1、 第第 0909 讲讲 比的应用比的应用 教学目标 能运用比的意义解决按照一定的比进行分配的实际问题； 进一步体会比的意义，感受比在生活中的广泛应用，提高解决问题的能力。 在学生学习了比与分数的联系，已掌握简单分数乘、除法应用题数量关系的基础上，把在学生学习了比与分数的联系，已掌握简单分数乘、除法应用题数量关系的基础上，把 比的知识应用于解决相关的实际问题的一个课例，掌握了按比分配的解题方法，不仅能有效比的知识应用于解决相关的实际问题的一个课例，掌握了按比分配的解题方法，不仅能有效 地解决生活、工作中把一个数量按照一定的比进行分配的问题，也为以后学习地解决生活、工作中把一个数量按照一定的比进行
2、分配的问题，也为以后学习“比例比例”“”“比比 例尺例尺”奠定了基础。奠定了基础。 比是反映数量关系的一种常见形式，也是解数学题的一种重要工具，有了它，我们处理比是反映数量关系的一种常见形式，也是解数学题的一种重要工具，有了它，我们处理 倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。在这一讲，我们讲探讨稍复杂的比是应用题。倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。在这一讲，我们讲探讨稍复杂的比是应用题。 考点一：简单的数比的应用考点一：简单的数比的应用 我们已经学过比的知识， 都知道比和分数、 除法其实是一回事， 所有比与分数能互相转化。 运用这种方法解决一些实际问题可以化难为易，化繁为简。 例例 1
3、 1、甲数是乙数的 2/3，乙数是丙数的 4/5，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。 【解析】甲、乙两数的比 ： 2：3 乙、丙两数的比 ： 4：5 甲、乙、丙三数的比 8：12：15 答：甲、乙、丙三数的比是 8：12：15。 典例分析 知识梳理 教学目标 例例 2 2、光明小学将五年级的 140 名学生，分成三个小组进行植树活动，已知第一小组和第二小 组人数的比是 2：3，第二小组和第三小组人数的比是 4：5。这三个小组各有多少人？ 【解析】先求出三个小组人数的连比，再按求出的连比进行分配。 一、二两组人数的比 2：3 二、三两组人数的比 4：5 一、二、三组人数的比 8：12：
4、15 总份数：8+12+1535 第一组：1408/3532（人） 第二组：14012/3548（人） 第三组：14015/3560（人） 答：第一小组有 32 人，第二小组有 48 人，第三小组有 60 人。 例例 3 3、甲、乙两校原有图书本数的比是 7：5，如果甲校给乙校 650 本，甲、乙两校图书本数的 比就是 3：4。原来甲校有图书多少本？ 【解析】由甲、乙两校原有图书本数的比是 7：5 可知，原来甲校图书的本数是两校图书总数 的 57 7 ，由于甲校给了乙校 650 本，这时甲校的图书占两校图书总数的 43 3 ，甲校给乙校的 650 本图书，相当于两校图书总数的 57 7 43
5、3 84 13 。即： 650（ 57 7 43 3 ） 57 7 2450（本） 答：原来甲校有图书 2450 本。 例例 4 4、从前有个农民，临死前留下遗言，要把 17 头牛分给三个儿子，其中大儿子分得 1/2，二 儿子分得 1/3，小儿子分得 1/9，但不能把牛卖掉或杀掉。三个儿子按照老人的要求怎么也不 好分。后来一位邻居顺利地把 17 头牛分完了，你知道这到底是怎么回事吗？ 【解析】因为 1/2+1/3+1/917/18，17/181，就是说三兄弟并未将全部牛分完，所以我们 求出三个儿子分牛头数的连比，最后再按比例分配。 三个儿子分牛头数的连比：1/2：1/3：1/99：6：2 总份
6、数：9+6+217 三个儿子各分得牛的头数：179/179（头）176/176（头）172/172 （头） 答：大儿子分得 9 头，二儿子分得 6 头，小儿子分得 2 头。 例例 5 5、两个相同的瓶子装满酒精溶液。一个瓶中酒精与水的体积之比是 3：1，另一个瓶中酒精 与水的体积之比是 4：1。若把两瓶酒精溶液混合，混合液中酒精与水的体积之比是多少？ 【解析】抓住两个瓶子相同的关系，分别求出每个瓶中的酒精占瓶子容积的几分之几再解答。 一个瓶中酒精占瓶子容积的比： 3/（1+3） 3/4 另一个瓶中酒精占瓶子容积的比： 4/（1+4） 4/5 两瓶子里的酒精占一个瓶子容积的比： 3/4+4/5
7、31/20 水占一个瓶子容积的比： 231/20 9/20 混合液中酒精与水的比 31/20：9/2031：9 答：混合液中酒精与水的比是 31：9。 考点二：用比解应用题考点二：用比解应用题 比是反映数量关系的一种常见形式，也是解数学题的一种重要工具，有了它，我们处理倍 数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。 例例 1 1、甲、乙两个学生放学回家，甲要比乙多走 1/5 的路，而乙走的时间比甲少 1/11，求甲、 乙两人速度的比。 【解析】因为 速度路程时间，所以，甲、乙速度的比 甲时间 甲路程 ： 乙时间 乙路程 （1）甲、乙路程的比：（1+1/5）：16：5 （2）甲、乙时间的比：1：（1
8、1/11）11：10 （3）甲、乙速度的比：6/11：5/10=12：11 答：甲、乙速度的比是 12：11。 例例 2 2、制造一个零件，甲需 6 分钟，乙需 5 分钟，丙需 4.5 分钟。现在有 1590 个零件的制造 任务分配给他们三个人，要求在相同的时间内完成，每人应该分配到多少个零件？ 【解析】先求出工作效率的比，然后根据同一时间内，工作总量的比等于工作效率的比进行解 答。 甲、乙、丙工作效率的比： 1/6：1/5：1/1.515：18：20 总份数：15+18+2053 甲 ：159015/53450（个） 乙：159018/53540（个） 丙：159020/53600（个） 答
9、：甲、乙、丙分配到的零件分别是 450 个、540 个、600 个。 例例 3 3、两个服装厂一个月内生产服装的数量是 6：5，两厂西服价格的比是 11：10。已知两厂 这个月内总产值为 6960 万元。两厂的产值各是多少万元？ 【解析】因为产值价格产量，所以 甲产值：乙产值（甲价格甲产量）：（乙价格乙产量） 两厂的产值比为：（116）：（105）66：50 甲厂产值为：696066/（66+50）3960（元） 乙厂产值为：696050/（66+50）3000（元） 答：两厂的产值分别是 3960 万元和 3000 万元。 例例 4 4、A、B 两种商品的价格比是 7：3。如果它们的价格分别
10、上涨 70 元，它们的价格比就是 7： 4，这两种商品原来的价格各是多少元？ 【解析】解法一：因为 A、B 两种商品涨价的数值相同，所以涨价后两种商品价格差不变。由 于价格差不变， 所以价格差对应的份数也应该相同。 原价格比7：321：9 现价格比7：428：16 【这样前后项的差都是 12，价格涨了（2821）7 份，是 70 元】 70（2821）10 元 A：1021210（元） B：10990（元） 解法二：由于两种商品的价格不变，选两种商品的价格差做单位“1“进行解答。 （1）原来 A 商品的几个是价格差的几倍 7（73）7/4 （2）后来 A 商品的价格是价格差的几倍 7（74）7
11、/3 （3）A、B 两种商品的价格差是 70（7/37/4）120（元） （4）原来 A 商品的价格是 120（73）7210（元） （5） 原来 B 商品的价格是 120（73）390（元） 答：A、B 两种商品原来的价格分别是 210 元和 90 元。 例例 5 5、如图是甲、乙、丙三地的线路图，已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路程比是 1：2。 王刚以每小时 4 千米的速度从甲地步行到丙地，李华同时以每小时 10 千米的速度从乙地骑自 行车去丙地，他比王刚早 1 小时到达丙地。甲、乙两地相距多少千米？ 【解析】解法一：根据路程的比和速度的比求出时间的比，从而求出王刚和李华所用的时间，
12、再求出各自所走的路程。 王刚和李华所用时间的比 1/4：2/105：4 王刚所用的时间 1（54）55（小时） 甲地到丙地的路程 4520（千米） 甲、乙两地的路程 20（1+2）60（千米） 解法二：如果李华每小时行 428 千米，他将与王刚同时到达丙地。现在他每小时 多行 1082 千米。在王刚从甲地到丙地的这段时间内，李华比应行的路程多行了 101 10 千米。据此，可求出王刚从甲地到丙地的时间。 王刚从甲地到丙地的时间 10 1（1042）5（小时） 甲、乙两地的路程 45（1+2）60（千米） 解法三：如果王刚每小时行 1035 千米，就能和李华同时到达。由此可见，王刚 走完甲地到丙
13、地的路程，用每小时 4 千米的速度和每小时 5 千米的速度相比，所用的时间相差 1 小时。再根据 1 千米的路程，两种速度所用的时间相差 1/41/5 1/20 小时。最后求出甲 地到丙地的路程。 甲地到丙地的路程 1（1/41/（102）20（千米） 甲、乙两地的路程 20（1+2）60（千米） 答：甲、乙两地相距 60 千米。 课堂狙击课堂狙击 1、甲数是乙数的 4/5，乙数是丙数的 5/8，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。 【解析】因为甲数：乙数=4：5， 乙数：丙数=5：8； 所以甲：乙：丙=4：5：8； 故答案为：4：5：8 实战演练 2、某农场把 61600 公亩耕地划
14、归为粮田与棉田，它们之间的比是 7：2，棉田与其他作物面积 的比 6：1。每种作物各是多少公亩？ 【解析】因为棉田=7：2=21：6，棉田：其他作物=6：1，所以粮田：棉田：其他作物=21：6： 1； 所以粮田的面积为： 61600（21+6+1）21 =616002821 =220021 =46200（公亩） 棉田：61600（21+6+1）6 =22006 =13200（公亩） 其它作物：61600（21+6+1）1=2200（公亩）。 答：粮田的面积是 46200 公亩，棉田的面积是 13200 公亩，其他作物的面积是 2200 公 亩。 3、小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳多1
15、 5 ，小芳用的时间比小明多 1 8 。求小明和 小芳速度的比。【解析】小明与小芳路程的比是（1+1 5 ）：16：5 小明与小芳时间的比是 1：（1+1 8 ）8：9 小明与小芳速度的比是：6 8 ： 5 9 27：20 4、加工一个零件，甲需 3 分钟，乙需 3.5 分钟，丙需 4 分钟。现在有 1825 个零件需要甲、乙、 丙三人加工。如果规定用同样的时间完成任务，那么各应加工多少个？ 【解析】甲、乙、丙效率的比是1 3 ： 1 3.5 ： 1 4 28：25：21 总份数：28+25+2173 甲应加工的个数：182528 73 700 个 乙应加工的个数：182525 73 600
16、个 丙应加工的个数：182521 73 525 个 5、两块一样重的合金，一块合金中铜与锌的比是 2：5，另一块合金中铜与锌的比是 1：3。现 将两块合金合成一块，求出锌合金中铜与锌的比。 【解析】铜与锌的比是 2:5 的合金中,含铜=2/（2+5）=2/7； 即铜的质量是合金的 2/7。 铜与锌的比是 4:1 的合金中,含铜=4/（4+1）=4/5； 即铜的质量是合金的 4/5。 新合金中含铜=（2/7+4/5）/（1+1）=19/35.（其中 1+1 为两块合金的质量和） 即铜的质量是合金的 19/35。 那么 新合金中含锌=1-19/35=16/35， 新合金中,铜：锌=19/35：16
17、/35=19:16。 5、苹果和梨的单价的比是 6：5，王大妈买的苹果和梨的重量的比是 2：3，共花去 18 元。王 大妈买苹果和梨各花了多少元？ 【解析】苹果与梨的总价比为： （62）：（53）4：5 苹果：18 4 4+5 8 元 梨 ：18 5 4+5 10 元 6、一辆汽车在甲、乙两站间行驶，往返一次共用去 4 小时（停车时间不算在内）。汽车去时 每小时行 45 千米，返回时每小时行 30 千米。甲、乙两地相距多少千米？ 【解析】解法一：4（ 1 45 + 1 30 ）72 千米 解法二：45（4 30 45+30 ）72 千米 7、下图是甲、乙、丙三地的路线图。已知甲地到丙地的路程与
18、乙地到丙地的路程的比是 2：3。 一辆货车以每小时 40 千米的速度从甲地开往丙地， 一辆客车同时以每小时 50 千米的速度从乙 地开往丙地，客车比火车迟 1 小时到达丙地。求甲、乙两地的路程？ 甲 丙 乙 【解析】（1）乙地到丙地的路程 1（ 1 50 1 4023 ）300 千米 （2）甲、乙两地之间的路程 300（1+2 3 ）500 千米 课后反击课后反击 1、黄山小学六年级的同学分三组参加植树。第一组与第二组的人数的比是 5：4，第二组与第 三组人数的比是 3：2。已知第一组的人数比二、三组人数的总和少 15 人。六年级参加植树的 共有多少人？ 【解析】第一小组与第二小组人数之比为：
19、5：4=15：12， 第二小组与第三小组人数比为：3：2=12：8， 第一、第二、第三小组人数比是：15：12：8， 总人数：15（12+8-15）（15+12+8）， =15535 =335 =105（人） 答：六年级参加植树的共有 105 人。 2、五年级三个班举行数学竞赛。一班参加比赛的占全年级参赛总人数的 1/3，二班与三班参 加比赛人数的比是 11：13，二班比三班少 8 人。一班有多少人参加了数学竞赛？ 【解析】二班人数：811/（13-11）=44 人； 三班人数：813/（13-11）=52 人； 一班人数：（44+52）（1-1/3）1/3=48 人。 3、甲走的路程比乙多1
20、 3 ，乙用的时间比甲多 1 4 。求甲、乙的速度比。 【解析】甲、乙路程的比是（1+1 3 ）：14：3 甲、乙时间的比是 1：（1+1 4 ）：14：5 甲、 乙速度的比是4 4 ： 3 5 5：3 4、 大、小两种苹果，其单价比是 5：4，重量比是 2：3。把两种苹果混合，成为 100 千克的 混合苹果，单价为每千克 4.40 元。大、小两种苹果原来每千克各是多少元？ 【解析】两样苹果的总价：4.4100440 元 两种苹果总价的比：（52）：（43）5：6 大苹果的总价：440 5 5+6 200 元 大苹果的重量：100 2 2+3 40 千克 大苹果的单价：200405 元 小苹果
21、的单价：5544 元 5、甲书架上的书是乙书架上的4 7 ，两书架上各增加 154 本后，甲书架上的书是乙书架上的 5 6 ， 甲、乙两书架上原来各有多少本书？ 【解析】解法一：甲、乙原来的比是 4：7 甲、乙后来的比是 5：615：18 甲书架上原有的书：154（154）456 本 乙书架上原有的书：154（187）798 本 解法二：由于甲、乙两个书架上本数的差没有变，因此，以甲、乙两个书架上本书的差 为单位“1”来考虑。 甲、乙两个书架上相差的本数 154（ 5 65 4 74 ）42 本 原来甲、乙两个书架上的本数 甲：42（74）456 本 乙：42（74）798 本 6、兄弟两人，
22、每年收入的比是 4：3，每年支出的比是 18：13。从年初到年底，他们都结余 720 元。他们每年的收入各是多少元？ 【解析】解法一：兄、弟二人收入的是 4：320：15 兄、弟二人支出的比是 18：13 兄一年的收入是 720（2018）207200 元 弟一年的收入是 720（1513）155400 元 解法二：兄弟二人的收入相差 720（ 4 43 18 1813 ）1800 元 兄、弟每年的收入各是： 兄：1800（43）47200 元 弟：1800（43）35400 元 7、甲做 3000 个零件比乙做 2400 个零件多用 1 小时，甲、乙工作效率的比是 6：5。甲、乙每 小时各做
23、多少个？ 【解析】乙：（30005 6 2400）1100 个 甲：1006 5 120 个 1、甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共 1800 元，三人完成这项工程的具体情况是： 甲、乙两人合作 6 天完成了工程的 3 1 ，因为甲有事，由乙、丙合作 2 天完成余下工程的 4 1 ，以 后三人合作 5 天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动报酬，甲、乙、丙各得多少元？ 【解析】根据题意可知，甲、乙两人的工作效率之和为 11 6 318 ； 乙、丙两人的工作效率之和为 111 (1)2 3412 ； 甲、乙、丙三人的工作效率之和为 111 (1)(1)5 3410 。 分别可求得甲的工
24、作效率为 111 101260 ，乙的工作效率为 117 1860180 ，丙的工作效率为 112 101845 ， 则甲完成的工程量为： 111 65 6060 ，乙完成的工程量为： 791 625 180180 ，丙完成的 工程量为： 214 25 4545 ，三人所完成的工作量之比为 119114 :33:91:56 60 180 45 。 所以，甲应得 33 1800330 339156 元，乙应得 91 330910 33 元，丙应得 56 330560 33 元 2、一个圆柱体的容器中，放有一个长方形铁块。现在打开一个水龙头往容器中注水，3 分钟 时，水恰好没过长方体的顶面，又过了
25、 18 分钟，水灌满容器。已知容器的高度是 50 厘米。长 方体的高度是 20 厘米，那么长方体底面积:容器底面面积等于多少？ 【解析】注满容器 20 厘米高的水与 30 厘米高的水所用时间之比为 20：30=2：3。 注 20 厘米的水的时间为12 3 2 18(分)，这说明注入长方形铁块所占空间的水要用时间为 12 -3=9(分)。 直击赛场 已知长方形铁块高为 20 厘米,因此它们底的面积比等于它们的体积之比,而它们的体积比 等于所注入时间之比，故长方形底面面积：容器底面面积=9：12=3：4 在学生学习了比与分数的联系，已掌握简单分数乘、除法应用题数量关系的基础上，把在学生学习了比与分
26、数的联系，已掌握简单分数乘、除法应用题数量关系的基础上，把 比的知识应用于解决相关的实际问题的一个课例，掌握了按比分配的解题方法，不仅能有效比的知识应用于解决相关的实际问题的一个课例，掌握了按比分配的解题方法，不仅能有效 地解决生活、工作中把一个数量按照一定的比进行分配的问题，也为以后学习地解决生活、工作中把一个数量按照一定的比进行分配的问题，也为以后学习“比例比例”“”“比比 例尺例尺”奠定了基础。奠定了基础。 比是反映数量关系的一种常见形式，也是解数学题的一种重要工具，有了它，我们处理比是反映数量关系的一种常见形式，也是解数学题的一种重要工具，有了它，我们处理 倍数关系、解答分数应用题就方
27、便灵活得多。在这一讲，我们讲探讨稍复杂的比是应用题。倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。在这一讲，我们讲探讨稍复杂的比是应用题。 我们已经学过比的知识，我们已经学过比的知识，都知道比和分数、除法其实是一回事，所有比与分数能互相转都知道比和分数、除法其实是一回事，所有比与分数能互相转 化。运用这种方法解决一些实际问题可以化难为易，化繁为简。化。运用这种方法解决一些实际问题可以化难为易，化繁为简。 比是反映数量关系的一种常见形式，也是解数学题的一种重要工具，有了它，我们处理比是反映数量关系的一种常见形式，也是解数学题的一种重要工具，有了它，我们处理 倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。 本节课我学到了本节课我学到了 我需要努力的地方是我需要努力的地方是 名师点拨 学霸经验
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