1、经过原点并且与直线 x+y20 相切于点（2，0）的圆的标准方程是（ ） A （x1）2+（y+1）22 B （x+1）2+（y1）22 C （x1）2+（y+1）24 D （x+1）2+（y1）24 5 （5 分）已知向量若向量，则实数 m 等于（ ） A3 B3 C D 6 （5 分）如图在程序框图中，若输入 n6，则输出 k 的值是（ ） 第 2 页（共 22 页） A2 B3 C4 D5 7 （5 分）如图，正三棱柱 ABCA1B1C1中，E 是 BC 中点，则下列叙述正确的是（ ） ACC1与 B1E 是异面直线 BAC平面 ABB1A1 CAE，B1C1为异面直线，且 AEB1C1
2、 DA1C1平面 AB1E 8 （5 分）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为周碑算经一 书作序时，介绍了“勾股圆方图” ，亦称“赵爽弦图” （以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的） 类比“赵爽弦图” ，可类似地 构造如图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个 大等边三角形，设 DF2AF2，若在大等边三角形内部（含边界）随机取一点，则此 点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ） A B C D 9 （5 分）等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，当首项 a1和 d 变化时，a
3、3+a7+a11是 一个定值，则下列各数也为定值的是（ ） AS7 BS8 CS13 DS15 10 （5 分）已知定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（1+x）f（1x） ，且当 0x2 时，f （x）x3x，则在区间0，6上函数 yf（x）的图象与 x 轴的交点的个数为（ ） A6 B7 C8 D9 第 3 页（共 22 页） 11 （5 分）已知点 P 是双曲线右支上一点，F1是双曲线的 左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段 PF1的中垂线，则该双曲线的离心率是（ ） A B C2 D 12 （5 分）函数若 a0b，且 f（a）f（b） ，则 f（a+b）的取值 范围是（ ） A
4、（，0 B1，+） C1，0 D （，1 二填空题（本大题共二填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知函数，则 f（f（2） ） 14 （5 分）甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加“庆国庆 70 周年，爱国主义知识大赛”活动， 决出第 1 名到第 5 名的名次甲乙两名同学去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩 比乙好，但是你俩都没得到第一名” ；对乙说“你当然不会是最差的”从以上回答分析， 丙是第一名的概率是 15 （5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最大值 16 （5 分）已知 A、B 是球 O 球面上的两点
5、，AOB90，C 为该球面上的动点，若三 棱锥 OABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为 三解答题（本题共三解答题（本题共 5 小题，共小题，共 70 分，请在指定位置写出解答过程）分，请在指定位置写出解答过程） 17 （12 分）已知函数 f（x）a（2cos2+sinx）+b （1）当 a1 时，求 f（x）的单调递增区间； （2）当 a0，且 x0，时，f（x）的值域是3，4，求 a，b 的值 18 （12 分）交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为 T，其 范围为0，10，分别有五个级别：T0，2）畅通；T2，4）基本畅通；T4，6）轻度 拥堵；T6
6、，8）中度拥堵；T8，10严重拥堵晚高峰时段（T2） ，从某市交通指挥 中心选取了市区 20 个交通路段，依据其交通拥堵指数数据绘制的直方图如图所示 （）用分层抽样的方法从交通指数在4，6） ，6，8） ，8，10的路段中共抽取 6 个路 段，求依次抽取的三个级别路段的个数； 第 4 页（共 22 页） （）从（）中抽出的 6 个路段中任取 2 个，求至少有 1 个路段为轻度拥堵的概率 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，且BAPCDP90 （1）证明：平面 PAB平面 PAD； （2）若 PAPDABDC，APD90，且四棱锥 PABCD 的体积为，求该四棱 锥的侧面
7、积 20 （12 分）已知函数 f（x）exax2，曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y bx+1 （）求 a，b 的值； （）求 f（x）在0，1上的最大值 21 （12 分）如图，已知椭圆：1（ab0）经过点 A（2，0） ，离心率 e （）求椭圆的方程； （）设点 B 为椭圆与 y 轴正半轴的交点，点 C 为线段 AB 的中点，点 P 是椭圆上的 动点（异于椭圆顶点）且直线 PA，PB 分别交直线 OC 于 M，N 两点，问|OM|ON|是否 为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由 第 5 页（共 22 页） 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果
8、多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修选修 4-4：坐标：坐标 系与参数方程系与参数方程 22 （10 分）已知直线 l：（t 为参数， 为 l 的倾斜角） ，以坐标原点为极 点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 为：26cos+50 （1）若直线 l 与曲线 C 相切，求 的值； （2）设曲线 C 上任意一点的直角坐标为（x，y） ，求 x+y 的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23若实数 x，y，m 满足|xm|ym|，则称 x 比 y 接近 m （）若 2x 比 1 接近 3，求 x 的取值范围； （）已知 a，b
9、R，m0 且 ab，求证：比接近 0 第 6 页（共 22 页） 2019-2020 学年陕西省宝鸡中学、西安三中等五校高三（上）第学年陕西省宝鸡中学、西安三中等五校高三（上）第 一次联考数学试卷（文科）一次联考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 （5 分）已知集合 Py|y2x，Qx|y，则 PQ（ ） A1，1 B0，+） C （，11，+） D （0，1 【分析】可以求出集合 P，Q，然后进行交集的运算即可 【解答】解：Py|y0，Qx|x1， PQ（0，1 故选：D 【点评】本题考查了描述法、区间的定义，指数函数的值域，交集的运算，考查了计
10、算 能力，属于基础题 2 （5 分）计算（i 为虚数单位）等于（ ） A1+i B1i C1+i D1i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解： 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题 3 （5 分）已知一组数据点（x1，y1） ， （x2，y2） ， （x3，y3） ， （x7，y7） ，用最小二乘法得 到其线性回归方程为， 若数据 x1， x2， x3， x7的平均数为 1， 则 （ ） A2 B11 C12 D14 【分析】由已知结合线性回归方程恒过样本点的中心求得 ，乘以 7 得答案 【解答】解：，且（）在线性回归直线上， ， 第 7 页（共
11、 22 页） 则 故选：D 【点评】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础 题 4 （5 分）经过原点并且与直线 x+y20 相切于点（2，0）的圆的标准方程是（ ） A （x1）2+（y+1）22 B （x+1）2+（y1）22 C （x1）2+（y+1）24 D （x+1）2+（y1）24 【分析】设出圆心坐标与半径，根据题意列出方程组，解方程组求出圆心与半径即可 【解答】解：设圆心的坐标为（a，b） ， 则 a2+b2r2， （a2）2+b2r2， 1； 由组成方程组，解得 a1，b1，r22； 故所求圆的标准方程是 （x1）2+（y+1）22 故选：A 【
12、点评】本题考查了圆的标准方程以及直线与圆相切的位置关系，是基础题目 5 （5 分）已知向量若向量，则实数 m 等于（ ） A3 B3 C D 【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得 m 的值 【解答】解：向量，若向量， 则 3+m0， 则实数 m， 故选：A 【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题 6 （5 分）如图在程序框图中，若输入 n6，则输出 k 的值是（ ） 第 8 页（共 22 页） A2 B3 C4 D5 【分析】 执行程序框图， 写出每次循环得到的 n， k 的值， 当 n111 时， 满足条件 n100， 输出 k
13、的值为 3 【解答】解：执行程序框图，有 n6，k0 n13，不满足条件 n100，k1； n27，不满足条件 n100，k2； n55，不满足条件 n100，k3； n111，满足条件 n100，输出 k 的值为 3 故选：B 【点评】本题主要考查了程序框图中的直到型型循环结构，直到型循环结构是先执行在 判断直到条件结束，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环 结构中框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等，属于基本知识的考查 7 （5 分）如图，正三棱柱 ABCA1B1C1中，E 是 BC 中点，则下列叙述正确的是（ ） 第 9 页（共 22 页） ACC1与
14、 B1E 是异面直线 BAC平面 ABB1A1 CAE，B1C1为异面直线，且 AEB1C1 DA1C1平面 AB1E 【分析】通过图形中的直线与直线，直线以及平面的位置关系判断选项的正误即可 【解答】解：CC1与 B1E 是异面直线，是相交直线，不正确； 因为 AC 与 AB 不垂直，所以 AC平面 ABB1A1，不正确； AE，B1C1为异面直线，且 AEB1C1，正确； 因为 AC 与平面 AB1E 相交，A1C1AC，所以 A1C1平面 AB1E，不正确； 故选：C 【点评】本题考查命题的真假的判断，考查空间几何体的异面直线的判断，直线与平面 的位置关系的判断，是基本知识的考查 8 （
15、5 分）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为周碑算经一 书作序时，介绍了“勾股圆方图” ，亦称“赵爽弦图” （以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的） 类比“赵爽弦图” ，可类似地 构造如图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个 大等边三角形，设 DF2AF2，若在大等边三角形内部（含边界）随机取一点，则此 点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ） 第 10 页（共 22 页） A B C D 【分析】由几何概型中的面积型得：P（A）， 由余弦定理得：AC2AF2+FC22AFFC52，结
16、合三角形的面积公式可得 解， 【解答】解：由题意有：AF2，EF4，AFC，FC6， 再AFC 中，由余弦定理得：AC2AF2+FC22AFFC52， 设事件 A 为”此点取自小等边三角形（阴影部分） “， 由几何概型中的面积型可得：P（A）， 故选：A 【点评】本题考查了几何概型中的面积型及余弦定理、三角形的面积公式，属简单题 9 （5 分）等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，当首项 a1和 d 变化时，a3+a7+a11是 一个定值，则下列各数也为定值的是（ ） AS7 BS8 CS13 DS15 【分析】利用等差数列的性质、求和公式即可得出 【解答】解：a3+a7+a113a
17、7是一个定值， 只有：S1313a7是一个定值， 故选：C 【点评】本题考查了等差数列的性质、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题 10 （5 分）已知定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（1+x）f（1x） ，且当 0x2 时，f （x）x3x，则在区间0，6上函数 yf（x）的图象与 x 轴的交点的个数为（ ） 第 11 页（共 22 页） A6 B7 C8 D9 【分析】由条件可得周期为 T2，当 0x2 时，f（x）x3x0 解得 x0 或 x1， 由周期性可求得区间0，6）上解的个数，再考虑 x6 时的函数值即可 【解答】解：因为 f（x）是 R 上偶函数，且满足 f
18、（1+x）f（1x） ， 满足 f（1+x）f（1x）f（x1） ， 令 x+1t，则 xt1，f（t）f（t2） ； f（x）是最小正周期为 2 的周期函数， 当 0x2 时，f（x）x3x0 解得 x0 或 x1， 故 f（x）0 在区间0，6）上解的个数为 6， 又因为 f（6）f（0）0，故 f（x）0 在区间0，6上解的个数为 7， 即函数 yf（x）的图象在区间0，6上与 x 轴的交点的个数为 7 故选：B 【点评】本题考查函数的零点个数问题、函数的周期性的应用，考查利用所学知识解决 问题的能力，属于中档题 11 （5 分）已知点 P 是双曲线右支上一点，F1是双曲线的 左焦点，且
19、双曲线的一条渐近线恰是线段 PF1的中垂线，则该双曲线的离心率是（ ） A B C2 D 【分析】由题意，PF1F2是直角三角形，PF2的斜率为，设|PF1|m，|PF2|n，则 ，利用双曲线的定义，结合几何量之间的关系，即可得出结论 【解答】解：由题意，PF1F2是直角三角形，PF2的斜率为， 设|PF1|m，|PF2|n，则， mn2a，m2+n24c2， m2b，n2a， mn2b2， b2a， ca， e 第 12 页（共 22 页） 故选：D 【点评】本题考查双曲线的离心率，考查学生分析解决问题的能力，确定PF1F2是直 角三角形，PF2的斜率为是关键 12 （5 分）函数若 a0b
20、，且 f（a）f（b） ，则 f（a+b）的取值 范围是（ ） A （，0 B1，+） C1，0 D （，1 【分析】设 f（a）f（b）t，用 t 表示 a，b，然后计算 a+b 的范围，再次代入分段函 数进行求解即可 【解答】解：设 f（a）f（b）t， 作出 f（x）的图象， 由图象知，t0， 由 f（a）a2t，得 a， 由 f（b）2b3t，得 b， 则 a+b+t+ （1）21， t0，0， 则 m（1）211， 即 ma+b1， 此时 f（a+b）f（m）2m3231， 即 f（a+b）的取值范围是1，+） ， 故选：B 第 13 页（共 22 页） 【点评】本题主要考查分段函数
21、的应用，根据函数值相等，设出相同变量 t，并表示出 a， b，求出 a+b 的范围是解决本题的关键 二填空题（本大题共二填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知函数，则 f（f（2） ） 2 【分析】推导出 f（2）4（2）+19，从而 f（f（2） ）f（9） ，由此能求出 结果 【解答】解：函数， f（2）4（2）+19， f（f（2） ）f（9）log392 故答案为：2 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题 14 （5 分）甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加“庆国庆 70 周年，
22、爱国主义知识大赛”活动， 决出第 1 名到第 5 名的名次甲乙两名同学去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩 比乙好，但是你俩都没得到第一名” ；对乙说“你当然不会是最差的”从以上回答分析， 丙是第一名的概率是 【分析】第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑到所有的限制条件对丙、丁都没有影响， 从而得到这三个人获得第一名是等可能事件，由此给求出结果 【解答】解：甲和乙都不可能是第一名， 第一名只可能是丙、丁或戊， 第 14 页（共 22 页） 又考虑到所有的限制条件对丙、丁都没有影响， 这三个人获得第一名是等概率事件， 丙是第一名的概率是 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查等可能事件概率计
23、算公式等基础知识，考查运算求 解能力，考查函数与方程思想，是基础题 15 （5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最大值 10 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 化目标函数 z2x+y 为 y2x+z， 由图可知，当直线过 B（4，2）时直线在 y 轴上的截距最大，z 最大， 为 z24+210 故答案为：10 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 16 （5 分）已知 A、B 是球 O 球面上的两点，AOB90，C
24、 为该球面上的动点，若三 棱锥 OABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为 144 【分析】当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 OABC 的体积最大，利用三 棱锥 OABC 体积的最大值为 36，求出半径，即可求出球 O 的表面积 第 15 页（共 22 页） 【解答】解：如图所示，当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 OABC 的体 积最大，设球 O 的半径为 R，此时 VOABCVCAOB36， 故 R6，则球 O 的表面积为 4R2144， 故答案为：144 【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点 C 位于垂直于面 AOB 的
25、 直径端点时，三棱锥 OABC 的体积最大是关键 三解答题（本题共三解答题（本题共 5 小题，共小题，共 70 分，请在指定位置写出解答过程）分，请在指定位置写出解答过程） 17 （12 分）已知函数 f（x）a（2cos2+sinx）+b （1）当 a1 时，求 f（x）的单调递增区间； （2）当 a0，且 x0，时，f（x）的值域是3，4，求 a，b 的值 【分析】 （1）当 a1 时，利用三角恒等变换（辅助角公式）可得 f（x）sin（x+） +b+1，再利用正弦函数的单调性即可求得 f（x）的单调递增区间； （2） x0， x+， 利用正弦函数的单调性质即可求得 f （x） b，（）
26、a+b，又 f（x）的值域是3，4，从而可求得 a 与 b 的值 【解答】解： （1）当 a1 时，f（x）2cos2+sinx+b1+cosx+sinx+bsin（x+） +b+1 由 2kx+2k+（kZ）得：2kx2k+（kZ） ， 所以 f（x）的单调递增区间为2k，2k+（kZ） ； （2）因为，f（x）a（2cos2+sinx）+ba（1+cosx+sinx）+basin（x+）+b+a， x0，x+，sin（x+），1asin（x+）a，a， 所以，f（x）b， （）a+b，又 f（x）的值域是3，4， 第 16 页（共 22 页） 所以 b3，a 【点评】本题考查三角恒等变换，
27、着重考查正弦函数的单调性与最值，考查转化思想 18 （12 分）交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为 T，其 范围为0，10，分别有五个级别：T0，2）畅通；T2，4）基本畅通；T4，6）轻度 拥堵；T6，8）中度拥堵；T8，10严重拥堵晚高峰时段（T2） ，从某市交通指挥 中心选取了市区 20 个交通路段，依据其交通拥堵指数数据绘制的直方图如图所示 （）用分层抽样的方法从交通指数在4，6） ，6，8） ，8，10的路段中共抽取 6 个路 段，求依次抽取的三个级别路段的个数； （）从（）中抽出的 6 个路段中任取 2 个，求至少有 1 个路段为轻度拥堵的概率 【分析】
28、 （）由直方图求出这 20 个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别 为 6 个，9 个，3 个按分层抽样从 18 个路段中选出 6 个，能求出这三个级别路段中分 别抽取的个数 （）记（）中选取的 2 个轻度拥堵路段为 A1，A2，选取的 3 个中度拥堵路段为 B1， B2，B3，选取的 1 个严重拥堵路段为 C，则从 6 个路段选取 2 个路段，利用列举法能求 出所选 2 个路段中至少 1 个路段轻度拥堵的概率 【解答】解： （）由直方图可知： （0.1+0.2）1206， （0.25+0.2）209， （0.1+0.05）1203 所以这 20 个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵
29、路段分别为 6 个，9 个，3 个 拥堵路段共有 6+9+318 个，按分层抽样从 18 个路段中选出 6 个， 每种情况分别为：，1， 即这三个级别路段中分别抽取的个数为 2，3，1 （）记（）中选取的 2 个轻度拥堵路段为 A1，A2，选取的 3 个中度拥堵路段为 B1， B2，B3， 选取的 1 个严重拥堵路段为 C，则从 6 个路段选取 2 个路段的可能情况如下： 第 17 页（共 22 页） （A1，A2） ， （A1，B1） ， （A1，B2） ， （A1，B3） ， （A1，C） ， （A2，B1） ， （A2，B2） ， （A2，B3） ， （A2，C） ， （B1，B2） ，
30、 （B1，B3） ， （B1，C） ， （B2，B3） ， （B2，C） ， （B3，C） ，共 15 种可 能， 其中至少有 1 个轻度拥堵的有： （A1，A2） ， （A1，B1） ， （A1，B2） ， （A1，B3） ， （A1，C） ， （A2，B1） ， （A2，B2） ， （A2，B3） ， （A2，C） ，共 9 种可能， 所以所选 2 个路段中至少 1 个路段轻度拥堵的概率为 P 【点评】本题考查频数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、列举法等基础 知识，考查运算求解能力，是基础题 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，且BAPCDP90 （1）
31、证明：平面 PAB平面 PAD； （2）若 PAPDABDC，APD90，且四棱锥 PABCD 的体积为，求该四棱 锥的侧面积 【分析】 （1）推导出 ABPA，CDPD，从而 ABPD，进而 AB平面 PAD，由此能证 明平面 PAB平面 PAD （2）设 PAPDABDCa，取 AD 中点 O，连结 PO，则 PO底面 ABCD，且 AD ，PO，由四棱锥 PABCD 的体积为，求出 a2，由此能求出该四棱锥 的侧面积 【解答】证明： （1）在四棱锥 PABCD 中，BAPCDP90， ABPA，CDPD， 又 ABCD，ABPD， PAPDP，AB平面 PAD， AB平面 PAB，平面
32、PAB平面 PAD 解： （2）设 PAPDABDCa，取 AD 中点 O，连结 PO， PAPDABDC，APD90，平面 PAB平面 PAD， 第 18 页（共 22 页） PO底面 ABCD，且 AD，PO， 四棱锥 PABCD 的体积为， 由 AB平面 PAD，得 ABAD， VPABCD ， 解得 a2，PAPDABDC2，ADBC2，PO， PBPC2， 该四棱锥的侧面积： S侧SPAD+SPAB+SPDC+SPBC + 6+2 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力
33、， 考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题 20 （12 分）已知函数 f（x）exax2，曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y bx+1 （）求 a，b 的值； （）求 f（x）在0，1上的最大值 【分析】 （）先求导 f（x）ex2ax，由题设得 f（1）e2ab，f（1）ea b+1，解得 a，b （）由（1）知 f（x）exx2，所以 f（x）ex2x，f （x）ex2所以 f（x） 在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+）上单调递增，所以 f（x）f（ln2）2 2ln20，所以 f（x）在0，1上单调递增，进而求出 f（x）max 第 19 页（共 22
34、 页） 【解答】解： （）f（x）ex2ax， 由题设得 f（1）e2ab，f（1）eab+1，解得 a1，be2 （）由（1）知 f（x）exx2，所以 f（x）ex2x，f （x）ex2， 所以 f（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+）上单调递增， 所以 f（x）f（ln2）22ln20， 所以 f（x）在0，1上单调递增，所以 f（x）maxf（1）e1 【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题 21 （12 分）如图，已知椭圆：1（ab0）经过点 A（2，0） ，离心率 e （）求椭圆的方程； （）设点 B 为椭圆与 y 轴正半轴的交点，点 C 为线段 AB 的中点，点
35、P 是椭圆上的 动点（异于椭圆顶点）且直线 PA，PB 分别交直线 OC 于 M，N 两点，问|OM|ON|是否 为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由 【分析】 （）根据 a 和离心率以及 a2b2+c2的关系即可求出椭圆方程； （）分别设出点 P，M，N 的坐标，根据三点共线得到 y1，y2关于 x0和 y0的关系式， 再利用点 M 在椭圆上坐标满足椭圆方程，化简 y1y2的值为定值，从而得到|OM|ON|为定 值 【解答】解： （）由题意可知：，解得， 所以椭圆的方程：+y21； （）由已知，点 C 的坐标为（1，） ，得直线 OC 的方程为 x2y0， 设 P（x0，y0） ，M（
36、2y1，y1） ，N（2y2，y2） ， 第 20 页（共 22 页） 因 P，A，M 三点共线，故 整理得 y1， 因 P，B，N 三点共线，故，整理得 y2， 因点 P 在椭圆 上，故 x02+4y024， 从而y1y2 ， 所以|OM|ON|y1|y2|5|y1y2| 为定值 【点评】本题主要考差了椭圆方程，以及三点共线问题，是中档题 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修选修 4-4：坐标：坐标 系与参数方程系与参数方程 22 （10 分）已知直线 l：（t 为参数， 为 l 的倾斜角）
37、，以坐标原点为极 点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 为：26cos+50 （1）若直线 l 与曲线 C 相切，求 的值； （2）设曲线 C 上任意一点的直角坐标为（x，y） ，求 x+y 的取值范围 【分析】 （1）求出圆的直角坐标方程，直线的直角坐标方程，利用直线 l 与曲线 C 相切， 列出关系式，即可求 的值； （2）曲线 C 上任意一点的直角坐标为（x，y） ，通过圆的参数方程，得到 x+y 的表达式， 利用三角函数化简，即可求解取值范围 【解答】解： （1）曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y26x+50 即（x3）2+y24 曲线 C 为圆心为（3，0） ，半径为 2
38、 的圆 直线 l 的方程为：xsinycos+sin0（3 分） 直线 l 与曲线 C 相切 即（5 分） 0，）（6 分） 第 21 页（共 22 页） （2）设 x3+2cos，y2sin 则 x+y3+2cos+2sin（9 分） x+y 的取值范围是（10 分） 【点评】本题考查直线与圆的参数方程以及极坐标方程的应用，直线与圆的位置关系， 三角函数的化简求值，考查计算能力 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23若实数 x，y，m 满足|xm|ym|，则称 x 比 y 接近 m （）若 2x 比 1 接近 3，求 x 的取值范围； （）已知 a，bR，m0 且 ab，求证：比接近
39、 0 【分析】 （）根据定义有|2x3|13|，然后解不等式可得 x 的取值范围； （）利用分析法可知要证比接近 0，即证 2amb（a2+b2）m，由已 知条件可知 2amb（a2+b2）m 成立，从而证明结论 【解答】解： （）由已知得|2x3|13|2， 则22x32， x 的取值范围为 （II） 要证比接近 0， 只需证， 只需证 只需证（a+mb）2（a2+mb2） （m+1） ， 即证 2amb（a2+b2）m a，bR，m0 且 ab，2amb（a2+b2）m 显然成立， 比接近 0 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和利用分析法证明不等式，考查了转化思想， 第 22 页（共 22 页） 属中档题
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