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    2020年广东省广州市高考数学二模试卷(文科)含答案解析

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    2020年广东省广州市高考数学二模试卷(文科)含答案解析

    1、2020 年广州市高考数学二模试卷(文科)年广州市高考数学二模试卷(文科) 一、选择题(共 12 小题). 1若集合 Ax|2x0,Bx|0x1,则 AB( ) A0,2 B0,1 C1,2 D1,2 2已知 i 为虚数单位,若 z (1+i)2i,则|z|( ) A2 B C1 D 3已知角 的项点与坐标原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,若点 P(2,1)在角 的终边上,则 tan( ) A2 B C D2 4若实数 x,y 满足 ,则 z2xy 的最小值是( ) A2 B C4 D6 5已知函数 f(x)1+x3,若 aR,则 f(a)+f(a)( ) A0 B2+2a3 C2 D2

    2、2a3 6若函数 f(x)Asin(2x+)(A0,0 )的部分图象如图所示,则下列叙述正 确的是( ) A( ,0)是函数 f(x)图象的一个对称中心 B函数 f(x) 的图象关于直线 x 对称 C函数 f(x) 在区间 , 上单调递增 D函数 f(x)的图象可由 yAsin 2x 的图象向左平移 个单位得到 7周髀算经中提出了“方属地,圆属天”,也就是人们常说的“天圆地方”我国古 代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想现将铜钱抽象成如 图所示的图形,其中圆的半径为 r,正方形的边长为 a(0ar),若在圆内随机取点, 得到点取自阴影部分的概率是 p,则圆周率 的值为(

    3、) A B C D 8在三棱柱 ABCA1B1C1中,E 是棱 AB 的中点,动点 F 是侧面 ACC1A1(包括边界)上一 点,若 EF平面 BCC1B1,则动点 F 的轨迹是( ) A线段 B圆弧 C椭圆的一部分 D抛物线的一部分 9已知函数 , , ,则 f(x)f(x+1)的解集为( ) A(1,+) B(1,1) C , D , 10ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 bcosC+ccosB6,c3,B2C, 则 cosC 的值为( ) A B C D 11若关于 x 的不等式 2lnxax2+(2a2)x+1 恒成立,则 a 的最小整数值是( ) A0 B1

    4、 C2 D3 12过双曲线 C: 1(a0,b0)右焦点 F2作双曲线一条渐近线的垂线,垂足 为 P,与双曲线交于点 A,若 3 ,则双曲线 C 的渐近线方程为( ) Ay2x Byx Cy x Dy x 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13已知向量 (k,1), (4,2),若 与 共线,则实数 k 的值为 14已知等比数列an是单调递增数列,Sn为an的前 n 项和,若 a24,a1+a310,则 S4 15斜率为 的直线 1 过抛物线 y22px(p0)的焦点,若直线 1 与圆(x2)2+y24 相切,则 p 16正四棱锥 PABCD 的底面边长为 2,侧

    5、棱长为 2 ,过点 A 作一个与侧棱 PC 垂直的 平面 ,则平面 被此正四棱锥所截的截面面积为 ,平面 将此正四棱锥分成的 两部分体积的比值为 三、 解答题: 共 70 分。 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 1721 题为必考题, 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共 60 分。 17已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 Snn(n+2)(nN*) (1)求数列an的通项公式; (2)设 bn ,求数列bn的前 n 项和 Tn 18如图,在三棱柱 ABCA1B1C1中,侧面 BB1C1C 为菱形,ACAB1,B1CBC1O (

    6、1)求证:B1CAB; (2)若CBB160,ACBC,三棱锥 ABB1C 的体积为 1,且点 A 在侧面 BB1C1C 上的投影为点 O,求三棱锥 ABB1C 的表面积 19 全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平, 倡导全民做到每天参加一次以上的健身活 动,学会两种以上健身方法,每年进行一次体质测定为响应全民健身号召,某单位在 职工体测后就某项健康指数(百分制)随机抽取了 30 名职工的体测数据作为样本进行调 查, 具体数据如茎叶图所示, 其中有 1 名女职工的健康指数的数据模糊不清 (用 x 表示) , 已知这 30 名职工的健康指数的平均数为 76.2 (1)根据茎叶图,求样本中男职工

    7、健康指数的众数和中位数; (2)根据茎叶图,按男女用分层抽样从这 30 名职工中随机抽取 5 人,再从抽取的 5 人 中随机抽取 2 人,求抽取的 2 人都是男职工的概率; (3)经计算,样本中男职工健康指数的平均数为 81,女职工现有数据(即剔除 x)健康 指数的平均数为 69,方差为 190,求样本中所有女职工的健康指数的平均数和方差(结 果精确到 0.1) 20已知椭圆 C: 1(ab0)过点 A(2,0),且离心率为 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若斜率为 k(k0)的直线 1 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N,且线段 MN 的垂直 平分线过点( ,0),求 k 的取值范围 21

    8、已知函数 f(x)lnxsinx,记 f(x)的导函数为 f(x) (1)若 h(x)ax f(x)是(0,+)上的单调递增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x(0,2),试判断函数 f(x)的极值点个数,并说明理由 (二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第 一题计分。选修 4-4:坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 2 (1)写出曲线 C1和 C2的直角坐标方程; (2) 已知 P 为曲线 C2上的动点,

    9、 过点 P 作曲线 C1的切线, 切点为 A, 求|PA|的最大值 选修 4-5:不等式选讲 23已知函数 f(x)|x+1|2x2|的最大值为 M,正实数 a,b 满足 a+bM (1)求 2a2+b2的最小值; (2)求证:aabbab 参考答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1若集合 Ax|2x0,Bx|0x1,则 AB( ) A0,2 B0,1 C1,2 D1,2 【分析】求出集合 A,利用交集定义能求出 AB 解:集合 Ax|2x0x|x2,Bx|0x1, ABx|0x10,1 故选:B 2已知

    10、 i 为虚数单位,若 z (1+i)2i,则|z|( ) A2 B C1 D 【分析】由已知条件,结合复数的运算可得 z1+i,由模长公式可得答案 解:z (1+i)2i, z 1+i, 故|z| 故选:B 3已知角 的项点与坐标原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,若点 P(2,1)在角 的终边上,则 tan( ) A2 B C D2 【分析】直接利用任意角的三角函数,求解即可 解:点 P(2,1)在角 的终边上, tan , 故选:C 4若实数 x,y 满足 ,则 z2xy 的最小值是( ) A2 B C4 D6 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,结合目标函数

    11、z2x y 的最小值 解:实数 x,y 满足 ,边表示的可行域如图: 化简 z2xy 为 y2xz,z 是直线的截距, 故当 z2xy 过点 A 时,截距取得最大值,此时 z 有最小值, 由 解得 A( , ) 故目标函数 z2xy 的最小值为 2 ; 故选:B 5已知函数 f(x)1+x3,若 aR,则 f(a)+f(a)( ) A0 B2+2a3 C2 D22a3 【分析】根据题意,由函数的解析式求出 f(a)与 f(a)的表达式,进而计算可得答 案 解:根据题意,函数 f(x)1+x3,则 f(a)1+a3,f(a)1+(a)31a3, 则有 f(a)+f(a)2; 故选:C 6若函数

    12、f(x)Asin(2x+)(A0,0 )的部分图象如图所示,则下列叙述正 确的是( ) A( ,0)是函数 f(x)图象的一个对称中心 B函数 f(x) 的图象关于直线 x 对称 C函数 f(x) 在区间 , 上单调递增 D函数 f(x)的图象可由 yAsin 2x 的图象向左平移 个单位得到 【分析】先由图象可知 A2,再把点( , )代入函数解析式,结合 0 ,可求 得 ,从而确定函数的解析式为 f(x) 然后根据正弦函数的中心对 称、轴对称和单调性以及平移变换法则逐一判断每个选项即可 解:由图可知,A2, 函数 f(x)经过点( , ), , , ,即 , , 0 ,k1, 函数 f(x

    13、) 令 , ,则 , ,当 k0 时,对称中心为 , , 即 A 正确; 令 , ,则 , ,不存在 k 使其对称轴为 x ,即 B 错误; 令 , , ,则 , , ,当 k0 时,单调递增区间为 , , ,即 C 错误; y2sin2x 的图象向左平移 个单位得到 y2sin2(x ) f(x),即 D 错误 故选:A 7周髀算经中提出了“方属地,圆属天”,也就是人们常说的“天圆地方”我国古 代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想现将铜钱抽象成如 图所示的图形,其中圆的半径为 r,正方形的边长为 a(0ar),若在圆内随机取点, 得到点取自阴影部分的概率是 p,则圆周率

    14、 的值为( ) A B C D 【分析】计算圆形钱币的面积和正方形的面积,求出对应面积比得 p,则 可求 解:圆形钱币的半径为 rcm,面积为 S圆 r2; 正方形边长为 acm,面积为 S正方形a2 在圆形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率是 p 圆 正方形 圆 1 , 则 故选:A 8在三棱柱 ABCA1B1C1中,E 是棱 AB 的中点,动点 F 是侧面 ACC1A1(包括边界)上一 点,若 EF平面 BCC1B1,则动点 F 的轨迹是( ) A线段 B圆弧 C椭圆的一部分 D抛物线的一部分 【分析】分别取 AC,A1C1,A1B1的中点 N,F,M,连接 ME,MF,NE,EF,可得

    15、 N, E,M,F 共面,且可得使 EF平面 BCC1B1,所以 F 在线段 FN 上 解:分别取 AC,A1C1,A1B1的中点 N,F,M,连接 ME,MF,NE,EF, 因为 E 为 AB 的中点,可得 NEBC 且 NE ,FMB1C1 ,MF B1C1, 所以 N,E,M,F 共面,所以可得 MEBB1,BEBC, 而 NEMEE, BCBB1B, 所以面 NEMF面 BC1, 而 EF面 MN, 所以 EF面 BC1, 所以要使 EF平面 BCC1B1,则动点 F 的轨迹为线段 FN 故选:A 9已知函数 , , ,则 f(x)f(x+1)的解集为( ) A(1,+) B(1,1)

    16、 C , D , 【分析】由题意利用函数的单调性,分类讨论求得 x 的范围 解:函数 , , ,则 f(x)f(x+1), 当 x1 时,不等式 f(x)f(x+1),即 x21(x+1)21,求得 x1 当 x1 时,不等式 f(x)f(x+1),即 log2xlog2(x+1),求得 x1 综上可得,不等式的解集为( ,+), 故选:C 10ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 bcosC+ccosB6,c3,B2C, 则 cosC 的值为( ) A B C D 【分析】由已知利用二倍角的正弦函数公式,正弦定理可得 b6cosC,利用两角和的正 弦函数公式, 正弦定理

    17、化简已知等式可得 a2c6, 进而根据余弦定理即可求解 cosC 的 值 解:c3,B2C, sinBsin2C2sinCcosC, 由正弦定理 ,可得 ,可得 b6cosC, bcosC+ccosB62c,由正弦定理可得 sinBcoC+sinCcosB2sinC,可得 sin(B+C) sinA2sinC,可得 a2c6, cosC ,可得 cos2 C , ca,C 为锐角, 解得 cosC 故选:D 11若关于 x 的不等式 2lnxax2+(2a2)x+1 恒成立,则 a 的最小整数值是( ) A0 B1 C2 D3 【分析】问题等价于 a 在(0,+)恒成立,令 g(x) ,求出

    18、g(x) 的最大值,求出 a 的范围即可 解:若关于 x 的不等式 2lnxax2+(2a2)x+1 恒成立, 问题等价于 a 在(0,+)恒成立, 令 g(x) ,则 g(x) , 令 h(x) xlnx,(x0), 则 h(x) 0, 故 h(x)在(0,+)递减, 不妨设 h(x)0 的根是 x0, 则 lnx0 x0, 则 x(0,x0)时,g(x)0,g(x)递增, x(x0,+)时,g(x)0,g(x)递减, g(x)maxg(x0) , h(1)10,h(2) ln20, 1x02, 1, a1,a 的最小整数值是 1, 故选:B 12过双曲线 C: 1(a0,b0)右焦点 F2

    19、作双曲线一条渐近线的垂线,垂足 为 P,与双曲线交于点 A,若 3 ,则双曲线 C 的渐近线方程为( ) Ay2x Byx Cy x Dy x 【分析】由题意画出图形,不妨设一条渐近线方程为 ,求得直线 F2P: y 与已知渐近线方程联立求得 P 的坐标,再由向量等式求得 A 的坐标,代 入双曲线方程整理即可求得双曲线 C 的渐近线方程 解:如图,不妨设一条渐近线方程为 , 则 F2P 所在直线的斜率为 ,直线 F2P:y 联立 ,解得 P( , ) 设 A(x0,y0),由 3 ,得( , )3(x0c,y0), 解得 A( , ) 代入 1,得 , 整理得: 双曲线 C 的渐近线方程为 y

    20、 故选:C 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13已知向量 (k,1), (4,2),若 与 共线,则实数 k 的值为 2 【分析】根据题意,由向量共线的坐标表示公式可得 2k(1)(4)4,解可得 k 的值,即可得答案 解:根据题意,向量 (k,1), (4,2), 若 与 共线,则有 2k(1)(4)4,解可得 k2; 故答案为:2 14已知等比数列an是单调递增数列,Sn为an的前 n 项和,若 a24,a1+a310,则 S4 30 【分析】设等比数列an的公比为 q,由 a24,a1+a310,可得: 4q10,及其等 比数列an是单调递增数列,解得 q

    21、再利用求和公式即可得出 解:设等比数列an的公比为 q,a24,a1+a310, 4q10,化为:2q25q+20, 解得 q2 或 等比数列an是单调递增数列, q2 a1 2 则 S4 30 故答案为:30 15斜率为 的直线 1 过抛物线 y22px(p0)的焦点,若直线 1 与圆(x2)2+y24 相切,则 p 12 【分析】求出直线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,求解即可 解:斜率为 的直线 l 过抛物线 C:y22px(p0)的焦点 F( ,0), 直线 l 的方程: yx , 若 l 与圆 M:(x2)2+y24 相切, 可得: 2,解得 p12, 故答案为:12 16正四棱

    22、锥 PABCD 的底面边长为 2,侧棱长为 2 ,过点 A 作一个与侧棱 PC 垂直的 平面 ,则平面 被此正四棱锥所截的截面面积为 ,平面 将此正四棱锥分成 的两部分体积的比值为 (或 2) 【分析】由已知得PAC 为正三角形,取 PC 的中点 G,得 AGPC,且 AG 然后 证明 AGEF, 且求得 AG 与 EF 的长度, 可得截面四边形的面积; 再求出四棱锥 PAEGF 的体积与原正四棱锥的体积,则平面 将此正四棱锥分成的两部分体积的比值可求 解:如图, 在正四棱锥 PABCD 中,由底面边长为 2,侧棱长为 , 可得PAC 为正三角形,取 PC 的中点 G,得 AGPC,且 AG

    23、设过 AG 与 PC 垂直的平面交 PB 于 E,交 PD 于 F,连接 EF, 则 EGPC,FGPC,可得 RtPGERtPGF,得 GEGF,PEPF, 在PAE 与PAF 中,由 PAPA,PEPF,APEAPF,得 AEAF AGEF 在等腰三角形 PBC 中,由 PBPC2 ,BC2,得 cosBPC , 则在 RtPGE 中,得 PE 同理 PF ,则 EFDB,得到 EF 四边形 ; 则 又 , 平面 将此正四棱锥分成的上下两部分体积的比为 故答案为: ; (或 2) 三、 解答题: 共 70 分。 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 1721 题为必考题, 每个试

    24、题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共 60 分。 17已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 Snn(n+2)(nN*) (1)求数列an的通项公式; (2)设 bn ,求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】(1)由 n1 时求得 a1,当 n2 时,由 Snn(n+2)(nN*),可得 Sn1 (n1)(n+1),由得 an2n+1,再检验当 n1 时是否适合,求得 an; (2)由(1)求得 bn ,再利用错位相减法求其前 n 项和 Tn即可 解: (1) 由题知: 当 n1 时, 有 S1133a1; 当 n2 时, 由 Snn (n+2) (

    25、nN*) , 可得 Sn1 (n1) (n+1) , 由得 an2n+1, 又 n1 时也适合, 故 an2n+1; (2)由(1)知 bn , Tn 3 5 7( ) 3+(2n+1) ( ) n, 3 5( ) 3+(2n+1) , 由可得: , 所以 Tn 18如图,在三棱柱 ABCA1B1C1中,侧面 BB1C1C 为菱形,ACAB1,B1CBC1O (1)求证:B1CAB; (2)若CBB160,ACBC,三棱锥 ABB1C 的体积为 1,且点 A 在侧面 BB1C1C 上的投影为点 O,求三棱锥 ABB1C 的表面积 【分析】(1)由侧面 BB1C1C 为菱形,得 B1CBO,再由

    26、 ACAB1,O 为 B1C 的中点, 得 B1CAO,利用直线与平面垂直的判定可得 B1C平面 ABO,从而得到 B 1CAB; (2)点 A 在侧面 BB1C1C 上的投影为点 O,即 AO平面 BB1C1C,设 BC2a,由三棱 锥 ABB1C 的体积为 1 求解 a,再求解三角形可得三棱锥 ABB1C 的表面积 【解答】(1)证明:侧面 BB1C1C 为菱形,B1CBO, 又 ACAB1,O 为 B1C 的中点,B1CAO, 而 AOBOO,B1C平面 ABO,得 B1CAB; (2)解:点 A 在侧面 BB1C1C 上的投影为点 O,即 AO平面 BB1C1C, 在菱形 BB1C1C

    27、 中,CBB160,B1BC 为等边三角形, 又 ACBC,设 BC2a,则 , AO , 则 ,即 a1 在平面 BB1O 中,过 O 作 OEBB1,连接 AE, 可得 OE ,则 AE ,同理可得 则三棱锥 ABB1C 的表面积为 19 全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平, 倡导全民做到每天参加一次以上的健身活 动,学会两种以上健身方法,每年进行一次体质测定为响应全民健身号召,某单位在 职工体测后就某项健康指数(百分制)随机抽取了 30 名职工的体测数据作为样本进行调 查, 具体数据如茎叶图所示, 其中有 1 名女职工的健康指数的数据模糊不清 (用 x 表示) , 已知这 30 名职

    28、工的健康指数的平均数为 76.2 (1)根据茎叶图,求样本中男职工健康指数的众数和中位数; (2)根据茎叶图,按男女用分层抽样从这 30 名职工中随机抽取 5 人,再从抽取的 5 人 中随机抽取 2 人,求抽取的 2 人都是男职工的概率; (3)经计算,样本中男职工健康指数的平均数为 81,女职工现有数据(即剔除 x)健康 指数的平均数为 69,方差为 190,求样本中所有女职工的健康指数的平均数和方差(结 果精确到 0.1) 【分析】(1)根据茎叶图中数据,计算样本中男职工健康指数的众数和中位数; (2)根据分层抽样原理求出抽取的男、女职工人数,用列举法求出基本事件数,计算所 求的概率值;

    29、(3)根据题意求出 x 的值,再计算健康指数的平均数和方差 解: (1)根据茎叶图,计算样本中男职工健康指数的众数是 76,中位数是 (80+82) 81; (2)根据茎叶图,按男女用分层抽样从这 30 名职工中随机抽取 5 人, 男职工抽 5 3(人),记为 a、b、c,女职工 2 人,记为 D、E, 从这 5 人中随机抽取 2 人,所有的基本事件是 ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE、 DE 共 10 种, 抽取的 2 人都是男职工的事件为 ab、ac、bc, 故所求的概率为 P ; (3)由题意知,8118+1169+x3076.2,解得 x69; 所以样本中所有女职工

    30、的健康指数平均数为 (1169+69)1269, 方差为 s2 11190+(6969)2174.2 20已知椭圆 C: 1(ab0)过点 A(2,0),且离心率为 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若斜率为 k(k0)的直线 1 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N,且线段 MN 的垂直 平分线过点( ,0),求 k 的取值范围 【分析】(1)根据题意得 解得 a,b,c,进而写出椭圆的方程 (2)设直线 l 的方程:ykx+m,M(x1,y1),N(x2,y2)联立直线 l 与椭圆 C 的方程 得关于 x 的一元二次方程, 由韦达定理可得 x1+x2, x1x2, y1+y2, 0, 即 m

    31、24k2+3, 得到 线段 MN 中点( , ),写出线段 MN 的垂直平分线的方程为 y (x ),将点( ,0)代入,得 m ,代入式得 k 的取值范围为 解:(1)因为椭圆 C 过点 A(2,0),且离心率为 所以 解得 a2,b ,c1, 所以椭圆 C 的方程为: (2)设直线 l 的方程:ykx+m,M(x1,y1),N(x2,y2) 联立直线 l 与椭圆 C 的方程得(3+4k2)x2+8kmx+4m2120, x1+x2 ,x 1x2 , y1+y2k(x1+x2)+2mk( )+2m , (8km)24(3+4k2)(4m212)48m2+144+192k20,即 m24k2+

    32、3, 所以线段 MN 中点( , ), 所以线段 MN 的垂直平分线的方程为 y (x ), 又因为线段 MN 的垂直平分线过点( ,0), 所以 ( ),即 4k 2+8km+30, 所以 m , 代入式得, , 解得 k 或 k , 所以 k 的取值范围为(, )( ,+) 21已知函数 f(x)lnxsinx,记 f(x)的导函数为 f(x) (1)若 h(x)ax f(x)是(0,+)上的单调递增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x(0,2),试判断函数 f(x)的极值点个数,并说明理由 【分析】(1)只需 h(x)0 在(0,+)恒成立,借助于三角函数的有界性,问题 可解决

    33、(2)分 x(0,1), , , , , , 四种情形分别研究 f(x) 的单调性,进而得出结论 解:(1) , ax+cosx,因为 h(x)是(0,+)上的单调递增函数, h(x)asinx0(x0)恒成立,因为 sinx1,1, 故 a1 时,h(x)0 恒成立,且导数为 0 时不连续 故 a1 即为所求 (2)由(1)知, , 当 x(0,1时,f(x)1cosx0, 此时函数 f(x)单调递增,无极值点; 当 , 时,则 , ,而由三角函数的性质可知, , , 此时函数 f(x)单调递增,无极值点; 当 , 时,cosx0,则 , 此时函数 f(x)单调递增,无极值点; 当 , 时,

    34、令 ,则 , 函数 g(x)单调递减, 又 , , 存在唯一的 , ,使得 g(x0)0, 且当 , 时,g(x)f(x)0,f(x)单调递增, 当 x(x0,2)时,g(x)f(x)0,f(x)单调递减, 故 x0是函数 f(x)的极大值点, 综上所述,函数 f(x)在(0,2)上有且仅有唯一的极大值点,无极小值点 一、选择题 22在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 2 (1)写出曲线 C1和 C2的直角坐标方程; (2) 已知 P 为曲线 C2上的动点, 过点 P 作曲线 C1的切

    35、线, 切点为 A, 求|PA|的最大值 【分析】 (1) 由 ( 为参数) , 消去参数 , 可得曲线 C1的直角坐标方程 由 2 ,得 2+32sin24,结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线 C 2的直 角坐标方程; (2)由 P 为曲线 C2上的动点,设 P(2cos,sin),则 P 与圆的圆心的距离 d 利用二次函数求最值,再由勾股 定理求|PA|的最大值 解:(1)由 ( 为参数),消去参数 ,可得 x 2+(y2)21 曲线 C1的直角坐标方程为 x2+(y2)21; 由 2 ,得 2+32sin24, 即 x2+y2+3y24,即 曲线 C2的直角坐标方程为 ; (2)P 为

    36、曲线 C2上的动点,设 P(2cos,sin), 则 P 与圆的圆心的距离 d 要使|PA|的最大值,则 d 最大,当 sin 时,d 有最大值为 |PA|的最大值为 选修 4-5:不等式选讲 23已知函数 f(x)|x+1|2x2|的最大值为 M,正实数 a,b 满足 a+bM (1)求 2a2+b2的最小值; (2)求证:aabbab 【分析】(1)由绝对值的性质和绝对值的几何意义,可得 f(x)的最大值,即有 M 的 值,再由柯西不等式,即可得到所求最小值; (2)应用分析法证明,考虑两边取自然对数,结合因式分解和不等式的性质、对数的性 质,即可得证 解:(1)函数 f(x)|x+1|2

    37、x2|x+1|x1|x1| |x+1x+1|11|2,当 x1 时,f(x)取得最大值 2, 即 M2, 正实数 a,b 满足 a+b2, 由柯西不等式可得(2a2+b2)( 1)( a b) 2, 化为 2a2+b2 , 当 b2a 时,2a 2+b2取得最小值 ; (2)证明:因为 a+b2,a,b0,要证 aabbab,即证 alna+blnblna+lnb, 即证(a1)lna(1b)lnb, 即证(1a)ln( 1)0, 当 0a1 时, 11,所以 ln( 1)0, 由 1a0,可得(1a)ln( 1)0; 当 a1 时,(1a)ln( 1)0; 当 1a2 时,0 11,所以 ln( 1)0, 因为 1a0,所以(1a)ln( 1)0, 综上所述,(1a)ln( 1)0 成立,即 a abbab


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