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    2020届山东省高考数学压轴试卷(含答案解析)

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    2020届山东省高考数学压轴试卷(含答案解析)

    1、第 1 页,总 19 页 2020 山东省高考压轴卷数学 一、选择题:本题共 8 道小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合 A=xx2且 AB=A,则集合 B 可以是( ) A. xx24 B. x2yx C. y 2 2,yxxR D. 1,0,1,2,3 2.若 2 2zii (i 是虚数单位) ,则复数 z 的模为( ) A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 5 3.已知 4 log 5a , 2 log 3b , sin2c ,则 a、b、c 的大小关系为( ) A. abc B. cab C. bca D.

    2、cba 4.若对任意的正数 a,b 满足 31 0ab ,则 31 ab 的最小值为 A. 6 B. 8 C. 12 D. 24 5.如图,在四边形 ABCD 中,AD BC ,AD AB , 45BCD,90BAD,将ABD 沿 BD 折 起,使平面ABD 平面 BCD 构成几何体 A-BCD,则在几何体 A-BCD 中,下列结论正确的是( ) A. 平面 ADC平面 ABC B. 平面 ADC平面 BDC C. 平面 ABC平面 BDC D. 平面 ABD平面 ABC 6. 5 2 1 12x x 展开式的常数项为() A. 112 B. 48 C. -112 D. -48 7.已知 F

    3、是双曲线 22 :1 45 xy C-= 的一个焦点,点 P 在 C 上,O 为坐标原点,若 =OPOF ,则 O PF 的 面积为( ) 答案第 2 页,总 19 页 A. 3 2 B. 5 2 C. 7 2 D. 9 2 8.已知函数 2 ( )2log x f xx ,且实数 0abc ,满足 ( ) ( ) ( )0f a f b f c ,若实数 0 x 是函数 ( )yf x 的一个零点,那么下列不等式中不可能成立的是( ) A. 0 xa B. 0 xa C. 0 xb D. 0 xc 二 多项选择题: 本题共 4 个小题, 每小题 5 分, 共 20 分。 在每小题的四个选项中

    4、, 有多个符合题目要求。 全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有错选的得 0 分。 9.已知函数 ( )lnf xxx ,给出下面四个命题:函数 f x 的最小值为 1 e ;函数 f x 有两个零点; 若方程 f xm 有一解,则 0m ;函数 f x 的单调减区间为 1 , e . 则其中错误命题的序号是( ) A B C D 10已知点A是直线:20l xy上一定点,点P、Q是圆 22 1xy上的动点,若 PAQ 的最大值 为90,则点A的坐标可以是( ) A0,2 B1,2 1 C 2,0 D 21,1 11 已知数列的前 n 项和为, 且满足, 则下列说法正确的是 ( ) A

    5、数列的前 n 项和为 B数列的通项公式为 C数列为递增数列 D数列为递增数列 12如图,梯形中,将沿对角线 折起.设 折起后点 的位置为,并且平面平面.给出下面四个命题正确的:() A B三棱锥的体积为 C平面 D平面平面 第 3 页,总 19 页 第 II 卷(非选择题) 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.二项式 00 n b axab x , 的展开式中,设“所有二项式系数和”为 A,“所有项的系数和”为 B,“常 数项”值为 C,若 25670ABC, ,则含 6 x 的项为_ 14.已知ABC 中, 5ABAC , 8BC ,点 D 是 AC 的中点,

    6、M 是边 BC 上一点,则MC MD 的最小 值是( ) A. 3 2 B. 1 C. 2 D. 5 4 15.已知点F为抛物线 2 8yx 的焦点,则点F坐标为_;若双曲线 22 2 1 2 xy a ( 0a )的一个焦 点与点F重合,则该双曲线的渐近线方程是_ 16.每项为正整数的数列an满足 1 1 , 2 31, nn n nn a a a aa 是偶数 是奇数 , 且 6 4a , 数列an的前 6 项和的最大值为 S, 记 1 a 的所有可能取值的和为 T,则S T_. 四、解答题.本题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题 10 分

    7、) 在ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,满足(2 )coscosbcAaC . (1)求角 A 的大小; (2)若13a ,5b c ,求ABC 的面积. 18.(本小题 12 分) 设数列an满足 123 23.2 (nN*) n n aaana (1)求an的通项公式; (2)求数列 1 22n n a 的前 n 项和 Sn 19. (本小题 12 分)如图 1,在 RtPDC 中, 90D,A、B、E 分别是 PD、PC、CD 中点,4PD , 答案第 4 页,总 19 页 2 2CD .现将 PAB 沿 AB 折起,如图 2 所示,使二面角P ABC- 为 120

    8、 ,F 是 PC 的中点. (1)求证:面 PCD面 PBC; (2)求直线 PB 与平面 PCD 所成的角的正弦值. 20. (本小题 12 分) 五一劳动节放假,某商场进行一次大型抽奖活动.在一个抽奖盒中放有红、橙、黄、绿、蓝、紫的小球各 2 个,分别对应 1 分、2 分、3 分、4 分、5 分、6 分.从袋中任取 3 个小球,按 3 个小球中最大得分的 8 倍计 分,计分在 20 分到 35 分之间即为中奖.每个小球被取出的可能性都相等,用表示取出的 3 个小球中最大 得分,求: (1)取出的 3 个小球颜色互不相同的概率; (2)随机变量的概率分布和数学期望; (3)求某人抽奖一次,中

    9、奖的概率. 21. (本小题 12 分) 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点 2 3,3 ,右焦点 F 是抛物线 2 8yx 的焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知动直线l过右焦点 F,且与椭圆 C 分别交于 M,N 两点.试问 x 轴上是否存在定点 Q,使得 135 16 QM QN 恒成立?若存在求出点 Q 的坐标:若不存在,说明理由. 22. (本小题 12 分) 已知函数 32 11 , 32 f xxaxaR . (I)当 a=2 时,求曲线 yf x在点 3,3f处的切线方程; (II)设函数 cos sing xf xxaxx,讨论 g x的单调

    10、性并判断有无极值,有极值时求出极值. 第 5 页,总 19 页 答案第 6 页,总 19 页 2020 山东省高考压轴卷数学 Word 版含解析 参考答案 1. 【答案】D 【解析】 A、B=x|x2 或 x-2, 集合 A=x|x-2, AB=x|x-2A,不合题意; B、B=x|x-2, 集合 A=x|x-2, AB=x|x-2=B,不合题意; C、B=y|y-2, 集合 A=x|x-2, AB=x|x-2=B,不合题意; D、若 B=-1,0,1,2,3, 集合 A=x|x-2, AB=x|x-2=A,与题意相符, 故选:D 2. 【答案】D 【解析】 利用复数的乘法、除法法则将复数表示

    11、为一般形式,然后利用复数的求模公式计算出复数z的模. 【详解】因为 2 2zii ,所以 22 3443 443434342525 2 iiiii zi iiiii i , 所以 22 431 25255 z ,故选:D. 3. 【答案】B 【解析】 因为 4 logyx及 2 logyx都是0,上的增函数,故 44 log 5log 41sin2 , 22 log 3log 21sin2 , 第 7 页,总 19 页 又 4222 1 log 5log 5log5log 3 2 ,故cab,选 B. 4. 【答案】C 【解析】 利用“1”的代换结合基本不等式求最值即可 【详解】两个正数 a,

    12、b 满足310ab 即 a+3b=1 则 31 ab = 319 3662 912 ba ab abab 当且仅当 11 , 26 ab 时取等号 故选:C 5. 【答案】A 【解析】 由已知得BAAD,CDBD, 又平面ABD 平面BCD,所以CD平面ABD, 从而CDAB,故AB 平面ADC. 又AB平面ABC, 所以平面ABC 平面ADC. 故选 A. 6. 【答案】D 【解析】 由于 5 22051423324 55555 111111 121( )2( )4( )8( )1632xxCCCCC xxxxxx , 故展开式的常数项为 3 5 83248C ,故选:D。 7. 【答案】B

    13、 【解析】 设点 00 ,P x y,则 22 00 1 45 xy 又453OPOF, 22 00 9xy 答案第 8 页,总 19 页 由得 2 0 25 9 y, 即 0 5 3 y, 0 1155 3 2232 OPF SOFy , 故选 B 8. 【答案】D 【解析】 因为函数 2 ( )2log x f xx, 则函数( )yf x在(0,)为增函数, 又实数0abc,满足f(a)f(b)f(c)0, 则f(a) ,f(b) ,f(c)为负数的个数为奇数, 对于选项A,B,C选项可能成立, 对于选项D, 当 0 xc时, 函数的单调性可得:f(a)0,f(b)0,f(c)0, 即不

    14、满足f(a)f(b)f(c)0, 故选项D不可能成立, 故选:D 9. 【答案】BCD 【解析】 因为函数( )lnf xxx,所以( )1 lnfxx 当 1 0x e 时,( )0fx ,当 1 x e 时,( )0fx 所以当 1 x e 时, f x的最小值为 1 e ; 如图所示: 第 9 页,总 19 页 当0x时, 0f x ,当x 时, f x ,所以函数 f x有一个零点; 若方程 f xm有一解,则0m 或 1 m e ,函数 f x的单调减区间为 1 0, e . 故错误命题的序号是 故选:BCD 10 【答案】AC 【解析】 如下图所示: 原点到直线l的距离为 22 2

    15、 1 11 d ,则直线l与圆 22 1xy相切, 由图可知,当AP、AQ均为圆 22 1xy的切线时, PAQ 取得最大值, 连接OP、OQ,由于PAQ的最大值为90,且90APOAQO,1OPOQ, 则四边形APOQ为正方形,所以22OAOP, 答案第 10 页,总 19 页 由两点间的距离公式得 2 2 22OAtt , 整理得 2 22 20tt ,解得0t 或 2,因此,点A的坐标为 0,2或 2,0. 故选:AC. 11 【答案】AD 【解析】 因此数列为以为首项, 为公差的等差数列,也是递增数列,即 D 正确; 所以,即 A 正确; 当时 所以,即 B,C 不正确; 故选:AD

    16、12 【答案】CD 【解析】 如图所示: 为中点,连接 ,得到 又故为等腰直角三角形 平面平面, ,所以平面,所以 C 正确 为中点,则平面 所以 如果,则可得到平面,故 与已知矛盾.故 A 错误 三棱锥的体积为 .故 B 错误 第 11 页,总 19 页 在直角三角形中, 在三角形中, 满足 又 所以平面,所以平面平面,故 D 正确 综上所述:答案为 CD 13. 【答案】 6 8x 【解析】 依题得2256 n ,所以 n=8,在 n b ax x 的展开式中令 x=1,则有 8 256ab,所以 a+b=2,又因为 n b ax x 展开式的通项公式为 88 8 2 188 r rr r

    17、rrr r b TCaxCab x x ,令8 204rr .所以得 到 444 8 701,1C a babab (舍) , 当1ab 时, 由2ab得1ab.所以令8 261rr , 所以 166 28 8TC xx,故填 6 8x. 14. 【答案】-1 【解析】 根据题意, 建立图示直角坐标系,5ABAC,8BC , 则( 0 ,3 )A,( 4,0)B ,(4,0)C, 3 (2,) 2 D 设 ( ,0 )M x ,则(4,0)MCx, 3 (2, ) 2 MDx 22 (4)(2)68(3)1MC MDxxxxx 答案第 12 页,总 19 页 M是边BC上一点,当3x 时, M

    18、C MD取得最小值1 15. 【答案】(2,0) y x 【解析】 因为点F为抛物线 2 8yx的焦点,2p=8,p=4 (2,0)F 双曲线 22 2 1 2 xy a (0a)的一个焦点与点F重合, 2 24,2aa 渐近线方程为:yx 故答案为2,0,y x 16. 【答案】62 【解析】 由数列 n a每项均为正整数,则采用逆推的方式可得下图: 128 21 20 3 16 2 190T 又前 6 项和所有可能的结果中最大值为:4 8 16 32 64 128252 252S 第 13 页,总 19 页 252 19062ST 本题正确结果:62 17. 【答案】(1) 3 A ;(2

    19、) 3. 【解析】 (1)利用正弦定理边化角,求得2cos1A,所以 3 A ; (2)利用余弦定理,得4bc ,所以 1 sinA3 2 ABC Sbc。 试题解析: (1)ABC 中,由条件及正弦定理得2sinsincossin cosCBCAA, 2sin cossin cossin cossinBACAACB. sin0B,2cos1A, 0,A, 3 A . (2)13a ,5b c , 由余弦定理得 222 2cosabcbcA 2 22cos 3 bcbcbc 2 5313bc, 25 13 4 3 bc . 11 sinA4 sin3 223 ABC Sbc . 18. 【答案

    20、】 (1) 2 n a n ; (2) 1 1 1 22 2 n n n n . 【解析】 (1) 在 123 23 . . .2 n N * n n aaan a 中, 将1n代n得: 1 1231 23.12n2 n n aaana , 由两式作商得: 2 n a n ,问题得解。 (2)利用(1)中结果求得bnn 2 n a ,分组求和,再利用等差数列前n项和公式及乘公比错位相减法 分别求和即可得解。 【详解】 (1)由 n1 得 1 a = 2, 答案第 14 页,总 19 页 因为 123 23.2nN* n n aaana, 当 n2 时, 1 1231 23.12n2 n n a

    21、aana , 由两式作商得: 2 n a n (n1 且 nN*) , 又因为 1 a = 2符合上式, 所以 2 n a n (nN*) (2)设 1 22n n n b a , 则 bnnn 2n, 所以 Snb1b2bn(12n) 231 22 23 2(1)22 nn nn 设 Tn22 223 23+(n1) 2n1n 2n, 所以 2Tn222 23(n2) 2n1(n1) 2nn 2n1, 得:Tn222232nn 2n1, 所以 Tn(n1) 2n12 所以 1 2 nn n n ST , 即 1 1 1 22 2 n n n n Sn 19. 【答案】 (1)见解析(2) 6

    22、 6 【解析】 (1)证明BF 面PCD得到面PCD面PBC. (2)先判断BPC为直线PB与平面PCD所成的角,再计算其正弦值. 【详解】 (1)证明:法一:由已知得:ABPA且ABAD,PAADA,AB 面PAD. ABCD,CD面PAD. PD 面PAD,CDPD,又/EFPD,CDEF, CDBE,BEEBE,CD面BEF. BF 面BEF,CDBF. 又PBBC且F是PC中点,PCBF,PCCDC,BF 面PCD. 第 15 页,总 19 页 BF 面PBC,面PBC 面PCD. 法二:同法一得CD面PAD. 又/BEAD,AD 面PAD,BE 面PAD,/BE面PAD. 同理/EF

    23、面PAD,BEEFE,BE 面BEF,EF 面BEF. 面/PAD面BEF. CD面BEF,BF 面BEF,CDBF. 又PBBC且F是PC中点,PCBF,PCCDC,BF 面PCD. BF 面PBC,面PBC 面PCD. (2)由(1)知BF 面PCD,PF为直线PB在平面PCD上的射影. BPC为直线PB与平面PCD所成的角, ABPA且ABAD,二面角PABC-的平面角是PAD. 2PAAD, 2 3PD , 1 3 2 EFPD. 又BF 面PCD,BFEF.在Rt BFE中, 22 1BFBEEF . 在Rt PDC中, 22 2 6PCPDCD . 在Rt PFB中, 6 sin

    24、6 BF BPC PB . 20. 【答案】 (1) 8 11 (2)分布列见解析,数学期望为 56 11 (3) 13 55 【解析】 (1)设事件A表示“取出的 3 个小球上的颜色互不相同”,利用古典概型、排列组合能求出取出的 3 个小球 颜色互不相同的概率; (2)由题意得有可能的取值为:2,3,4,5,6,分别求出相应的概率,由此能求 出随机变量的概率分布列和数学期望; (3)设事件 C 表示“某人抽奖一次,中奖”,则 ( )(3 4)(3)(4)P CPPP或,由此能求出结果. 【详解】 (1) “一次取出的 3 个小球上的颜色互不相同”的事件记为A, 则 3111 6222 3 1

    25、2 8 ( ) 11 CCCC P A C (2)由题意有可能的取值为:2,3,4,5,6 答案第 16 页,总 19 页 2112 2222 3 12 1 (2) 55 CCCC P C ; 2112 4242 3 12 4 (3) 55 CCCC P C ; 2112 6262 3 12 9 (4) 55 CCCC P C ; 2112 8282 3 12 16 (5) 55 CCCC P C ; 2112 102102 3 12 5 (6) 11 CCCC P C 所以随机变量的概率分布为 2 3 4 5 6 P 1 55 4 55 9 55 16 55 5 11 因此的数学期望为 14

    26、916556 ( )23456 555555551111 E (3)“某人抽奖一次,中奖”的事件为C,则 4913 ( )(3 4)(3)(4) 555555 P CPPP或 21. 【答案】(1) 22 1 1612 xy (2)见解析 【解析】 (1) 由椭圆C过点(2 3,3), 得 22 123 1 ab , 由抛物线的焦点为2,0, 得2c , 利用 22 123 1 4aa 即可求解 a 则方程可求; (2)假设在x轴上存在定点( ,0)Q m,当直线l的斜率不存在时,由 2 135 (2)9 16 QM QNm ,解得 5 4 m 或 11 4 m ;当直线l的斜率为 0 时,由

    27、 第 17 页,总 19 页 2 135 16 16 QM QNm ,解得 11 4 m 或 11 4 m ,可得 11 4 m ,得点Q的坐标为 11,0 4 .再证明当 11 4 m 时 135 16 QM QN 恒成立. 设直线l的斜率存在且不为 0 时,其方程为(2)(0)yk xk,与 椭圆联立消去y得韦达定理,向量坐标化得 1122 1111 , 44 QMQNxyxy 整理代入韦达定理即可 【详解】 (1)因为椭圆C过点(2 3,3),所以 22 123 1 ab , 又抛物线的焦点为2,0,所以2c . 所以 22 123 1 4aa ,解得 2 3a (舍去)或 2 16a

    28、. 所以椭圆C的方程为 22 1 1612 xy . (2)假设在x轴上存在定点( ,0)Q m,使得 135 16 QM QN . 当直线l的斜率不存在时,则(2,3)M,(2, 3)N,(2,3)QMm,(2, 3)QNm, 由 2 135 (2)9 16 QM QNm ,解得 5 4 m 或 11 4 m ; 当直线l的斜率为 0 时,则( 4,0)M ,(4,0)N,( 4,0)QMm ,(4,0)QNm, 由 2 135 16 16 QM QNm ,解得 11 4 m 或 11 4 m . 由可得 11 4 m ,即点Q的坐标为 11,0 4 . 下面证明当 11 4 m 时, 13

    29、5 16 QM QN 恒成立. 当直线l的斜率不存在或斜率为 0 时,由知结论成立. 当直线l的斜率存在且不为 0 时,设其方程为(2)(0)yk xk, 11 ,M x y, 22 ,N x y.直线与椭圆联 立得 2222 34161630kxk xk , 直线经过椭圆内一点,一定与椭圆有两个交点,且 2 12 2 16 43 k xx k , 2 1 2 2 163 43 k x x k . 222 12121 212 2224y yk xk xk x xkxxk, 答案第 18 页,总 19 页 所以 1122121212 111111121 , 44416 QMQNxyxyx xxx

    30、y y 2 2 222222 1 212 22 163 111211116121 124124 4164344316 k k kx xkxxkkkk kk 135 16 恒成立 综上所述,在x轴上存在点 11,0 4 Q ,使得 135 16 QM QN 恒成立. 22. 【答案】 ()39 0xy; ()见解析 【解析】 () 根据导数的几何意义, 求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程; () 由 () (s i n )g xx a xx , 通过讨论确定 g x的单调性,再由单调性确定极值. 试题解析: ()由题意 2 ( )fxxax, 所以,当2a时,(3)0f, 2 ( )2fxx

    31、x, 所以 (3)3 f , 因此,曲线( )yf x在点(3,(3)f处的切线方程是3(3)yx, 即390xy. ()因为( )( )()cossingfxaxxxx, 所以( )( )cos()sincosg xfxxxaxx , ()()sinx xaxax ()(sin )xa xx , 令( )sinh xxx, 则( )1 cos0h xx , 所以( )h x在R上单调递增, 因为(0)0h, 第 19 页,总 19 页 所以,当0x时,( )0h x ;当0x时,( )0h x . (1)当0a 时,( )()(sin )gxa xxx , 当(, )xa 时,0xa,( )

    32、0g x ,( )g x单调递增; 当( ,0)xa时,0xa,( )0g x ,( )g x单调递减; 当(0,)x时,0xa,( )0g x ,( )g x单调递增. 所以当xa时( )g x取到极大值,极大值是 3 1 ( )sin 6 g aaa , 当0x时( )g x取到极小值,极小值是(0)ga . (2)当0a时,( )(sin )g xx xx , 当(,)x 时,( )0g x ,( )g x单调递增; 所以( )g x在(,) 上单调递增,( )g x无极大值也无极小值. (3)当0a时,( )()(sin )gxa xxx , 当 (,0)x 时,0xa,( )0g x

    33、 ,( )g x单调递增; 当(0, )xa时,0xa,( )0g x ,( )g x单调递减; 当( ,)xa时,0xa,( )0g x ,( )g x单调递增. 所以当0x时( )g x取到极大值,极大值是(0)ga ; 当xa时( )g x取到极小值,极小值是 3 1 ( )sin 6 g aaa . 综上所述: 当0a 时,函数( )g x在(, )a和(0,)上单调递增,在( ,0) a 上单调递减,函数既有极大值,又有极小 值,极大值是 3 1 ( )sin 6 g aaa ,极小值是(0)ga ; 当0a时,函数( )g x在(,) 上单调递增,无极值; 当0a时,函数( )g x在(,0)和( , )a 上单调递增,在(0, )a上单调递减,函数既有极大值,又有极小 值,极大值是(0)ga ,极小值是 3 1 ( )sin 6 g aaa .


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