1、第第 16 讲讲 定义新运算定义新运算 学会理解新定义的内容； 理解新定义内容的基础上能够解决用新定义给出的题目； 学会自己总结解题技巧。 一、一、 知识概念知识概念 1、 定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。 注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数 值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。 （2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、 、等来表示的一种运算。 （3）新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算 定律的。 2、一般的解题步骤是
2、: 一是认真审题，深刻理解新定义的内容； 二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号； 三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。 例例 1、对于任意数 a，b，定义运算“*”： a*b=a b-a-b。 求 12*4 的值。 【解析】根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。 12*4=12 4-12-4=48-12-4=32 例例 2、假设 a b = ( a + b ) b 。求 8 5 。 典例分析 知识梳理 教学目标 【解析】该题的新运算被定义为: a b 等于两数之和除以后一个数的商。这里要先算括号里面的和，再算 后面的商。这里 a 代表数字 8，b 代表数字 5。 8 5 =
3、（8 + 5） 5 = 2.6 例例 3、如果 ab=a b-(a+b)。求 6（92）。 【解析】根据定义，要先算括号里面的。这里的符号“”就是一种新的运算符号。 6（92） =69 2-（9+2） =67 =6 7-（6+7） =42-13 =29 例例 4、如果 13=1+11+111；25=2+22+222+2222+22222；82=8+88。 求 65。 【解析】仔细观察发现“”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位数，二位数，三位 数，“”后面的数字是几，就有几个加数。因此可以按照这个规律进行解答。 65=6+66+666+6666+66666=74070 例例 5、
4、如果规定2=1 2 3，3=2 3 4，4=3 4 5， 计算（ 2 1 - 3 1 ） 3 2 。 【解析】该题看上去比较复杂，但仔细观察，我们可以发现，该题被定义为X=（X-1） X （X+1）。由 于把数代入算式中计算比较麻烦，我们可以先化简算式后，再计算。 （ 2 1 - 3 1 ） 3 2 = 2 1 3 2 - 3 1 3 2 = 3 1 - 3 1 3 2 = 3 1 （1- 3 2 ） = 432 1 （1- 432 321 ） = 432 1 （1- 4 1 ） = 432 1 4 3 = 32 1 例例 6、规定 ab=5a+ 2 1 ab-3b。求（85）X=264 中的
5、未知数。 【解析】根据新定义，应该先计算括号里面的，再计算括号外面的，然后解方程即可。 （85）X=264 （5 8 + 2 1 8 5-3 5）X=264 45X=264 5 45+ 2 1 45 X-3X=264 225+ 2 45 X- 2 6X =264 225+ 2 39 X=264 2 39 X=39 X=2 课堂狙击 1、A，B 表示两个数，定义 A B 表示(A+B) 2， 求(1)(3 17) 29； (2)(1 9) 9 6。 【解析】定义新运算符号“ ”表示 A B=(A+B) 2，即两个数做“ ”运算就是求这两个数的平均值。如：3 17=(3+17) 2=10，再用 1
6、0 与 29 做运算，10 29=(10+29) 2=19.5 (1)原式=(3+17) 2 29 (2)原式=(1+9) 2 9 6 =20 2 29 =5 9 6 =10 29 =(5+9) 2 6 =(10+29) 2 =7 6 实战演练 =39 2 =(7+6) 2 =19.5 =6.5 2、A，B 表示两个数，定义 A*B=2 A-B。试求： (1)(8.5 6.9)*5 (2)(119.8-29.8)*(13.65+12.35) 【解析】定义新运算符号“*”表示 A*B=2 A-B，即前面数的两倍与后面数之差；所以 （1）原式=2 （8.5 6.9）-5 =17 6.9-5 =11
7、7.3-5 =112.3 3、已知 a，b 是任意自然数，我们规定：ab ab1,2abab,那么4(68)(35)？ 【解析】原式4(68 1)(3 52)41313 413 13 1425425298。 4、M N表示()2,(2008 2010)2009MN_ 【解析】原式200820102 *20092009*20092009200922009 。 5、已知 2*3=2+22+222=246，3*4=3+33+333+3333=3702. 求:(1)3*3；(2)4*5；(3)若 1*x=123，求 x. 【解析】观察两个已知等式可以发现，“*”定义的是连加运算，第一个加数是“*”前边
8、的数，且后一个加数都 比前一个加数多一位，但数字相同，而“*”后边的数恰好是加数的个数。 （1）3*3=3+33+333=369 （2）4*5=4+44+444+4444+44444=49380 （3）提示：因为 1* x=1+11+111+=123 所以倒着算：123-1=122 122-11=111 111-111=0 即：1+11+111=1*3=123 从而可知 x=3 6、已知 5 3=5 6 7，3 6=3 4 5 6 7 8，按此规定计算： （1）（4 3）+（6 2） （2）（3 2） （4 3） 【解析】观察两个已知等式可以发现，“ ”定义为由前面的数开始称后面数一次加 1，
9、相乘个数为“ ”之后 （2）原式=90*26 =290-26 =180-26 =154 的数字。 （1）原式=4 5 6+6 7=120+42=162 （2）原式=（3 4） （4 5 6） =12 120 =1440 7、设 AB=2 （A+B）-2 （A B）， 计算：（1）（124）13； （2）70（184）。 【解析】观察已知等式可知：“”定义表示的是两个数和的 2 倍与商的 2 倍的差。如：124=2 （12+4）- 2 （12 4）=26 （1）原式=2 （12+4）-2 （12 4） 13 =2 16-2 3 13 =2613 =2 （26+13）-2 （26 13） =2 3
10、9-2 2 =78-4 =74 （2）原式=702 （18+4）-2 （18 4） =702 22-2 4.5 =7035 =2 (70+35)-2 (70 35) =206 8、规定 ab=(a+b) (a-b)，按此规定计算: (1)2115 (2)(189) 2 【解析】观察已知等式可以发现，“”定义为两数之和与两数只差的商，即 ab=(a+b) (a-b)；所以有 （1）原式=（21+15） （21-15） =36 6 =6 9、小辉用电脑设计了 A，B，C，D 四种装置，将一个数输入一种装置后，会输出另一个数.装置 A:将输入 的数加上 5；装置 B:将输入的数除以 2；装置 C:将
11、输入的数减去 4；装置 D:将输入的数乘 3.这些装置可以连 接，如果装置 A 后面连接装置 B，就写成 A B，输入 1 后，经过 A B 输出了 3.那么，输入 9，经过 A B C D （2）原式=（18+9）（18-9）2 =32 =（3+2）（3-2） =5 输出几? 【解析】A B C D=(9+5) 2-4 3=9 所以输出的是 9 课堂反击 1、定义新运算为 a b（a1） b，求的值。6 （3 4）。 【解析】所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。 由 a b（a1） b 得，3 4（31） 44 41；6 （3 4）6 1（61） 17。 2、P、Q表示数，*P
12、Q表示 2 PQ ，求 3*(6*8) 【解析】 6837 3*(6*8)3*()3*75 22 。 3、如果&10abab,那么2&5 。 【解析】2&525 102.5。 4、如果 ab 表示32ab,例如 45=3 4-2 5=2,那么,当 x5 比 5x 大 5 时, x 。 【解析】根据题意 x55x(3x2 5)(3 52x)5x25,由 5x255,解得 x6. 5、对于任意的两个自然数a和b，规定新运算：(1)(2)(1)a ba aaab，其中a、b表示自然数. 如果(3) 23660x，那么x等于几？ 【解析】方法一：由题中所给定义可知，b为多少，则就有多少个乘数。3660
13、6061，即：6023660， 则360x；60345，即 3360,所以3x 。 方法二：可以先将（x3）看作一个整体y，那么就是y23660，y2(1)366060 61y y，所以 60y ，那么也就有 x360，60345，即 3360，所以x3。 6、对于非零自然数 a 和 b，规定符号的含义是：ab 2 mab ab （m 是一个确定的整数）。如果 14 23，那么 34 等于_。 【解析】根据 14=23，得到 1423 2 1 42 2 3 mm ，解出 m6。所以， 6 3411 34 2 3 412 。 7、对于数dcba、，规定，2abcd，已知7，求 x 的值。 【解析
14、】根据新定义的算式，列出关于 x 的等式，解出 x 即可。将 1、3、5、x 代入新定义的运算得：2 1 3 5x1x，又根据已知7，故 1x7，x6。 8、规定:62=6+66=72 23=2+22+222=246, 14=1+11+111+1111=1234，75=？ 【解析】75=7+77+777+7777+77777=86415。 9、规定ab(2)(1)aaab, 计算：（2 1）（11 10）_。 【解析】这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦，需要套用 10 次，然后再求和。但是我们注意到要求的 10 项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中 ba1，所以，我们不妨把 ba1
15、 代入原定义 a b(2)(1)aaab就变成了 a b(2)(1)(1)aaaa 2 a， 所以 2 1 2 2， 3 2 2 3， ， 3 2 2 11，则原式 2 2 2 3 2 4 2 11 11 1223 1505 6 。 1、规定运算“”，a是b的倍数时，abab1；b是a的倍数时，abba1；a不是b 的倍数时，b也不是a的倍数时，ab13， 根据上面的规定， 计算1426626296286 。 【解析】1426626296286 （266 141）26296286 2026296286 13296286 13286 286 131 23 2、定义新运算：ab5amb，其中a，b
16、是任意两个不同的数，m为常数，如275 27m， （1）已知2319，则35 ，53 ，（2）当时m ，该运算满足交换律。 【解析】（1）先求新运算中的常数m。因为235 23m10m319，解得m3，所以定义的 直击赛场 新运算是ab5ab3，于是355 33 530，535 53 334。 （2）要使该运算满足交换律，即abba，根据新运算的定义，有ab5amb，ba 5bma，所以5amb5bma，即5ab5mbma ，m5，因此当m5时，该运算满足 交换律。 3、定义新运算，使它的运算规则是：xyxyxy，按此规则计算：42.5 ，2.54 。 【解析】42.54 2.54 2.5101.68.4。 4、对于数a和b，规定运算如下：abba34 ，请比较： 5.12.3 2.35.1。(填“”、“”或“”) 【解析】5.12.34 5.13 2.320.46.927.3。 2.35.14 2.33 5.19.215.324.5。所以 5.12.3 2.35.1。 新定义运算注意的问题: (1)新定义运算一般不满足运算定律 如:a bb a a (b c) (a b) c (a*b) c(a c)*(b c) (2)“+”“-”“”“”仍然是通常的运算符号，完全符合四则运算顺序. 本节课我学到了 名师点拨 学霸经验 我需要努力的地方是
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