1、第第 16 讲讲 数字趣谈数字趣谈 尝试使用探索法和分类统计法解决自然数列计数问题 在日常生活中，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 是我们最常见、最熟悉的数， 由这些数字构成的自然数列中也有很多有趣的计数问题，动动脑筋，你就会找到 答案。本周的习题，大都是关于自然数列方面的计数问题，解题的方法一般是采 用尝试探索法和分类统计法，相信你们能很好地掌握它。 考点一：枚举计数考点一：枚举计数 例例 1、在 10 和 40 之间有多少个数是 3 的倍数？ 【解析】由尝试法可求出答案： 3 4=12 3 5=15 3 6=18 3 7=21 3 8=24 3 9=27 3 10=30 3 11=3
2、3 3 12=36 3 13=39 例例 2、 在 10 和 1000 之间有多少个数是 3 的倍数？ 【解析】求 10 和 1000 之间有多少个数是 3 的倍数，用一一列举的方法显得很麻烦。可以这样思考： 103=31 说明 10 以内有 3 个数是 3 的倍数； 10003=3331 说明 1000 以内有 333 个数是 3 的倍数。 3333=330 说明 101000 之间有 330 个数是 3 的倍数。 例例 3、从 19 九个数中选取，将 11 写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法？ 典例分析 知识梳理 教学目标 【解析】将 19 的九个自然数从小到大排成一列： 1，2
3、，3，4，5，6，7，8，9 先看最小的 1 和最大的 9 相加之和为 10 不符合要求，但用第二小的 2 和最大的 9 相加， 和为 11 符合要求，得 11=29。依次做下去，可得 11=38，11=47，11=56。 共有 4 种不同的写法。 例例 4、2000 年 2 月的一天，有三批同学去植树，每批的人数不相等，没有一个人单独去的，三批人数的乘 积正好等于这一天的日期。想一想，这三批学生各有几人？ 【解析】 2000 年 2 月有 29 天， 三批同学人数的乘积不能大于 29， 我们可以先用最小的几个数试乘 （1 除外） ： 2 3 4=24，2429；2 3 5=30，3029，不
4、合题意。所以，这三批学生的人数是 2，3，4 人。 例例 5、一本连环画共 100 页，排页码时一个铅字只能排一位数字。请你算一下，排这本书的页码共要用多少 个铅字？ 【解析】这道题可以分类计算： 从第 1 页到第 9 页，共 9 页，每页用 1 个铅字，共用 1 9=9 个； 从第 10 页到第 99 页，共 90 页，每页用 2 个铅字，共用 2 90=180 个； 第 100 页，只有 1 页共用 3 个铅字。 所以这本书的页码共用 91803=192 个铅字。 例例 6、一本书共 250 页，求编码时需要多少个数码？ 【解析】由于本书的页码有一位数、 两位数、 三位数； 而几位数就需要
5、几个数码。故须分类计数，再相加。 一位数：有 9 个，共需 9 1=9 个数码； 两位数：有 90 个，共需 90 2=180 个数码； 三位数：有 250-99=151 个，共需 151 3=453 个数码； 共需 9+180+453=642 个数码。 记住规律： 一位数： 19，有 9 个； 两位数： 1099，有 99-10+1=90 个，或 99-9=90； 三位数： 100999，有 999-100+1=900 个，或 999-99=900 个； 四位数： 9000 个； 例例 7、 给一本书编码，一共用了 723 个数字，这本书一共用多少页？ 【解析】刚才例子是正着问，此题倒着问。
6、边尝试边计算： 一位数：有 9 个，共计用去 9 个数码； 两位数：有 90 个，共需 90 2=180 个数码； 三位数：有 900 个，共需 900 3=2700 个数码； 而此题只有 723 个数码，多于 9+180，小于 9+180+2700，说明数的页数是三位数。 一位数和两位数共计用去 9+180=189 个数码， 还剩 723-189=534 个数码给三位数用，每个三位数用 3 个数码， 则还有 534 3=178 个三位数， 第 178 个三位数是 99+178=277，故本书有 277 页。 例例 8、 一本书的页码， 在印刷时必须用 198 个铅字， 自这一本书的页码中数字
7、 1 出现多少次？ 【解析】一位数和两位数共计用去 9+180=189 个数码， 还剩 198-189=9 个数码给三位数用，每个三位数用 3 个数码， 则还有 9 3=3 个三位数， 第 3 个三位数是 102，故本书有 102 页。 那么本题转化为：一本书有 102 页，问 1 出现多少次？ 即相当于问： 1102 里 1 出现的次数。 数少时可以按由小到大的顺序枚举，即便如此，也很少有孩子能一次想全。 因此，为使计数不重不漏，我们一定要按照一定的顺序枚举。 本题来说最好的枚举顺序我认为是这样的： 最多有 3 位数， 因此，1 如果出现一定是在个位、十位、或百位。 所以我们把个、十、百位的
8、 1 分类计数，然后再相加。 个位 1： 1,11,21,31， 101。有 11 个； 十位 1： 10， 11,12， 19。有 10 个； 百位 1： 100,101,102。有 3 个。 1 出现 24 次。 考点二：计数和数论的综合题考点二：计数和数论的综合题 例例 1、 13998 这些自然数中，有多少个能被 4 整除？ 【解析】最简单的方法是找规律，除以几，数就有几种可能， 如除以 4，余数可能 03，共四种； 连续自然数（或等差数列）除以同一个数余数肯定成周期，周期为除数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 除以 4 余数 1 2 3 0 1 2 3 0 1 周期为 4,399
9、84=9992，余下的 2 个为 1 和 2，因此能被 4 整除的共 999 个。 注意：在这个范围内被 4 整除的和除以 4 余 3 的有 999 个； 除以 4 余 1 的和除以 4 余 2 的都有 999+1=1000 个。 例例 2、 12343998 这些自然数中，有多少个能被 4 整除？ 【解析】 12343998 共有 3998-1234+1=2765 个数。 1234 1235 1236 1237 1238 1239 1240 1241 1242 除以 4 余数 2 3 0 1 2 3 0 1 2 周期为 4,27654=6911，余下的一个是 2，因此能被 4 整除的有 69
10、1 个。 注意：在这个范围内被 4 整除的、除以 4 余 3 以及除以 4 余 1 的有 691 个； 除以 4 余 2 的都有 691+1=692 个。 考点三：计数问题中的乘法原理考点三：计数问题中的乘法原理 加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关。 乘法原理： 一般的， 完成一个任务有 N 步， 第一步有 A 种做法， 第二步有 B 种做法，第三步有 C 种 做法，那么完成这个任务共有 ABC种方法。 例例 1、 从北京到天津有 3 种路线， 从天津到大连有 4 种路线， 那么从北 京经过天津再去大连共有几种路线。 【解析】完成任务分两步，第一步从北京到天津，第二步从天津到大连， 分步用
11、乘法原理， 3 4=12 例例 2、 17 中选 4 个不同数字，组成四位数，共有多少个？ 【解析】组成四位数，需要一位一位的确定各个位上的数字，分四步。 第一步： 17 中选一个数字放到千位，共 7 种； 第二步：从剩下的 6 个数字中选一个数字放到百位，共 6 种； 第三步：从剩下的 5 个数字中选一个数字放到十位，共 5 种； 第四步：从剩下的 4 个数字中选一个数字放到个位，共 4 种； 分步用乘法： 7 6 5 4=840 种。 特殊元素优先排列，特殊位置优先考虑。 例例 3、 17 中选 4 个不同数字，组成四位奇数，共有多少个？ 【解析】特殊位置优先考虑 奇数，末位特殊， 1,3
12、,5,7 共 4 中选择。 第二步：从剩下的 6 个数字中选一个数字放到千位，共 6 种； 第三步：从剩下的 5 个数字中选一个数字放到百位，共 5 种； 第四步：从剩下的 4 个数字中选一个数字放到十位，共 4 种； 分步用乘法： 4 6 5 4=480 种。 考点四：数论中位值原理的应用考点四：数论中位值原理的应用 位值原理是方程工具（代数思想）的一个体现，是将来学习进位制的基础。 如： 1234=1000+200+30+4=1 1000+2 100+3 10+4 1 1 在千这个位置上，它代表的数值是 1 个 1000； 2 在百这个位置上，它代表的数值是 2 个 100； 3 在十这个
13、位置上，它代表的数值是 3 个 10； 4 在个这个位置上，它代表的数值是 4 个 1； 位值原理体现的是一种位置和数值的对应关系。 位值原理的两种展开方式： （ 1）全部展开：如： 1234=1 1000+2 100+3 10+4 1 （ 2）分析题意，根据需要灵活展开：如： 1234=12 100+34 1； 12345=12 1000+345 1； 12345=123 100+45 1； 12345=12 1000+34 10+5 1； 例例 1、 在一个两位数的两个数字中间加一个 0，那么，所得的三位数是原数的 6 倍。求这个两位数。 【解析】 设原来的两位数是 ab，那么新的三位数就
14、是 ab 0 ，新数是原数的 6 倍， 得到方程： ab 0 =6 ab（ a,b 均为整数； 0a9； 0b9） 根据位值原理： ab=10a+b； ab 0 =100a+b； 则 100a+b=6（ 10a+b） 100a+b=60a+6b 40a=5b 8a=b（ 0a9； 0b9） a=1,b=8 原数为 18。 例例 2、 有一个三位数， 个位数字是百位的 2 倍， 百位数字与个位数字之和等于十位数字，若百位数字与 个位数字对换，新数比原数大 198， 求原数。 【解析】只看这一个条件：若百位数字与个位数字对换，新数比原数大 198。 设原数为 abc，则新数为 cba，原数+198
15、=新数 abc+198=cba 100a+10b+c+198=100c+10b+a 198=99c-99a c-a=2 又，个位数字是百位的 2 倍，即 c=2a， 差倍问题， c=4,a=2 又，百位数字与个位数字之和等于十位数字， b=a+c=6 原数为 264 例例 3、 一个三位数，个位数字是 3，如果把原个位数字当百位数字，原十位数字当个位数字，原百位数字 当成十位数字，那么新数比原数小 171，求原数。 【解析】 设原数为 ab3，则新数为 3ab， （ a,b 均为整数； 0a9； 0b9）新数比原数小 171，即： 3ab+171=ab3（ 新数+171=原数） 可以按刚才思路
16、展开，但仔细分析后就会发现 ab 始终作为一个整体出现， 可以用第二种展开方式： 3ab=300+ab， ab3=10ab+3， 3ab+171=ab3 300+ab+171=10ab+3，设 ab=X， 300+X+171=10X+3 X=523 原数为 523。 课堂狙击课堂狙击 1、在 20 和 50 之间有多少个数是 6 的倍数？ 【解析】要想求出从 20 到 50 之间 6 的倍数的个数，根据找一个数倍数的方法，列举出 6 的倍数，然后找 出在 20-50 范围内的即可 6 的倍数有 6、12、18、24、30、36、42、48、54、， 所以在 20 到 50 之间 6 的倍数的个
17、数：24、30、36、42、48，共五个； 答：在 20 和 50 之间有 5 个数是 6 的倍数。 2、在 1 到 1000 之间有多少个数是 4 的倍数？ 【解析】在 1 到 1000 之间有多少个数是 4 的倍数，也就是说 1000 里面有几个 4，用除法直接求出 1000 4=250(个)， 答：在 1 到 1000 之间有 250 个数是 4 的倍 3、从 19 九个数中选取，将 13 写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法？ 【解析】将 13 拆分成两个不同的自然数之和，只要从 19 中分别列举出来即可 因为，13=4+9=5+8=6+7， 又因为和为 13 两个加数交换位置
18、还是同一种写法， 所以只有 3 种不同的写法。 4、将 12 分拆成 3 个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方法？ 【解析】根据分析可得， 12=0+1+11=1+1+10=1+2+9=1+3+8=1+4+7=1+5+6=2+2+8=2+3+7=2+4+6=2+5+5=3+3+6=3+4+5=4+4+4=0+2+ 10=0+3+9=0+4+8=0+5+7， 去掉相同的自然数相加之和：1+1+10，2+2+8，2+5+5，3+3+6，4+4+4； 还剩：175=12(种)； 实战演练 所以，共有 12 种不同的分拆方法。 答：共有 12 种不同的分拆方法。 5、2001 年 5 月的一
19、天，有三批学生去参加助残活动，每批人数不相等，三批人数的乘积正好等于这一天的 日期。想一想，这三批学生最多各有多少人？ 【解析】三个不同的数字中，2、3、4 的乘积是 24； 比 31 小，3、4、5 的乘积比 31 大，那么大概范围就是这几个数字； 只有 2、3、5 的乘积最接近 31；而且比 31 小，所以这三批学生最多是 2 人、3 人和 5 人. 故答案为：2 人；3 人；5 人. 6、将 12 个乒乓球分别标上自然数 1、2、3、12 作为球号，然后放在布袋中，甲、乙、丙三人各从袋中 拿出 4 个球，而且三人各自所拿四个球的球号和都相等。甲的两个球标着 5 和 12，乙的两个球标着
20、6 和 8， 丙的一个球标着 1，问丙的其他三个球上分别标的是多少？ 【解析】12 个乒乓球上的数之和是 12312=78，每人的 4 个球上数之和是 26。 甲另外两球的数之和是 26512=9， 乙另外两球之和是 2668=12， 丙另外三球之和是 261=25。 因为 918=27=36=45， 但是 1、5、6、8 的球都在别人的手中， 所以甲剩下的两球上标有 2 和 7。 又因为 12=111=210=39=48=57，而 1、2、5、7、8 的球已经出现， 所以乙剩下的两球数字是 3、9。那么丙所拿的球是 4、10、11。 7、有三个不同的数字，排列 3 次，组成 3 个三位数，这
21、 3 个三位数相加的和是 768，又知道计算的过程中 没有进位，那么这 3 个数字连乘所得积是多少？ 【解析】因为没有进位，所以三个数字的百位数字之和是 7，十位数字之和是 6，各位数字之和是 8，而在 每个三位数中，原来的三个数字各出现一次，那么有 3 倍的三个数字之和为 768=21，这三个数字的和 为 21 3=7。因为 3 个数字各不相同，所以只能是 1、2、4（不能是 0），它们的积是 1 2 4=8。 课后反击课后反击 1从 1 开始，按照 1、5、9、13的规律往下排，第 100 个数是多少？ 【解析】397 2四张卡片上分别写着 1、9、9、5，用它们组成的四位数中最大与最小的
22、数之和是多少？ 【解析】99511599=11550 3猜谜语比赛，谜语按难易分为两类，每人可以猜三条，每猜对一条较难的谜语得 3 分，每猜对一条较容 易的谜语得 1 分。结果有 8 人得 1 分，7 人得 2 分，6 人得 3 分，5 人得 4 分，4 人得 5 分。问恰好猜对 两条谜语的有多少人？ 【解析】得 1 分的人是猜对一条较易的； 得 2 分的人是猜对两条较易的； 得 3 分的人可能是猜对三条较易的，也可能是猜对一条难的； 得 4 分的人是猜对一条较易的和一条难的； 得 5 分的人是猜对两条较易的和一条难的； 所以恰好猜对两条的有 2 分的，也有 4 分的，共有 75=12 人。
23、4用 5、7、2、0、8，这 5 个数字组成两个五位数，这两个五位数相减的差是 66663。这两个数中较大的 一个数可能是多少？ 【解析】首先两个五位数的首位只能是 8 和 2，个位是 5 和 2 或 0 和 7。 因为两个五位数首位只能是 8 和 2，所以五位数的个位只能是 0 和 7， 其它数位可以类推，8725020587=66663，8752020857=66663。 较大的数可能是 87250 或 87520。 5有两个数，A 的各位数字之和是 35，B 的各位数字之和是 26，两数相加时进位三次，那么 A+B 的各位 数字之和是多少？ 【解析】每进位一次，低位减 10，高位加 1，那么数字和减小 9，现在两位数相加进位 3 次， 则数字和减小 9 3=27。所以 352627=34。 6有一个四位数，去掉千位数字后所得三位数的 15 倍恰好是原来的四位数。求这个四位数？ 【解析】因为后三位数的 14 倍等于千位数字乘以 1000， 只有 7000 是 14 的倍数，所以这个数的千位数字是 7， 后三位 7000 14=500，这个四位数是 7500。 学会综合运用枚举法、乘法原理、位值原理等方法解决数字问题。 本节课我学到了本节课我学到了 我需要努力的地方是我需要努力的地方是 名师点拨 学霸经验
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