，记这25个数据的平均值为Y， 则 2 (1000 10 )YN， . 8 分 庞加莱记录的 25 个面包质量，相当于从X的取值中随机抽取了 25 个数据， 这 25 个数据的平均值为 24 468 978.7210002 10980 25 Y =， . 9 分 由附数据知， 10.954 4 (980)0.02280.05 2 P Y =， . 10 分 由附知，事件“ 980Y ”为小概率事件， 所以“假设面包师没有撒谎”有误
29、， 11 分 所以庞加莱认为面包师撒谎 12 分 21 【解析】 5 （1）当 10ab=， 时，( )lnf xxx=， 此时，函数 ( )f x定义域为(0)+， ， 1 分 112 ( ) 22 x fx xxx =， 2 分 由( )0fx得：04x； 由( )0fx得：4x ， 所以 ( )f x在(0 4)，上单调递增，在(4)+， 上单调递减 . 4 分 所以 max ( )(4)2ln22f xf= 5 分 （2）当0b 时，函数 ( )f x定义域为0)+， ， 12 ( ) 22() axa xb fx xbxx xb + = + ， 6 分 当 0a 时， ( )0fx
30、对任意的 (0)x+， 恒成立， 所以此时 ( )f x极值点的个数为 0 个； . 7 分 当0a 时，设( )2h xxa xb= +， （i）当 2 440ab，即0ab时， ( )0fx 对任意的 (0)x+， 恒成立， 即 ( )fx 在(0 )+， 上无变号零点， 所以 此时 ( )f x极值点的个数为 0 个； . 9 分 （ii）当 2 440ab，即ab时，记方程 ( )0h x = 的两根分别为 12 xx， 则 12 0xxa+=， 12 0x xb=， 所以 12 xx，都大于 0， 即 ( )fx 在(0 )+， 上有 2 个变号零点， 所以 此时 ( )f x 极值
31、点的个数为 2 个. 11 分 综上所述 ab时，( )f x极值点的个数为 0 个； ab 时，( )f x极值点的个数为 2 个 12 分 22 【解析】 （1）设动点A的坐标为( )x y， ，因为A的坐标为 2 (22 )tt， 所以 2 2 2 xt yt = = ，消去参数t得： 2 2yx= ； 3 分 （2） （i）因为点B在轨迹E上，且纵坐标为 2 t ， 6 所以点B的坐标为 2 22 () tt ， 当1t = 时，直线AB的方程为2x =； 当1t 时，直线AB的斜率为 2 1 BA AB BA yyt k xxt = ， 所以直线AB的方程为 2 2 2(2 ) 1
32、t ytxt t += ， . 6 分 整理得 2 (2) 1 t yx t = ， 所以直线AB过定点(2 0)，； 7 分 （ii） 【方法一】 因为A的坐标为 2 (22 )tt，且圆A与直线2x = 相切， 所以圆A的方程为 () 2 22 ()(2) AAA xxyyx+=+ ， 同理圆B的方程为 () 2 22 ()(2) BBB xxyyx+=+ ， 两圆方程相减得 22 2()2()44 BABAABAB xxxyyyyyxx+= ， 将 2 (22 )Att， 2 22 ()B tt ，带入并整理得 1 ()(1)ytx t =+， 由（i）可知直线AB的方程为 2 (2)
33、1 t yx t = ， 因为H是两条直线的交点， 所以两个方程相乘得 2 (2)(1)yxx= +， 整理得 22 19 () 24 xy+=， 即点H的轨迹是以 1 (0) 2 ，为圆心， 3 2 为半径的圆， 所以存在点 1 (0) 2 P，满足 3 = 2 HP 12 分 【方法二】 由题意知直线2x = 为圆A与圆B的公切线，设切点分别为E F， 设两圆的公共弦交公切线2x = 于点G，则G为E F，的中点， 所以G点横坐标为2 G x = ，G点的纵坐标为 1 22 EFAB G yyyy yt t + =， 即 1 ( 2)Gt t ， 因为公共弦必与两圆的连心线垂直， 7 所以公共弦所在直线的斜率为 2 11 AB t kt =， 故公共弦所在的直线方程为 2 11 ()(2) t ytx tt =+ 整理得() 1 ()1ytx t =+， 所以公共弦恒过( 1 0)S ，； 由平面几何的知识可知， 公共弦的中点就是公共弦与两圆连心线的交点， 记直线AB所过的定点为R， 则R，S，公共弦的中点H，构成以H为直角顶点的直角三角形， 即点H在以RS为直径的圆上； 所以存在点 1 (0) 2 P，满足 3 = 2 HP 12 分
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