1、2020 年高考数学模拟试卷（文科）（年高考数学模拟试卷（文科）（5 月份）月份） 一、选择题（共 12 小题）. 1若复数（1+mi） （3+i） （i 是虚数单位，mR）是纯虚数，则复数 的模等于（ ） A1 B2 C3 D4 2“m ”是“直线（m+2）x+3my+10 与直线（m2）x+（m+2）y30 相互垂直” 的（ ） A充分必要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 3将甲、乙两个篮球队 5 场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论 正确的是（ ） A甲队平均得分高于乙队的平均得分 B甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数 C甲队得分
2、的方差大于乙队得分的方差 D甲乙两队得分的极差相等 4已知有下面程序，若程序执行后输出的结果是 11880，则在程序后面的“横线”处应填 （ ） Ai9 Bi8 Ci10 Di8 5我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表，即杨 辉三角，这是数学史上的一个伟大成就在“杨辉三角”中，第 n 行的所有数字之和为 2n1，若去除所有为 1 的项，依次构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，则 此数列的前 55 项和为（ ） A4072 B2026 C4096 D2048 6有两条不同的直线 m，n 与两个不同的平面 ，下列结论中正确的是（ ） A，m，
3、nm，则 n Bm，n，且 ，则 mn Cmn，n，则 m Dm，n 且 ，则 mn 7已知函数 ，则下列关于函数 f（x）图象的结论正确的是 （ ） A关于点（0，0）对称 B关于点（0，1）对称 C关于 y 轴对称 D关于直线 x1 对称 8如图，在边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中，动圆 Q 的半径为 1，圆心在线段 CD（含端 点）上运动，P 是圆 Q 上及内部的动点，设向量 （m，n 为实数），则 m+n 的最大值是（ ） A2 B3 C5 D6 9设 p0.50.7，q 0.3，则有（ ） Apqpqp+q Bpqp+qpq Cpqpqp+q Dp+qpqpq 10设点 M（
4、x0，1），若在圆 O：x2+y21 上存在点 N，使得OMN45，则 x0的取值 范围是（ ） A1，1 B ， C ， D ， 11如图，已知 F1、F2为双曲线 C： （a0，b0）的左、右焦点，点 P 在第 一象限，且满足 a，（ ） 0，线段 PF2与双曲线 C 交于点 Q，若 5 ，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） Ay By Cy Dy 12已知数列an中，a12，n（an+1an） an+1， nN*，若对于任意的 a2，2，nN*， 不等式 2t2+at1 恒成立，则实数 t 的取值范围为（ ） A（，22，+） B（，21，+） C（，12，+） D2，2 二、填空题（本
5、题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13函数 f（x）cos（2x ）+sin（2x+）（x ， ）的最大值为 14已知实数 x，y 满足 ，在这两个实数 x，y 之间插入三个实数，使这五 个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为 15已知 A，B 是圆 C：x2+y28x2y+160 上两点，点 P 在抛物线 x22y 上，当APB 取得最大值时，|AB| 16 ABC 中， 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c， 若 A2B， 则 的取值范围为 三、解答题（本题共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（一）必考题： 共 60 分. 17已知
6、向量 ， 满足 （2sinx， （cosx+sinx）， （cosx，cosxsinx），函数 f（x） （xR） （）求 f（x）在 x ，0时的值域； （）已知数列 ann2f（ ）（nN+），求an的前 2n 项和 S2n 18在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AA12，BC4， ，过 BC 的截面 与面 AB1C1交于 EF （1）求证：EFBC （2）若截面 过点 A1，求证：面 AEF （3）在（2）的条件下，求 19如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出 60 名，将其成绩（均为整数）整理后画出的 频率分布表和频率分布直方图如下，回答下列问题： 分组 人数 频率 39.5，49.5
7、） a 0.10 49.5，59.5） 9 x 59.5，69.5） b 0.15 69.5，79.5） 18 0.30 79.5，89.5） 15 y 89.5，99.5 3 0.05 （1）分别求出 a，b，x，y 的值，并补全频率分布直方图； （2）估计这次环保知识竞赛平均分； （3）若从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访，抽到的学生成绩及格的概 率有多大？ 20设函数 f（x）（1+aax）lnxb（x1），其中 a，b 是实数已知曲线 yf（x） 与 x 轴相切于点（1，0） （1）求常数 b 的值； （2）当 1x2 时，关于 x 的不等式 f（x）0 恒成立，求实数 a
8、 的取值范围 21已知椭圆 C： 1（ab0）经过点 （1， ），离心率为 ，点 A 为椭圆 C 的右顶点，直线 l 与椭圆相交于不同于点 A 的两个点 P（x1，y1），Q（x2，y2） （）求椭圆 C 的标准方程； （）当 0 时，求OPQ 面积的最大值； （）若直线 l 的斜率为 2，求证：APQ 的外接圆恒过一个异于点 A 的定点 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22，23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分 22在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数），圆 C 的方程为 x2+（y1）21以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建
9、立极坐标系 （1）求 l 和 C 的极坐标方程； （2） 过O且倾斜角为 的直线与l交于点A， 与C交于另一点B 若 ， 求 的 取值范围 23不等式|x+2|+|x+4|8 的解集为（n，m） （1）求 m 的值； （2）设 a，b，cR*，且 a2+b2+c2m，求 a+2b+3c 的最大值 参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1若复数（1+mi） （3+i） （i 是虚数单位，mR）是纯虚数，则复数 的模等于（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】由已知求得 m，代入 ，利用复数代数形式的乘除运
10、算化简，再由复数模的 计算公式求解 解：（1+mi）（3+i）3m+（3m+1）i 为纯虚数， m3， 则 ， 复数 的模等于 3 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，考查复数模的求 法，是基础题 2“m ”是“直线（m+2）x+3my+10 与直线（m2）x+（m+2）y30 相互垂直” 的（ ） A充分必要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 【分析】判断充分性只要将“m ”代入各直线方程，看是否满足（m+2） （m2）+3m （m+2）0，判断必要性看（m+2）（m2）+3m （m+2）0 的根是否只有 解：当 m 时，
11、直线（m+2）x+3my+10 的斜率是 ，直线（m2）x+（m+2）y3 0 的斜率是 ， 满足 k1 k21， “m ”是“直线（m+2）x+3my+10 与直线（m2）x+（m+2）y30 相互垂直” 的充分条件， 而当（m+2）（m2）+3m （m+2）0 得：m 或 m2 “m ”是“直线（m+2）x+3my+10 与直线（m2）x+（m+2）y30 相互垂直” 充分而不必要条件 故选：B 【点评】本题是通过常用逻辑用语考查两直线垂直的判定 3将甲、乙两个篮球队 5 场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论 正确的是（ ） A甲队平均得分高于乙队的平均得分 B甲队得分
12、的中位数大于乙队得分的中位数 C甲队得分的方差大于乙队得分的方差 D甲乙两队得分的极差相等 【分析】根据中位数，平均数，极差，方差的概念计算比较可得 解： 对于 A， 甲的平均数为 （26+28+29+31+31） 29， 乙的平均数为 （28+29+30+31+32） 30，故错误； 对于 B，甲队得分的中位数是 29，乙队得分的中位数是 30，故错误； 对于 C，甲成绩的方差为：s2 （2629）2+（2829）2+（2929）2+（3129） 2+（3129）2 乙成绩的方差为：s2 （2830）2+（2930）2+（3030）2+（3130）2+（32 30）22 可得甲队得分的方差大
13、于乙队得分的方差，故正确； 对于 D，甲的极差是 31265乙的极差是 32284，两者不相等，故错误 故选：C 【点评】本题考查了考查茎叶图的性质等基础知识，考查中位数，平均数，极差，方差 的概念计算及运算求解能力，是基础题 4已知有下面程序，若程序执行后输出的结果是 11880，则在程序后面的“横线”处应填 （ ） Ai9 Bi8 Ci10 Di8 【分析】根据输出的结果推出循环体执行的次数， 再根据 s1121110911880 得到程序的条件是什么 解：因为输出的结果是 11880， 即 s11211109，需执行 4 次， 则程序中的“条件”应为 i9 故选：A 【点评】本题主要考查
14、了循环语句的应用问题，语句的识别问题是一个逆向性思维，是 基础题 5我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表，即杨 辉三角，这是数学史上的一个伟大成就在“杨辉三角”中，第 n 行的所有数字之和为 2n1，若去除所有为 1 的项，依次构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，则 此数列的前 55 项和为（ ） A4072 B2026 C4096 D2048 【分析】利用 n 次二项式系数对应杨辉三角形的第 n+1 行，然后令 x1 得到对应项的系 数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可 解：n 次二项式系数对应杨辉三角形的第 n+1 行，
15、 例如（x+1）2x2+2x+1，系数分别为 1，2，1，对应杨辉三角形的第 3 行， 令 x1，就可以求出该行的系数之和， 第 1 行为 20，第 2 行为 21，第 3 行为 22，以此类推 即每一行数字和为首项为 1，公比为 2 的等比数列， 则杨辉三角形的前 n 项和为 Sn 2 n1， 若去除所有的为 1 的项，则剩下的每一行的个数为 1，2，3，4， 可以看成构成一个首项为 1，公差为 1 的等差数列， 则 Tn ， 可得当 n12，去除两端的“1”可得 782355， 则此数列前 55 项的和为 S12232121234072 故选：A 【点评】本题主要考查数列的求和，结合杨辉三
16、角形的系数与二项式系数的关系以及等 比数列、等差数列的求和公式是解决本题的关键， 6有两条不同的直线 m，n 与两个不同的平面 ，下列结论中正确的是（ ） A，m，nm，则 n Bm，n，且 ，则 mn Cmn，n，则 m Dm，n 且 ，则 mn 【分析】对于 A，只有在满足 n 时，可得 n；对于 B，由 m，得 m， 由 n，可得 mn；对于 C，m 或 m 在 内；对于 D，m，n 相交、平行或异面 解：对于 A，由 ，m，nm，只有在满足 n 时，可得 n，所以 A 不正 确； 对于 B，由 m，可得 m，又由 n，所以可得 mn，所以 B 正确； 对于 C，由 mn，n，则 m 或
17、 m 在 内，所以 C 不正确； 对于 D，由 m，n 且 ，则 m，n 相交、平行或异面，所以 D 不正确 故选：B 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，考查运算求解能力，是中档题 7已知函数 ，则下列关于函数 f（x）图象的结论正确的是 （ ） A关于点（0，0）对称 B关于点（0，1）对称 C关于 y 轴对称 D关于直线 x1 对称 【分析】令 x2t，那么|2x |t |，|x |2t |，可得 f（x）f（2 x）则 f（x）关系 x1 对称 解：函数 ， 令 x2t，那么|2x |t |，|x |2t |， 可得 f（x）f（2x）
18、则 f（x）关于直线 x1 对称 故选：D 【点评】本题考查了函数图象变换，对称问题，是中档题 8如图，在边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中，动圆 Q 的半径为 1，圆心在线段 CD（含端 点）上运动，P 是圆 Q 上及内部的动点，设向量 （m，n 为实数），则 m+n 的最大值是（ ） A2 B3 C5 D6 【分析】利用平面向量的运算法则结合题意将原问题转化为向量的投影问题，然后数形 结合即可求得最终结果 解：由题意可得： ， 同理， ， 两式相加可得： ； ， ，其几何意义就是 在 上的投影 求 m+n 的最大值就转化为求 在 上投影最大值 从图形上可以看出：当点 Q 和 D 点重
19、合时， 在 上的投影取到最大值 5 故选：C 【点评】本题考查平面向量的坐标运算，数形结合解题等，重点考查学生对基础概念的 理解和计算能力，属于中等题 9设 p0.50.7，q 0.3，则有（ ） Apqpqp+q Bpqp+qpq Cpqpqp+q Dp+qpqpq 【分析】比较 p 与 的大小，求出 q 的范围即可得到结论 解：依题意，p0.50.70.5， q log310， 又因为 ， 所以 q ， 即 q0， 所以 pqp+q0，pq0， 所以 pqp+qpq， 故选：B 【点评】本题考查了指数函数幂函数的图象和性质，考查分析和解决问题的能力，属于 中档题 10设点 M（x0，1），
20、若在圆 O：x2+y21 上存在点 N，使得OMN45，则 x0的取值 范围是（ ） A1，1 B ， C ， D ， 【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论 解：由题意画出图形如图：点 M（x0，1），要使圆 O：x2+y21 上存在点 N，使得OMN 45， 则OMN 的最大值大于或等于 45时一定存在点 N，使得OMN45， 而当 MN 与圆相切时OMN 取得最大值， 此时 MN1， 图中只有 M到 M之间的区域满足 MN1， x0的取值范围是1，1 故选：A 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合是快速解得本题的策略之一 11如图，已知 F1、F2为双曲线 C：
21、 （a0，b0）的左、右焦点，点 P 在第 一象限，且满足 a，（ ） 0，线段 PF2与双曲线 C 交于点 Q，若 5 ，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） Ay By Cy Dy 【 分析】 由题意 ， |PF1| |F1F2|2c ， |QF1 | a ， |QF2 | a ，由 余弦定 理可得 ，确定 a，b 的关系，即可求出双曲线 C 的渐近线方程 解：由题意，（ ） 0，|PF1|F1F2|2c，|QF1 | a，|QF2 | a， 由余弦定理可得 ， c a， b a， 双曲线 C 的渐近线方程为 y x 故选：B 【点评】本题考查双曲线 C 的渐近线方程，考查学生的计算能力，确
22、定 a，b 的关系是关 键 12已知数列an中，a12，n（an+1an） an+1， nN*，若对于任意的 a2，2，nN*， 不等式 2t2+at1 恒成立，则实数 t 的取值范围为（ ） A（，22，+） B（，21，+） C（，12，+） D2，2 【分析】由题意可得 ，运用裂项相消求和可得 ， 再由不等式恒成立问题可得 2t2+at40，设 f（a）2t2+at4，a2，2，运用一次 函函数的性质，可得 t 的不等式，解不等式即可得到所求 t 的范围 解：根据题意，数列an中，n（an+1an）an+1， 即 nan+1（n+1）an1， 则有 ， 则有 （ ）+（ ）+（ ）+（
23、a 2a1）+a1 （ ）+（ ）+（ ）+（1 ）+23 3， 2t2+at1 即 3 2t 2+at1， 对于任意的 a2，2，nN*，不等式 2t2+at1 恒成立， 2t2+at13， 化为：2t2+at40， 设 f（a）2t2+at4，a2，2， 可得 f（2）0 且 f（2）0， 即有 即 或 或 ， 可得 t2 或 t2， 则实数 t 的取值范围是（，22，+） 故选：A 【点评】本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式 恒成立问题的解法，关键是对 n（an+1an）an+1 的变形 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13
24、函数 f（x）cos（2x ）+sin（2x+）（x ， ）的最大值为 【分析】利用和差公式、诱导公式化简 f（x），再利用三角函数的单调性即可得出 解： cos2x sin2xsin2x cos2x sin2x sin（2x ） x ， ， （2x ） ， ， sin（2x ） ， f（x）的最大值为 故答案为： 【点评】本题考查了和差公式、诱导公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题 14已知实数 x，y 满足 ，在这两个实数 x，y 之间插入三个实数，使这五 个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为 9 【分析】利用数列的关系推出三项和关于 x，y 的表
25、达式，画出约束条件的可行域，利用 线性规划知识求解最值 解：设构成等差数列的五个数分别为 x，a，b，c，y， 因为等差数列的公差 ， 则 （另解：因为由等差数列的性质有 x+ya+c2b， 所以 ， ） 则等差数列后三项和为 ） 所以设 zx+3y，实数 x，y 满足 ， 作出约束条件所表示的可行域如图所示： 可知当经过点 A（3，3）时， 目标函数 zx+3y 有最大值 12，此时 b+c+y 有最大值 9 故答案为：9 【点评】本题考查数列以及线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力 15已知 A，B 是圆 C：x2+y28x2y+160 上两点，点 P 在抛物线 x22y 上，当A
26、PB 取得最大值时，|AB| 【分析】求出圆 C：x2+y28x2y+160 的圆心与半径，设出抛物线 x22y 上当点 P， 当APB 取得最大值时，就是 PC 最小时，利用距离公式以及函数的导数求解最值，然 后转化求解即可 解：圆 C：x2+y28x2y+160 的圆心（4，1），半径为 1， 设抛物线上的点 P（m，n），则 m22n， |PC| ， 令 g（m） ， 可得 g（m）m38，令 g（m）m380，解得 m2， m2，g（m）m380，m2，g（m）m380，所以 g（m）的最小值为： 416+175 |PC| ， 所以切线长为：|PA|2，如图： |PC| |AB|PA|
27、 |AC|， |AB| 故答案为： 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，圆的方程的综合应用，考查数形结合以及 转化思想的应用 16 ABC 中， 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c， 若 A2B， 则 的取值范围为 （2， 4） 【分析】 先根据正弦定理化简整理可得 4cos 2 B 1， 设 ， ， 构造函数，利用导数判断出函数的单调性，求出其值域即可 解：. cos2B+2cos2 B 1 又 2B（0，），且 A+B3B（0，）， 所以 ， 设 ， ， 令 1f（t）， 则 f（t）8t 0， 故 f（t）在 ， 上单调递增， 所以 2f（t）4 所以 的取值范围为（2
28、，4）， 故答案为：（2，4） 【点评】本题考查三角函数的化简和求值，主要考查二倍角公式和正弦定理的运用，同 时考查函数的单调性的运用，属于中档题 三、解答题（本题共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（一）必考题： 共 60 分. 17已知向量 ， 满足 （2sinx， （cosx+sinx）， （cosx，cosxsinx），函数 f（x） （xR） （）求 f（x）在 x ，0时的值域； （）已知数列 ann2f（ ）（nN+），求an的前 2n 项和 S2n 【分析】（）利用平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用可求解析式 f （x）2sin（2x ），由 x
29、，0，可求 2x 的范围，利用正弦函数的图象和性 质即可求值域 （）利用（）可得 an2n2sin（n ），可求得 S2n 1 222+3242+（2n 1）2（2n） 2，利用（2n1）2（2n）24n+1，由等差数列的求和公式即可得解 解：（）f（x） sin2x cos2x2sin（2x ）， 当 x ，0时，2x ， ， 可得：2sin（2x ） ，24 分 （）ann2 f（ ）2n2sin2（ ） 2n2sin（n ）， S2n 1222+3242+（2n1）2（2n）2， 又（2n1）2（2n）24n+1， 解得：S2n （2n2n）10 分 【点评】本题主要考查了平面向量数量积
30、的运算，三角函数中的恒等变换应用，数列的 求和，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查 18在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AA12，BC4， ，过 BC 的截面 与面 AB1C1交于 EF （1）求证：EFBC （2）若截面 过点 A1，求证：面 AEF （3）在（2）的条件下，求 【分析】（1）由题意得 BCB1C1，可得 BC面 AB1C1，再由 BC面 ，面 AB1C1 EF，利用平面与平面平行的性质定理可得 BCEF； （2）取 EF 的中点 O，连接 A1O 和 AO，由已知可得 AOEF，求解三角形证明 A1O AO，再由直线与平面垂直的判定可得 A1O面 AEF，进一步得到
31、 面 AEF； （3）由（2）可得 A1O面 AEF，得 A1OAO，且 ，证明 EO面 AA1O， 并求得 ，再由 求解 【解答】（1）证明：由题意，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，可得 BCB1C1， BC面 AB1C1，B1C1面 AB1C1，BC面 AB1C1， 又BC面 ，面 AB1C1EF， 由线面平行的性质定理，可得 BCEF； （2）证明：取 EF 的中点 O，连接 A1O 和 AO， 截面 过点 A1，截面 即为面 A1BC， E、F 分别为 B1A，AC1中点，即 AEAF， 又O 为 EF 中点，AOEF， 在 RtAOE 中， ，EO1， ， 同理， ， 在A1 OA
32、 中， ， A1OA 为直角三角形，即 A1OAO， 又A1OEF，AOEFO，A1O面 AEF，面 AEF （3）解：由（2）可得 A1O面 AEF，A1OAO，且 ， 又由 AOEO，且 A1OEO，可得 EO面 AA1O，且 ， 又由 ， 【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应 用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题 19如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出 60 名，将其成绩（均为整数）整理后画出的 频率分布表和频率分布直方图如下，回答下列问题： 分组 人数 频率 39.5，49.5） a 0.10 49.5，59
33、.5） 9 x 59.5，69.5） b 0.15 69.5，79.5） 18 0.30 79.5，89.5） 15 y 89.5，99.5 3 0.05 （1）分别求出 a，b，x，y 的值，并补全频率分布直方图； （2）估计这次环保知识竞赛平均分； （3）若从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访，抽到的学生成绩及格的概 率有多大？ 【分析】（1）根据频率分布表求出出 a，b，x，y，再作出频率分布直方图； （2）用组中值估计平均分即可； （3）先求出本次竞赛及格率，用样本估计总体，每个人被抽到的概率相同，故可以求出 抽到的学生成绩及格的概率 解：（1）a600.16，b600.15
34、9，x 0.15，y 0.25； 频率分布直方图如图所示： （2）用组中值估计平均分：44.50.1+54.50.15+64.50.15+74.50.3+84.50.25+94.5 0.0570.5； （3）本次竞赛及格率为：0.01510+0.02510+0.0310+0.005100.75，用样本估计 总体，每个人被抽到的概率相同， 从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访，抽到的学生成绩及格的概率为 0.75 【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图以及样本估计总体，考查了学生的运 算能力与作图能力，属于基础题 20设函数 f（x）（1+aax）lnxb（x1），其中 a，b
35、是实数已知曲线 yf（x） 与 x 轴相切于点（1，0） （1）求常数 b 的值； （2）当 1x2 时，关于 x 的不等式 f（x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】（1）对 f（x）求导，根据条件知 f（1）0，即可求常数 b 的值； （2） 求得 f （x） alnx 1， x1， 2， f （x） ， 分类讨 论当 a1 时，当 a0 时，当1a0 时，确定函数的单调性，即可求实数 a 的取值 范围 解：（1）函数 f（x）（1+aax）lnxb（x1）的导数为 f（x）alnx b， 因为 yf（x）与 x 轴相切于（1，0）， 故 f（1）0，即aln1+1b0， 解得
36、b1； （2）由 f（x）alnx 1，x1，2， f（x） ， 当 a1 时，由于 x1，2，有 f（x）0， 于是 f（x）在 x1，2上单调递增，从而 f（x）f（1）0， 因此 f（x）在 x1，2上单调递增，即 f（x）f（1）0， 而且仅有 f（1）0，符合； 当 a0 时，由于 x1，2，有 f（x）0， 于是 f（x）在 x1，2上单调递减，从而 f（x）f（1）0， 因此 f（x）在 x1，2上单调递减，即 f（x）f（1）0 不符； 当1a0 时，令 mmin1， ，当 x1，m时，f（x）0， 于是 f（x）在 x1，m上单调递减，从而 f（x）f（1）0， 因此 f（x
37、）在 x1，m上单调递减，即 f（x）f（1）0，仅有 f（1）0，不符 综上可知，所求实数 a 的取值范围是（，1 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查单调性的运用，以及分类 讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题 21已知椭圆 C： 1（ab0）经过点 （1， ），离心率为 ，点 A 为椭圆 C 的右顶点，直线 l 与椭圆相交于不同于点 A 的两个点 P（x1，y1），Q（x2，y2） （）求椭圆 C 的标准方程； （）当 0 时，求OPQ 面积的最大值； （）若直线 l 的斜率为 2，求证：APQ 的外接圆恒过一个异于点 A 的定点 【分析】（）由椭圆的离心率，求得
38、a 和 b 的关系，将 P 代入椭圆方程，即可求得 a 和 b 的值，求得椭圆方程； （）当斜率不存在时，求得 P 和 Q 点坐标，由 0，求得 m 的值，求得|PQ| 求得，OPQ 的面积，当斜率存在时，设直线 l 方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及 弦长公式及三角形的面积公式，即可求得OPQ 面积的最大值； （）设直线 y2x+m，代入椭圆方程，设外接圆的方程，联立直线 l 的方程，将 A 代 入外接圆方程，联立方程，即可求得APQ 的外接圆恒过一个异于点 A 的定点 解：（）由椭圆的离心率 e ，即 c2 a 2，即 b2a2c2 a 2，a24b2， 将点 （1， ）代入椭圆方程 ，即
39、 ，解得：b21， a24， 椭圆的标准方程： ； （）当直线 l 的斜率不存在时，设 l：xm，代入椭圆方程 ， P（m， ），Q（m， ）， 由 0，（m2）2（1 ）0，解得：m ，m2（舍去）， 此时|PQ| ，OPQ 的面积为 ， 当直线 l 的斜率存在时，设 l：ykx+m，代入椭圆方程，（4k2+1）x2+8kmx+4（m21） 0， 由0，则 4k2m2+10， x1+x2 ，x 1 x2 ， 由 0， （x12）（x22）+y1y2（k2+1）x1 x2+（km2）（x 1+x2）+m 2+40， 代入求得 12k2+5m2+16km0， 即 m k，m2k，（此时直线 l
40、过点 A，舍去）， |PQ| ， 点 O 到直线 l 的距离 d ， OPQ 的面积为 ，将 m k 代入， ， OPQ 面积的最大值 ； （）证明：设直线 y2x+m，代入椭圆方程，整理得：17x2+16mx+4（m21）0， 设APQ 的外接圆方程 x2+y2+Dx+Ey+F0， 联立直线 l 的方程，5x2+（4m+D+2E）x+（m2+mE+F）0， 代入可知 ， 由外接圆过点 A（2，0），则 2D+F4， 从而可得关于 D，E，F 的三元一次方程组， ，解得： ， 代入圆方程，整理得：（x2+y2 x y ） （2x+y4）0， ，解得： ，或 ， APQ 的外接圆恒过一个异于点
41、A 的定点（ ， ） 【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达 定理，弦长公式及点到直线的距离公式，考查三角形的外接圆的性质，考查计算能力， 属于难题 一、选择题 22在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数），圆 C 的方程为 x2+（y1）21以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求 l 和 C 的极坐标方程； （2） 过O且倾斜角为 的直线与l交于点A， 与C交于另一点B 若 ， 求 的 取值范围 【分析】（1）直接利用和转换关系的的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之 间的进行转换 （2）利
42、用三角函数关系式的变换的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果 解：（1）直线 l 的参数方程为 （t 为参数），转换为直角坐标方程为 ，转换为极坐标方程为 整理得： 圆 C 的方程为 x2+（y1）21，整理得 x2+y22y，转换为极坐标方程为 2sin （2）过 O 且倾斜角为 的直线为 ， 由于该直线与 l 交于点 A，所以 ，所以 ， 与 C 交于另一点 B所以 ，整理得 B2sin， 所以 ， 由于 ， 所以 ， 所以 ， 所以 故求 的取值范围 ， 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角 函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学
43、生的运算能力和转换能 力及思维能力，属于基础题型 23不等式|x+2|+|x+4|8 的解集为（n，m） （1）求 m 的值； （2）设 a，b，cR*，且 a2+b2+c2m，求 a+2b+3c 的最大值 【分析】（1）根据|x+2|+|x+4|8，利用零点分段法得到不等式的解集，再结合条件求出 m 的值； （2）由（1）知 m1，然后利用柯西不等式根据 a2+b2+c21，求出 a+2b+3c 的最大值 解：（1）|x+2|+|x+4| ， ， ， |x+2|+|x+4|8， 或4x2 或 ， 2x1 或4x2 或7x4，7x1， |x+2|+|x+4|8 的解集为（7，1），m1 （2）由（1）知 m1，a2+b2+c2m1， a，b，cR*，由柯西不等式，得： ， 当且仅当 时，即 ， ， 等号成立， a+2b+3c 的最大值为 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和利用柯西不等式求最值，考查了分类讨论思 想和转化思想，属中档题
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