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    2020年全国高考数学(理科)终极冲刺试卷(三)含答案解析

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    2020年全国高考数学(理科)终极冲刺试卷(三)含答案解析

    1、2020 年年全国卷全国卷 I 高考数学高考数学(理科理科) 终极冲刺卷(模拟三)终极冲刺卷(模拟三) 1.已知集合 2 1Ax x ,3, 2, 1,1,2,3B ,则AB( ) A 3, 2, 1,2,3 B2, 1 C1,1,2,3 D3, 2 2.若复数 z 满足i24iz ,则 z 的虚部是( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2 3.已知“命题 :pxR ,使得 2 210axx 成立”为真命题,则实数 a 满足( ) A.0,1 B.(1), C.1,) D.(1, 4.已知平面向量, a b的夹角为 3 ,且 12ab,则 2abb( ) A64 B36 C8 D6 5.已知

    2、等差数列 n a ,若 1810 2,36aaa ,则 11 a( ) A.22 B.24 C.26 D.28 6. 342 111 n xxx 的展开式中 2 x的系数是( ) A. 3 3n C B. 3 2n C C. 3 2 1 n C D. 3 3 1 n C 7.某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为 1 的正方形,其中正视图、侧视图 中的两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是( ) A. 5 6 B. 3 4 C. 1 2 D. 1 6 8.已知 12 ,F F是双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的左、右焦点,若直线3yx与双曲线C 在第一象限交于点P,

    3、过P向 x 轴作垂线,垂足为D,且D为 2 OF (O为坐标原点)的 中点,则该双曲线离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 21 D. 31 9.古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了”完全数,”6 和 28,后人进一步研究发现 后续 3 个“完全数”分别为 496,8 128,33 550 336,现将这 5 个“完全数”随机分为 两组,一组 2 个,另一组 3 个,则 6 和 28 恰好在同一组的概率为( ) A. 1 5 B. 2 5 C. 5 D. 1 10 10.已知函数 ( )cossinf xxmx 的图象过点 (,2) 3 ,若函数 ( )f x在区间, a a 上单调

    4、递增, 则 a 的取值范围为( ) A. (0, 6 B. (, 6 3 C. (0, 3 D. (, 6 4 11.已知点 P 在圆 22 4xy上,2,0 ,2,0AB,M 为BP中点,则sinBAM的最大值为 ( ) A. 1 2 B. 1 3 C. 10 10 D. 1 4 12.已知函数( )lne(0) xa f xxaxx a ,若 ( )0f x 在 2,)x上恒成立,则实数 a 的最小值为( ) A.2e B. e C. e D. e 2 13.若实数 , x y满足条件 0 23 0 26 0 xy xy xy ,则z xy 的最小值为_. 14.已知函数 3 2 1,0,

    5、 ( ) 2,0, xx f x xx 若 ( )1f x ,则x _. 15.已知等比数列 n a 的前 n 项和为 n S,且 13 1,3aS ,则 5 S=_。 16.若正三棱柱 111 ABCABC 的所有棱长都相等,D 是底边 11 AC的中点,则直线AD与平面 1 B DC所成角的正弦值为_ 17.在四边形ABCD中, 1 120 ,60 ,cos,2 7 BADBCDDADDC (1)求cosDAC及AC的长; (2)求BC的长 18.如图,在正方体 1111 ABCDABC D 中,点, ,E F G分别是棱 1111 ,BC AB BC的中点. (1)求异面直线EF与DG所

    6、成角的余弦值; (2)求平面ABD与平面DBG夹角的余弦值. 19.某学习小组在研究性学习中,对昼夜温差大小与绿豆种子一天内出芽数之间的关系进行 研究,该小组在 4 月份记录了 1 日至 6 日每天昼夜最高、最低温度(如图 1),以及浸泡的 100 颗绿豆种子当天内的出芽数(如图 2). 根据上述数据作出散点图,可知绿豆种子出芽数(颗)和温差具有线性相关关系. 附: 11 2 2 2 11 , nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynx y baybx xxxnx . (1)求绿豆种子出芽数(颗)关于温差的回归方程; (2)假如 4 月 1 日至 7 日的日温差的平均值为 11

    7、,估计 4 月 7 日浸泡的 10000 颗绿豆种 子一天内的出芽数. 20.已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点为 12 ,F F,左右两顶点 12 ,F F,点M为椭 圆C上任意一点,满足直线,MA MB的斜率之积为 3 4 ,且 12 MFMF 的最大值为 4. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若直线AM与过点B且与 x 轴垂直的直线交于点D,过点,B D作 2, BPPF DQPF ,垂足分别为 ,P Q两点,求证:BPDQBD. 21.已知函数 ( )ln()f xxax aR. (1)讨论函数 ( )f x的单调性; (2)若 2 (0,), ( )

    8、xf xx 恒成立,求实数 a 的取值范围. 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中, C的参数方程为 12cos , 22sin x y (为参数)以O为 极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为 2cos2 4 (1)直线l上的M到极点O的距离是 2,求点M 的极坐标( 0 2), ); (2)设直线l与C相交于,A B两点,求四边形OACB的面积 23.已知函数( )212 3.f xxx (1)求不等式( )6f x 的解集; (2)若关于 x 的不等式( )1f xa的解集非空,求实数 a 的取值范围. 参考答案及解析参考答案及解析 1.答

    9、案:A 解析: (2)022 10 0 x xx xxx ,解得0x 或2x ,所以3, 2, 1,2,3AB 2.答案:D 解析:i24iz ,得 i 24i 42i,zz 的虚部是-2. 3.答案:B 解析:若0a 时,不等式 2 210axx 等价为2 10x ,解得 1 2 x ,结论成立 当0a 时,令 2 2( )1f xaxx,要使 2 210axx 成立,则满足 0 0 a 或0a ,解得 01a或0a ,综上1a ,故选 B 4.答案:D 解析:平面向量, a b的夹角为 3 ,且12ab, 则 22 1 222 1 226 2 abba bb . 故选:D. 5.答案:A

    10、解析:因为 810 36aa ,所以 9 18a ,又因为 91 8aad ,所以公差2d ,所以 11 21022ad. 6.答案:D 解析:由组合数性质: 1 1 mmm nnn CCC ,可得 展开式中 2 x的系数为: 2223222 3423342 1 nn CCCCCCC 322 442 1 n CCC 32 52 1 n CC 3 3 1 n C , 故选 D. 7.答案:A 解析:由三视图可知:该几何体是一个正方体,挖去一个四棱锥所得的组合体, 正方体的体积为 1, 四棱锥的体积为: 111 1 1 326 , 故组合体的体积 15 1 66 V , 故选:A 8.答案:D 解

    11、析:把3yx代入双曲线方程: 22 22 1 xy ab 得: 22 2 22 3 a b x ba , D为 2 OF (O为坐标原点)的中点, 222 22 34 a bc ba ,又 222 bca, 222222 ()44a cacca, 4224 480aa cc, 24 48ee0,解得 2 e42 3或 2 e42 3, 又e1, e31. 9.答案:B 解析:记 5 个“完全数”中随机抽出 2 个为第一组.剩下 3 个为第二组,则基本事件总数为 2 5 10C ,又 6 和 28 恰好在第一组有 1 种情况,6,28 和其他 3 个数中的 1 个在第二组有 3 种情况,所以所求

    12、概率为 132 105 . 10.答案:C 解析: 因为函数 ( )cossinf xxmx 的图象过点 (,2) 3 , 所以 cossin2 33 m , 解得3m , 所以 ( )cos3sin2sin() 6 f xxxx. 由 , xa a ,得 , 666 xaa.因为( )f x在, a a上单调递增,所以 ,2 ,2 ,Z 6622 aakkk ,则 2 26 2 62 ka ak ,解得 2 2 3 2 3 ak ak , 因为aa ,所以0a .又Zk ,所以0k ,解得 0 3 a. 11.答案:B 解析:设点 M 的坐标为x y,,则22,2Pxy,将点 P 的坐标代入

    13、圆的方程可得点 M 的 轨迹方程为 2 2 11xy,如图所示,当AM与圆 K 相切时,sinBAM取得最大值,此 时 1 sin 3 MK BAM AK . 12.答案:B 解析:由 ( )0f x 在 2,)x上恒成立,得ln lnee aaxx xx 在 2,)x上恒成立, 易知当 2,)x,0a 时,01,0e1 ax x ,令函数 ( )ln(01)g tttt ,则 1 ( )10g t t ,( )g t单调递增,故有 e ax x ,则 log e ln x x x a x 在2,)x上恒成立. 令( )(2) ln x F xx x ,则 2 1 ln ( ) (ln ) x

    14、 F x x ,易得( ) ln x F x x 在2,e)上单调递增,在e,) 上单调递减,所以 max ( )(e)eF xF ,所以ea ,实数 a 的最小值为e 13.答案:3 解析: 作出实数 , x y满足条件 0 23 0 26 0 xy xy xy , 的阴影区域, 如图所示, 易知, 目标函数z xy 经过点 (3,0)A 时,此时 z 最小,此时3z . 14.答案:0 解析: 3 2 1,0 ( ) 2,0 xx f x xx , ( )1f x , 当0x 时, 3 11x ,解得 0x ; 当0x 时, 2 21x ,无解。 0x . 故答案为:0. 15.答案:5

    15、或 11 解析: 设等比数列 n a 的公比是为 q. 13 1,3aS , 2 113qq, 解得1q 或2q , 则 5 5S 或 5 5 12 11 12 S . 16.答案: 4 5 解析:如图,连接 1 B D易证 1 B D 平面 1 AC,过点作AGCD , 则由 1 B D 平面 1 AC, 得 1 A G BD , 由线面垂直的判定定理得AG 平面 1 B DC, 于是ADG 即为直线AD与平面 1 B DC所成角, 由已知,不妨令棱长为 2,则可得5ADCD, 由等面积法算得 1 4 5 5 ACAA AG CD , 所以直线AD与面 1 B DC的正弦值为 4 5 AG

    16、AD . 17.答案:(1)ACD中,由余弦定理可得: 222 164 22 22 77 AC , 解得 8 7 7 AC , 18 71 AC 2 7 272 cos AD27 DAC ; (2)设DACDCA , 由(1)可得: 2 721 cos,sin 77 , 32 71213 21 sinsin 120 272714 BAC , sinsin()sin 1802BBACBCA 2 7214 3 sin22 777 , 在BAC中,由正弦定理可得: sinsin BCAC BACB , 8 73 21 714 3 4 3 7 BC 18.答案:(1)如图,以 1 ,DA DC DD为

    17、正交基底建立空间直角坐标系Dxyz. 设正方体的棱长为为 2,则 1 (0,0,0),(1,2,0),(2,12,2),(1,2, ),(0,0,2)DEFDG 所以(1, 1,2),(1,2,2)EFDG 所以1 1( 1)22 23EF DG . 22 |1( 1)26,| 3EFDG 从而 36 cos, 6|63 EF DG EF DG EFDG , 所以异面直线EF与DG所成角的余弦值为 6 6 , (2)由(1)得(2,2,0),(2,2,0)BDB , 设平面DBG的法向量为 1( , , )nx y z 则 1 1 220 220 DB nxy DG nxyz . 取2x ,则

    18、 2,1yz 则平面DBG的一个法向量为 1(2, 2,1)n 又平面ABD的一个法向量为 2 1 (0,0,2)nDD 所以 12 12 12 21 cos, 323 nn n n n n 所以平面ABD与平面DBG夹角的余弦值为 1 3 . 19.答案:(1)依照最高(低)温度折线图和出芽数条形图可得如下数据表: 日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 温差 x 7 8 12 9 13 11 出芽数 y 23 26 37 31 40 35 故10,32xy, i xx -3 -2 2 -1 3 1 i yy -9 -6 5 -1 8 3 6 2 1 ( 3)( 9)( 2)(

    19、 6)25( 1)3 81 377 ii i xxyy , 6 2 222222 1 ( 3)( 2)2( 1)3128 i i xx , 所以 6 1 6 2 1 7711 284 ii i i i xxyy b xx , 则 119 3210 42 aybx , 所以绿豆种子出芽数 y(颗)关于温差 x()的回归方程为 119 42 yx. (2)因为 4 月 1 日至 7 日的日温差的平均值为 11, 所以 4 月 7 日的温差 7 7 116 1017x (), 所以 7 119 1751.25 42 y , 所以 4 月 7 日浸泡的 10000 颗绿豆种子一天内的出芽数约为 512

    20、5 颗. 20.答案:(1)根据题意 1222 12 ()4,2 2 MFMF MFMFaa , 又设 00 (,)M xy ,所以 0 0 00 2 2 2 2 2 00 22222 00 (1) x b y yyb a xa xaxaxaa ,所以 2 2 3 4 b a , 故 2 3b ,从而椭圆C的标准方程为 22 1 43 xy . (2)证明:设直线:2 (0)AM yk xk,则: (2,4 )Dk,BD的中点为E为(2,2 )k, 联立 22 1 43 (2) xy yk x ,消去 y 整理得: 2222 (34)1616120kxk xk 设 00 ,P x y ,由韦达

    21、定理得: 2 0 2 1612 2 34 k x k , 解得: 2 0 2 68 34 k x k ,故有: 00 2 12 2 34 k yk x k , 又 2 1,0F ,所以当 1 2 k 时, 3 1, 2 M , 2, 2D ,此时 2 MFx 轴, 所以四边形BPQD为矩形,所以2,2BPDQBD,所以BP DQBD. 当 1 2 k 时, 0 2 0 4 = 114 PF yk k xk ,所以直线 2 2 4 :1 14 k PFyx k , 即: 22 44 0 1414 kk xy kk , 所以点E到直线 2 PF的距离 22 2 2 84 2 1414 2 4 ()

    22、1 14 kk k kk dk k k , 而 =4BDk,即知: 1 2 dBD ,所以以BD为直径的圆与直线 2 PF相切, 所以四边形BPQD为直角梯形,BD的中点为E, 所以 24BPDQdkBD. 21.答案:(1) 1 ( )(0)fxa x x , 当0a时, ( )0fx ,函数 ( )f x在(0,)上单调递增; 当0a 时,令 ( )0fx ,解得 1 0x a ,令( )0fx,解得 1 x a ,故此时函数( )f x在 1 0, a 上单调递增,在 1 , a 上单调递减. (2) 2 (0,), ( )xf xx 恒成立,即 (0,)x ,都有 ln x ax x

    23、, 设 ln ( )(0) x g xx x x ,则 2 2 1 ln ( ) xx g x x , 令 2 ( )1 ln(0)h xxx x ,则 1 ( )20h xx x , 所以( ) h x在(0,)上单调递减,且(1)0h , 所以当 (0,1)x 时,( ) 0,( )0, ( )h xg xg x 为增函数, 当 (1,)x时,( )0,( )0, ( )h xg xg x 为减函数, 所以 max ( )(1)1g xg ,即实数 a 的取值范围为 1,) . 22.答案:(1)在直线l的极坐标方程中令2=得 c o s1 4 ,所以 4 , 点M的极坐标为 2, 4 (

    24、2)把C的方程化为普通方程得 22 (1) +(2) =4xy,圆心 (1, 2)C , 把直线l的方程化为直角坐标方程得 2xy =0,所以, 点O到直线l的距离为 1 2d =,点C到直线l的距离为 2 2 2 d =, 把直线l的方程化为参数方程得 2 , 2 2 2 2 xt yt ,代入C的普通方程得 2+ 2 3=0tt , 设, A B两点分别对应参数 12 ,t t,则 121 2 2,3ttt t , 所以 2 12121 2 | |()414ABttttt t, 所以四边形OACB的面积 12 13 7 |() 22 OAB SABdd 23.答案:(1)原不等式等价于 3 2 (21)(23)6 x xx 或 13 22 (21)(23)6 x xx 或 1 2 (21)(23)6 x xx 解之得 3 2 2 x或 13 22 x或 1 1 2 x , 即不等式的解集为| 1xx (2) ( )2123 (21)(23)4f xxxxx , 14a ,解此不等式得 3a 或 5a .


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