1、第第 28 讲讲 简单列举简单列举 用列举解决简单实际问题，能不重复、不遗漏的找到符合要求的答案。 发展学生思维的条理性和严密性。 养鸡场的工人，小心翼翼地把鸡蛋从筐里一个一个往外拿,边拿边数筐里的鸡蛋拿光了，有多少个鸡蛋 也就数清了，这种计数的方法就是枚举法。一般地，根据问题要求，一一列举问题，并加以解决，最终达 到解决整个问题的目的。这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法。运用枚举法解决应用题时，必 须注意无重复、无遗漏。为此必须力求有次序、有规律地进行枚举。 例例 1、从小华家到学校有 3 条路可走，从学校到文峰公园有 4 条路可走。从小华家到文峰公园，有几种不同 的走法？ 【解析】
2、为了帮助理解题意，我们可以画出如上示意图。 我们把小华的不同走法一一列举如下： 典例分析 知识梳理 教学目标 根据列举可知，从小明家经学校到文峰公园，走路有 4 种不同走法，走路有 4 种不同走法，走路也 有 4 种不同走法，共有 4 3=12 种不同走法。 例例 2、用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？ 【解析】要使信号不同，要求每一种信号颜色的顺序不同，我们可以把这些信号进行列举。 可以看出，红色信号灯排在第一个位置时，有两种不同的信号； 绿色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号； 黄色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号， 因而共有 3 个 2 种不
3、同排列方法，即 2 3=6 种。 例例 3、一个长方形的周长是 22 米，如果它的长和宽都是整米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？ 【解析】由于长方形的周长是 22 米，可知它的长与宽之和为 11 米。 下面列举出符合这个条件的各种长方形： 这个长方形的面积共有 5 种可能。 例例 4、有 4 位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次电话？ 【解析】把 4 个小朋友分别编号：A、B、C、D，A 与其他小朋友打电话，应该打 3 次，同样 B 小朋友也应 打 3 次电话，同样 C、D 应该各打 3 次电话。4 个小朋友，共打了 3 4=12 次。但题目要求两个小朋友之间 只要通一次电
4、话，那么 A 打电话给 B 时，A、B 两人已经通过话了，所以 B 没有必要再打电话给 A，照这 样计算，12 次电话中，有一半是重复计算的，所以实际打电话的次数是 3 4 2=6 次。 例例 5、一条铁路，共有 10 个车站，如果每个起点站到终点站只用一种车票（中间至少相隔 5 个车站），那 么这样的车票共有多少种？ 【解析】我们可以利用列举的方法： 如果起点站是 1.那么终点站只能是 7、8、9 或 10； 如果起站站是 2.那么终点站只能是 8、9 或 10； 如果起点站是 3.那么终点站只能是 9 或 10； 如果起点站是 4，终点站只能是 10； 如果起点站是 5、6 时，就找不到与
5、它至少相隔 5 站的终点站了； 如果起点站是 7，终点站只能是 1； 如果起点站是 8，那么终点站是 2 或 1； 如果起点站是 9，那么终点站是 3、2 或 1； 如果起点站是 10，那么终点站是 4、3、2 或 1。 所以，起点到终点至少相隔 5 个车站的车票有：4321001234=20 种。 例例 6、有一张 5 元、4 张 2 元和 8 张 1 元的人民币，从中取出 9 元钱，共有多少种不同的取法？ 【解析】如果不按一定的顺序去思考，就可能出现遗漏或重复的取法。因此，我们可以按照从大到小、从 少到多的顺序，先排 5 元的，再排 2 元的，最后排 1 元的，把可以组成 9 元的情况一一
6、列举出来。 从上面的列举中可以看出：取 9 元钱共有 7 种不同的取法。 例例 7、有 1、2、3、4 四张数字卡片，每次取 3 张组成一个三位数，可以组成多少个奇数？ 【解析】 要组成的数是奇数， 它的个位上应该是 1 或者 3。 当个位是 1 时， 把能组成的三位数一一列举出来： 321，421，231，431，241，341 共 6 个；同样，个位是 3 的三位数也是 6 个，一共能组成 6 2=12 个。 例例 8、在一张圆形纸片中画 10 条直线，最多能把它分成多少小块？ 【解析】我们把所画直线的条数和分成的块数列成表进行分析： 112310=56（块） 例例 9、有一张长方形的周长
7、是 200 厘米，且长和宽都是整数。问：当长和宽是多少时它的面积最大？当长和 宽是多少时，它的面积最小？ 【解析】因为长方形的周长 200 厘米，所以，长方形的长宽=100 厘米。由于长和宽都是整数，我们可以 举例观察。可以看出：当长与宽都是 50 厘米时，它的面积最大；当长与宽的差最大，即长 99 厘米，宽 1 厘米时，面积最小。 例例 10、从 1 到 400 的自然数中，数字“2”出现了多少次？ 【解析】在 1400 这 400 个数中，“2”可能出现在个位、十位或百位上。 （1）“2”在个位上：2、12、22、92；102、112、122、192；202、212、222、292；302
8、、 312、392。 共：10 4=40（次） （2）“2”在十位上：20、21、29；120、121、129；220、221、229；320、321、329。 共 10 4=40（次） （3）“2”在百位上：从 200 到 299 共 100 次。 所以，数字“2”出现了 10 4100=180（次）。 课堂狙击课堂狙击 1、在 1 至 100 的奇数中，数字“3”共出现了多少次？ 【解析】采用枚举法，并分类计算： “3”在个位上：3，13，23，33，43，53，63，73，83，93 共 10 个； “3”在十位上：31，33，35，37，39 共 5 个； 数字“3”在 1 至 100
9、 的奇数中出现的总次数：15 次. 2、在 10 至 100 的自然数中，个位数字是 2 或是 7 的数共有多少个？ 【解析】枚举法：12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，62，67，72，77，82，87，92，97 共 18 个. 实战演练 3、一个长方形的周长是 22 米，如果它的长和宽都是整米数，问： 这个长方形的面积有多少可能值？ 面积最大的长方形的长和宽是多少？ 【解析】这个长方形的长和宽之和是 22 2=11（米），面积最大的长方形的长是 6 米、宽是 5 米，面积是 30 平方米。长方形周长一定，长和宽越接近，面积越大。这是有名的“等周问题”的特例.： 4
10、、 一个学生假期往 A、 B、 C 三个城市游览.他今天在这个城市， 明天就到另一个城市.假如他第一天在 A 市， 第五天又回到 A 市.问他的游览路线共有几种不同的方案？ 【解析】请看树形图.可见他第五天回到 A 市的不同游览路线共有 6 种，分别是： ABABA ACABA ABACA ACACA ABCBA ACBCA. 5、下图中有 6 个点，9 条线段，一只甲虫从 A 点出发，要沿着某几条线段爬到 F 点.行进中甲虫只能向右、 向下或向右下方运动.问这只甲虫有多少种不同的走法？ 【解析】经过 E 点的有 3 条路线，不经过 E 点的有 2 条路线，共有 5 条不同的路线，见下图. 课
11、后反击课后反击 1、下图中有多少个正方形？ 【解析】根据正方形边长的大小，我们将它们分成 4 类。 第 1 类：由 1 个小正方形组成的正方形有 24 个； 第 2 类：由 4 个小正方形组成的正方形有 13 个； 第 3 类：由 9 个小正方形组成的正方形有 4 个； 第 4 类：由 16 个小正方形组成的正方形有 1 个。 24+13+4+1=42 图中有 42 个正方形。 2、在算盘上，用两粒珠子可以表示几个不同的三位数：分别是哪几个数？ 【解析】根据两粒珠子的位置，我们可将它们分成 3 类： 第 1 类：两粒珠子都在上档，可以组成 505，550； 第 2 类：两粒珠子都在下档，可以组
12、成 101，110，200； 第 3 类：一粒在上档，另一粒在下档，可以组成 510，501，150，105，600。 可以表示 101，105，110，150，200，501，505，510，550，600 共 10 个三位数。 3、用数字 7，8，9 可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？ 【解析】根据百位上数字的不同，我们可以将它们分成三类： 第 1 类：百位上的数字为 7，有 789，798； 第 2 类：百位上的数字为 8，有 879，897； 第 3 类：百位上的数字为 9，有 978，987。 可以组成 789，798，879，897，978，987 共 6 个三位数。 4
13、、往返于南京和上海之间的沪宁高速列车沿途要停靠常州、无锡、苏州三站。问：铁路部门要为这趟车准 备多少种车票？ 【解析】我们可以根据列车的往与反把它们分成两大类（注：为了方便，我们将上述地点简称为宁、常、 锡、苏、沪）： 在第一大类中，我们又可以根据乘客乘车时所在起点站的不同分成 4 类。 第 1 类：从宁出发：宁 常，宁 锡，宁 苏，宁 沪，4 种； 第 2 类：从常出发：常 锡，常 苏，常 沪，3 种； 第 3 类：从锡出发：锡 苏，锡 沪，2 种； 第 4 类：从苏出发：苏 沪，1 种。 我们同样可用刚才的方法将回来的车票分类，它的种数与第一大类完全相同。 （4+3+2+1） 2=20（种
14、） 铁路部门要准备 20 种车票。 5、五个学生友 1，友 2，友 3，友 4，友 5 一同去游玩，他们将各自的书包放在了一处.分手时友 1 带头开了 个玩笑，他把友 2 小朋友的书包拿走了，后来其他的小朋友也都拿了别人的书包.试问在这次玩笑中故意错 拿书包的情形有多少种不同方式？ 【解析】数一数，共有 11 种不同的错拿方式. 1、三个连续自然数，由小至大依次分别能被 7、10、13 整除，那么，所有这样的三个自然数组中，最小的 一组是多少？ (2012 年第三届启智杯) 【解析】若三个连续自然数，由小至大依次分别能被 7、10、13 整除， 设三个连续自然数分别为 n-2，n-1，由于 n
15、-1 是 10 的倍数，所以末尾为 0， n-2 末尾为 9，n 末尾为 1，先看 n=13*m，那么 m=1,2,3,4,.? n=13,23,39,.， 由于 n 末尾为 1，所以 m=7,17,27,37， 并满足 n-2 末尾为 9，且 n-2 能被 7 整除。 枚举发现只有当 m=47 时满足最小的条件，即 n=611，n-1=610，n-2=609. 用列举法解题时需要掌握以下三点： 1. 列举时应注意有条理的列举，不能杂乱无章地罗列； 2. 根据题意，按范围和各种情况分类考虑，做到既不重复又不遗漏； 3. 排除不符合条件的情况，不断缩小列举的范围。 直击赛场 名师点拨 本节课我学到了本节课我学到了 我需要努力的地方是我需要努力的地方是 学霸经验
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