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    2019-2020学年山西省长治二中高三(上)11月月考数学试卷(文科)含详细解答

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    2019-2020学年山西省长治二中高三(上)11月月考数学试卷(文科)含详细解答

    1、已知复数 z,则复数 z 在复平面内对应点所在的象限为( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 (5 分)已知集合 Ax|x3k+1,kN,By|y4k1,kN,C1,2,3,4,5, 6,7,8,则(AB)C( ) A7 B2,4,7 C (1,3,7) D (1,3,4,7) 3 (5 分)已知实数 a0,b0,则“ab1”是“ea+2beb+2a”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 (5 分)已知条件 P:是奇函数;值域为 R;函数图象经过第四象限则下列函 数中满足条件 P 的是( ) Af(x)2x+2 x B C D

    2、f(x)sinx 5 (5 分)已知角 的终边过点 P(sin,cos) ,则 sin()( ) Acos2 Bcos2 Csin2 Dsin2 6 (5 分) 已知函数 f (x) , 则不等式 f (2x3) f (1) 的解集为 ( ) A1,2 B1,2 C1,3 D (1,2) 7 (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A B C2 D 第 2 页(共 20 页) 8 (5 分)函数 f(x)xsinx+在区间2,2上的大致图象为( ) A B C D 9 (5 分)已知角 a, 满足 sin(2+)3sin,若,则实数 的值为( ) A2 B3 C4 D6

    3、10 (5 分)定义:mina,b表示 a,b 两数中较小的数例如 min2,42已知 f(x) minx2,x2,g(x)2x+x+m(mR) ,若对任意 x12,0,存在 x21, 2,都有 f(x1)g(x2)成立,则 m 的取值范围为( ) A4,+) B6,+) C7,+) D10,+) 11 (5 分)已知函数 f(x)sin(x+)cos(x+) (0,|)图象向右平移 个单位长度得到函数 g(x)的图象,若函数 g(x)的最小正周期为 ,x为函数 g(x)的一条对称轴,则函数 g(x)的一个增区间为( ) A (0,) B (,) C (,) D (,) 12 (5 分)已知函

    4、数 f(x)xlnx+m(mR) ,若 f(x)有两个零点 x1,x2(x1x2) ,下 列选项中不正确的是( ) Am1 B C0x11 Dx1+x22 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分分 13 (5 分)曲线 f(x)xlnx+x 在点 x1 处的切线方程为 第 3 页(共 20 页) 14 (5 分)若实数 x,y 满足不等式组,存在可行解(x,y)满足 mxy6m 0,则实数 m 的最小值为 15 (5 分)已知数列an的前 n 项和为 S,若 a11,2Snan+1,则数列an的通项公式 an 16 (5 分)在三棱锥 PABC 中,已知

    5、 PABC,PBAC,PAPBPC2AB4,则三 棱锥 PABC 外接球的表面积为 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 (10 分)已知平面向量 (1,2) , (k,3) (kR) (1)若 ,求 k 的值; (2)若 ,求向量 + 与 夹角的余弦值 18 (12 分)已知函数 f(x)为定义在 R 上的偶函数,当 x0 时,f(x)|e xm|,mR (1)当时,求函数 f(x)的单调区间: (2)若函数有两个零点:求实数 m 的取值范围 19 (12 分)已知数列an满足:an0,a11,anan+1(2an+1)

    6、 (nN*) (1)求证:为等差数列,并求出 an; (2)设 bn,数列bn的前 n 项和为 Sn,若不等式 Sn 成立,求正整数 n 的最小值 20 (12 分)如图,在ABC 中,已知 AB1,BC2,ABC60,M 为 BC 中点,E, F 分别为线段 AB,AC 上动点(不包括端点) ,记 (1)当 45时,求BEM 的面积; (2)当 EMFM 时,求证:当 变化时,恒有 第 4 页(共 20 页) 21 (12 分)如图 1,在直角梯形 ABCD 中,E,F 分别为 AB 的三等分点,FGBC,ED BC,AB3,BC2,若沿着 FG,ED 折叠使得点 A 和 B 重合,如图 2

    7、 所示,连结 GC, BD (1)求证:平面 GBD平面 BCDE; (2)求点 E 到平面 CDG 的距离 22 (12 分)已知函数 f(x)ex+cosxax(aR) (1)若 a0 时,讨论 f(x)在区间,上零点个数; (2)若当 x0,+)时,f(x)2 恒成立,求实数 a 的取值范围 第 5 页(共 20 页) 2019-2020 学年山西省长治二中高三 (上)学年山西省长治二中高三 (上) 11 月月考数学试卷 (文月月考数学试卷 (文 科)科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,在每小题给出

    8、的四个选项中,只有一项是符分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 (5 分)已知复数 z,则复数 z 在复平面内对应点所在的象限为( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】直接由已知的复数得到其在复平面内对应点的坐标即可 【解答】解:因为, 所以复数 z 在复平面内对应点为, 所以 z 在复平面内对应点在第四象限 故选:D 【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义,属基础题 2 (5 分)已知集合 Ax|x3k+1,kN,By|y4k1,kN,C1,2,3,4,5, 6,7,8,则(AB)C( ) A7 B2,4,7 C (1,3,

    9、7) D (1,3,4,7) 【分析】先求出 C 在集合 A,B 的元素,然后求解(AB)C 即可求解 【解答】解:由题意知集合 A1,4,7,10,B1,3,7,11, C 中元素在集合 A 中或在集合 B 中的有 1,3,4,7, 故(AB)C1,3,4,7 故选:D 【点评】本题考查集合的求法,集合的交集与并集的运算,考查计算能力 3 (5 分)已知实数 a0,b0,则“ab1”是“ea+2beb+2a”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由于 ea+2beb+2aea2aeb2b,构造函数 f(x)ex2x(x0) ,通过 求导,探

    10、究 f(x)的单调性,再根据充分必要条件的定义得出结论即可 第 6 页(共 20 页) 【解答】解:ea+2beb+2aea2aeb2b, 令 f(x)ex2x(x0) ,f(x)ex2, 令 f(x)0,解得 xln2,故 f(x)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,+)上单调 递增, 故当 ab1 时,f(a)f(b) ,故“ab1”是“ea+2beb+2a”的充分条件; 但当 0abln2 时,有 f(a)f(b) , 故“ab1”是“ea+2beb+2a”的充分不必要条件 故选:A 【点评】本题考查了函数的单调性,充分必要条件,渗透了函数思想,属于中档题 4 (5 分)已知条件 P

    11、:是奇函数;值域为 R;函数图象经过第四象限则下列函 数中满足条件 P 的是( ) Af(x)2x+2 x B C Df(x)sinx 【分析】根据给出的条件,逐一进行判断,只要有一个不满足,就排除选项即可 【解答】解:A 选项为偶函数,不符合题意; B 选项虽然是奇函数,但 x0 时 f(x)2,故不 符合题意; C 选项 f(x)f(x) ,故为奇函数,值域为 R,图象也经过第四象限, 符合题意; D 选项 f(x)sinx1,1不符合题意 故选:C 【点评】本题考查了函数的性质,用排除法更容易得出结论,属于基础题 5 (5 分)已知角 的终边过点 P(sin,cos) ,则 sin()(

    12、 ) Acos2 Bcos2 Csin2 Dsin2 【分析】先利用三角函数的定义,得到 cossin,sincos,再利用两角差的正弦公 式即可算出结果 【解答】解:由题意知 cossin,sincos, sin()sincoscossincos2sin2cos2, 第 7 页(共 20 页) 故选:A 【点评】本题主要考查了三角函数的定义和两角差的正弦公式,是基础题 6 (5 分) 已知函数 f (x) , 则不等式 f (2x3) f (1) 的解集为 ( ) A1,2 B1,2 C1,3 D (1,2) 【分析】画出函数的图象,利用数形结合转化求解不等式的解集即可 【解答】解:因为 f

    13、(1)0,故只需求解不等式 f(2x3)0 即可, 由图易知,当1x1 时,f(x)0,故令12x31,解得 1x2 故选:B 【点评】本题考查了分段函数的性质、一元二次不等式的解法,考查了计算能力,属于 基础题 7 (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A B C2 D 【分析】画出几何体的直观图,利用三视图的数据求解几何体的体积即可 【 解 答 】 解 : 该 几 何 体 为 一 个 直 三 棱 柱 削 去 两 个 三 棱 锥 , 故 体 积 为 第 8 页(共 20 页) 故选:C 【点评】本题考查三视图求解几何体的体积,判断几何体的形状是解题的关键,是中档 题

    14、8 (5 分)函数 f(x)xsinx+在区间2,2上的大致图象为( ) A B C D 【分析】先求函数的定义域,判断函数的奇偶性,由 f(x)f(x)知 f(x)为偶函数, 故排除 A,D;再取一特殊值检验正负即可得出结论 【解答】解:由题意得函数定义域为x|x0, 则 f(x)(x)sin(x)+xsinxf(x) ; 知 f(x)为偶函数,故排除 A,D; 又,排除 B, 故选:C 【点评】本题考查了函数的图象与性质的探究,考查了观察能力及分析解决问题的能力, 属于中档题 9 (5 分)已知角 a, 满足 sin(2+)3sin,若,则实数 的值为( ) 第 9 页(共 20 页) A

    15、2 B3 C4 D6 【分析】先用两角和的正弦公式化简 sin(2+)3sin,得到, 再利用二倍角公式化简得到2tan,从而求出 的值 【解答】解:由 sin(2+)3sin 得 sin2cos+cos2sin3sin, 两边同时除以cos得sin2+cos2tan3tan,即 , 所以, 故 2, 故选:A 【点评】本题主要考查了两角和的正弦公式,二倍角公式,是中档题 10 (5 分)定义:mina,b表示 a,b 两数中较小的数例如 min2,42已知 f(x) minx2,x2,g(x)2x+x+m(mR) ,若对任意 x12,0,存在 x21, 2,都有 f(x1)g(x2)成立,则

    16、 m 的取值范围为( ) A4,+) B6,+) C7,+) D10,+) 【分析】先利用定义写出分段函数 f(x) ,画出图象,f(x1)的最大值小于 g(x2)的最 大值问题,转化成恒成立问题, 【解答】解:如图,当 x12,0时,f(x1)maxf(1)1; 当 x21,2时,g(x2)为增函数, 则 g(x2)maxg(2)6+m 由题意知 f(x1)maxg(x2)max, 即16+m,即 m7 故选:C 【点评】利用定义得分段函数 f(x) ,再用函数的最值来解决本题,属于中档题 第 10 页(共 20 页) 11 (5 分)已知函数 f(x)sin(x+)cos(x+) (0,|

    17、)图象向右平移 个单位长度得到函数 g(x)的图象,若函数 g(x)的最小正周期为 ,x为函数 g(x)的一条对称轴,则函数 g(x)的一个增区间为( ) A (0,) B (,) C (,) D (,) 【分析】利用三角函数恒等变换的应用可求 f(x)sin(x+) ,利用函数 y Asin(x+)的图象变换可求 g(x)sin(x+) ,利用周期公式可求 , 利用正弦函数的对称性可求 ,根据正弦函数的单调性即可求解 【解答】解:函数 f(x)sin(x+)cos(x+)sin(x+) (0, |) , g(x)f(x)sin(x)+sin(x+) , g(x)的最小正周期为 , 2, x为

    18、函数 g(x)的一条对称轴, 2+k+,解得 k+, |, , g(x)sin(2x) , 令 2k2x2k+,kZ,解得 k+xk+,kZ, 当 k0 时,可得函数 g(x)的一个增区间为(,) 故选:C 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,函数 yAsin(x+)的图象变换, 正弦函数的对称性和单调性,考查了函数思想,属于中档题 12 (5 分)已知函数 f(x)xlnx+m(mR) ,若 f(x)有两个零点 x1,x2(x1x2) ,下 列选项中不正确的是( ) 第 11 页(共 20 页) Am1 B C0x11 Dx1+x22 【分析】求出函数的导数,判断函数的单调性,通过

    19、求解函数的最小值判断 AC 的正误; 利用函数的零点判断 B 的正误,结合图象判断 D 的正误即可 【解答】解:令 f(x)0,解得 x1, 故 f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,如图 故 f(x)minf(1)1+m0,即 m1,并且 0x11,故 A、C 正确; 由于 x1,x2为 f(x)的零点,故有 x1lnx1+m0,x2lnx2+m0,两式相减得 , 即,故 B 正确; 由于当 m2+ln2 时,x22,此时 x1+x22,故 D 不正确 故选:D 【点评】本题考查函数的导数的应用,命题的真假的判断,函数的零点的求法,考查数 形结合以及计算能力,是中档题 二、

    20、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分分 13 (5 分)曲线 f(x)xlnx+x 在点 x1 处的切线方程为 y2x1 【分析】求导函数,然后求解切线的斜率,求切点坐标,进而可求切线方程 【解答】解:求导函数,可得 ylnx+2, x1 时,y2,y1 曲线 yxlnx+1 在点 x1 处的切线方程是 y12(x1) 即 y2x1 故答案为:y2x1 第 12 页(共 20 页) 【点评】本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,求出切线的斜率是关键,属 于基础题 14 (5 分)若实数 x,y 满足不等式组,存在可行解(x,y)满足 mxy6m 0,

    21、则实数 m 的最小值为 1 【分析】画出不等式组表示的平面区域为可行域,根据直线方程恒过定点,结合图形求 得最优解,得出 m 的取最小值 【解答】解:画出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示为可行域; 又直线方程 mxy6m0 可化为 m(x6)y0,则直线 m(x6)y0 恒过定 点(6,0) , 由图形知,当直线过点 P 时,m 取最小值; 由,求得 P(2,4) ; 此时 m1 故答案为:1 【点评】本题考查了简单的线性规划应用问题,也考查了数形结合思想,是基础题 15 (5 分)已知数列an的前 n 项和为 S,若 a11,2Snan+1,则数列an的通项公式 an 【分析】当 n

    22、2 时,可得数列an是从第二项开始的等比数列,且此时 an23n 2, 令 n1,可求得 a11,进而得到答案 第 13 页(共 20 页) 【解答】解:当 n2 时,2Sn1an,2Snan+1, 得 2anan+1an,即 an+13an 故数列an从第二项起为等比数列,又 a22,则 an23n 2 当 n1 时,a11, 故 an 故答案为: 【点评】本题考查数列通项的求法,主要是数列通项与前 n 项和的关系,考查运算求解 能力,属于基础题 16 (5 分)在三棱锥 PABC 中,已知 PABC,PBAC,PAPBPC2AB4,则三 棱锥 PABC 外接球的表面积为 【分析】作 PH平

    23、面 ABC,垂足为 H,连结 HA,HB,HC推导出 BC平面 AHP,从 而 BCAH,同理得 ACBH,从而 H 为ABC 的垂心推导出ABC 为等边三角形, 三棱锥 PABC 的外接球的半径为 R,则(PHR)2+AH2R2,由此能求出外接球表面 积 【解答】解:如图,作 PH平面 ABC,垂足为 H,连结 HA,HB,HC 因为 PABC,BCPH,所以 BC平面 AHP,故 BCAH, 同理得 ACBH,故 H 为ABC 的垂心 又因为 RtAHPRtBHPRtCHP, 故 AHBHCH,故 H 为ABC 的外心故ABC 为等边三角形, 因此,解得,故, 设三棱锥 PABC 的外接球

    24、的半径为 R, 则(PHR)2+AH2R2,解得, 故外接球表面积为 故答案为: 第 14 页(共 20 页) 【点评】本题考查三棱锥的外接球的表面积求法,考查空间中线线、线面、面面间的位 置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 (10 分)已知平面向量 (1,2) , (k,3) (kR) (1)若 ,求 k 的值; (2)若 ,求向量 + 与 夹角的余弦值 【分析】 (1)由题意利用两个向量垂直的性质,求得 k 的值 (2)由题意利用两个向量的夹角公式,两个向量的数量积的定义

    25、及公式,求出向量 + 与 夹角的余弦值 【解答】解: (1)由 得 32k0,即 (2)由 得 0,即 k+60,所以,k6 设向量 + 与 夹角为 ,则, ( + )2 2+25+4550, 故| + |5, ( + ) +45, 故 【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量的夹角公式,两个向量的数量积 的定义及公式,属于中档题 18 (12 分)已知函数 f(x)为定义在 R 上的偶函数,当 x0 时,f(x)|e xm|,mR 第 15 页(共 20 页) (1)当时,求函数 f(x)的单调区间: (2)若函数有两个零点:求实数 m 的取值范围 【分析】 (1)由 f(x)为偶函

    26、数,根据对称性可先研究 f(x)在(0,+)上的单调性结 合导数即可求解, (2)由于 f(x)为定义在 R 上的偶函数,从而可知在(0,+)上有一个根即 可然后对 m 进行分类讨论即可求解 【解答】解: (1)因为 f(x)为偶函数, 故先研究 f(x)在(0,+)上的单调性 当 x0 时,当时, 令 f(x)0,解得 xln2,当 0xln2 时,单调递减; 当 xln2 时,单调递增 故 f(x)在(,ln2) , (0,ln2)上单调递减,在(ln2,0) , (ln2,+)单调递 增 (2)由于 f(x)为定义在 R 上的偶函数, 故方程在(0,+)上有一个根即可 当 m0 时,f(

    27、x)e xm ,即在(0,+)上有一个根, 由于在(0,+)上单调递减,且, 故; 当 0m1 时,令 e xm0,解得 xlnm, 当 x(0,lnm)时,ye xm0; 当 x(lnm,+)时,ye xm0 解得或; 当 m1 时,f(x)me x 在(0,+)上单调递增,由于此时 f(x)(m1,m) , 故只需,即 综上可得,或 第 16 页(共 20 页) 【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在求解函数的零点中的应用,属于中档 试题 19 (12 分)已知数列an满足:an0,a11,anan+1(2an+1) (nN*) (1)求证:为等差数列,并求出 an; (2)设 bn

    28、,数列bn的前 n 项和为 Sn,若不等式 Sn 成立,求正整数 n 的最小值 【分析】 (1)运用等差数列的定义,只需证明为常数,再由等差数列的通项 公式,可得所求; (2)求得,再由数列的裂项相消 求和,可得所求和 Sn,解不等式可得所求最小值 【解答】解: (1)证明:,故, 故为等差数列,首项,公差为 2, 故, 故; (2), 故, 令, 即,即(n+1)21000, 当 n30 时,3129611000; 当 n31 时,32210241000, 故 n31,因此不等式成立的正整数 n 的最小值为 31 【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式,数列的裂项相消求和,以及不等式的解

    29、法,考查化简运算能力和推理能力,属于中档题 第 17 页(共 20 页) 20 (12 分)如图,在ABC 中,已知 AB1,BC2,ABC60,M 为 BC 中点,E, F 分别为线段 AB,AC 上动点(不包括端点) ,记 (1)当 45时,求BEM 的面积; (2)当 EMFM 时,求证:当 变化时,恒有 【分析】 (1)利用正弦定理求出 BE,再求出面积; (2)先判断ABC 为直角三角形,根 据题意,求出 EM 和 FM,再证明 【 解 答 】 解 :( 1 ) 在 BEM中 , , 故, 故BEM 的面积为; (2)在ABC 中,根据余弦定理得 AC21+4212cos603, 故

    30、 BC2AB2+AC2,因此BAC90,ACB30 当 EMFM 时,在BEM 中, 即; 在CFM 中, 即, 故; 【点评】考查正余弦定理的应用,还用了三角函数的化简求值,解三角形等,中档题 21 (12 分)如图 1,在直角梯形 ABCD 中,E,F 分别为 AB 的三等分点,FGBC,ED BC,AB3,BC2,若沿着 FG,ED 折叠使得点 A 和 B 重合,如图 2 所示,连结 GC, BD 第 18 页(共 20 页) (1)求证:平面 GBD平面 BCDE; (2)求点 E 到平面 CDG 的距离 【分析】 (1)先证 GOFM,再证 FMBCDE 平面,进而得到 GOBCDE

    31、 平面,由面 面垂直的判定定理即可得证; (2)运用等体积法即可求解 【解答】解: (1)证明:取 BD,BE 的中点分别为 O,M,连结 GO,OM,如图,OM DE 且,又因为 GFDE 且, 所以 GFOM 且 GFOM,故四边形 OGFM 为平行四边形,故 GOFM 因为 M 为 EB 中点,三角形 BEF 为等边三角形,故 FMEB, 因为平面 EFB平面 BCDE,故 FM平面 BCDE,因此 GO平面 BCDE, 故平面 GBD平面 BCDE; (2)因为 BECD,故 BE平面 CDG, 故点 E 到平面 CDG 的距离等于点 B 到平面 CDG 的距离 由 ( 1 ) 知 三

    32、 棱 锥G BCD的 体 积, ,故 在CDG 中,取 CD 中点,连结, 故, 设点 B 至平面 CDG 的距离为 d,故三棱锥 BCDG 的体积, 由于 V1V2,则,即, 故点 E 到平面 CDG 的距离为 第 19 页(共 20 页) 【点评】本题考查面面垂直的判定及点到平面的距离,考查运算能力及逻辑推理能力, 属常规题目 22 (12 分)已知函数 f(x)ex+cosxax(aR) (1)若 a0 时,讨论 f(x)在区间,上零点个数; (2)若当 x0,+)时,f(x)2 恒成立,求实数 a 的取值范围 【分析】 (1)当 a0 时,f(x)ex+cosx,通过当 x0,时,当

    33、x,0)时,利 用函数的性质结合函数的导数判断函数的单调性,求解函数的零点个数即可 (2)当 x0,+)时,f(x)exsinxa,通过当 a0 时,当 0a1 时, 当 a1 时, 利用函数的导数, 结合构造法, 转化求解函数的最值, 判断 a 的范围即可 【解答】解: (1)当 a0 时,f(x)ex+cosx, 当 x0,时,ex1,故 ex+cosx0, 故 f(x)在0,上无零点; 当 x,0)时,f(x)exsinx, 因为sinx0,ex1,故 f(x)0, 因此 f(x)在(,0)上单调递增 因为 f()e 10,f(0)20, 故存在唯一 x0(,0)使得 f(x0)0 综上

    34、知,f(x)在区间,上有一个零点; (2)当 x0,+)时,f(x)exsinxa, 当 a0 时,因为 ex1,sinx1,a0, 故 f(x)0,所以 f(x)在(0,+)上单调递增 故 f(x)f(0)2,符合题意; 当 0a1 时,令 g(x)exsinxa(x0,+) ) ,g(x)excosx1cosx 0, 第 20 页(共 20 页) 故 g(x)在(0,+)上单调递增, 故 g(x)g(0)1a0,故 f(x)0, 因此 f(x)f(0)2; 当 a1 时,令 g(x)exsinxa(x0,+) ) , 令 g(0)1a0,g(a)easinaaea1a, 令 h(a)ea1a(a1) ,h(a)ea10, 故 h(a)h(1)e20,故 g(a)0, 存在 x0(0,a)使得 g(x0)0, 故 f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+)上单调递增, 当 x(0,x0)时,f(x)f(0)2,与题意矛盾, 故 a1 不符合题意 综上,a1 符合题意 【点评】本题考查函数的导数的应用幂函数的单调性以及函数的最值的求法,构造法的 应用,考查转化思想以及计算能力,分类讨论思想的应用,是难题


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