1、2020 年福州市高中毕业班第三次质量检测年福州市高中毕业班第三次质量检测数数学（文学（文科科）试卷）试卷 （完卷时间：120 分钟；满分：150 分） （在此卷上答题无效）（在此卷上答题无效） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.第卷 1 至 3 页，第卷 4 至 5 页. 注意事项：注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘 贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案标号.第
2、卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 第卷第卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集 |8,UxxN 集合1,3,7A ，则 UA A.2,4,5,6 B.0,2,4,5,6 C.2,4,5,6,8 D.0,2,4,5,6,8 2.已知纯虚数z满足(1 )2i zai ，则实数a等于 A.2 B.1 C.1 D.2 3.曲线1 exyx在1x 处的切
3、线方程为 A.0eexy B.0eex+y C.10exy D.10exy 4.执行如图所示的程序框图，则输出的m A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且 20202020 2020aS ，则 n a的公差为 A.2 B.2 C.2 019 D.2019 6.甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击 10 次.四人测试成绩对应的条形图如下： 以下关于这四名同学射击成绩的数字特征判断不正确 的是 A.平均数相同 B.中位数相同 C.众数不完全相同 D.方差最大的是丁 7.为了得到曲线 cosyx ，只需把曲线sin 2 6 yx 上各点的横坐标
4、伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变， 再把得到的曲线向右平移 A. 3 个单位长度 B. 12 个单位长度 C. 3 个单位长度 D. 6 个单位长度 8.已知平面, , 两两垂直，直线, ,a b c满足：,abc，则直线, ,a b c可能满足以下关系： 两两相交；两两垂直；两两平行；两两异面.其中所有正确结论的编号是 A. B. C. D. 9.已知椭圆 22 2 :10 9 xy Cb b 的右焦点为F，以C上点M为圆心的圆与x轴相切于点F，并与y轴 交于A，B两点.若 4FA FB ，则C的焦距为 A. 2 B.2 C.2 2 D.4 10.已知定义在R上的函数 fx满足 4fxfx
5、，函数2fx为偶函数，当0,2x时， fx 32 9 6 2 xxx+ a.若2,0x 时， fx的最大值为 1 2 ，则a A.3 B.2 C. 1 2 D. 3 2 11.2019 年世界读书日，陈老师给全班同学开了一份书单，推荐同学们阅读，并在 2020 年世界读书日时交 流读书心得.经了解，甲、乙两同学阅读书单中的书本有如下信息： 甲同学还剩 1 3 的书本未阅读； 乙同学还剩 5 本未阅读； 有 1 4 的书本甲、乙两同学都没阅读. 则甲、乙两同学已阅读的相同的书本有 A.2 本 B.4 本 C.6 本 D.8 本 12.若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为 1，
6、当该圆锥体积取最小值时，该圆锥 体积与其内切球体积比为 A.8:3 B.6:1 C .3:1 D.2:1 第卷第卷 注意事项注意事项： 用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效. 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分.第第 （13）（21） 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 （22） 、 （23） 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13.已知向量1,2a，,1tb，若a,b夹角的余弦值为 5 5 ，
7、则实数t的值为 . 14.已知双曲线C过点1, 5，且渐近线方程为 2yx ，则C的离心率为 . 15.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数 可以拆分为两个素数的和” ，如307 23 13 1711 19+，30 有 3 种拆分方式；63 3 ，6 只有 1 种拆分方式.现从大于 4 且小于 16 的偶数中随机任取一个，取出的数有不止一种上述拆分方式的概率 为 . 16.“熔喷布”是口罩生产的重要原材料，1 吨熔喷布大约可供生产 100 万只口罩.2020 年，制造口罩的企业 甲的熔喷布 1 月份的需求量为 100 吨，并且从 2
8、月份起，每月熔喷布的需求量均比上个月增加 10%.企业乙 是企业甲熔喷布的唯一供应商，企业乙 2020 年 1 月份的产能为 100 吨，为满足市场需求，从 2 月份到k月 份28kkN且，每个月比上个月增加一条月产量为 50 吨的生产线投入生产，从1k+月份到 9 月份 不再增加新的生产线.计划截止到 9 月份， 企业乙熔喷布的总产量除供应企业甲的需求外， 还剩余不少于 990 吨的熔喷布可供给其它厂商，则企业乙至少要增加 条熔喷布生产线. （参考数据： 8 1.12.14， 9 1.12.36） 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演
9、算步骤. 17.（本小题满分 12 分） ABC的内角A B C， ，的对边分别为ab c， ，1a 且3cossinCcA. （1）求C； （2）若3b，D是AB上的点，CD平分ACB，求ACD的面积. 18.（本小题满分 12 分） 为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A药，B药）的疗效，某机构随机地选取20 位患者服用A药， 20位患者服用B药，观察这40位患者的睡眠改善情况.这些患者服用一段时间后，根据患者的日平均增加 睡眠时间（单位：h） ，以整数部分当茎，小数部分当叶，绘制了如下茎叶图： A药 B药 8 7 3 5 9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 0 0 5 2 1 0 0
10、. 1. 2. 3. 4 5 7 8 9 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9 1 6 7 2 3 （1）根据茎叶图判断哪种药对增加睡眠时间更有效？并说明理由； （2）求这40名患者日平均增加睡眠时间的中位数m，并将日平均增加睡眠时间超过m和不超过m的患者 人数填入下面的列联表： 超过 m 不超过 m 服用 A 药 服用 B 药 （3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为,A B两种药的疗效有差异？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd . 2 0 P Kk 0.01 0.005 0.001 0 k 6.635 7.879 10.828 19
11、.（本小题满分 12 分） 如图， 在多面体PABCD中， 平面ABCD平面PAD，ADBC，90BAD，120PAD，1BC ， 2ABADPA. （1）求多面体PABCD的体积； （2）已知E是棱PB的中点，在棱CD是否存在点F使得EFPD，若存在，请确定点F的位置；若不 存在，请说明理由. 20.（本小题满分 12 分） 已知抛物线 2 :4C yx，直线: 2(0)l xmym与C交于A，B两点，M为AB的中点，O为坐标原 点. （1）求直线OM斜率的最大值； （2）若点P在直线2x上，且PAB为等边三角形，求点P的坐标. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )2lnf
12、xxaxx. （1）求函数 fx的单调区间； （2）设函数 fx有两个极值点 1212 ,x xxx，若 12 fxmx恒成立，求实数 m 的取值范围. 请考生在第（请考生在第（22） 、 （） 、 （23）两题中任选一题作答）两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目如果多做，则按所做第一个题目 计分，作答时请用计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分 10 分）选修44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线 1 l的参数方程为 33 ,xkt yt
13、（t为参数） ，直线 2 l的参数方程为 3 3 ,xm ykm （m为参数）.设 1 l与 2 l的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线 1 C. （1）求 1 C的普通方程； （2）设Q为圆 2 2 2: 43Cxy上任意一点，求PQ的最大值. 23.（本小题满分 10 分）选修4 5：不等式选讲 已知0,0ab， 222 4abc . （1）当1c时，求证： 33 9abab ； （2）求 222 441 1abc 的最小值. 2020 年福州市高中毕业班第三次质量检测年福州市高中毕业班第三次质量检测 数学（文科）试卷 （完卷时间 120 分钟；满分 150 分） 本试卷分第卷（选择题）
14、和第卷（非选择题）两部分.第卷 1 至 3 页，第卷 4 至 6 页. 注意事项：注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘 贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案标号.第卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 第卷第卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每
15、小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集 |8UxxN ，集合1,3,7A ，则 UA A.2,4,5,6 B.0,2,4,5,6 C.2,4,5,6,8 D.0,2,4,5,6,8 【命题意图】本小题以集合为载体，考查集合的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数学运算核心 素养，体现基础性. 【答案】D. 【解析】解法一：因为|80,1,2,3,4,5,6,7,8 ,Uxx=N所以0,2,4,5,6,8 UA ，故选 D. 解法二：因为0,0,0, U AUA 排除选项 A，C；同理，8, UA 排除选项 B；故选
16、D. 2.已知纯虚数z满足(1 )2i zai，则实数a等于 A.2 B.1 C.1 D.2 【命题意图】本小题以复数为载体，考查复数的纯虚数概念及复数四则运算等基础知识，考查运算求解能 力，考查化归与转化思想，考查数学运算核心素养，体现基础性. 【答案】A. 【解析】解法一：设(,zbi bR且0),b 则(1)2ibibbiai. ,aR 2, , b ab 2a ，故选 A. 故选 A. 解法二： 2(2)(1)22 1222 aiaiiaa zi i . z为纯虚数， 20 20 a a ， ， 2.a 故选 A. 3.曲线1e x yx在1x 处的切线方程为 A.0eexy B.0e
17、exy C.10exy D.10exy 【命题意图】本题以导数的几何意义为载体，考查曲线在某点处的切线等基础知识，考查运算求解能力， 考查数学运算核心素养，体现基础性. 【答案】B. 【解析】当1x 时，0 y ，由1exyx得，exyx ， 所以该切线的斜率为e，该切线方程为e1yx，即 0eexy.故选 B. 4.执行如图所示的程序框图，则输出的m A.1 B.2 C.3 D.4 【命题意图】本小题考查程序框图等基础知识，考查推理论证能力，考查逻辑推理核心素养，体现基础性. 【答案】C. 【解析】该框图的功能为求小于 11 的正整数中 3 的倍数的个数，故输出的m值为 3.故选 C. 5.
18、已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且 20202020 2020aS ，则 n a的公差为 A.2 B.2 C.2019 D.2 019 【命题意图】本小题以数列为载体，考查等差数列的通项公式、前n项和公式等基础知识，考查运算求解 能力，考查化归与转化思想、特殊与一般思想，考查数学运算核心素养，体现基础性. 【答案】. 【解析】解法一： 12020 2020 2020() 2020 2 aa S ，所以 12020 2aa，所以 1 2018a ， 所以数列 n a的公差 20201 2 2020 1 aa d .故选 B. 解法二：由题意得， 20191010 20190Sa，即 1
19、010 0,a所以数列 n a的公差 20201010 2 2020 1010 aa d .故选 B. 解法三：设数列 n a的公差为d，因为 20202020 2020aS ， 所以 1 1 20192020 2020 2019 20202020, 2 ad ad ， 即 1 1 20192020 2019 1, 2 ad ad ， ，解得2d .故选 B. 6.甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击 10 次.四人测试成绩对应的条形图如下： 以下关于这四名同学射击成绩的数字特征判断不正确 的是 A.平均数相同 B.中位数相同 C.众数不完全相同 D.方差最大的是丁 【命题意图】
20、本小题以实际问题为载体，考查条形图、平均数、中位数、众数、方差等基础知识，考查数 据处理能力、运算求解能力与应用意识，考查数学建模、数据分析、数学运算等核心素养，体现基础性、 应用性. 【答案】D. 【解析】由图的对称性可知，平均数都为5；由图易知，四组数据的众数不完全相同，中位数相同；记甲、 乙、丙、丁图所对应的方差分别为 2222 1234 ,ssss，则 22 2 1 450.5650.51s ， 222 2 2 450.3550.4650.30.6s ， 22222 2 3 350.3450.1550.2650.1750.32.6s ， 22222 2 4 250.1450.3550.
21、2650.3850.12.4s ， 所以丙的方差最大.故选 D. 7.为了得到曲线 cosyx ，只需把曲线sin 2 6 yx 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变， 再把得到的曲线向右平移 A. 3 个单位长度 B. 12 个单位长度 C. 3 个单位长度 D. 6 个单位长度 【命题意图】本小题考查三角函数的图象变换、诱导公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力， 考查数形结合思想，考查直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性. 【答案】A. 【解析】把sin 2 6 yx 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线 sin 6 yx 向右平移
22、 3 个单位长度，得到曲线sin 63 yx ，所以sin 2 yx ,即 cosyx ，故选 A. 8.已知平面, , 两两垂直，直线, ,a b c满足：,abc，则直线, ,a b c可能满足以下关系： 两两相交；两两垂直；两两平行；两两异面.其中所有正确结论的编号是 A. B. C. D. 【命题意图】本小题以空间直线和平面为载体，考查空间直线的位置关系，空间平面与平面垂直等基础知 识，考查空间想象能力，考查数学建模、数学抽象、直观想象等核心素养，体现基础性、综合性. 【答案】C. 【解析】 解法一： 对于： 如图， 当,=ac,b时， 直线, ,a b c两两垂直且两两相交， 所以
23、结论正确； 对于：如图，假设abc ，m，易证，mb， 因为平面, 两两垂直，所以m， 因为b，所以mb，这与mb相矛盾，所以假设不成立， 所以结论不正确； 对于：如图，当, ,a b c分别平行于平面与，与， 与的交线时，, ,a b c两两异面，所以结论正确； 综上，结论正确的是，故选 C. 解法二：构造长方体，即可得结论. 9.已知椭圆 22 2 :10 9 xy Cb b 的右焦点为F，以C上点M为圆心的圆与x轴相切于点F，并与y轴 交于A，B两点.若 4FA FB ，则C的焦距为 A. 2 B.2 C.2 2 D.4 【命题意图】本小题考查椭圆的方程及其椭圆的简单几何性质、平面向量的
24、数量积等基础知识，考查运算 求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，考查数学运算、逻辑推理等核心素养， 体现基础性、综合性. 【答案】C. 【解析】 解法一：设( ,0)F c，则 2 ( ,) 3 b M c， 圆M的方程为 22 222 ()()() 33 bb xcy， 即 2 222 2 20 3 b xycxyc， 令0x，得 2 22 2 0 3 b yyc， 当0 时， 2 12 y yc.设 1 (0,)Ay， 2 (0,)By， 则 1 (,)FAc y ， 2 (,)FBc y ，则 22 12 24FA FBcy yc，所以 2 2c ，解得2c ，所以
25、焦 距为2 2 2c ，故选 C. 解法二：设( ,0)F c，则 2 ( ,) 3 b M c.不妨设B在A上方，取AB中点N，设AN t，则 2 24 22 222 39 bb tAMMNcc ， 22 0,0, 33 bb AtBt ，所以FA FB 22444 22222 ,24 33999 bbbbb ctctctccc ，解得 2c ，所以焦距为 22 2c .故选 C. 解法三：设( ,0)F c，则 2 ( ,) 3 b M c.不妨设B在A上方，取AB中点N，设AN t，则 4 22 2 22 9 b ABAMMNc ，所以FA FB 22 1 4 FAFBFAFB 2 21
26、 2 4 FNBA 44 22 1 44 499 bb cc 2 24c ， 解得2c ， 所以焦距为22 2c .故选 C. 10.已知定义在R上的函数 fx满足 4fxfx ，函数2fx为偶函数，当0,2x时， 32 9 6 2 fxxxx+ a.若2,0x 时， fx的最大值为 1 2 ，则a A.3 B.2 C. 1 2 D. 3 2 【命题意图】本小题考查函数的奇偶性、对称性，函数的最值等基础知识，考查运算求解能力、推理论证 能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性. 【答案】A. 【解析】 由函数2fx是偶函数， 得 fx关于2x
27、对称， 即4fxfx， 因为 4fxfx ， 所以()( )fxf x ， 所以 fx为奇函数.因为 fx在2,0上最大值为 1 2 ， 所以 fx在0,2上最小 值为 1 2 .当 0,2x时， 2 396fxxx，令 0fx得1x ，所以( )f x在(0,1)递减，在(1,2)递 增，所以当1x 时，( )f x取得极小值，即最小值，所以 min 1 2 15 2 3fxfaa，.故选 A. 11.2019 年世界读书日，陈老师给全班同学开了一份书单，推荐同学们阅读，并在 2020 年世界读书日时交 流读书心得.经了解，甲、乙两同学阅读书单中的书本有如下信息： 甲同学还剩 1 3 的书本
28、未阅读； 乙同学还剩 5 本未阅读； 有 1 4 的书本甲、乙两同学都没阅读. 则甲、乙两同学已阅读的相同的书本有 A.2 本 B.4 本 C.6 本 D.8 本 【命题意图】本小题考查推理、集合、解方程、解不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力， 考查函数与方程思想，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性. 【答案】C. 【解析】解法一：如图，设甲阅读且乙未阅读的书本有x本，乙阅读且甲未阅读的书本有y本，甲和乙都 已阅读的相同的书本有z本，甲和乙都未阅读的相同的书本有w本，其中, , ,w x y zN，则 22 , 5, 3 , xzwy wx xyzw 530,
29、3 , 1,6. 1150, , xy wy yz zy y N 故选 C. 解法二：设这份书单共有x本书，甲和乙已阅读的相同的书本有a本. 依题意有，5 34 xx xa ，所以 11 5 12 x a . 又因为 2 , 3 5, x a xa 即 211 5, 312 11 55, 12 xx x x 解得520x剟，又因为aN， 所以x是 12 的倍数，所以12x ，所以11 56a .故选 C. 解法三：设这份书单共有x本书，甲和乙已阅读的相同的书本有a本. 有 1 4 的书甲、乙两同学都没阅读，即有 3 4 的书甲同学或乙同学读过， 依题意有， 23 5 34 xx xa，所以 1
30、1 5 12 x a . 又因为 2 , 3 5, x a xa 即 211 5, 312 11 55, 12 xx x x 解得520x剟，又因为aN， 所以x是 12 的倍数，所以12x ，所以11 5 6a=.故选 C. 解法四：设甲和乙已阅读的相同的书本有t本，甲已阅读xt本书，未阅读m本书；乙已阅读yt本 书，有 1 4 的书甲、乙两同学都没阅读，即有 3 4 的书甲同学或乙同学读过，则有 2 , 53 , 3 3 , 4 xtm ytm xytm 所以 11 50 4 tm ， 又22tmxm，所以1152 4 mm ，综上， 2020 113 m. 依题意， , , ,x y t
31、 m为整数，所以m为 4 的倍数，只能为 4，从而 6t .故选 C. 12.若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为 1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥 体积与其内切球体积比为 A.8:3 B.6:1 C .3:1 D. 2:1 【命题意图】本小题考查圆锥的内切球、几何体的体积、基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、推 理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、考查数学抽象、数学运 算、直观想象、数学建模等核心素养，体现综合性、应用性和创新性. 【答案】D. 【解析】解法一：如图，设圆锥底面半径为R，高为h. 由AOFACE可得 OFAO EC
32、AC ，即 22 11h R Rh ， 则 2 2 2 h Rh h ， 所以 2 2 1114 24 33232 h VR hh hh ， 因为20h，所以 4 24 2 h h ，当且仅当 4 2 2 h h ，即4h时取等号， 此时圆锥体积最小，最小值为 8 3 .因为该球的体积为 4 3 ， 所以该圆锥体积与其内切球体积比为2:1，故选 D. 解法二： 如图，设圆锥底面半径为R，高为h. 由AOFACE可得 OFAO ECAC ，即 22 11h R Rh ， 则 2 2 2 h Rh h ， 所以 2 2 11 332 h VR h h ，令 2 ( )(2) 2 h f hh h
33、， 则 2 22 2 (2)(4) ( ) (2)(2) h hhh h f h hh ,当24h 时，( )0fh ；当4h时，( )0fh ； 所以( )f h在2 4( , )上单调递减,在(4,)上单调递增,所以 min ( )48f hf， 即4h时,该圆锥体积最小, 最小值为 8 3 .又其内切球体积为 4 3 . 所以该圆锥体积与其内切球体积比为2:1，故选 D. 解法三：设,0, 4 OCE ，则tan OE EC ，所以 1 tan EC ， 又tanECAtan2 AE EC ，所以 2 2 tan2 1tan AEEC ， 所以 2 22 112 33tan1tan VE
34、CAE ，令 2 tan01tt ， 因为 2 2 11 1 24 ttttt ，当且仅当 1 2 t 时取得最大值 1 4 ， 从而圆锥体积最小，最小值为 8 3 .因为该球的体积为 4 3 ， 所以该圆锥体积与其内切球体积比为2:1，故选 D. 第卷第卷 注意事项注意事项： 用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效. 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分.第第 （13）（21） 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 （22） 、 （23） 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空
35、题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13.已知向量1,2a，,1tb，若a,b夹角的余弦值为 5 5 ，则实数t的值为 . 【命题意图】本小题以平面向量为载体，考查平面向量的夹角等基础知识，考查运算求解能力，考查函数 与方程思想，考查数学运算等核心素养，体现基础性. 【答案】 3 4 . 【解析】因为a,b夹角的余弦值为 5 5 ，所以 2 25 5 51 t t ，解得 3 4 t . 14.已知双曲线C过点1, 5，且渐近线方程为 2yx ，则C的离心率为 . 【命题意图】本小题以双曲线为载体，考查双曲线的简单几何性质等基础知识，考查运算求解能力，考
36、查 函数与方程思想，考查直观想象、数学运算核心素养，体现基础性. 【答案】 5 2 . 【解析】解法一：依题意，C的焦点在y轴上，设其方程为 22 22 10,0 yx ab ab ，它的渐近线方程为 a yx b ，与2yx 比较得2 a b ，设20ak k，则,5bk ck，所以离心率 5 2 c e= a . 解法二： 设C的方程为 22 4xy =0， 因为C过点1, 5， 则1， 所以C的方程为 22 41yx， 所以 1 1, 2 ab，所以 22 5 2 ca +b =，所以离心率 5 2 c e a . 15.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴
37、赫猜想是“每个大于 2 的偶数 可以拆分为两个素数的和” ，如307 23 13 1711 19+，30 有 3 种拆分方式；63 3 ，6 只有 1 种拆分方式.现从大于 4 且小于 16 的偶数中随机任取一个，取出的数有不止一种上述拆分方式的概率 为 . 【命题意图】本小题以数学文化为背景，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、 应用意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想，考查数学建模、数学运算等核心素养，体现基础性、 应用性. 【答案】 2 5 . 【解析】本题为古典概型概率求解问题，可求得大于 4 且小于 16 的所有偶数共 5 个，通过将这 5 个偶数进 行拆分，
38、发现633,835,1257都只有一种拆分；发现 10=3+7=5+5，14=3+11=7+7 都有两种拆 分，故共有 2 个数有不止一种的拆分方式， 因此所求概率为 2 5 . 16.“熔喷布”是口罩生产的重要原材料，1 吨熔喷布大约可供生产 100 万只口罩.2020 年，制造口罩的企业 甲的熔喷布 1 月份的需求量为 100 吨，并且从 2 月份起，每月熔喷布的需求量均比上个月增加 10%.企业乙 是企业甲熔喷布的唯一供应商，企业乙 2020 年 1 月份的产能为 100 吨，为满足市场需求，从 2 月份到k月 份28kkN且，每个月比上个月增加一条月产量为 50 吨的生产线投入生产，从
39、1k+月份到 9 月份 不再增加新的生产线.计划截止到 9 月份， 企业乙熔喷布的总产量除供应企业甲的需求外， 还剩余不少于 990 吨的熔喷布可供给其它厂商，则企业乙至少要增加 条熔喷布生产线. （参考数据： 8 1.12.14， 9 1.12.36） 【命题意图】本小题以实际问题为背景，考查等差数列前 n 项和、等比数列前 n 项和、解不等式基础知识； 考查运算求解能力、应用意识；考查数学抽象、数学建模、数学运算等核心素养；体现综合性和应用性. 【答案】5 【解析】依题意得，企业甲从 2020 年 1 月到 9 月的需求量为 9 9 100 (1 1.1 ) 1000 (1.11) 1 1
40、.1 1360（吨）. 易知，企业乙增加 1 条熔喷布生产线，不符合题意； 依题意，当企业乙增加1 28kkkN且条熔喷布生产线时，从 2020 年 1 月到 9 月的“熔喷布”产 量为 2 (1005050 ) 501 (9)25475450 2 k k k+kkk+ ， 所以 2 25475450 1360990kk+，即 2 1976 0kk， 记 2 1976f kkk，则 f k在2,8上为减函数， 又因为 22 5519 5 7660,6619 67620ff ， 所以k最小值为 6，所以企业乙至少需要增加 5 条生产线. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答
41、题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12 分） ABC的内角A B C， ，的对边分别为ab c， ，1a 且3cossinCcA. （1）求C； （2）若3b，D是AB上的点，CD平分ACB，求ACD的面积. 【命题意图】本小题以解三角形为载体，考查正弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力， 考查函数与方程思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性. 【解析】解法一： （1）因为1a 且3cossinCcA， 所以3 cossinaCcA， 1 分 根据正弦定理，得3sincossinsinACCA， 3 分 因为0,A，所以sin0A，所以tan3C ， 4 分 因为0,C，所以 3 C . 5 分 （2）由（1）知， 3 ACB ， 因为1a ，3b， 所以ABC的面积 133 3 sinsin 2234 ABC SabACB ， 7 分 因为D是AB上的点，CD平分ACB， 所以 1 sin 1 26 1 3 sin 26 BCD ACD a CD Sa Sb b CD ， 9 分 因为 ABCACDBCD SSS ， 10 分 所以 333 39 3 44416 ACDABC SS .
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