1、第第 2020 讲讲 最小公倍数最小公倍数 教学目标 掌握倍数和最小公倍数的概念，最小公倍数的求法； 会利用最小公倍数解决实际问题。 一、约数和倍数的定义一、约数和倍数的定义 整数 A 能被整数 B 整除，A 叫做 B 的倍数，B 就叫做 A 的约数（在自然数的范围内）。 如：2 和 6 是 12 的约数，12 是 2 的倍数，12 也是 6 的倍数； 18 的约数有 1、18、2、9、3、6。 注意：一个数的约数个数是有限的，一个数的倍数有无数个。 任何数都有最小的约数 1，最大的约数本身，最小的倍数也是本身。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3 的倍数有：3、6、9、1
2、2其中最小 的倍数是 3 ，没有最大的倍数。 因数和约数的区别：约数必须在整除的前提下才存在，而因数是从乘积的角度来提出的。如果数 a 与数 b 相乘的积是数 c，a 与 b 都是 c 的因数。 二、二、 2 2、3 3 和和 5 5 倍数的特征倍数的特征 2 的倍数的数特征是个位是 0、2、4、6、8，是 2 的倍数的数叫偶数，不是 2 的倍数的数叫奇数 5 的倍数的数特征是个位是 0 或 5 3 的倍数的数特征是一个数各位上的数字的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数 三、质数与合数三、质数与合数 （1）只有 1 和本身两个因数的数叫做质数（或素数） （2）除了 1 和本身外还有其它因
3、数的数叫做合数 （3）1 既不是质数，也不是合数 知识梳理 教学目标 （4）100 以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、 67、71、73、79、83、89、97。 （5）几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数最小公倍数，如 2 的倍数有 2、4、6 、8、10、12、14、16、18 3 的倍数有 3、6、9、12、15、18 其中 6、12、18是 2、3 的公倍数，6 是它们的最小公倍数。 记作记作 2 2,3,3=6=6。 如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就
4、是这两个数的最小公倍数。 如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。 几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。 注注意：最大公约数意：最大公约数 最小公倍数最小公倍数=两数的乘积，两数的乘积， 即（即（a，b） a，b=a b。 考点一：最小公倍数的求法考点一：最小公倍数的求法 例例 1 1、列举法：列举法：求 6 和 10 的最小公倍数。 【解析】先分别写出 6 和 8 各自的倍数，再从中找出公倍数和最小公倍数。 6 的倍数：6 ，12 , 18 ，24 ，30，36，42，48 10 的倍数：10 ，20，30，40，50 所以 6 和 10 的最小公
5、倍数是 30。 例例 2 2、短除法：短除法：求 56 和 24 的最小公倍数。 【解析】 2 56 24 2 28 12 2 14 6 7 3 56 和 24 的最小公倍数是 22273=168 典例分析 例例 3 3、分解质因数法：分解质因数法：求 120 和 100 的最小公倍数 【解析】120=2 2 2 3 5 100=2 2 5 5 120，100=2 2 2 3 5 5=600 例例 4、多个数求最小公倍数：多个数求最小公倍数：求 45、60 和 75 的最小公倍数 【解析】3 45 60 90 3 15 20 30 5 5 20 10 2 1 4 2 1 2 1 45，60，9
6、0=180 （当除到任意两数还有公因数时，则还要继续除下去） 考点二：应用最小公倍数巧算考点二：应用最小公倍数巧算 例例 1、一次数学竞赛均是填空题，小明答错的恰是题目总数的 4 1 ，小亮答错 5 道题，两人都答错的题目占题 目总数的 6 1 ，已知小明、小亮答对的题目数超过了试题总数的一半，则他们都答对的题有多少道 【解析】因小明答错的恰是题目总数的 4 1 ，两人都答错的题目占题目总数的 6 1 ，所以题目的总数应是 4 和 6 的倍数，然后根据小明、小亮答对的题目数超过了试题总数的一半，分情况进行解答。 解：已知题目个数一定是整数设为 X X 是 4 和 6 的倍数 且 6 x 5，X
7、30； 有 2 x X-5，X10； 4 x 5 时，即 X20 时， 所以 X=24； 答：都答对的题有 24-5-6+4=17。 例例 2、某加油站有二位员工，从今年 l 月 1 日起规定：员工甲每工作 3 天后休息 1 天，员工乙每工作 5 天后 休息 2 天，当遇到二人都休息时，必须另聘一位临时工，则今年共有多少天要聘 1 个时工人？ 【解析】甲每到 4 的倍数就休息，而乙每到 7 的倍数和比 7 的倍数少一天都休息因为 4 和 7 的最小公倍数是 28，因为今年是平年，所以在 28 的倍数休息的日子时； 3652815（天），而在比 7 的倍数少一天休息时，甲乙第一次重逢的日子是 第
8、二十天，以后每隔 28 天就共同休息一天，365-20=345（天），3452812（天） 所以甲乙两人共同休息的天数是 15+12+1=28（天） 例例 3、一个植树小组原计划在 96 米长的一段土地上每隔 4 米栽一棵树，并且已经挖好坑。后来改为每隔 6 米栽一棵树。求重新挖树坑时可以少挖几个？（希望杯考题） 【解析】这一段地全长 96 米，从一端每隔 4 米挖一个坑，一共要挖树坑： 96 4+1=25（个） 后来，改为每隔 6 米栽一棵树，原来挖的坑有的正好赶在 6 米一棵的坑位上，可不重新挖。由于 4 和 6 的最小公倍数是 12，所以从第一个坑开始，每隔 12 米的那个坑不必挖。 9
9、6 米中有 8 个 12 米，有 8 个坑是已挖好的，再加上已挖好的第一个坑，一共有 9 个坑不必重新挖。 96 12+1=9（个）答：。重新挖树坑时可以少挖 9 个。 考点三：最小公倍数综合考点三：最小公倍数综合 例例 1、有一些画片，如果平均分给 3 个同学，还余 1 张；如果平均分给 5 个同学，还余 3 张；如果平均分给 4 个同学，则少 2 张这些画片至少有多少张？ 【解析】由于平均分给 3 个同学，还余 1 张则这个数减 1 是 3 的倍数；如果平均分给 5 个同学，还余 3 张 则这个数减 3 是 5 的倍数；如果平均分给 4 个同学，则少 2 张则这个数加 2 是 4 的倍数因
10、此，我们可 从 3，4，5 的最小公倍数入手来分析一下，3，4，5 的最小公倍数为 3 4 6 =60由于是求最小，我们 可从减开始，如果平均分给 4 个同学，则少 2 张，60-2=58，583=191，585=113，所以这个数最 小为 58 解：根据题意可知，这个数减 1 是 3 的倍数，减 3 是 5 的倍数，加 2 是 4 的倍数 3，4，5 的最小公倍数为 3 4 6 =60 60-2=58， 58 3=191， 585=113， 所以这个数最小为 58 例例 2、有一位天文观察家，他观察一颗行星靠近地球的情况是有规律的，只要是年份数除以 10 余数是 5， 且被 3、5、7、9
11、除时，没有余数，从公元 00 年到公元 2000 年时，星球飞近多少次？ 【解析】因为 3、5、7、9 的最小公倍数是：5 7 9=315， 所以 2000 以内，3、5、7、9 的公倍数有：315、630、945、1260、1575、1890； 其中 630、1260、1890 是 10 的倍数，不符合题意； 所以公元 315 年、945 年、1575 年行星靠近地球，即共有 3 次 答：从公元 00 年到公元 2000 年时，星球飞近 3 次 课堂狙击课堂狙击 一、填空一、填空题题 1、30 以内 3 的倍数有（），4 的倍数有（），3 和 4 的公倍数有（），最小公倍数是（）。 【解析】
12、（ 3、6、9、12、15、18、21、24、27、30 ），（ 4、8、12、16、20、24、28 ），（12、24）， （12） 2、在 12、15、36、64、450、950 六个数中，是 3 的倍数有（ ），是 5 的倍数的有（ ），是 2 的倍 数的有（ ）；是 2 和 5 的公倍数的有（），是 2 和 3 的公倍数的有（），是 3 和 5 的公倍数的有（）； 同时是 2、3 和 5 的公倍数的数是（）。 【解析】（12、15、36、450），（15、450、950），（12、36、64、450、950），（450、950），（12、 36、450），（15、450），（450）
13、3、用 0、3、5、7 四个数组成一个同时是 2 和 5 的倍数的四位数，最大是（ ），最小是（ ）。 【解析】（7530），（3570） 4、要使 601既是 2 的倍数，又是 3 的倍数，那么里可以填（ ）。 【解析】（2、5、8） 实战演练 二二、解答题解答题 5、写出每组数的最小公倍数 8 和 10 51 和 3 5 和 4 57 和 19 91 和 7 9 和 1 【解析】40，51，20，57，91，9 6、一个汽车站内有两路公共汽车甲路汽车每隔 4 分钟发出一辆，乙路汽车每隔 6 分钟发出一辆，至少每 隔多少分钟，两路汽车会同时发车？ 【解析】4 和 6 的最小公倍数为 12，
14、如果每天两车首发为同一时间的话，则两车至少每隔 12 分钟会同时发车。 7、一排路灯，原来每两盏之间的距离是 30 米，现在改用 50 米，如果起点的一盏路灯不动，至少再隔多少 米又有一盏不必移动？ 【解析】因为 30 和 50 的最小公倍数是 150， 所以至少再隔 150 米又有一盏不必移动； 答：至少再隔 150 米又有一盏不必移动 8、有一批水果，总数在 1000 个以内。如果每 24 个装一箱，最后一箱差 2 个；如果每 28 个装一箱，最后 一箱还差 2 个；如果每 32 个装一箱，最后一箱只有 30 个。这批水果共有多少个？ 【解析】根据题意可知，这批水果再增加 2 个后，每 2
15、4 个装一箱，每 28 个装一箱或每 32 个装一箱都能装 整箱数，也就是说，只要把这批水果增加 2 个，就正好是 24、28 和 32 的公倍数。我们可以先求出 24、28 和 32 的最小公倍数 672，再根据“总数在 1000 以内”确定水果总数。 24，28，32=672 6722=670（个） 即：这批水果共有 670 个。 课课后反后反击击 一一、判断、判断题题 1、一个数最小的倍数与它最大的因数相等。 （） 2、两个质数的最小公倍数是它们的乘积。 （） 【解析】， 二二、选择、选择题题 3、a 是一个质数，则 a 的倍数有（）个 A、1 个 B、2 个 C、无数个 4、如果 b
16、是一个整数，那么 2b 一定是（） A、合数 B、偶数 C、素数 【解析】C，B 三、三、解答题解答题 5、甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次。甲 3 天去一次，乙 4 天去一次，丙 5 天去 一次。有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？ 【解析】从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会，相隔的天数应该是 3、4、5 的最小公倍数。因为 3、 4、5 的最小公倍数是 60,所以至少再过 60 天他们三人又在图书馆相会。 6、两个数的最大公约数是 9，最小公倍数是 90，求这两个数分别是多少？ 【解析】9 和 90 或 18 和 45。 7、
17、一块砖长 20 厘米，宽 12 厘米，厚 6 厘米。要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块？ 【解析】把若干个长方体叠成正方体，它的棱长应是长方体长、宽、高的公倍数。现在要求长方体砖块最 少，它的棱长应是长方体长、宽、高的最小公倍数，求出正方体棱长后，再根据正方体与长方体体积之间 的关系就能求出长方体砖的块数。答案：150 块 8、甲每秒跑 3 米，乙每秒跑 4 米，丙每秒跑 2 米，三人沿 600 米的环形跑道从同一地点同时同方向跑步， 经过多少时间三人又同时从出发点出发？ 【解析】甲跑一圈需要 600 3=200 秒，乙跑一圈需要 600 4=150 秒，丙跑一圈需要 600 2=300 秒
18、。要使三 人再次从出发点一齐出发，经过的时间一定是 200、150 和 300 的最小公倍数。200、150 和 300 的最小公倍 数是 600，所以，经过 600 秒后三人又同时从出发点出发。 1、 倍数和最小公倍数的概念，最小公倍数的求法； 2、利用最小公倍数解决实际问题。 1、解答与公因数或公倍的应用题，关键是先求出最大公因数或最小公倍数，然后按题意解答要求的问题。 最小公倍数的应用题，解题方法比较独特。当有些题中所求的数不正好是已知数的最小公倍数时，我们可 以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法，使问题转换成已知数的最小公倍数，从而求出结果。 2、几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。 自然数 a、b 的最小公倍数可以记作a、b，当（a、b）=1 时，a、b= a b。 两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系： 最大公约数 最小公倍数=两数的乘积 即（a、b） a、b= a b 要解答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知条件，对问题作全面的分析，若要求的数对已 知条件来说，是处于被除数的地位，通过就是求最小公倍数，解题时要避免和最大公约数问题混淆。 本节课我学到 学霸经验 名师点拨 重点回顾 我需要努力的地方是
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