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    2019-2020学年山东省青岛二中高三(上)10月月考数学试卷(含详细解答)

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    2019-2020学年山东省青岛二中高三(上)10月月考数学试卷(含详细解答)

    1、已知函数 f(x)x22x+m若:f(x)有零点;q:0m1,则( ) Ap 是 q 的充分不必要条件 Bp 是 q 的必要不充分条件 Cp 是 q 的充要条件 Dp 是 q 的不充分不必要条件 3 (3 分)若 a、b 不全为 0,必须且只需( ) Aab0 Ba、b 中至多有一个不为 0 Ca、b 中只有一个为 0 Da、b 中至少有一个不为 0 4 (3 分)设实数 a,b 满足 logb2loga20,则 aa,ab,ba的大小关系是( ) Abaabaa Bbaaaab Caabaab Daaabba 5 (3 分)已知数列an满足,则 a10( ) A10 B20 C100 D20

    2、0 6 (3 分)已知函数 f(x)|lnx|满足 f(a)f(2a) ,则实数 a 的取值范围是( ) A (0,1) B (1,2) C (2,3) D (1,3) 7 (3 分)函数 y的部分图象大致为( ) A B 第 2 页(共 21 页) C D 8 (3 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,f(1)0,当 x0 时,xf(x)+f(x) 0,则使得 f(x)0 成立的 x 的取值范围是( ) A (,1)(0,1) B (1,0)(1,+) C (,1)(1,0) D (0,1)(1,+) 9 (3 分)已知函数 f(x)x3在其定义域(0,+)内既有极大值也有极小值,

    3、则实数 a 的取值范围是( ) A (0,1)(1,) B (0,1) C (,+) D (1,) 10 (3 分)对x() ,(m,n) (mn) ,则 nm 的最小值为( ) A B C D 二二.多选题(共多选题(共 3 小题)小题) 11 (3 分)已知函数 f(x)cos2xcossin2xsin(0)的图象的一个对称中心 为(,0) ,则下列说法正确的是( ) A直线 x 是函数 f(x)的图象的一条对称轴 B函数 f(x)在0,上单调递减 C函数 f(x)的图象向右平移个单位可得到 ycos2x 的图象 D函数 f(x)在0,上的最小值为1 12 (3 分)已知函数 f(x)的定

    4、义域1,5,部分对应值如表,f(x)的导函数 yf(x) 的图象如图所示,下列关于函数 f(x)的结论正确的是( ) x 1 0 4 5 第 3 页(共 21 页) f(x) 1 2 2 1 A函数 f(x)的极大值点有 2 个 B函数 f(x)在0,2上是减函数 C若 x1,t时,f(x)的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4 D当 1a2 时,函数 yf(x)a 有 4 个零点 13 (3 分)已知函数 f(x)2cos22x2,下列命题中的真命题有( ) AR,f(x+)为奇函数 B(0,) ,f(x)f(x+2)对 xR 恒成立 Cx1,x2R,若|f(x1)f(x2)|2,则|x1

    5、x2|的最小值为 Dx1,x2R,若 f(x1)f(x2)0,则 x1x2k(kZ) 二、填空题二、填空题 14 (3 分)已知 sin(),则 cos(+2) 15 (3 分)在各项均为正数的等比数列an中,若 a4a725,则 log5a1+log5a2+log5a10 16 (3 分)若 (0,) ,cos,则 sin ,tan2 17 (3 分)已知,则 cos2 四四.解答题(共解答题(共 6 小题小题 18 (1)计算:sin (2)化简 sin50(1+tan10) 19已知数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 a24,2Sn(n+1)an(nN*) ()求数列an的通项公式;

    6、 ()设 bn,求数列bn的前 n 项和 Tn 第 4 页(共 21 页) 20已知函数 (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)将函数 f(x)的图象向右平移个单位,再将所得图象的橫坐标缩短到原来的一 半,纵坐标不变,得到新的函数 yg(x) ,当时,求 g(x)的值域 21已知函数为奇函数 (1)求实数 a 的值并证明函数 f(x)的单调性; (2)解关于 m 不等式:f(m2)+f(m2)2m2m 2210 月 1 日,某品牌的两款最新手机(记为 W 型号,T 型号)同时投放市场,手机厂商 为了解这两款手机的销售情况,在 10 月 1 日当天,随机调查了 5 个手机店中这两款手机

    7、的销量(单位:部) ,得到如表 手机店 A B C D E W 型号手机销量 6 6 13 8 11 T 型号手机销量 12 9 13 6 4 ()若在 10 月 1 日当天,从 A,B 这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取 1 部, 求抽取的 2 部手机中至少有 1 部为 W 型号手机的概率; ()现从这 5 个手机店中任选 3 个举行促销活动,用 X 表示其中 W 型号手机销量超过 T 型号手机销量的手机店的个数,求随机变量 X 的分布列和数学期望; ()经测算,W 型号手机的销售成本 (百元)与销量 (部)满足关系 3+4若 表中 W 型号手机销量的方差, 试给出表中 5 个手机店的

    8、 W 型号手机销售成 本的方差 S2的值 (用 m 表示,结论不要求证明) 23已知函数 g(x)xex,f(x)g(x)exax2(a 是常数) 若对aR,函数 h(x) kx(k 是常数)的图象与曲线 yf(x)总相切于一个定点 (1)求 k 的值; (2)若对x1,x2(0,+) ,f(x1)h(x1)f(x2)h(x2)0,求实数 a 的取 值范围 第 5 页(共 21 页) 2019-2020 学年山东省青岛二中高三(上)学年山东省青岛二中高三(上)10 月月考数学试卷月月考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、解答题(共一、解答题(共 10 小题,满分小题,满分 30

    9、 分)分) 1 (3 分)已知集合 Ax|x+10,Bx|log2x1,则 AB( ) Ax|1x2 Bx|x1 Cx|1x1 Dx|0x2 【分析】可以求出集合 A,B,然后进行交集的运算即可 【解答】解:Ax|x1,Bx|0x2, ABx|0x2 故选:D 【点评】考查描述法的定义,对数函数的定义域及单调性,以及交集的运算 2 (3 分)已知函数 f(x)x22x+m若:f(x)有零点;q:0m1,则( ) Ap 是 q 的充分不必要条件 Bp 是 q 的必要不充分条件 Cp 是 q 的充要条件 Dp 是 q 的不充分不必要条件 【分析】利用判别式大于等于 0 求得 m 的范围,然后结合充

    10、分必要条件的判定方法得答 案 【解答】解:函数 f(x)x22x+m 有零点,则44m0,即 m1 p 不能推出 q,但 q 能够推出 p p 是 q 的必要不充分条件 故选:B 【点评】本题考查函数零点的判定方法,考查充分必要条件的判定,是基础题 3 (3 分)若 a、b 不全为 0,必须且只需( ) Aab0 Ba、b 中至多有一个不为 0 Ca、b 中只有一个为 0 Da、b 中至少有一个不为 0 【分析】a、b 不全为 0,即 a0,b0 或 a0,b0 或 a0,b0,根据选项即可得 答案 【解答】解:a、b 不全为 0,即 a0,b0 或 a0,b0 或 a0,b0, 第 6 页(

    11、共 21 页) 因此必须且只需 a、b 中至少有一个不为 0, 故选:D 【点评】本题考查等价命题的判断与应用,属基础题 4 (3 分)设实数 a,b 满足 logb2loga20,则 aa,ab,ba的大小关系是( ) Abaabaa Bbaaaab Caabaab Daaabba 【分析】先判断 0ab1,再利用指数函数、幂函数的单调性,得出结论 【解答】解:实数 a,b 满足 logb2loga20, 0ab1,yax在 R 上是单调递减函数,故 aaab, yxa在(0,+)上单调递增,baaa, 则 aa,ab,ba的大小关系为 baaaab, 故选:B 【点评】本题主要考查指数函数

    12、、对数函数的单调性和特殊点,属于基础题 5 (3 分)已知数列an满足,则 a10( ) A10 B20 C100 D200 【分析】通过数列的递推关系式,利用累加法求解即可 【解答】解:数列an满足, 可得1, 1, 1, 1, 1, 累加可得:10, 所以 a10100 故选:C 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用,累加法的应用,是基本知识的考查 6 (3 分)已知函数 f(x)|lnx|满足 f(a)f(2a) ,则实数 a 的取值范围是( ) 第 7 页(共 21 页) A (0,1) B (1,2) C (2,3) D (1,3) 【分析】根据题意化简函数 f(x) ,得出 f(

    13、x)在其定义域上的单调性;在定义域内讨论 不等式 f(a)f(2a)成立时,a 的取值范围 【解答】解:根据题意可得, f(x),f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递 增; 根据题意可知,0a2; 当 0a1,2a1 时,f(a)f(2a) lnaln(2a)a(2a)1,解得 a1; 0a1; 当 a1 时,f(a)f(2a)不符合题意(舍) ; 当 1a2,02a1 时,f(a)f(2a) lnaln(2a)a(2a)1,解得 a; 综上,a 的取值范围为(0,1) 故选:A 【点评】本题考查了分段函数的单调性应用问题,关键是得到关于 a 的不等式,属于中 档题 7 (3

    14、分)函数 y的部分图象大致为( ) A B 第 8 页(共 21 页) C D 【分析】判断函数的奇偶性,排除选项,利用函数的导数判断函数的单调性即可 【解答】 解: 函数 y是奇函数, 排除选项 B、 D, 1x0 时, y 0, 所以 0x1 时,函数是增函数,排除选项 C 故选:A 【点评】本题考查函数的图象的判断,函数的奇偶性以及函数的单调性的应用是判断函 数的图象的基本方法 8 (3 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,f(1)0,当 x0 时,xf(x)+f(x) 0,则使得 f(x)0 成立的 x 的取值范围是( ) A (,1)(0,1) B (1,0)(1,+) C

    15、(,1)(1,0) D (0,1)(1,+) 【分析】构造函数,利用函数的奇偶性以及函数的的单调性,利用数形结合转化求解即 可 【解答】解:构造原函数 F(x)xf(x) , 因为 f(x)为奇函数,所以 F(x)xf(x)为偶函数, 且当 x0 时,F(x)0,F(x)单调递减,画出如下草图: 注意草图是 yxf(x)的图象,可以判断 f(x)0 时, x(1,0)(1,+) 故选:B 第 9 页(共 21 页) 【点评】本题考查函数的应用,函数的单调性以及函数的奇偶性,数形结合的方法的应 用 9 (3 分)已知函数 f(x)x3在其定义域(0,+)内既有极大值也有极小值, 则实数 a 的取

    16、值范围是( ) A (0,1)(1,) B (0,1) C (,+) D (1,) 【分析】只需方程方程 x2ax0 在(0,+)有两个不相等实根即 lna,令 g (x),则结合其图象即可求解 【解答】解:f(x)x2ax 要使函数 f(x)x3在其定义域(0,+)内既有极大值也有极小值,只需方 程方程 x2ax0 在(0,+)有两个不相等实根 即 lna,令 g(x),则 g(x)在(0,e)递增,在(e,+)递减其图象如下: lna,1ae 故选:D 【点评】本题考查了导数的应用、数形结合思想,属于中档题 10 (3 分)对x() ,(m,n) (mn) ,则 nm 的最小值为( ) A

    17、 B C D 【分析】求导,利用讨论函数的单调性,可得 nm 的最小值 第 10 页(共 21 页) 【解答】 解: x () , (m, n)(mn) , 设 f (x) x () 则 f(x),x() 设 g(x)sinxxcosx,g(x)cosx(cosxxsinx)xsinx, 则:g(x)cosx(cosxxsinx)xsinx0,在 x()上恒成立, 函数 g(x)sinxxcosx, 在 x()上单调递增, g(x)g()sincos0.050 所以:f(x)0,x()上恒成立, 即函数设 f(x)在 x() 上单调递增, 所以:f()f(x)f() ; 即:f(x); 则 n

    18、m 的最小值为, 故选:C 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和值域,属中档题 二二.多选题(共多选题(共 3 小题)小题) 11 (3 分)已知函数 f(x)cos2xcossin2xsin(0)的图象的一个对称中心 为(,0) ,则下列说法正确的是( ) A直线 x 是函数 f(x)的图象的一条对称轴 B函数 f(x)在0,上单调递减 C函数 f(x)的图象向右平移个单位可得到 ycos2x 的图象 D函数 f(x)在0,上的最小值为1 【分析】利用两角和的余弦化简,由题意求得 ,然后利用余弦函数的性质逐一核对四 个选项得答案 【解答】 解: f (x) cos2xcossin2

    19、xsincos (2x+) 的图象的一个对称中心为 (, 第 11 页(共 21 页) 0) , cos()0,则, 0, 则 f(x)cos(2x+) f()cos(2)cos1,直线 x 是函数 f(x)的图象 的一条对称轴,故 A 正确; 当 x0,时,2x+,函数 f(x)在0,上单调递减,故 B 正确; 函数 f(x)的图象向右平移个单位,得到 ycos2(x)cos(2x) 的图象,故 C 错误; 当 x0,时,2x+,函数 f(x)在0,上的最小值为 cos 1,故 D 正确 故选:ABD 【点评】本题考查三角函数值的恒等变换应用,考查了余弦型函数的图象和性质,是中 档题 12

    20、(3 分)已知函数 f(x)的定义域1,5,部分对应值如表,f(x)的导函数 yf(x) 的图象如图所示,下列关于函数 f(x)的结论正确的是( ) x 1 0 4 5 f(x) 1 2 2 1 A函数 f(x)的极大值点有 2 个 B函数 f(x)在0,2上是减函数 C若 x1,t时,f(x)的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4 D当 1a2 时,函数 yf(x)a 有 4 个零点 第 12 页(共 21 页) 【分析】根据函数的导数图象,判断函数的单调性,极值,集合函数最值,零点性质, 利用数形结合进行判断即可 【解答】解:由 f(x)的图象,当1x0 或 2x4,f(x)0,函数 f

    21、(x)为 增函数, 当 0x2 或 4x5,f(x)0,函数 f(x)为减函数, 即当 x0 时,函数 f(x)取得极大值,当 x4 时,函数 f(x)取得极大值,即函数 f(x) 有两个极大值点,故 A 正确, 函数 f(x)在0,2上是减函数,故 B 正确, 作出 f(x)的图象如图:若 x1,t时,f(x)的最大值是 2, 则 t 满足 0t5,即 t 的最大值是 5,故 C 错误, 由 yf(x)a0 得 f(x)a, 若 f(2)1,当 1a2 时,f(x)a 有四个根, 若 1f(a)2,当 1a2 时,f(x)a 不一定有四个根,有可能是 2 个,故函数 y f(x)a 有 4

    22、个零点不一定正确,故 D 错误, 故正确的是 A,B, 故选:AB 【点评】本题主要考查导数的综合应用,利用导数图象研究函数的单调性和极值,以及 第 13 页(共 21 页) 作出的草图是解决本题的关键 13 (3 分)已知函数 f(x)2cos22x2,下列命题中的真命题有( ) AR,f(x+)为奇函数 B(0,) ,f(x)f(x+2)对 xR 恒成立 Cx1,x2R,若|f(x1)f(x2)|2,则|x1x2|的最小值为 Dx1,x2R,若 f(x1)f(x2)0,则 x1x2k(kZ) 【分析】化简函数 f(x) ,画出 f(x)的图象,根据图象平移判断函数 f(x+)不是奇函 数,

    23、判断 A 错误;根据 f(x)f(x+2)求出方程在 (0,)的解,判断 B 正确; 由|f(x1)f(x2)|2 时,|x1x2|的最小值为,判断 C 正确;当 f(x1)f(x2) 0 时,x1x2kT,判断 D 错误 【解答】解:由题意,f(x)2cos22x2cos4x1; f(x)cos4x1 的图象如图所示; 函数 f(x+)的图象是 f(x)的图象向左或向右平移|个单位, 它不会是奇函数的,故 A 错误; f(x)f(x+2) ,cos4x1cos(4x+8)1, 82k,kZ; 又 (0,) ,取 或时, f(x)f(x+2)对 xR 恒成立,B 正确; |f(x1)f(x2)

    24、|cos4x1cos4x2|2 时, |x1x2|的最小值为,C 正确; 当 f(x1)f(x2)0 时, x1x2kTk(kZ) ,D 错误; 故选:BC 第 14 页(共 21 页) 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,也考查了命题真假的应用问题, 是综合题 二、填空题二、填空题 14 (3 分)已知 sin(),则 cos(+2) 【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式,求得 cos(+2)的值 【解答】解:已知 sin(),则cos(2)1 21+2, 故答案为: 【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用,属于基础题 15 (3 分)在各项均为正数的等比

    25、数列an中,若 a4a725,则 log5a1+log5a2+log5a10 10 【分析】等比数列an各项均为正数,a4a7a1a1025,log5a1+log5a2+log5a10log5 (a1a2a10)5log52510, 【解答】解:依题意,等比数列an各项均为正数,a4a7a1a1025, 所以 log5a1+log5a2+log5a10log5(a1a2a10)5log525 10, 故答案为:10 【点评】本题考查了等比数列的性质,对数运算等,属于基础题 16 (3 分)若 (0,) ,cos,则 sin ,tan2 【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得 sin 的值

    26、,可得 tan 的值,再利用二 倍角公式求得 tan2 的值 第 15 页(共 21 页) 【解答】解:若 (0,) ,cos,则 sin, tan,tan24, 故答案为:;4 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角公式的应用,属于基础题 17 (3 分)已知,则 cos2 【分析】根据已知1 推出 sin0,cos0,利用(sin+cos) 2(sincos)2+4sincos 关系可以求得 sin+cos,继而可以求得 cos2(cos sin) (cos+sin)的值 【解答】解:已知1, sin0,cos0,且 12sincos, 即 2sincos, 则(sin+cos

    27、)21+2sincos, sin+cos, cos2(cossin) (cos+sin) 故答案为: 【点评】本题考查三角函数的二倍角公式,属于一般基本题型 四四.解答题(共解答题(共 6 小题小题 18 (1)计算:sin (2)化简 sin50(1+tan10) 【分析】利用三角恒等变换化简求值即可 【解答】解: (1)sin 1; 第 16 页(共 21 页) (2)sin50(1+tan10) 【点评】本题主要考查了三角函数中恒等变换的应用,涉及同角三角函数的基本关系式, 倍角公式,属基础题 19已知数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 a24,2Sn(n+1)an(nN*) ()求

    28、数列an的通项公式; ()设 bn,求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 ()首先利用数列的递推关系式求出相邻项之间的关系,进一步利用叠乘法求 出数列的通项公式 ()利用()的结论,进一步利用裂项相消法求出数列的和 【解答】解: ()数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 a24,2Sn(n+1)an(nN*) 当 n2 时,2S23a2,整理得 a12 所以 2Sn(n+1)an,故 2Sn1(n+11)an1, 两式相减得(n1)annan1,所以2n(首项符合通项) 故 an2n ()由于 an2n,所以 bn 故 Tnb1+b2+bn4n+1 【点评】本题考查的知识要点:数列的通项

    29、公式求法及应用,叠乘法的应用,裂项相消 法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力,属于基础题型 20已知函数 (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)将函数 f(x)的图象向右平移个单位,再将所得图象的橫坐标缩短到原来的一 第 17 页(共 21 页) 半,纵坐标不变,得到新的函数 yg(x) ,当时,求 g(x)的值域 【分析】 (1)首先利用三角函数关系式的变换,把函数的关系式变形成正弦型函数,进 一步求出函数的单调区间 (2)利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用,进一步利用函数的定义域求出函数 的值域 【解答】解: (1)函数 , 令:(kZ) , 解得:(kZ)

    30、 , 所以函数的单调递增区间为:(kZ) (2)将函数 f(x)的图象向右平移个单位, 再将所得图象的橫坐标缩短到原来的一半,纵坐标不变, 得到:g(x)的图象, 由于:, 所以:, 所以:, 故1g(x)2, 故函数的值域为:1,2 【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用, 函数图象的平移变换和伸缩变换的应用,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于基 础题型 21已知函数为奇函数 (1)求实数 a 的值并证明函数 f(x)的单调性; 第 18 页(共 21 页) (2)解关于 m 不等式:f(m2)+f(m2)2m2m 【分析】(1) 根据题意, 由奇函

    31、数的性质可得 f (x) +f (x) 0, 即, 变形分析可得 a 的值,即可得函数的解析式,进而利用作差法分析可得答案; (2)根据题意,分析可得 f(m2)+m2f(2m)+2m,设函数 g(x)f(x)+x, 结合函数的单调性分析可得 m22m,即 m2+m20,解可得 m 的取值范围,即可得 答案 【解答】解: (1)根据题意,因为函数为奇函数, 所 以f ( x ) +f ( x ) 0 , 即, 即 , 即(2x1) (2 x+1+a)+(2x1) (2x+1+a)0, 化简得(a2) (2x+2 x2)0,所以 a2 则, 任取 x1x2, 则 因为 x1x2,所以,所以 f(

    32、x1) f(x2)0 所以 f(x1)f(x2) ,所以 f(x)在 R 上单调递增; (2)f(m2)+f(m2)2m2m 可化为 f(m2)+m2f(2m)+2m, 设函数 g(x)f(x)+x,由(1)可知,g(x)f(x)+x 在 R 上也是单调递增, 所以 m22m,即 m2+m20,解得2m1 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,关键是求出函数的解析式,属于 基础题 2210 月 1 日,某品牌的两款最新手机(记为 W 型号,T 型号)同时投放市场,手机厂商 第 19 页(共 21 页) 为了解这两款手机的销售情况,在 10 月 1 日当天,随机调查了 5 个手机店中这

    33、两款手机 的销量(单位:部) ,得到如表 手机店 A B C D E W 型号手机销量 6 6 13 8 11 T 型号手机销量 12 9 13 6 4 ()若在 10 月 1 日当天,从 A,B 这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取 1 部, 求抽取的 2 部手机中至少有 1 部为 W 型号手机的概率; ()现从这 5 个手机店中任选 3 个举行促销活动,用 X 表示其中 W 型号手机销量超过 T 型号手机销量的手机店的个数,求随机变量 X 的分布列和数学期望; ()经测算,W 型号手机的销售成本 (百元)与销量 (部)满足关系 3+4若 表中 W 型号手机销量的方差, 试给出表中 5

    34、个手机店的 W 型号手机销售成 本的方差 S2的值 (用 m 表示,结论不要求证明) 【分析】 (I)根据相互独立事件的概率公式计算; (II)根据超几何分布列的概率公式求出 X 的各种取值对应的概率,得出分布列,再计 算数学期望; (III)根据方差的性质和变量间的关系即可得出 D() 【解答】解: (I)设事件 M1为从 A 店售出的手机中随机抽取 1 部手机,抽取的手机为 W 型号手机, 设事件 M2为从 A 店售出的手机中随机抽取 1 部手机,抽取的手机为 W 型号手机, 则事件 M1,M2相互独立,且 P(M1),P(M2), 抽取的 2 部手机中至少有 1 部为 W 型号手机的概率

    35、为 P+ (II) 由表格可知 W 型号手机销售量超过 T 型号手机的店有 2 个, 故 X 的肯取值有 0, 1, 2 且 P(X0),P(X1),P(X2) X 的分布列为: 第 20 页(共 21 页) X 0 1 2 P 数学期望为 E(X)0+1+2 (III)D()s02m,3+4, S2D()9D()9m 【点评】本题考查了相互独立事件的概率,离散型随机变量的分布列,变量方差的性质, 属于中档题 23已知函数 g(x)xex,f(x)g(x)exax2(a 是常数) 若对aR,函数 h(x) kx(k 是常数)的图象与曲线 yf(x)总相切于一个定点 (1)求 k 的值; (2)

    36、若对x1,x2(0,+) ,f(x1)h(x1)f(x2)h(x2)0,求实数 a 的取 值范围 【分析】 (1)根据题意,由函数的解析式求出函数的导数,设函数 h(x)kx 的图象与 曲线 yf(x)总相切于定点(x0,f(x0) ) ,由导数的几何意义分析可得答案; (2)由(1)的结论,设 u(x)f(x)h(x)f(x)xx(exax1) ,分析可 得x1,x2(0,+) ,u(x)u(x2)0,也即 u(x1)与 u(x2)同号,也即 u(x) 0(x0)恒成立或 u(x)0(x0)恒成立,设 p(x)exax1(x0) ,求出其 导数,原问题可以转化为 p(x)p(0) (x0)恒

    37、成立或 p(x)p(0) (x0)恒成 立;据此分析可得答案 【解答】解: (1)由已知得 f(x)xexax2,f(x)(x+1)ex2ax 可设函数 h(x)kx 的图象与曲线 yf(x)总相切于定点(x0,f(x0) ) , 可得,且 f(x0)的值是与 a 无关的常数,因而 x00,f (x0)1, 进而可求得切线方程为 yx,得 h(x)x,所以 k1, (2)因为 h(x)x,所以可设 u(x)f(x)h(x)f(x)xx(exax1) (x 0) 可得题设即x1,x2(0,+) ,u(x1)u(x2)0,也即 u(x1)与 u(x2)同号,也 即 u(x)0(x0)恒成立或 u(

    38、x)0(x0)恒成立 第 21 页(共 21 页) 设 p(x)exax1(x0) ,可得 p(x)exa(x0) 可得题设即 p(x)p(0) (x0)恒成立或 p(x)p(0) (x0)恒成立; 当 a1 时,可得 p(x)exa(x0) ,所以 p(x)是增函数,此时满足题意, 当 a1 时,可得 p(x)在(0,lna) , (lna,+)上分别是减函数、增函数, 进而可得题设即 p(x)p(0) (x0)恒成立 取 p(a)eaa21(a1) ,下面判断 p(a)的正负: 设函数 q(a)eaa21(a1) ,可得 q(a)ea2a,q(a)ea10(a1) , q(a)是增函数, 因而 q(a)q(1)e20(a1) ,q(a)是增函数; 故 q(a)q(1)e20(a1) ,p(a)0(a1) , 说明 a1 时不满足题意 综上所述,可得所求实数 a 的取值范围是(,1 【点评】本题考查利用导数分析函数的单调性以及切线的方程,关键是掌握导数的几何 意义,属于综合题


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