1、直线 yx+1 的倾斜角为（ ） A30 B60 C120 D150 3（4 分） 利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关， 通过随机调查 200 名高中生是否爱好某项运动，利用 22 列联表，由计算可得 K27.245，参照下表：得 到的正确结论是（ ） P（K2k0） 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” B有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” C在犯错误的概率不超过 0.5%的前提下，认为“爱好该
2、项运动与性别有关” D在犯错误的概率不超过 0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 4 （4 分）直线 mx+（2m+1）y20 和直线 3x+my+10 垂直，则实数 m 的值为（ ） A2 B0 C2 D2 或 0 5 （4 分）甲，乙两名同学参加校园歌手比赛，7 位评委老师给两名同学演唱比赛打分情况 的茎叶图如如（单位：分） ，则甲同学得分的平均数与乙同学得分的中位数之差为（ ） A1 B2 C3 D4 6 （4 分）某运动员每次射击命中不低于 8 环的概率为，命中 8 环以下的概率为，现用 随机模拟的方法估计该运动员三次射击中有两次命中不低于 8 环，一次命中 8 环以下的
3、概率：先用计算器产生 0 至 9 之间取整数值的随机数指定 0、1、2、3、4、5 表示命中 不低于 8 环，6、7、8、9 表示命中 8 环以下，再以三个随机数作为一组代表三次射击 的结果，产生如下 20 组随机数： 第 2 页（共 20 页） 524207 443 815 510 013 429 966 027 954 576 086 324 409 472 796 544 917 460 962 据此估计，该运动员三次射击中有两次命中不低于 8 环，一次命中 8 环以下的概率为 （ ） A B C D 7 （4 分）执行如图的程序框图，输出的 i 的值是（ ） A3 B4 C5 D6 8
4、 （4 分）用系统抽样法从 130 件产品中抽取容量为 10 的样本，将 130 件产品从 1130 编 号，按编号顺序平均分成 10 组（113 号，1426 号，118130 号） 若第 9 组抽 出的号码是 114，则第 3 组抽出的号码是（ ） A36 B37 C38 D39 9 （4 分）从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中随机取出 3 个球，则事件“取出 1 个红球和 2 个白球”的对立事件是（ ） A取出 2 个红球和 1 个白球 B取出的 3 个球全是红球 C取出的 3 个球中既有红球也有白球 D取出的 3 个球中不止一个红球 10 （4 分） 若双曲线与双曲线有公共点，
5、第 3 页（共 20 页） 则双曲线 C2离心率的取值范围是（ ） A B C D 11 （4 分）已知直线 l：x+y2 和圆 C：x2+y2r2，若 r 是在区间（1，3）上任意取的一个 数，那么直线 l 与圆 C 相交且弦长小于的概率为（ ） A B C D 12 （4 分）已知点 P 在离心率为的椭圆上，F 是椭圆的一个焦点，M 是 以 PF 为直径在圆 C1上的动点，N 是半径为 2 的圆 C2上的动点，圆 C1与圆 C2相离且圆 心距，若|MN|的最小值为 1，则椭圆 E 的焦距的取值范围是（ ） A1，3 B2，4 C2，6 D3，6 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4
6、 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 13 （3 分）抛物线 x24y 的焦点坐标为 14 （3 分）某高速公路移动雷达测速检测车在某时段对某段路过往的 400 辆汽车的车速进 行检测，根据检测的结果绘制出如右图所示的频率分布直方图，根据直方图的数据估计 400 辆汽车中时速在区间90，110）的约有 辆 15 （3 分）若 A（3，y0）是直线 l：x+y+a0（a0）上的点，直线 l 与圆 C： （x ）2+（y+2）212 相交于 M、N 两点，若MCN 为等边三角形，则过点 A 作圆 C 的切线，切点为 P，则|AP| 16 （3 分）已知离心率为的椭圆 C：（
7、ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2， 点 P 在椭圆 C 上，点 M 为PF1F2的内心，且MPF1、MPF2、MF1F2的面积分别 第 4 页（共 20 页） 为 SMPF1、 SMPF2、 SMF1F2， 若 SMPF1+3SMPF22SMF1F2， 则的值为 三、解答题：共三、解答题：共 40 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有 4 个小球， 小球上分别写有 0，1，2，3 的数字，小球除数字外其他完全相同，每对亲子中，家长先 从盒子中取出一个小球，记下数字后将
8、小球放回，孩子再从盒子中取出一个小球，记下 小球上数字将小球放回 抽奖活动的奖励规则是： 若取出的两个小球上数字之积大于 4，则奖励飞机玩具一个； 若取出的两个小球上数字之积在区间上1，4，则奖励汽车玩具一个； 若取出的两个小球上数字之积小于 1，则奖励饮料一瓶 （1）求每对亲子获得飞机玩 具的概率； （2）试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率，哪个更大？请说明理 由 18 （10 分）如图是某台大型设备使用时间 x（单位：年）与维护费用 y（单位：千元）的 散点图 （1）根据散点图，求 y 关于 x 的回归方程； （2）如果维护费用超过 120 千元，就需要更换设备，那么根据（1）中模
9、型的预测，估 计该设备最多可以使用多少年？ 附：参考数据 75，（xi） （yi）63 对于一组数据（x1，y1） ， （x2，y2） ， （xn，yn） ，其回归直线的斜率和截 距的最小二乘估计公式分别为： ， 第 5 页（共 20 页） 19 （10 分）已知点，点 P 为曲线上任意一点且满足|PA|2|PB| （1）求曲线的方程； （2）设曲线与 y 轴交于 M、N 两点，点 R 是曲线上异于 M、N 的任意一点，直线 MR、NR 分别交直线 l：y3 于点 F、G试问在 y 轴上是否存在一个定点 S，使得 ，若存在，求出点 S 的坐标；若不存在，请说明理由 20 （10 分）设 M、N
10、 为抛物线 C：y22px（p0）上的两点，M 与 N 的中点的纵坐标为 4， 直线 MN 的斜率为， （1）求抛物线 C 的方程 （2）已知点 P（1，2） ，A、B 为抛物线 C（除原点外）上的不同两点，直线 PA、PB 的 斜率分别为 k1，k2，满足设抛物线 C 在 A、B 处的切线交于点 S（xs，ys） ， 若 A、B 的中点的纵坐标为 8，求点 S 的坐标 第 6 页（共 20 页） 2018-2019 学年四川省绵阳市高三（上）期末数学试卷（文科）学年四川省绵阳市高三（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12
11、 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 48 分）分） 1 （4 分）已知 A（2，0，3） ，B（1，2，1）是空间直角坐标系中两点，则|AB|（ ） A3 B C9 D2 【分析】利用两点间距离公式直接求解 【解答】解：A（2，0，3） ，B（1，2，1） ， |AB|3 故选：A 【点评】本题考查两点间距离的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 2 （4 分）直线 yx+1 的倾斜角为（ ） A30 B60 C120 D150 【分析】求出直线的斜率，然后求出直线的倾斜角即可 【解答】解：因为直线 yx+1 的斜率为 k， 所以直线的倾斜角为 ，tan，
12、所以 120 故选：C 【点评】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，倾斜角的求法，考查计算能力 3（4 分） 利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关， 通过随机调查 200 名高中生是否爱好某项运动，利用 22 列联表，由计算可得 K27.245，参照下表：得 到的正确结论是（ ） P（K2k0） 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” B有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” C在犯错误的概率不超过 0.5
13、%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D在犯错误的概率不超过 0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【分析】利用独立性检验的方法计算得 K2，参照临界值表即可得出正确的结论 第 7 页（共 20 页） 【解答】解：独立性检验的方法计算得 K27.245，参照临界值表，得 7.2456.635， 所以有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 故选：B 【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题 4 （4 分）直线 mx+（2m+1）y20 和直线 3x+my+10 垂直，则实数 m 的值为（ ） A2 B0 C2 D2 或 0 【分析】利用直线与直线垂直的性质直
14、接求解 【解答】解：直线 mx+（2m+1）y20 和直线 3x+my+10 垂直， 3m+m（2m+1）0， 解得 m2 或 m0 实数 m 的值为2 或 0 故选：D 【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求 解能力，是基础题 5 （4 分）甲，乙两名同学参加校园歌手比赛，7 位评委老师给两名同学演唱比赛打分情况 的茎叶图如如（单位：分） ，则甲同学得分的平均数与乙同学得分的中位数之差为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据茎叶图分别求出甲和乙的中位数，作差即可 【解答】解：甲的数据是：78，81，84，85，87，88，92， 故平均数是：85，
15、 乙的数据是：79，81，82，83，87，88，93， 故中位数是：83， 故差是 2， 故选：B 【点评】本题考查了茎叶图问题，考查中位数问题，是一道常规题 第 8 页（共 20 页） 6 （4 分）某运动员每次射击命中不低于 8 环的概率为，命中 8 环以下的概率为，现用 随机模拟的方法估计该运动员三次射击中有两次命中不低于 8 环，一次命中 8 环以下的 概率：先用计算器产生 0 至 9 之间取整数值的随机数指定 0、1、2、3、4、5 表示命中 不低于 8 环，6、7、8、9 表示命中 8 环以下，再以三个随机数作为一组代表三次射击 的结果，产生如下 20 组随机数： 524207
16、443 815 510 013 429 966 027 954 576 086 324 409 472 796 544 917 460 962 据此估计，该运动员三次射击中有两次命中不低于 8 环，一次命中 8 环以下的概率为 （ ） A B C D 【分析】根据古典概型的概率公式进行计算即可 【解答】解：运动员三次射击中有两次命中不低于 8 环，一次命中 8 环有： 207 429 027 954 409 472 917 460 共 8 组， 则对应的关系 P， 故选：C 【点评】本题主要考查古典概型的概率的计算，求出满足条件的事件个数是解决本题的 关键 7 （4 分）执行如图的程序框图，输
17、出的 i 的值是（ ） 第 9 页（共 20 页） A3 B4 C5 D6 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算 x，y 的值并输出 变量 i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：模拟程序的运行，可得 x5，y0，i1 x10，y3 满足条件 xy，执行循环体，i2，x20，y12 满足条件 xy，执行循环体，i3，x40，y39 满足条件 xy，执行循环体，i4，x80，y120 此时，不满足条件 xy，退出循环，输出 i 的值为 4 故选：B 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出
18、正确的结论，是基础题 8 （4 分）用系统抽样法从 130 件产品中抽取容量为 10 的样本，将 130 件产品从 1130 编 号，按编号顺序平均分成 10 组（113 号，1426 号，118130 号） 若第 9 组抽 出的号码是 114，则第 3 组抽出的号码是（ ） A36 B37 C38 D39 【分析】第 9 组抽出的号码是 114，抽到的是第 9 组第 10 个号，由此有求出第 3 组抽出 的号码 【解答】解：用系统抽样法从 130 件产品中抽取容量为 10 的样本， 将 130 件产品从 1130 编号， 按编号顺序平均分成 10 组（113 号，1426 号，118130
19、号） 第 9 组抽出的号码是 114，抽到的是第 9 组第 10 个号， 则第 3 组抽出的号码是 26+1036 故选：A 【点评】本题考查第 3 组抽出的号码的求法，考查系统抽样等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 9 （4 分）从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中随机取出 3 个球，则事件“取出 1 个红球和 2 个白球”的对立事件是（ ） A取出 2 个红球和 1 个白球 第 10 页（共 20 页） B取出的 3 个球全是红球 C取出的 3 个球中既有红球也有白球 D取出的 3 个球中不止一个红球 【分析】事件“取出 1 个红球和 2 个白球”的对立事件是取出的 3 个球中不
20、止一个红球 【解答】解：从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中随机取出 3 个球， 则事件“取出 1 个红球和 2 个白球”的对立事件是取出的 3 个球中不止一个红球 故选：D 【点评】本题考查对立事件的求法，考查对立事件等基础知识，考查运算求解能力，是 基础题 10 （4 分） 若双曲线与双曲线有公共点， 则双曲线 C2离心率的取值范围是（ ） A B C D 【分析】双曲线的渐近线方程为 yx，由已知条件 可得，再由离心率 e，求解可得 e 的范围 【解答】解：双曲线的渐近线方程为 yx， 由双曲线与双曲线有公共点， 则有， 即有 e， 双曲线 C2离心率的取值范围为（，+） 故选：C
21、【点评】本题考查了双曲线的方程和性质，主要是渐近线和离心率，属于中档题 11 （4 分）已知直线 l：x+y2 和圆 C：x2+y2r2，若 r 是在区间（1，3）上任意取的一个 数，那么直线 l 与圆 C 相交且弦长小于的概率为（ ） 第 11 页（共 20 页） A B C D 【分析】 由直线与圆的位置关系及相交弦长的运算， 得： 直线l与圆C相交且弦长小于 得：r2（）2（）2且 r，即2， 由几何概型中的线段型可得：直线 l 与圆 C 相交且弦长小于的概率为：1 ， 【解答】解：由点到直线的距离公式得：圆心（0，0）到直线 l：x+y2 的距离 d， 由直线 l 与圆 C 相交且弦长
22、小于得：r2（）2（）2且 r， 即2， 由几何概型中的线段型可得：直线 l 与圆 C 相交且弦长小于的概率为： 1， 故选：D 【点评】本题考查了几何概型中的线段型，及直线与圆的位置关系及相交弦长的运算， 属中档题 12 （4 分）已知点 P 在离心率为的椭圆上，F 是椭圆的一个焦点，M 是 以 PF 为直径在圆 C1上的动点，N 是半径为 2 的圆 C2上的动点，圆 C1与圆 C2相离且圆 心距，若|MN|的最小值为 1，则椭圆 E 的焦距的取值范围是（ ） A1，3 B2，4 C2，6 D3，6 【分析】由两圆上的两点的距离的最小值为圆心距减去两圆的半径，可得|PF|3，再由 椭圆的焦半
23、径公式和椭圆的范围，解不等式可得焦距的范围 【解答】解：|MN|的最小值为|C1C2|221， 可得|PF|3， 设 P 的横坐标为 m， 可得 a+m3， 即有 m2（3a） ， 第 12 页（共 20 页） 由a2（3a）a，可得 2a6， 由 e，可得 22c6， 故选：C 【点评】本题考查椭圆方程和性质，以及焦半径公式的运用，考查圆与圆的位置关系， 考查化简运算能力，属于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 13 （3 分）抛物线 x24y 的焦点坐标为 （0，1） 【分析】由抛物线 x24y 的焦点在 y 轴
24、上，开口向上，且 2p4，即可得到抛物线的焦 点坐标 【解答】解：抛物线 x24y 的焦点在 y 轴上，开口向上，且 2p4， 抛物线 x24y 的焦点坐标为（0，1） 故答案为： （0，1） 【点评】本题以抛物线的标准方程为载体，考查抛物线的几何性质，解题的关键是定型 与定量 14 （3 分）某高速公路移动雷达测速检测车在某时段对某段路过往的 400 辆汽车的车速进 行检测，根据检测的结果绘制出如右图所示的频率分布直方图，根据直方图的数据估计 400 辆汽车中时速在区间90，110）的约有 280 辆 【分析】由直方图的数据求出时速在区间90，110）的频率，由此利用直方图的数据能 估计 4
25、00 辆汽车中时速在区间90，110）的数量 【解答】解：由直方图的数据得时速在区间90，110）的频率为： 1（0.01+0.02）100.7， 由直方图的数据估计 400 辆汽车中时速在区间90，110）的约有 4000.7280（辆） 故答案为：280 第 13 页（共 20 页） 【点评】本题考查频数的估计，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 15 （3 分）若 A（3，y0）是直线 l：x+y+a0（a0）上的点，直线 l 与圆 C： （x ）2+（y+2）212 相交于 M、N 两点，若MCN 为等边三角形，则过点 A 作圆 C 的切线，切点为 P，则
26、|AP| 6 【分析】 根据等边三角形的性质求出点 C 到直线 l 的距离为 3， 根据点到直线的距离公式 求出 a5，即可求出 A 点的坐标，根据切线的性质和勾股定理即可求出 【解答】解：如图所示MCN 为等边三角形， 过点 C 做 CDMN， CM2， CD23， C（，2）到直线x+y+a0 的距离为 3， 3， 解得 a5， 是直线x+y+50 的点， y04， A（3，4） ， AC2（+3）2+（24）284， 过点 A 作圆 C 的切线，切点为 P， CP212， AP2AC2CP2841272， |AP|6， 故答案为：6 第 14 页（共 20 页） 【点评】本题考查直线和圆
27、的位置关系，点到直线的距离公式，等边三角形的性质，切 线的性质，属于中档题 16 （3 分）已知离心率为的椭圆 C：（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2， 点 P 在椭圆 C 上，点 M 为PF1F2的内心，且MPF1、MPF2、MF1F2的面积分别 为 SMPF1、SMPF2、SMF1F2，若 SMPF1+3SMPF22SMF1F2，则的值为 5 【分析】内切圆的半径为 r，|PF1|m，|PF2|n，由椭圆的定义可得 m+n2a，运用三 角形的面积公式可得 m+3n4c，解得 m，n，再由离心率公式可设 a3t，c2t，计算可 得所求值 【解答】解：设内切圆的半径为 r，|PF1|m，
28、|PF2|n， 由椭圆的定义可得 m+n2a， ， 可得mr+3nr2r2c， 化为 m+3n4c， 解得 m3a2c，n2ca， 由离心率为即，设 c2t，a3t，bt（t0） ， 即有 m5t，nt， 第 15 页（共 20 页） 则5 故答案为：5 【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查三角形的内心的性质和三角形的面积， 考查方程思想和运算能力，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 40 分解答应写出文字说明、证明过程分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤或演算步骤 17 （10 分）在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有 4 个小球， 小球上分别写有 0
29、，1，2，3 的数字，小球除数字外其他完全相同，每对亲子中，家长先 从盒子中取出一个小球，记下数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一个小球，记下 小球上数字将小球放回 抽奖活动的奖励规则是： 若取出的两个小球上数字之积大于 4，则奖励飞机玩具一个； 若取出的两个小球上数字之积在区间上1，4，则奖励汽车玩具一个； 若取出的两个小球上数字之积小于 1，则奖励饮料一瓶 （1）求每对亲子获得飞机玩 具的概率； （2）试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率，哪个更大？请说明理 由 【分析】 （1）利用列举法求出基本事件总数有 16 个，记“获得飞机玩具”为事件 A，则 事件 A 包含的基本事件有 3
30、 个，由此能求出每对亲子获得飞机玩具的概率 （2）记“获得汽车玩具”为事件 B， “获得饮料”为事件 C，利用列举法求出事件 B 包 含的基本事件有 6 个，由此能求出每对亲子获得汽车玩具的概率 P（B） ，再由对立事件 概率计算公式得每对亲子获得饮料的概率 P（C）1P（A）P（B） ，由此能求出每 对亲子获得汽车玩具小于获得饮料的概率 【解答】解： （1）基本事件总数有 16 个，分别为： （0，0） ， （0，1） ， （0，2） ， （0，3） ， （1，0） ， （1，1） ， （1，2） ， （1，3） ， （2，0） ， （2，1） ， （2，2） ， （2，3） ， （3，0）
31、 ， （3，1） ， （3，2） ， （3，3） ， 记“获得飞机玩具”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件有 3 个，分别为： （2，3） ， （3，2） ， （3，3） ， 每对亲子获得飞机玩具的概率 p （2）记“获得汽车玩具”为事件 B， “获得饮料”为事件 C， 第 16 页（共 20 页） 事件 B 包含的基本事件有 6 个，分别为： （1，1） ， （1，2） ， （1，3） ， （2，1） ， （2，2） ， （3，1） ， 每对亲子获得汽车玩具的概率 P（B）， 每对亲子获得饮料的概率 P（C）1P（A）P（B）， 每对亲子获得汽车玩具小于获得饮料的概率 【点评】本题考查概
32、率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 18 （10 分）如图是某台大型设备使用时间 x（单位：年）与维护费用 y（单位：千元）的 散点图 （1）根据散点图，求 y 关于 x 的回归方程； （2）如果维护费用超过 120 千元，就需要更换设备，那么根据（1）中模型的预测，估 计该设备最多可以使用多少年？ 附：参考数据 75，（xi） （yi）63 对于一组数据（x1，y1） ， （x2，y2） ， （xn，yn） ，其回归直线的斜率和截 距的最小二乘估计公式分别为： ， 【分析】 （1）由已知散点图中的数据结合公式求得的值，则线性回归方程可求； （2）由已知得关
33、于 x 的不等式，求解不等式得答案 【解答】解： （1）由题意得：， 第 17 页（共 20 页） +（43.5） 2+（53.5）2+（63.5） 217.5， ， ， y 关于 x 的回归方程为； （2）由题意得：3.6x+62.4120，解得 x16 估计该设备最多可以使用 16 年 【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题 19 （10 分）已知点，点 P 为曲线上任意一点且满足|PA|2|PB| （1）求曲线的方程； （2）设曲线与 y 轴交于 M、N 两点，点 R 是曲线上异于 M、N 的任意一点，直线 MR、NR 分别交直线 l：y3 于点 F、G试问在 y 轴
34、上是否存在一个定点 S，使得 ，若存在，求出点 S 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）设 P（x，y） ，由|PA|2|PB|得2，由此能 求出曲线的方程 （2）由题意得 M（0，1） ，N（0，1） ，设点 R（x0，y0） ， （x00） ，由点 R 在曲线上， 得1， 直线 RM 的方程 y1x， 从而直线 RM 与直线 y3 的交点为 F （，3） ，直线 RN 的方程为 y+1x，从而直线 RN 与直线 y3 的交点为 G （，3） ， 假设存在点 S（0，m） ，使得0 成立，则+（3m）20，由此能 第 18 页（共 20 页） 求出存在点 S，使得0 成立，且 S
35、点的坐标为（0，3） 【解答】解： （1）设 P（x，y） ， 点，点 P 为曲线上任意一点且满足|PA|2|PB| 2， 整理得：x2+y21， 曲线的方程为 x2+y21 （2）由题意得 M（0，1） ，N（0，1） ， 设点 R（x0，y0） ， （x00） ，点 R 在曲线上，1， 直线 RM 的方程 y1x， 直线 RM 与直线 y3 的交点为 F（，3） ， 直线 RN 的方程为 y+1x， 直线 RN 与直线 y3 的交点为 G（，3） ， 假设存在点 S（0，m） ，使得0 成立， 则（，3m） ，（，3m） ， +（3m）20， 1，8+（3m）20， 解得 m3， 存在点
36、S，使得0 成立， S 点的坐标为（0，3） 【点评】本题考查曲线方程的求法，考查是否存在满足向量积为 0 的点的判断与求法， 考查圆、直线方程、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转 第 19 页（共 20 页） 化思想，是中档题 20 （10 分）设 M、N 为抛物线 C：y22px（p0）上的两点，M 与 N 的中点的纵坐标为 4， 直线 MN 的斜率为， （1）求抛物线 C 的方程 （2）已知点 P（1，2） ，A、B 为抛物线 C（除原点外）上的不同两点，直线 PA、PB 的 斜率分别为 k1，k2，满足设抛物线 C 在 A、B 处的切线交于点 S（xs，ys）
37、， 若 A、B 的中点的纵坐标为 8，求点 S 的坐标 【分析】 （1）设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，代入抛物线的方程，作差，结合直线的斜公 式和中点坐标公式，可得 p2，即可得到所求抛物线的方程； （2）设 A（，y3） ，B（，y4） ，求得直线 PA，PB 的斜率，由条件可得 A，B 的 坐标，设 SA 的方程为 y12k（x36） ， 联立抛物线的方程， 运用判别式为 0， 求得 k， 可得 SA 的方程， 同理可得直线 SB 的方程， 联立方程组解得 S 的坐标 【解答】解： （1）设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 可得 y122px1，y222px2， 相
38、减可得（y1y2） （y1+y2）2p（x1x2） ， 即有， 即 p2， 可得抛物线的方程为 y24x； （2）设 A（，y3） ，B（，y4） ， 2， 即 y3y48， 若 A、B 的中点的纵坐标为 8，可得 y3+y416， 解得 y312，y44， 第 20 页（共 20 页） 即 A（36，12） ，B（4，4） ， 设 SA 的方程为 y12k（x36） ， 联立抛物线的方程，消去 x，可得y+1236k0， 由0，化为（6k1）20，即 k， SA 的方程为 y12（x36） ， 同理可得 SB 的方程为 y4（x4） ， 联立两直线方程可得 S（12，8） 【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和 直线的斜率公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题
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