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    【精品原创】三年级奥数培优教程讲义第18讲简单列举(教师版)

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    【精品原创】三年级奥数培优教程讲义第18讲简单列举(教师版)

    1、第第 18 讲讲 简单列举简单列举 用列举解决简单实际问题,能不重复、不遗漏的找到符合要求的答案。 发展学生思维的条理性和严密性。 养鸡场的工人,小心翼翼地把鸡蛋从筐里一个一个往外拿,边拿边数筐里的鸡蛋拿光了,有多少个鸡蛋 也就数清了,这种计数的方法就是枚举法。一般地,根据问题要求,一一列举问题,并加以解决,最终达 到解决整个问题的目的。这种分析问题、解决问题的方法,称之为枚举法。运用枚举法解决应用题时,必 须注意无重复、无遗漏。为此必须力求有次序、有规律地进行枚举。 例例 1、从小华家到学校有 3 条路可走,从学校到文峰公园有 4 条路可走。从小华家到文峰公园,有几种不同 的走法? 【解析】

    2、为了帮助理解题意,我们可以画出如上示意图。 我们把小华的不同走法一一列举如下: 根据列举可知,从小明家经学校到文峰公园,走路有 4 种不同走法,走路有 4 种不同走法,走路也 有 4 种不同走法,共有 4 3=12 种不同走法。 典例分析 知识梳理 教学目标 例例 2、用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号,可以组成多少种不同的信号? 【解析】要使信号不同,要求每一种信号颜色的顺序不同,我们可以把这些信号进行列举。 可以看出,红色信号灯排在第一个位置时,有两种不同的信号; 绿色信号灯排在第一个位置时,也有两种不同的信号; 黄色信号灯排在第一个位置时,也有两种不同的信号, 因而共有 3 个 2 种不

    3、同排列方法,即 2 3=6 种。 例例 3、一个长方形的周长是 22 米,如果它的长和宽都是整米数,那么这个长方形的面积有多少种可能? 【解析】由于长方形的周长是 22 米,可知它的长与宽之和为 11 米。 下面列举出符合这个条件的各种长方形: 这个长方形的面积共有 5 种可能。 例例 4、有 4 位小朋友,寒假中互相通一次电话,他们一共打了多少次电话? 【解析】把 4 个小朋友分别编号:A、B、C、D,A 与其他小朋友打电话,应该打 3 次,同样 B 小朋友也应 打 3 次电话,同样 C、D 应该各打 3 次电话。4 个小朋友,共打了 3 4=12 次。但题目要求两个小朋友之间 只要通一次电

    4、话,那么 A 打电话给 B 时,A、B 两人已经通过话了,所以 B 没有必要再打电话给 A,照这 样计算,12 次电话中,有一半是重复计算的,所以实际打电话的次数是 3 4 2=6 次。 例例 5、一条铁路,共有 10 个车站,如果每个起点站到终点站只用一种车票(中间至少相隔 5 个车站),那 么这样的车票共有多少种? 【解析】我们可以利用列举的方法: 如果起点站是 1.那么终点站只能是 7、8、9 或 10; 如果起站站是 2.那么终点站只能是 8、9 或 10; 如果起点站是 3.那么终点站只能是 9 或 10; 如果起点站是 4,终点站只能是 10; 如果起点站是 5、6 时,就找不到与

    5、它至少相隔 5 站的终点站了; 如果起点站是 7,终点站只能是 1; 如果起点站是 8,那么终点站是 2 或 1; 如果起点站是 9,那么终点站是 3、2 或 1; 如果起点站是 10,那么终点站是 4、3、2 或 1。 所以,起点到终点至少相隔 5 个车站的车票有:4321001234=20 种。 例例 6、有一张 5 元、4 张 2 元和 8 张 1 元的人民币,从中取出 9 元钱,共有多少种不同的取法? 【解析】如果不按一定的顺序去思考,就可能出现遗漏或重复的取法。因此,我们可以按照从大到小、从 少到多的顺序,先排 5 元的,再排 2 元的,最后排 1 元的,把可以组成 9 元的情况一一

    6、列举出来。 从上面的列举中可以看出:取 9 元钱共有 7 种不同的取法。 例例 7、有 1、2、3、4 四张数字卡片,每次取 3 张组成一个三位数,可以组成多少个奇数? 【解析】 要组成的数是奇数, 它的个位上应该是 1 或者 3。 当个位是 1 时, 把能组成的三位数一一列举出来: 321,421,231,431,241,341 共 6 个;同样,个位是 3 的三位数也是 6 个,一共能组成 6 2=12 个。 例例 8、在一张圆形纸片中画 10 条直线,最多能把它分成多少小块? 【解析】我们把所画直线的条数和分成的块数列成表进行分析: 112310=56(块) 例例 9、有一张长方形的周长

    7、是 200 厘米,且长和宽都是整数。问:当长和宽是多少时它的面积最大?当长和 宽是多少时,它的面积最小? 【解析】因为长方形的周长 200 厘米,所以,长方形的长宽=100 厘米。由于长和宽都是整数,我们可以 举例观察。可以看出:当长与宽都是 50 厘米时,它的面积最大;当长与宽的差最大,即长 99 厘米,宽 1 厘米时,面积最小。 例例 10、从 1 到 400 的自然数中,数字“2”出现了多少次? 【解析】在 1400 这 400 个数中,“2”可能出现在个位、十位或百位上。 (1)“2”在个位上:2、12、22、92;102、112、122、192;202、212、222、292;302

    8、、 312、392。 共:10 4=40(次) (2)“2”在十位上:20、21、29;120、121、129;220、221、229;320、321、329。 共 10 4=40(次) (3)“2”在百位上:从 200 到 299 共 100 次。 所以,数字“2”出现了 10 4100=180(次)。 课堂狙击课堂狙击 1、在 1 至 100 的奇数中,数字“3”共出现了多少次? 【解析】采用枚举法,并分类计算: “3”在个位上:3,13,23,33,43,53,63,73,83,93 共 10 个; “3”在十位上:31,33,35,37,39 共 5 个; 数字“3”在 1 至 100

    9、 的奇数中出现的总次数:15 次. 2、在 10 至 100 的自然数中,个位数字是 2 或是 7 的数共有多少个? 【解析】枚举法:12,17,22,27,32,37,42,47,52,57,62,67,72,77,82,87,92,97 共 18 个. 实战演练 3、一个长方形的周长是 22 米,如果它的长和宽都是整米数,问: 这个长方形的面积有多少可能值? 面积最大的长方形的长和宽是多少? 【解析】这个长方形的长和宽之和是 22 2=11(米),面积最大的长方形的长是 6 米、宽是 5 米,面积是 30 平方米。长方形周长一定,长和宽越接近,面积越大。这是有名的“等周问题”的特例.: 4

    10、、 一个学生假期往 A、 B、 C 三个城市游览.他今天在这个城市, 明天就到另一个城市.假如他第一天在 A 市, 第五天又回到 A 市.问他的游览路线共有几种不同的方案? 【解析】请看树形图.可见他第五天回到 A 市的不同游览路线共有 6 种,分别是: ABABA ACABA ABACA ACACA ABCBA ACBCA. 5、下图中有 6 个点,9 条线段,一只甲虫从 A 点出发,要沿着某几条线段爬到 F 点.行进中甲虫只能向右、 向下或向右下方运动.问这只甲虫有多少种不同的走法? 【解析】经过 E 点的有 3 条路线,不经过 E 点的有 2 条路线,共有 5 条不同的路线,见下图. 课

    11、后反击课后反击 1、下图中有多少个正方形? 【解析】根据正方形边长的大小,我们将它们分成 4 类。 第 1 类:由 1 个小正方形组成的正方形有 24 个; 第 2 类:由 4 个小正方形组成的正方形有 13 个; 第 3 类:由 9 个小正方形组成的正方形有 4 个; 第 4 类:由 16 个小正方形组成的正方形有 1 个。 24+13+4+1=42 图中有 42 个正方形。 2、在算盘上,用两粒珠子可以表示几个不同的三位数:分别是哪几个数? 【解析】根据两粒珠子的位置,我们可将它们分成 3 类: 第 1 类:两粒珠子都在上档,可以组成 505,550; 第 2 类:两粒珠子都在下档,可以组

    12、成 101,110,200; 第 3 类:一粒在上档,另一粒在下档,可以组成 510,501,150,105,600。 可以表示 101,105,110,150,200,501,505,510,550,600 共 10 个三位数。 3、用数字 7,8,9 可以组成多少个不同的三位数?分别是哪几个数? 【解析】根据百位上数字的不同,我们可以将它们分成三类: 第 1 类:百位上的数字为 7,有 789,798; 第 2 类:百位上的数字为 8,有 879,897; 第 3 类:百位上的数字为 9,有 978,987。 可以组成 789,798,879,897,978,987 共 6 个三位数。 4

    13、、往返于南京和上海之间的沪宁高速列车沿途要停靠常州、无锡、苏州三站。问:铁路部门要为这趟车准 备多少种车票? 【解析】我们可以根据列车的往与反把它们分成两大类(注:为了方便,我们将上述地点简称为宁、常、 锡、苏、沪): 在第一大类中,我们又可以根据乘客乘车时所在起点站的不同分成 4 类。 第 1 类:从宁出发:宁 常,宁 锡,宁 苏,宁 沪,4 种; 第 2 类:从常出发:常 锡,常 苏,常 沪,3 种; 第 3 类:从锡出发:锡 苏,锡 沪,2 种; 第 4 类:从苏出发:苏 沪,1 种。 我们同样可用刚才的方法将回来的车票分类,它的种数与第一大类完全相同。 (4+3+2+1) 2=20(种

    14、) 铁路部门要准备 20 种车票。 5、五个学生友 1,友 2,友 3,友 4,友 5 一同去游玩,他们将各自的书包放在了一处.分手时友 1 带头开了 个玩笑,他把友 2 小朋友的书包拿走了,后来其他的小朋友也都拿了别人的书包.试问在这次玩笑中故意错 拿书包的情形有多少种不同方式? 【解析】数一数,共有 11 种不同的错拿方式. 1、三个连续自然数,由小至大依次分别能被 7、10、13 整除,那么,所有这样的三个自然数组中,最小的 一组是多少? (2012 年第三届启智杯) 【解析】若三个连续自然数,由小至大依次分别能被 7、10、13 整除, 设三个连续自然数分别为 n-2,n-1,由于 n

    15、-1 是 10 的倍数,所以末尾为 0, n-2 末尾为 9,n 末尾为 1,先看 n=13*m,那么 m=1,2,3,4,.? n=13,23,39,., 由于 n 末尾为 1,所以 m=7,17,27,37, 并满足 n-2 末尾为 9,且 n-2 能被 7 整除。 枚举发现只有当 m=47 时满足最小的条件,即 n=611,n-1=610,n-2=609. 用列举法解题时需要掌握以下三点: 1. 列举时应注意有条理的列举,不能杂乱无章地罗列; 2. 根据题意,按范围和各种情况分类考虑,做到既不重复又不遗漏; 3. 排除不符合条件的情况,不断缩小列举的范围。 直击赛场 名师点拨 本节课我学到了本节课我学到了 我需要努力的地方是我需要努力的地方是 学霸经验


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