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    江西省宜春市2020年5月高三模拟考试数学试题(理科)含答案解析

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    江西省宜春市2020年5月高三模拟考试数学试题(理科)含答案解析

    1、 江西省宜春市江西省宜春市 2020 届高三届高三 5 月模拟考试数学(理科)试题月模拟考试数学(理科)试题 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有分在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1已知集合 Ax|x|x,B1,0,1,2,则 AB( ) A1,0 B1 C2,3 D0,2,3 2在ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边若 b2acosC,则ABC 的形状一 定是( ) A等腰直角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰或直角三角形 3已知函数

    2、f(x)在 x0处的导数为 f(x0) ,则 0 (0)(0) 等于( ) Amf(x0) Bmf(x0) C 1 (0) D 1 (0) 4在(2x+y) (xy)5的展开式中,x4y2的系数为( ) A20 B10 C15 D5 5函数 f(x)2020x+sin(2020x) ,若满足 f(x2+x)+f(1m)0 恒成立,则实数 m 的 取值范围为( ) A1,+) B(, 3 4- C2,+) D (,1 6 在新冠肺炎疫情期间, 某医院有 10 名医生报名参加 “援鄂医疗队” , 其中有 3 名女医生 现 从中抽选 5 名医生,用 X 表示抽到男医生的人数,则 X3 的概率为( )

    3、 A 7 12 B 5 36 C 1 12 D 5 12 7元朝著名的数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗: “我有一壶酒,携着游春走,遇店 添一倍,逢友饮一斗“基于此情境设计了如图所示的程序框图,若输入的 x 的值为5 4,输 出的 x 值为 9,则判断框中可以填( ) Ai4 Bi5 Ci6 Di7 8如图,在四边形 ABCD 中,ABCD,ABAD,AB2AD2CD,E 是 BC 边上一点且 = 3 ,F 是 AE 的中点,则下列关系式不正确的是( ) A = 1 2 + B = 1 3 + 1 3 C = 1 3 + 2 3 D = 1 6 2 3 9已知四棱锥 PABCD,底面 ABCD

    4、 为矩形,侧面 PCD平面 ABCD,BC23CD PCPD26,若点 M 为 PC 的中点,则下列说法正确的个数为( ) (1)PC平面 ADM(2)四棱锥 MABCD 的体积为 12 (3)BM平面 PAD(4)四棱锥 MABCD 外接球的表面积为 36 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 10太极图被称为“中华第一图” 从孔庙大成殿梁柱,到楼观台、三茅宫标记物;从道袍、 卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗,太极图无不跃居其上这种广为人知的太极 图,其形状如阴阳两鱼互抱在一起,因而被称为“阴阳鱼太极图” 在某个太极图案中, 阴影部分可表示为 A(x,y)|x2+(y1)21 或 2+ 2

    5、 4 2+ ( + 1)2 1 0 ,设点(x,y) A,则 z3x+4y 的最大值与最小值之差为( ) A19 B18 C1 D20 11已知定义在,0, 6-上的函数() = ( 6)(0)的最大值为 5,则正实数 的 取值个数最多为( ) A4 B3 C2 D1 12 已知抛物线 C 方程为 x24y, F 为其焦点, 过点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A, B 两点, 且抛物线在 A, B 两点处的切线分别交 x 轴于 P, Q 两点, 则|AP|BQ|的取值范围为 ( ) A(1 2, + ) B2,+) C (2,+) D0,2) 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4

    6、小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 已知双曲线: 2 2 2 2 = 1 (a0, b0) 的离心率为 5 2 , 则 C 的渐近线方程为 14 若复数 Z 满足方程 x24x+50, 且在复平面内对应的点位于第一象限, 则 Z 15已知数列an中,a111,an+1an+ 1 (+1),若对任意的 m1,4,任意的 nN *使得 ant2+mt 恒成立,则实数 t 的取值范围是 16 已知不等式 + + 1 对 x (1, +) 恒成立, 则实数 m 的最小值为 三、 解答题: 共三、 解答题: 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤分 解答应写出文

    7、字说明、 证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选做题,考生根据要求作答题为选做题,考生根据要求作答.(一)必考题:共(一)必考题:共 60 分分. 17 (12 分)已知an为等比数列,且各项均为正值,2= 1 16,a4a616a3a9 (1)求数列an的通项公式; (2)若 bnlog4an,数列* 1 +2+的前 n 项和为 Tn,求 Tn 18 (12 分)如图,四棱锥 EABCD 的侧棱 DE 与四棱锥 FABCD 的侧棱 BF 都与底面 ABCD 垂直,ADCD,ABCD,AB3,ADCD4

    8、,AE5, = 32 (1)证明:DF平面 BCE; (2)在棱 AF 上是否存在点 M,使平面 ABF 与平面 CDM 所成角的正弦值为4 5?如果存 在,指出 M 点的位置;如果不存在,请说明理由 19 (12 分)已知函数 f(x)e2xa,g(x)exb,且 f(x)与 g(x)的图象有一条斜 率为 1 的公切线(e 为自然对数的底数) (1)求 ba; (2)设函数 h(x)f(x)g(x)mx+ 2 2 1 2,证明:当 m1 时,h(x)有且仅 有 2 个零点 20 (12 分)已知椭圆 C: 2 2 + 2 2 = 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为 1 2,

    9、点 P 是椭圆 C 上的一个动点,且PF1F2 面积的最大值为3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)椭圆 C 与 x 轴交于 A、 B 两点, 直线 AP 和 BP 与直线 l:x4 分别交于点 M,N, 试探究以 MN 为直径的圆是否恒过定点,若是,求出所有定点的坐标:若否,请说明理 由 21 (12 分)超级细菌是一种耐药性细菌,产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的 药物越来越多,但是由于滥用抗生素的现象不断的发生,很多致病菌也对相应的抗生素 产生了耐药性,更可怕的是,抗生素药物对它起不到什么作用,病人会因为感染而引起 可怕的炎症,高烧,痉挛,昏迷甚至死亡某药物研究所为筛查某种超级细

    10、菌,需要检 验血液是否为阳性,现有 n(nN*)份血液样本,每个样本取到的可能性相等,有以下 两种检验方式: (1)逐份检验,则需要检验 n 次; (2)混合检验,将其中 k(kN*且 k 2) 份血液样本分别取样混合在一起检验, 若检验结果为阴性, 则这份的血液全为阴性, 因而这 k 份血液样本只要检验一次就够了;如果检验结果为阳性,为了明确这 k 份血液 究竟哪几份为阳性,就要对这 k 份血液再逐份检验,此时这 k 份血液的检验次数总共为 k+1 次假设在接受检验的血液样本中,每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立 的,且每份样本是阳性结果的概率为 p(0p1) 现取其中 k(kN*且

    11、k2)份血液 样本,记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为 1,采用混合检验方式,样本需 要检验的总次数为 2 (1)运用概率统计的知识,若 E(1)E(2) ,试求 P 关于 k 的函数关系式 pf(k) ; (2)若 P 与抗生素计量 xn相关,其中 x1,x2,xn(n2)是不同的正实数,满足 x11,对任意的 nN*(n2) ,都有 1 3 1 =1 2 +1 = 212 2 212 (i)证明:xn为等比数列; (ii)当 = 1 1 7 8 时,采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数期望值比逐 份检验的总次数期望值更少,求 k 的最大值 参考数据: ln20.6931,

    12、ln31.0986, ln41.3863, ln51.6094, ln61.7918, ln71.9459, ln82.0794,ln92.1972,ln102.3026 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的题中任选一题作答如果多做,则按所做的 第一题计分第一题计分.选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 = 2 + 2 = 1 2(t 为参数) 以 坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为

    13、 4cos, 且直线 l 与曲线 C 交于 M、N 两点 (1)求直线 l 的普通方程以及曲线 C 的直角坐标方程: (2)若曲线 C 外一点 A(m,n)恰好落在直线 l 上,且| + | = 32,求 m,n 的值 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知函数() = | | + |2 + 4 |(m2) (1)若 m4,求不等式 f(x)5 的解集; (2)问:() + 4 (2)是否存在最小值?若存在,请求出 m 的值;若不存在,请说明 理由 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有分在每小

    14、题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1已知集合 Ax|x|x,B1,0,1,2,则 AB( ) A1,0 B1 C2,3 D0,2,3 【分析】求出集合 A,B,由此能求出 AB 【解答】解:集合 Ax|x|xx|x0, B1,0,1,2, AB1 故选:B 【点评】本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础 题 2在ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边若 b2acosC,则ABC 的形状一 定是( ) A等腰直角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰或直角三角形 【分析】 (法一)根据正弦定理、内角和定理、诱导公

    15、式、两角和与差的正弦公式化简已 知的式子,由内角的范围即可判断出ABC 的形状; (法二)根据余弦定理化简已知的式子,即可判断出ABC 的形状 【解答】解: (法一)b2acosC,由正弦定理得 sinB2sinAcosC, B(A+C) ,sin(A+C)2sinAcosC, 则 sinAcosC+cosAsinC2sinAcosC, sinAcosCcosAsinC0,即 sin(AC)0, A、C(0,) ,AC(,) ,则 AC0, AC,ABC 是等腰三角形; (法二)b2acosC,由余弦定理得 b2a 2+22 2 , 化简得 a2c20,即 ac, ABC 是等腰三角形, 故选

    16、:C 【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的应用:边角互化,考查化简、变形能力,属于 中档题 3已知函数 f(x)在 x0处的导数为 f(x0) ,则 0 (0)(0) 等于( ) Amf(x0) Bmf(x0) C 1 (0) D 1 (0) 【分析】根据题意,由极限的运算性质可得 0 (0)(0) =m 0 (0)(0) ,结合导数的定义计算可得答案 【解答】 解: 根据题意, 0 (0)(0) =m 0 (0)(0) =mf (x0) , 故选:A 【点评】本题考查导数的定义以及极限的性质,注意导数的定义,属于基础题 4在(2x+y) (xy)5的展开式中,x4y2的系数为( ) A20

    17、B10 C15 D5 【分析】由题意利用通项公式求得(2x+y) (xy)5的展开式中,x4y2的系数 【解答】解:在(2x+y) (xy)5的展开式中, 要得到含 x4y2的项, 可以用 2x 乘以(xy)5的展开式中含 x3y2的项; 也可以用 y 乘以(xy)5的展开式中含 x4y 的项, 故含 x4y2的项系数为 25 2 + 5 1 (1)15, 故选:C 【点评】 本题主要考查二项式定理的应用, 二项展开式的通项公式, 二项式系数的性质, 属于基础题 5函数 f(x)2020x+sin(2020x) ,若满足 f(x2+x)+f(1m)0 恒成立,则实数 m 的 取值范围为( )

    18、A1,+) B(, 3 4- C2,+) D (,1 【分析】首先运用奇偶性的定义,判断 f(x)为奇函数,再求 f(x)的导数,结合余弦 函数的值域,判断 f(x)的单调性,可得原不等式等价为 m1(x2+x)min,再由二次 函数的最值求法,可得 m 的范围 【解答】解:由函数 f(x)2020x+sin(2020x) , 可得 f(x)2020x+sin(2020x)2020x+sin(2020x)f(x) ,即 f(x) 为 R 上的奇函数, 又 f(x)2020+2020cos(2020x)0,即 f(x)在 R 上递增, 则 f(x2+x)+f(1m)0 恒成立,等价为 f(x2+

    19、x)f(1m)f(m1) , 即有 m1(x2+x)min,而 x2+x(x+ 1 2) 21 4 1 4,当 x= 1 2时,等号成立, 则 m1 1 4,解得 m 3 4, 故选:B 【点评】本题考查不等式恒成立问题解法,注意运用函数的奇偶性和单调性,考查不等 式的解法,以及运算能力和推理能力,属于基础题 6 在新冠肺炎疫情期间, 某医院有 10 名医生报名参加 “援鄂医疗队” , 其中有 3 名女医生 现 从中抽选 5 名医生,用 X 表示抽到男医生的人数,则 X3 的概率为( ) A 7 12 B 5 36 C 1 12 D 5 12 【分析】基本事件总数 n= 10 5 =252,用

    20、 X 表示抽到男医生的人数,则 X3 包含的基本 事件个数 m= 7 332 =105,由此能求出 X3 的概率 【解答】解:某医院有 10 名医生报名参加“援鄂医疗队” ,其中有 3 名女医生现从中 抽选 5 名医生, 基本事件总数 n= 10 5 =252, 用 X 表示抽到男医生的人数,则 X3 包含的基本事件个数 m= 7 332 =105, 用 X 表示抽到男医生的人数,则 X3 的概率为 P= = 105 252 = 5 12 故选:D 【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础 题 7元朝著名的数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗: “我有一壶酒,携

    21、着游春走,遇店 添一倍,逢友饮一斗“基于此情境设计了如图所示的程序框图,若输入的 x 的值为5 4,输 出的 x 值为 9,则判断框中可以填( ) Ai4 Bi5 Ci6 Di7 【分析】运行该程序,输入对应的 x,直到输出的值为 9 时,根据需要输出 x 的值,观察 可知即可 【解答】 解: 运行该程序, 第一次, = 2 5 4 1 = 3 2, i2, 第二次, = 2 ( 3 2) 1 = 2, i 3, 第三次,x2213,i4,第四次,x2314,i5,第五次,x251 9,i6,此时,需要输出 x 的值,观察可知选 B 故选:B 【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟

    22、程序框图的运行过程,以便得 出正确的结论,是基础题 8如图,在四边形 ABCD 中,ABCD,ABAD,AB2AD2CD,E 是 BC 边上一点且 = 3 ,F 是 AE 的中点,则下列关系式不正确的是( ) A = 1 2 + B = 1 3 + 1 3 C = 1 3 + 2 3 D = 1 6 2 3 【分析】直接利用向量的线性运算的应用求出结果 【解答】解:在四边形 ABCD 中,ABCD,ABAD,AB2AD2CD,E 是 BC 边上 一点且 = 3 ,F 是 AE 的中点, 如图所示: 作 AB 的中点,根据向量的线性运算, 对于选项 A: = 1 2 + ,故选项 A 正确 对于

    23、选项 B:利用线性运算: = 1 2 = 1 2( ) = 1 3 + 1 3 ,故选项 B 正确 对于选项 D:利用线性运算: = 1 6 2 3 故选项 D 正确 对于选项 C: = 1 2 + 1 2 = 2 3 + 1 3 ,故选项 C 错误 故选:C 【点评】本题考查的知识要点:向量的线性运算的应用,主要考查学生的运算能力和转 换能力及思维能力,属于基础题型 9已知四棱锥 PABCD,底面 ABCD 为矩形,侧面 PCD平面 ABCD,BC23CD PCPD26,若点 M 为 PC 的中点,则下列说法正确的个数为( ) (1)PC平面 ADM(2)四棱锥 MABCD 的体积为 12

    24、(3)BM平面 PAD(4)四棱锥 MABCD 外接球的表面积为 36 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】由底面 ABCD 为矩形,得 ADDC,结合侧面 PCD平面 ABCD,得 AD平 面 PDC,即 ADPC,再由已知可得 DMPC,得到 PC平面 ADM,故(1)正确; 过 P 作 PEDC,垂足为 E,可得 PE平面 ABCD,求解 PE,再由四棱锥 MABCD 的 体积为 V= 1 2VPABCD 求得体积为 12,故(2)正确; 取 PD 中点 N,连接 MN,AN,可得 MNAB,MN= 1 2 ,再由反证法说明(3)错误; 连接 AC 交 BD 于 O,则 OM

    25、= 1 2PA,求得 OMODOBOCOA3,可得 O 为四棱 锥 MABCD 外接球的球心,进一步求出四棱锥 MABCD 外接球的表面积判断(4)正 确 【解答】解:如图,由底面 ABCD 为矩形,得 ADDC, 又侧面 PCD平面 ABCD,且侧面 PCD平面 ABCDCD, AD平面 PDC,得 ADPC, 由PDC 为等边三角形,且 M 为 PC 的中点,可得 DMPC, 又 ADDMD,PC平面 ADM,故(1)正确; 过 P 作 PEDC,垂足为 E, 侧面 PCD平面 ABCD,侧面 PCD平面 ABCDCD,PE平面 ABCD, 又由已知可得 PE=(26)2 (6)2= 32

    26、, 四棱锥 MABCD 的体积为 V= 1 2VPABCD= 1 2 1 3 23 26 32 =12, 故 (2) 正确; 取 PD 中点 N,连接 MN,AN,可得 MNAB,MN= 1 2 , 则四边形 ABMN 为平面图形, 若 BM平面 PAD,则 BMAN,可得四边形 ABMN 为平行四边形, 得 MNAB,与 MN= 1 2矛盾,故(3)错误; 连接 AC 交 BD 于 O,则 OM= 1 2PA, ACBDPA=(26)2+ (23)2= 6,OM3 且 ODOBOCOA3, O 为四棱锥 MABCD 外接球的球心, 故四棱锥 MABCD 外接球的表面积为 36, 故 (4)正

    27、确 正确命题的个数为 3 故选:C 【点评】本题主要考查了平面平面垂直的性质,以及直线与平面平行、垂直的判定,考 查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于中档题 10太极图被称为“中华第一图” 从孔庙大成殿梁柱,到楼观台、三茅宫标记物;从道袍、 卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗,太极图无不跃居其上这种广为人知的太极 图,其形状如阴阳两鱼互抱在一起,因而被称为“阴阳鱼太极图” 在某个太极图案中, 阴影部分可表示为 A(x,y)|x2+(y1)21 或 2+ 2 4 2+ ( + 1)2 1 0 ,设点(x,y) A,则 z3x+4y 的最大值与最小值之差为( ) A19 B18 C1 D20

    28、 【分析】结合图形,平移直线 z3x+4y,当直线与阴影部分相切时取得最值,分别求其 最大最小值即可 【解答】 解: 如图, 作直线 3x+4y0, 当直线上移与圆 x2+ (y1) 21 相切时, z3x+4y 取最大值, 此时,圆心(0,1)到直线 z3x+4y 的距离等于 1,即 |4| 32+42 =1, 解得 z 的最大值为:4+59, 当下移与圆 x2+y24 相切时,3x+4y 取最小值, 同理 | 32+42 =2,即 z 的最小值为10 所以:z3x+4y 的最大值与最小值之差是:9(10)19 故选:A 【点评】本题考查线性规划的数据应用,考查转化思想以及计算能力;考查分析

    29、问题解 决问题的能力,属于中档题目 11已知定义在,0, 6-上的函数() = ( 6)(0)的最大值为 5,则正实数 的 取值个数最多为( ) A4 B3 C2 D1 【分析】先由 x,0, 6-,求出 6的取值范围,然后分类讨论:当 6 ( 1) 2即 04 时,构造新函数() = 6 ( 1),() = 5,然后结合正弦函数和一次函 数的图象, 找两个图象的交点个数即可; 当 6 ( 1) 2即 4 时, 只能是 5 【解答】解:x,0, 6-, 6 , 6 , 6 ( 1)-, 当 6 ( 1) 2即 04 时,() = 6 ( 1) = 5 令() = 6 ( 1),() = 5,如

    30、图,易知函数 g()和 h()有两个交点 A,B, 而当 04 时,只有唯一的交点 A,也就是 6 ( 1) = 5只有唯一解 当 6 ( 1) 2即 4 时,() = 2 = 5,5,只有一个值 综上所述,正实数 的取值个数最多为 2 个 故选:C 【点评】本题考查正弦函数的图象与性质、函数图象的交点个数问题,还涉及构造新函 数和分类讨论的思想,考查学生转化与化归的能力、逻辑推理能力和运算能力,属于中 档题 12 已知抛物线 C 方程为 x24y, F 为其焦点, 过点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A, B 两点, 且抛物线在 A, B 两点处的切线分别交 x 轴于 P, Q 两点,

    31、 则|AP|BQ|的取值范围为 ( ) A(1 2, + ) B2,+) C (2,+) D0,2) 【分析】设 l:ykx+1设 A(x1, 12 4 ) ,B(x2, 22 4 ) ,可得 PA:y 12 4 = 1 2x1(xx1) , |AP|= 1 41 2(4 + 12)同理可得,|BQ|=1 42 2(4 + 22),可得|AP|BQ|的取值范围 【解答】 解: 由已知可判断直线 l 的斜率存在, 设斜率为 k, 因为 F (0, 1) , 则 l: ykx+1 设 A(x1,1 2 4 ) ,B(x2,2 2 4 ) ,由 = + 1 2= 4 消去 y 得,x24kx40,

    32、x1+x24k,x1x24 由于抛物线 C 也是函数 y= 1 4x 2 的图象,且 y= 1 2x,则 PA:y 12 4 = 1 2x1(xx1) 令 y0,解得 x= 1 2x1,P( 1 2x1,0) ,从而|AP|= 1 41 2(4 + 12) 同理可得,|BQ|= 1 42 2(4 + 22), |AP| |BQ| = 1 16(12) 2(4 + 12)(4 + 22) = 1 16(12) 2,16 + 4(12+ 22) + (12)2- = 2 1 + 2 k20,|AP|BQ|的取值范围为2,+) 故选:B 【点评】本题考查抛物线的简单性质,直线与抛物线的位置关系的综合

    33、应用,考查转化 思想以及计算能力,属于中档题 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13已知双曲线: 2 2 2 2 = 1(a0,b0)的离心率为 5 2 ,则 C 的渐近线方程为 y= 1 2 【分析】由双曲线的离心率,利用题设条件,结合离心率的变形公式能求出 的值,由此 能求出双曲线的渐近线的方程 【解答】解:双曲线: 2 2 2 2 = 1(a0,b0)的离心率为 5 2 , = = 2 2 =1 + 2 2 = 5 2 , 1+ 2 2 = 5 4, 2 2 = 1 4,解得 = 1 2, C 的渐近线方程为 y= = 1

    34、2 故答案为:y= 1 2 【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法,是基础题,解题时要熟练掌握双曲线的 简单性质 14若复数 Z 满足方程 x24x+50,且在复平面内对应的点位于第一象限,则 Z 2 i 【分析】利用求根公式可得实系数一元二次方程的虚根,根据在复平面内对应的点位于 第一象限,可得,进而得出 Z 【解答】解:由 x24x+50,解得 x= 42 2 =2i, 在复平面内对应的点位于第一象限, =2+i Z2i 故答案为:2i 【点评】本题考查了求根公式、实系数一元二次方程的虚根成对原理,考查了推理能力 与计算能力,属于基础题 15已知数列an中,a111,an+1an+ 1

    35、(+1),若对任意的 m1,4,任意的 nN *使得 ant2+mt 恒成立,则实数 t 的取值范围是 (,63,+) 【分析】利用裂项法可求得 an(anan1)+(an1an2)+(a3a2)+(a2a1) +a11 1 ,而 an12 1 为递增数列,可求得 an 的极限值(可作为最大值) ,于是所求 可转化为对任意的 m1, 4, t2+mt12 恒成立问题, 通过构造函数 h (m) tm+t212, 则(1) 0 (4) 0,解之即可 【解答】解:an+1an+ 1 (+1); an+1an= 1 1 +1, an (anan1) + (an1an2) + (a3a2) + (a2

    36、a1) +a1 ( 1 1 1 ) + ( 1 2 1 1) +(1 2 1 3)+(1 1 2)+1112 1 , an12 1 为递增数列, 当 n+时,an12 对任意的 m1,4,存在 nN*,使 ant2+mt 成立, 对任意的 m1,4,t2+mt12 恒成立 令 h(m)tm+t212, 则(1) 0 (4) 0,即 2+ 12 0 2+ 4 12 0, 解得:t3 或 t6, 故答案为: (,63,+) 【点评】本题考查数列递推式,考查等价转化思想与极限思想的应用,考查裂项法与构 造法,考查推理与运算能力,属于中档题 16 已知不等式 + + 1 对 x (1, +) 恒成立,

    37、 则实数 m 的最小值为 e 【分析】由题意可得 e xlnexxmlnxm 对 x(1,+)恒成立,设 f(x)xlnx, 求得 f(x)的导数和单调性、极值和最值,讨论 m0 恒成立,由 m0 时,xm的范围, 可得 e xxm,两边取自然对数,运用参数分离和构造函数法,运用导数求单调性、极值 和最值,即可得到所求最小值 【解答】解:不等式 + + 1 对 x(1,+)恒成立,即 x+ 1 xmmlnx xmlnxm,对 x(1,+)恒成立, 即有 e xlnexxmmlnxxmlnxm 对 x(1,+)恒成立, 设 f(x)xlnx,可得 f(x)1 1 = 1 ,即 f(x)在(1,+

    38、)递增,在(0,1) 递减, 可得 f(x)在 x1 处取得最小值 1, 则 f(e x)f(xm)对 x1 恒成立,由 x1,可得 0ex1 , 当 m0 时,xm1,f(e x)f(xm)显然成立;要求 m 的最小值,可考虑 m0 的情 况 当 m0 时,yxm在(1,+)递减,可得 xm(0,1) , 则 e xxm,两边取自然对数可得xmlnx(x1) ,即m 对 x1 恒成立, 可设 h(x)= ,x1,可得 h(x)= 1 ()2, 当 xe 时,h(x)0,h(x)递增,1xe 时,h(x)0,h(x)递减, 则 h(x)在 xe 处取得极小值,且为最小值 e, 即有me,可得

    39、me,即 m 的最小值为e 故答案为:e 【点评】本题考查不等式恒成立问题解法,注意运用转化思想和构造函数法,运用导数 求单调性、极值和最值,考查运算能力和推理能力,属于难题 三、 解答题: 共三、 解答题: 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选做题,考生根据要求作答题为选做题,考生根据要求作答.(一)必考题:共(一)必考题:共 60 分分. 17 (12 分)已知an为等比数列,且各项均为正值,2= 1 16,a4a61

    40、6a3a9 (1)求数列an的通项公式; (2)若 bnlog4an,数列* 1 +2+的前 n 项和为 Tn,求 Tn 【分析】 本题第 (1) 题先设等比数列an的公比为 q, 然后根据等比中项的性质化简 a4a6 16a3a9可得5 2 = 166 2,进一步计算可得公比 q 的值,然后根据2 = 1 16可计算出首项 a1的值,即可得到数列an的通项公式; 第(2)题先根据第(1)题的结果计算出数列bn的通项公式,再计算出数列* 1 +2+的 通项公式,然后运用裂项相消法计算出前 n 项和 Tn 【解答】解: (1)由题意,设等比数列an的公比为 q,则 由 a4a616a3a9,可得

    41、5 2 = 166 2, q2= 6 2 5 2 = 1 16, 等比数列an各项均为正值, q0,即 = 1 4, 由2= 1 16,可得 a1= 2 = 1 16 1 4 = 1 4, an= 1 4 ( 1 4) n1(1 4) n,nN* (2)由(1)知,= 4= 4 1 4 = , 则 1 +2 = 1 (+2) = 1 2 (1 1 +2), Tn= 1 13 + 1 24 + 1 35 + 1 46 + + 1 1+1 + 1 +2 = 1 2(1 1 3)+ 1 2( 1 2 1 4)+ 1 2( 1 3 1 5)+ 1 2( 1 1 1 +1)+ 1 2( 1 1 +2) = 1 2(1 1 3 + 1 2 1 4 + 1 3 1 5 + + 1 1 1 +1 + 1 1 +2) = 1 2(1+ 1 2 1 +


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