1、2020 年中考数学一模试卷年中考数学一模试卷 一、选择题 1曲靖市的职业教育是曲靖市教育的一张名片，现在曲靖市中等职业学校在校生约为 130000 人，将数字 130000 用科学记数法表示为（ ） A0.13105 B0.13106 C1.3105 D1.3106 2下列计算正确的是（ ） Aa2+a22a4 Ba2 a3a6 C（a2）2a4 D（a+1）2a2+1 3如图，在下面的四个几何体中，从它们各自的正面和左面看，不相同的是（ ） A B C D 4已知反比例函数 y的图象上有两点 A（x1，y1），B（x2，y2），当 x10x2时， 有 y1y2，则 m 的取值范围是（ ）
2、Am0 Bm0 Cm Dm 5为了参加市中学生篮球运动会，一支校篮球队准备购买 10 双运动鞋，各种尺码统计如下 表： 尺码（厘米） 25 25.5 26 26.5 27 购买量（双） 1 2 3 2 2 则这 10 双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（ ） A25.5 厘米，26 厘米 B26 厘米，25.5 厘米 C25.5 厘米，25.5 厘米 D26 厘米，26 厘米 6如图，在矩形 ABCD 中，AB3，将ABD 沿对角线 BD 对折，得到EBD，DE 与 BC 交于点 F，ADB30，则 FC 为（ ） A B C2 D3 7如图，在ABC 中，两条中线 BE、CD 相交于点 O，则
3、 SDOE：SCOB（ ） A2 B C D 8 如图， 在ABC 中， AB4， 若将 ABC 绕点 B 顺时针旋转 60， 点 A 的对应点为点 A， 点 C 的对应点为点 C，点 D 为 AB 的中点，连接 AD 则点 A 的运动路径 AB 与线段 AD、AD 围成的阴影部分的面积是（ ） A 2 B 4 C 2 D 4 二、填空题（共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 9的相反数是 10不等式组的解集为 11如图，ABCD，FEDB，垂足为点 E，240，则1 的度数是 12关于 x 的方程 mx24x+10 有实数根，则 m 的取值范围是 13如图，等腰ABC 中，ABAC
4、8，BC5，AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，则BEC 的周长为 14如图，每个图案都由若干个棋子摆成，按照此规律，第 n 个图案中棋子的总个数可用含 n 的代数式表示为 三.解答题（本大题共 9 个小题，满分 70 分） 15计算：（） 2+（3.14）0| |2cos30 16先化简，再求值：（1），其中 x 17如图，四边形 ABCD 是正方形，E 是 CD 边上任意一点，连接 AE，作 BFAE，DG AE，垂足分别为 F、G 求证：AFDG 18 某种洗衣机在洗涤衣服时， 经历了进水、 清洗、 排水、 脱水四个连续的过程， 其中进水、 清洗、排水时洗衣
5、机中的水量 y（升）与时间 x（分钟）之间的关系如图所示已知：洗 衣机的排水速度为每分钟 20 升 （1）求排水时 y 与 x 之间的函数解析式； （2）洗衣机中的水量到达某一水位后，过 13.7 分钟又到达该水位，求该水位为多少升 19曲靖市某街道学苑社区开展爱心捐赠活动，并决定赠送一批阅读图书，用于贫困学生的 课外学习据了解，科普书的单价比文学书的单价多 8 元，用 12000 元购买科普书与用 8000 元购买文学书的本数相同，求这两类书籍的单价各是多少元 20已知，如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别为边 AB、CD 的中点，BD 是对角线， AGDB 交 CB 的延长线于
6、G （1）求证：四边形 AGBD 为平行四边形； （2）若四边形 AGBD 是矩形，则四边形 BEDF 是什么特殊四边形？证明你的结论 21某校九年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上 发言的次数进行了统计， 其结果如表， 并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图， 已知B、 E 两组发言人数的比为 5：2，请结合图中相关数据回答下列问题： （1）则样本容量是 ，并补全直方图； （2）该年级共有学生 500 人，请估计全年级在这天里发言次数不少于 12 的次数； （3）已知 A 组发言的学生中恰有 1 位女生，E 组发言的学生中有 2 位男生，现从 A 组与 E 组
7、中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好 是一男一女的概率 发言次数 n A 0n3 B 3n6 C 6n9 D 9n12 E 12n15 F 15n18 22如图，在ABC 中，以 BC 为直径的O 交 AC 于点 E，过点 E 作 AB 的垂线交 AB 于 点 F，交 CB 的延长线于点 G，且ABG2C （1）求证：EG 是O 的切线； （2）若 tanC，AC8，求O 的半径 23如图，抛物线 yax2+bx+3 经过点 B（1，0），C（2，3），抛物线与 y 轴的交点 A， 与 x 轴的另一个交点为 D，点 M 为线段 AD 上的一动点，设点 M 的
8、横坐标为 t （1）求抛物线的表达式； （2）过点 M 作 y 轴的平行线，交抛物线于点 P，设线段 PM 的长为 l，当 t 为何值时，l 的长最大，并求最大值；（先根据题目画图，再计算） （3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，PAD 的面积最大？并求最大值； （4）在（2）的条件下，是否存在点 P，使PAD 为直角三角形？若存在，直接写出 t 的值；若不存在，说明理由 参考答案 一、选择题（共 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分） 1曲靖市的职业教育是曲靖市教育的一张名片，现在曲靖市中等职业学校在校生约为 130000 人，将数字 130000 用科学记数法表示为（ ） A0.1
9、3105 B0.13106 C1.3105 D1.3106 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 解：将数字 130000 用科学记数法表示为 1.3105 故选：C 2下列计算正确的是（ ） Aa2+a22a4 Ba2 a3a6 C（a2）2a4 D（a+1）2a2+1 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方分别求出每 个式子的值，再判断即可 解：A、结果是 2a
10、2，故本选项错误； B、结果是 a5，故本选项错误； C、结果是 a4，故本选项正确； D、结果是 a2+2a+1，故本选项错误； 故选：C 3如图，在下面的四个几何体中，从它们各自的正面和左面看，不相同的是（ ） A B C D 【分析】从正面看是主视图，从左面看是左视图，利用主、俯：长对正；主、左：高平 齐；俯、左：宽相等可对各选项进行判断 解：A、左视图和主视图都是相同的正方形，所以 A 选项错误； B、左视图和主视图虽然都是长方形，但是左视图的长方形的宽为三棱柱的底面三角形的 高，主视图的长方形的宽为三棱柱的底面三角形的边长，所以 B 选项正确； C、左视图和主视图都是相同的长方形，所
11、以 C 选项错误； D、左视图和主视图都是相同的等腰三角形，所以 D 选项错误 故选：B 4已知反比例函数 y的图象上有两点 A（x1，y1），B（x2，y2），当 x10x2时， 有 y1y2，则 m 的取值范围是（ ） Am0 Bm0 Cm Dm 【分析】先根据当 x10x2时，有 y1y2，判断出 12m 的符号，求出 m 的取值范围即 可 解：反比例函数 y的图象上有两点 A（x1，y1），B（x2，y2），当 x10x2时， 有 y1y2， 反比例函数的图象在一三象限， 12m0，解得 m 故选：C 5为了参加市中学生篮球运动会，一支校篮球队准备购买 10 双运动鞋，各种尺码统计如下
12、 表： 尺码（厘米） 25 25.5 26 26.5 27 购买量（双） 1 2 3 2 2 则这 10 双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（ ） A25.5 厘米，26 厘米 B26 厘米，25.5 厘米 C25.5 厘米，25.5 厘米 D26 厘米，26 厘米 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要 把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数 解：数据 26 出现了 3 次最多，这组数据的众数是 26， 共 10 个数据，从小到大排列此数据处在第 5、6 位的数都为 26，故中位数是 26 故选：D 6如图，在矩形 ABCD
13、 中，AB3，将ABD 沿对角线 BD 对折，得到EBD，DE 与 BC 交于点 F，ADB30，则 FC 为（ ） A B C2 D3 【分析】利用翻折变换的性质得出：1230，根据矩形的性质可得330， CDAB3，进而结合锐角三角函数关系求出 FC 的长 解：如图所示：由题意可得：1230， 四边形 ABCD 是矩形， 330，CDAB3， tan30， 解得：FC 故选：B 7如图，在ABC 中，两条中线 BE、CD 相交于点 O，则 SDOE：SCOB（ ） A2 B C D 【分析】因为 BE、CD 是ABC 中的两条中线，可知 DE 是ABC 的中位线，于是 DE BC，得出DO
14、ECOB，再根据相似比即可求出面积比 解：BE、CD 是ABC 中的两条中线， DE 是ABC 的中位线， 于是 DEBC，DEBC DOECOB， 故选：D 8 如图， 在ABC 中， AB4， 若将 ABC 绕点 B 顺时针旋转 60， 点 A 的对应点为点 A， 点 C 的对应点为点 C，点 D 为 AB 的中点，连接 AD 则点 A 的运动路径 AB 与线段 AD、AD 围成的阴影部分的面积是（ ） A 2 B 4 C 2 D 4 【分析】如图，连接 AA证明ABA是等边三角形，根据 S阴S扇形BAASADB求 解即可 解：如图，连接 AA BABA，ABA60， ABA是等边三角形，
15、 BABA4， DBDA， ADBA， S阴S扇形BAASADB 422， 故选：A 二、填空题（共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 9的相反数是 【分析】求一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号 解：的相反数是（） 故答案为： 10不等式组的解集为 x4 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解 解：， 由得，x， 由得，x4， 所以不等式组的解集为x4， 故答案为：x4 11如图，ABCD，FEDB，垂足为点 E，240，则1 的度数是 50 【分析】根据平行线的性质求出EDF240，根据垂直求出FED90，根据 三角形内角和定理求出即可 解：ABCD，240， EDF2
16、40， FEDB， FED90， 1180FEDEDF180904050， 故答案为：50 12关于 x 的方程 mx24x+10 有实数根，则 m 的取值范围是 m4 【分析】根据一元二次方程判别式的意义得到（4）24m 10，然后求出不等 式的解即可 解：当关于 x 的方程 mx24x+10 是一次方程，则 m0，有实数根， 当是一元二次方程，根据题意得（4）24m 10， 解得 m4 故答案为 m4 13如图，等腰ABC 中，ABAC8，BC5，AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，则BEC 的周长为 13 【分析】 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离
17、相等可得 AEBE， 然后求出 BEC 周长AC+BC， 再根据等腰三角形两腰相等可得 ACAB， 代入数据计算即可得解 解：DE 是 AB 的垂直平分线， AEBE， BEC 周长BE+CE+BCAE+CE+BCAC+BC， 腰长 AB8， ACAB8， BEC 周长8+513 故答案为：13 14如图，每个图案都由若干个棋子摆成，按照此规律，第 n 个图案中棋子的总个数可用含 n 的代数式表示为 5n1 【分析】设第 n 个图案的棋子数为 an（n 为正整数）结合图形，列出部分 an的值，根 据数据的变化找出变化规律“an5n1” 解：第 1 个图案中棋子的总个数是：4511， 第 2 个
18、图案中棋子的总个数是：8+19521， 第 3 个图案中棋子的总个数是：12+214531 那么第 n 个图案中棋子的总个数可以用含 n 的代数式表示为：5n1 故答案为：5n1 三.解答题（本大题共 9 个小题，满分 70 分） 15计算：（） 2+（3.14）0| |2cos30 【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个 考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则计算 解：原式4+1（2）252+3 16先化简，再求值：（1），其中 x 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算可得 解：原式（）
19、， 当 x时，原式 17如图，四边形 ABCD 是正方形，E 是 CD 边上任意一点，连接 AE，作 BFAE，DG AE，垂足分别为 F、G 求证：AFDG 【分析】根据正方形的性质可得 ABAD，再利用同角的余角相等求出BAFADG， 再利用 “角角边” 证明BAF 和ADG 全等， 根据全等三角形对应边相等可得 AFDG， 解：四边形 ABCD 是正方形， ABAD，DAB90， BFAE，DGAE， AFBAGDADG+DAG90， DAG+BAF90， ADGBAF， 在BAF 和ADG 中， ， BAFADG（AAS）， AFDG， 18 某种洗衣机在洗涤衣服时， 经历了进水、 清
20、洗、 排水、 脱水四个连续的过程， 其中进水、 清洗、排水时洗衣机中的水量 y（升）与时间 x（分钟）之间的关系如图所示已知：洗 衣机的排水速度为每分钟 20 升 （1）求排水时 y 与 x 之间的函数解析式； （2）洗衣机中的水量到达某一水位后，过 13.7 分钟又到达该水位，求该水位为多少升 【分析】（1）由图象可知 04 分时是进水时间，415 分钟时时清洗时间，15 分钟以 后是放水的时间，据此解答即可； （2）根据图象知，洗衣机的进水速度为 40410 升/分钟，设洗衣机中的水量第一次 到达某一水位的时间是 x 分钟，则第二次到达该水位的时间为（x+13.7）分钟，根据题意 列方程解
21、答即可 解：（1）由图象可知洗衣机进水时间为 4 分钟，清洗时洗衣机中的水量是 40 升， 故排水时，y 与 x 之间的函数解析式为 y4020（x15）20x+340； （2）根据图象知，洗衣机的进水速度为 40410 升/分钟， 设洗衣机中的水量第一次到达某一水位的时间是 x 分钟， 则第二次到达该水位的时间为（x+13.7）分钟， 根据题意得 10x20（x+13.7）+340， 解得 x2.2，此时 y102.222， 答：该水位为 22 升 19曲靖市某街道学苑社区开展爱心捐赠活动，并决定赠送一批阅读图书，用于贫困学生的 课外学习据了解，科普书的单价比文学书的单价多 8 元，用 12
22、000 元购买科普书与用 8000 元购买文学书的本数相同，求这两类书籍的单价各是多少元 【分析】 首先设文学书每本 x 元， 则科普书每本 （x+8） 元， 根据题意可得等量关系： 12000 元购进的科普书的数量用 8000 元购进的文学书的数量，根据等量关系列出方程，再解 即可 解：设文学书每本 x 元，则科普书每本（x+8）元， 依题意列方程得， 解得 x16， 经检验，x16 是原方程的根，且符合题意， x+824， 答：文学书每本 16 元，科普书每本 24 元 20已知，如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别为边 AB、CD 的中点，BD 是对角线， AGDB 交 CB
23、的延长线于 G （1）求证：四边形 AGBD 为平行四边形； （2）若四边形 AGBD 是矩形，则四边形 BEDF 是什么特殊四边形？证明你的结论 【分析】（1）依据 ADBG，AGBD，即可得到四边形 GBD 是平行四边形； （2）根据已知条件证明 BEDF，BEDF，从而得出四边形 DFBE 是平行四边形，再 证明 DEBE，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论 解：（1）平行四边形 ABCD 中，ADBC， ADBG， 又AGBD， 四边形 GBD 是平行四边形； （2）四边形 DEBF 是菱形，理由如下： 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD 点 E、F 分别
24、是 AB、CD 的中点， BEAB，DFCD BEDF，BEDF， 四边形 DFBE 是平行四边形， 四边形 AGBD 是矩形， ADB90， 在 RtADB 中，E 为 AB 的中点， AEBEDE， 平行四边形 DEBF 是菱形 21某校九年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上 发言的次数进行了统计， 其结果如表， 并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图， 已知B、 E 两组发言人数的比为 5：2，请结合图中相关数据回答下列问题： （1）则样本容量是 50 ，并补全直方图； （2）该年级共有学生 500 人，请估计全年级在这天里发言次数不少于 12 的次数；
25、（3）已知 A 组发言的学生中恰有 1 位女生，E 组发言的学生中有 2 位男生，现从 A 组与 E 组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好 是一男一女的概率 发言次数 n A 0n3 B 3n6 C 6n9 D 9n12 E 12n15 F 15n18 【分析】（1）根据 B、E 两组发言人数的比和 E 组所占的百分比，求出 B 组所占的百分 比，再根据 B 组的人数求出样本容量，从而求出 C 组的人数，即可补全统计图； （2）用该年级总的学生数乘以 E 和 F 组所占的百分比的和，即可得出答案； （3）先求出 A 组和 E 组的男、女生数，再根据题意画出
26、树状图，然后根据概率公式即可 得出答案 解：（1）B、E 两组发言人数的比为 5：2，E 占 8%， B 组所占的百分比是 20%， B 组的人数是 10， 样本容量为：1020%50， C 组的人数是 5030%15（人）， F 组的人数是 50（16%20%30%26%8%）5（人）， 补图如下： （2）F 组的人数是 16%8%30%26%20%10%， 发言次数不少于 12 的次数所占的百分比是：8%+10%18%， 全年级 500 人中，在这天里发言次数不少于 12 的次数为：50018%90（次） （3）A 组发言的学生为：506%3 人，有 1 位女生， A 组发言的有 2 位男
27、生， E 组发言的学生：4 人， 有 2 位女生，2 位男生 由题意可画树状图为： 共有 12 种情况，所抽的两位学生恰好是一男一女的情况有 6 种， 所抽的两位学生恰好是一男一女的概率为 22如图，在ABC 中，以 BC 为直径的O 交 AC 于点 E，过点 E 作 AB 的垂线交 AB 于 点 F，交 CB 的延长线于点 G，且ABG2C （1）求证：EG 是O 的切线； （2）若 tanC，AC8，求O 的半径 【分析】（1）由ABG2C可得ABC 是等腰三角形，且 BEAC 可得 AECE， 根据中位线定理可得 OEAB，且 ABEG 可得 OEEG，即可证 EG 是O 的切线 （2）
28、根据三角函数求 BE，CE 的长，再用勾股定理求 BC 的长即可求半径的长 【解答】证明（1）如图：连接 OE，BE ABG2C，ABGC+A CA BCAB， BC 是直径 CEB90，且 ABBC CEAE，且 COOB OEAB GEAB EGOE，且 OE 是半径 EG 是O 的切线 （2）AC8， CEAE4 tanC BE2 BC2 CO 即O 半径为 23如图，抛物线 yax2+bx+3 经过点 B（1，0），C（2，3），抛物线与 y 轴的交点 A， 与 x 轴的另一个交点为 D，点 M 为线段 AD 上的一动点，设点 M 的横坐标为 t （1）求抛物线的表达式； （2）过点
29、M 作 y 轴的平行线，交抛物线于点 P，设线段 PM 的长为 l，当 t 为何值时，l 的长最大，并求最大值；（先根据题目画图，再计算） （3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，PAD 的面积最大？并求最大值； （4）在（2）的条件下，是否存在点 P，使PAD 为直角三角形？若存在，直接写出 t 的值；若不存在，说明理由 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）易知直线 AD 解析式为 yx+3，设 M 点横坐标为 m，则 P（t，t2+2t+3），M （t，t+3），可得 lt2+2t+3（t+3）t2+3t（t）2+，利用二次函数 的性质即可解决问题； （3） 由 SPADP
30、M （xDxA） PM， 推出 PM 的值最大时， PAD 的面积最大； （4）如图设 AD 的中点为 K，设 P（t，t2+2t+3）由PAD 是直角三角形，推出 PK AD，可得（t）2+（t2+2t+3）218，解方程即可解决问题； 解：（1）把点 B（1，0），C（2，3）代入 yax2+bx+3， 则有， 解得， 抛物线的解析式为 yx2+2x+3 （2） 在 yx2+2x+3 中，令 y0 可得 0x2+2x+3，解得 x1 或 x3， D（3，0），且 A（0，3）， 直线 AD 解析式为 yx+3， 设 M 点横坐标为 m，则 P（t，t2+2t+3），M（t，t+3）， 0t3， 点 M 在第一象限内， lt2+2t+3（t+3）t2+3t（t ）2+， 当 t时，l 有最大值，l 最大； （3）SPADPM（xDxA） PM， PM 的值最大时，PAD 的面积中点，最大值 t时，PAD 的面积的最大值为 （4）如图设 AD 的中点为 K，设 P（t，t2+2t+3） PAD 是直角三角形， PKAD， （t）2+（t2+2t+3）218， 整理得 t（t3）（t2t1）0， 解得 t0 或 3 或， 点 P 在第一象限， t
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