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    2019-2020学年四川省蓉城名校联盟高三(下)第二次联考数学试卷(文科)含详细解答

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    2019-2020学年四川省蓉城名校联盟高三(下)第二次联考数学试卷(文科)含详细解答

    1、已知集合 A1,1,3,4,集合 Bx|x24x+30,则 AB( ) A1,4 B1,1,4 C1,3,4 D (,1)(3,+) 2 (5 分)已知复数 z,则|z|( ) A1 B C2 D3 3 (5 分)为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行 调查,事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异, 而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( ) A简单的随机抽样 B按性别分层抽样 C按学段分层抽样 D系统抽样 4 (5 分)已知实数 0ab,则下列说法正确的是( ) A Bac2bc2 Clnalnb D (

    2、)a()b 5 (5 分)已知命题 p:x2m+1,q:x25x+60,且 p 是 q 的必要不充分条件,则实数 m 的取值范围为( ) Am Bm Cm1 Dm1 6 (5 分)若数列an为等差数列,且满足 3+a5a3+a8,Sn为数列an的前 n 项和,则 S11 ( ) A27 B33 C39 D44 7 (5 分)已知 , 是空间中两个不同的平面,m,n 是空间中两条不同的直线,则下列说 法正确的是( ) A若 m,n,且 ,则 mn B若 m,n,且 m,n,则 C若 m,n,且 ,则 mn 第 2 页(共 21 页) D若 m,n,且 ,则 mn 8 (5 分)已知抛物线 y22

    3、0x 的焦点与双曲线1(a0,b0)的一个焦点重 合,且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为,那么该双曲线的离心率为( ) A B C D 9 (5 分)如图,在ABC 中,P 是 BN 上的一点,若 m,则实 数 m 的值为( ) A B C1 D2 10 (5 分)已知实数 a0,b1 满足 a+b5,则+的最小值为( ) A B C D 11 (5 分)关于圆周率 ,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的浦丰实验 和查理斯实验受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值:先请全校 m 名同学每人随机写下一个都小于 1 的正实数对(x,y) ;再统计两数能与 1 构成钝角三形

    4、三边的数对(x,y)的个数 a;最后再根据统计数 a 估计 的值,那么可以估计 的值 约为( ) A B C D 12 (5 分)已知 (2sin,cos) , (cos,2cos) ,函数 f(x) 在区间0,上恰有 3 个极值点,则正实数 的取值范围为( ) A,) B (, C,) D (,2 二、填空二、填空题:本题共题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。分。 13 (5 分)实数 x,y 满足,则 z2x+y 的最大值为 第 3 页(共 21 页) 14 (5 分)在ABC 中,若 a:b:c2:3:4,则最大内角的余弦值为 15 (5 分)已知直三棱

    5、柱 ABCA1B1C1中,ABC,AB4,BCCC12,则异面 直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为 16 (5 分)已知函数 f(x)x3+x+a,x,e与 g(x)3lnxx1 的图象上存在关 于 x 轴对称的点,则 a 的取值范围为 三、解答题:共三、解答题:共 70 分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。题为选考题,考生根据要求作答。(一一)必考题:共必考题:共 60 分。分。 17 (12 分)某

    6、企业为了解该企业工人组装某产品所用时间,对每个工人组装一个该产品的 用时作了记录,得到大量统计数据从这些统计数据中随机抽取了 9 个数据作为样本, 得到如图所示的茎叶图(单位:分钟) 若用时不超过 40(分钟) ,则称这个工人为优秀 员工 (1)求这个样本数据的中位数和众数; (2)从样本数据用时不超过 50 分钟的工人中随机抽取 2 个,求至少有一个工人是优秀 员工的概率 18 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的菱形,PAPC5,点 M,N 分别是 AB,PC 的中点 (1)求证:MN平面 PAD; (2)若 cosPCD,DAB60,求三棱锥 PAD

    7、N 的体积 第 4 页(共 21 页) 19 (12 分)已知数列an满足对任意 nN*都有 2an+1an+an+2,其前 n 项和为 Sn,且 S7 49,a3是 a1与 a13的等比中项,a1a2 (1)求数列an的通项公式 an; (2)已知数列bn满足 bn2,cnanbn,设数列cn的前 n 项和为 Tn,求 大于 1000 的最小的正整数 n 的值 20 (12 分)已知点 P(1,) , (x1,y) , (x+1,y) ,且| |+| |4,满足条件 的点 Q(x,y)的轨迹为曲线 C (1)求曲线 C 的方程; (2)是否存在过点(0,1)的直线 l,直线 l 与曲线 C

    8、相交于 A,B 两点,直线 PA, PB 与 y 轴分别交于 M, N 两点, 使得|PM|PN|?若存在, 求出直线 l 的方程; 若不存在, 请说明理由 21 (12 分)已知函数 f(x)ln(x+1)ax+1a(aR) (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若 bln(x+1)+exx10 对任意 x0 恒成立,求实数 b 的取值范围 (二二)选考题:共选考题:共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一则按所做的第一 题计分。题计分。选修选修 4-4:坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22 (10 分)在

    9、直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为( 为参数,以坐 标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,曲线 C2的极坐 标方程为 4cos (1)求曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的普通方程; (2)设射线 OP:与曲线 C1交于不同于极点的点 A,与曲线 C2交于不同于极点 的点 B,求线段 AB 的长 第 5 页(共 21 页) 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲(10 分分) 23设函数 f(x)|x+a|+|x1|(aR) (1)当 a1 时,求不等式 f(x)4 的解集; (2)若对任意 xR 都有 f(x)2,求实数 a 的取值范围 第 6

    10、页(共 21 页) 2019-2020 学年四川省蓉城名校联盟高三(下)第二次联考数学学年四川省蓉城名校联盟高三(下)第二次联考数学 试卷(文科)试卷(文科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 (5 分)已知集合 A1,1,3,4,集合 Bx|x24x+30,则 AB( ) A1,4 B1,1,4 C1,3,4 D (,1)(3,+) 【分析】求出集合 A,集合 B,由此能求出

    11、AB 【解答】解:集合 A1,1,3,4, 集合 Bx|x24x+30x|x1 或 x3, AB1,4 故选:A 【点评】本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础 题 2 (5 分)已知复数 z,则|z|( ) A1 B C2 D3 【分析】直接由商的模等于模的商求解 【解答】解:z, |z| 故选:C 【点评】本题考查复数模的求法,考查数学转化思想方法,是基础题 3 (5 分)为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行 调查,事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异, 而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法

    12、中,最合理的抽样方法是( ) A简单的随机抽样 B按性别分层抽样 C按学段分层抽样 D系统抽样 第 7 页(共 21 页) 【分析】若总体由差异明显的几部分组成时,经常采用分层抽样的方法进行抽样 【解答】解:我们常用的抽样方法有:简单随机抽样、分层抽样和系统抽样, 而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男 女生视力情况差异不大 了解某地区中小学生的视力情况,按学段分层抽样,这种方式具有代表性,比较合理 故选:C 【点评】本小题考查抽样方法,主要考查抽样方法,属基本题 4 (5 分)已知实数 0ab,则下列说法正确的是( ) A Bac2bc2 Clnalnb

    13、 D ()a()b 【分析】利用不等式的基本性质、函数的单调性即可判断出正误 【解答】解:对于 A实数 0ab,(c0 不成立) , 对于 Bc0 不成立 对于 C利用对数函数的单调性即可得出 对于 D.,因此不成立 故选:C 【点评】本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性,考查了推理能力与计算能力, 属于基础题 5 (5 分)已知命题 p:x2m+1,q:x25x+60,且 p 是 q 的必要不充分条件,则实数 m 的取值范围为( ) Am Bm Cm1 Dm1 【分析】p 是 q 的必要不充分条件,推导出(2,3)(,2m+1) ,由此能求出实数 m 的取值范围 【解答】解:命题 p:x

    14、2m+1,q:x25x+60,即:2x3, p 是 q 的必要不充分条件, (2,3)(,2m+1) , 2m+13,解得 m1 实数 m 的取值范围为 m1 第 8 页(共 21 页) 故选:D 【点评】本题考查实数的取值范围的求法,考查必要条件、充分条件、充要条件等基础 知识,考查运算求解能力,是基础题 6 (5 分)若数列an为等差数列,且满足 3+a5a3+a8,Sn为数列an的前 n 项和,则 S11 ( ) A27 B33 C39 D44 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出 【解答】解:设等差数列an的公差为 d,且满足 3+a5a3+a8, a63 Sn为数列

    15、an的前 n 项和,则 S1111a633 故选:B 【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质,考查了推理能力与计算能 力,属于基础题 7 (5 分)已知 , 是空间中两个不同的平面,m,n 是空间中两条不同的直线,则下列说 法正确的是( ) A若 m,n,且 ,则 mn B若 m,n,且 m,n,则 C若 m,n,且 ,则 mn D若 m,n,且 ,则 mn 【分析】根据空间线面位置关系,逐一判定即可 【解答】解:对于 A,当 m,n,且 ,则 m 与 n 的位置关系不定,故错; 对于 B,当 mn 时,不能判定 ,故错; 对于 C,若 m,n,且 ,则 m 与 n 的位置关系不

    16、定,故错; 对于 D,由 m, 可得 m,又 n,则 mn 故正确 故选:D 【点评】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识,是中档题 8 (5 分)已知抛物线 y220x 的焦点与双曲线1(a0,b0)的一个焦点重 第 9 页(共 21 页) 合,且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为,那么该双曲线的离心率为( ) A B C D 【分析】先求出双曲线的焦点坐标,再利用抛物线 y220x 的准线被双曲线截得的线段 长为,可得,借助于 c2a2+b2,求出 a,即可求出双曲线的离心率 【解答】解:由抛物线 y220x,可得 2p20,则 p10,故其准线方程为

    17、 x5, 抛物线 y220x 的准线过双曲线1(a0,b0)的左焦点, c5 抛物线 y220x 的准线被双曲线截得的线段长为, ,又 c225a2+b2, a4,b3, 则双曲线的离心率为 e 故选:A 【点评】本题考查双曲线与抛物线的简单性质,考查计算能力是中档题 9 (5 分)如图,在ABC 中,P 是 BN 上的一点,若 m,则实 数 m 的值为( ) A B C1 D2 【分析】依题意,又 B,P,N 三点共线,则, 解出即可求得实数 m 的值 【解答】解:依题意, 又 B,P,N 三点共线, ,解得 故选:B 第 10 页(共 21 页) 【点评】本题主要考查平面向量基本定理的运用

    18、,属于基础题 10 (5 分)已知实数 a0,b1 满足 a+b5,则+的最小值为( ) A B C D 【分析】利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出 【解答】解:因为 a0,b1 满足 a+b5, 则+(+)a+(b1), , 当且仅当时取等号, 故选:A 【点评】本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质,属于基础题 11 (5 分)关于圆周率 ,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的浦丰实验 和查理斯实验受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值:先请全校 m 名同学每人随机写下一个都小于 1 的正实数对(x,y) ;再统计两数能与 1 构成钝角三形 三边的数对(

    19、x,y)的个数 a;最后再根据统计数 a 估计 的值,那么可以估计 的值 约为( ) A B C D 【分析】由不等式组中实数对(x,y)对应的平面区域, 分析两数 x、y 能与 1 构成钝角三角形三边的数对(x,y)对应的区域面积, 利用几何概型公式列式求得 的解析式 【解答】解:根据题意知,m 名同学取 m 对都小于 l 的正实数对(x,y) ,即, 对应区域为边长为 1 的正方形,其面积为 1, 若两个正实数 x、y 能与 1 构成钝角三角形三边,则有, 其面积 S; 第 11 页(共 21 页) 则有, 解得 故选:D 【点评】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题,涉及几何概率的计算问题

    20、,是基础题 12 (5 分)已知 (2sin,cos) , (cos,2cos) ,函数 f(x) 在区间0,上恰有 3 个极值点,则正实数 的取值范围为( ) A,) B (, C,) D (,2 【分析】化简函数 f(x)得,根据正弦函数的性质结合题意可 得,解出即可 【解答】解: , 令,解得, 令,解得, 又函数 f(x)在区间恰有 3 个极值点, ,解得 故选:B 【点评】本题考查平面向量的数量积,三角恒等变换,正弦型函数的图象及性质,考查 逻辑推理以及运算求解能力,属于中档题 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。分。 13

    21、 (5 分)实数 x,y 满足,则 z2x+y 的最大值为 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,利用数形结合,即可得到 结论 【解答】解:作出可行域如图所示, 则当直线 z2x+y 过点 C 时直线的截距最大,z 取最大值 第 12 页(共 21 页) 由, C(,) ,z 取最大值:2+ 故答案为: 【点评】本题主要考查简单的线性规划问题等基础知识,意在考查直观想象与数学运算 等数学核心素养利用数形结合是解决本题的关键 14 (5 分)在ABC 中,若 a:b:c2:3:4,则最大内角的余弦值为 【分析】根据三边之比表示出 a,b,c,得到 c 对的角最大,利用余弦定理

    22、即可求出 cosC 的值 【解答】解:根据题意得:a3k,b2k,c4k,且最大角为 C, cosC 故答案为: 【点评】此题考查了余弦定理,熟练掌握余弦定理是解本题的关键 15 (5 分)已知直三棱柱 ABCA1B1C1中,ABC,AB4,BCCC12,则异面 直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为 【分析】以 B 为原点,在平面 ABC 中,过点 B 作 BC 的垂线为 x 轴,BC 为 y 轴,BB1 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值 第 13 页(共 21 页) 【解答】解:直三棱柱 ABCA1B1C1中,ABC,AB4,BCCC

    23、12, 以 B 为原点,在平面 ABC 中,过点 B 作 BC 的垂线为 x 轴,BC 为 y 轴,BB1为 z 轴,建 立空间直角坐标系, A(2,2,0) ,B1(0,0,2) ,B(0,0,0) ,C1(0,2,2) , (2,2,2) ,(0,2,2) , 设异面直线 AB1与 BC1所成角为 , 则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为: cos 故答案为: 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 16 (5 分)已知函数 f(x)x3+x+a,x,e与 g(x)3lnxx1 的图象上存在关 于

    24、 x 轴对称的点,则 a 的取值范围为 2,e32 【分析】根据题意,可以将原问题转化为方程 a1x33lnx 在区间,e上有解,构 造函数 g(x)x33lnx,利用导数分析 g(x)的最大最小值,可得 g(x)的值域,进 而分析可得方程 a1x33lnx 在区间,e上有解,必有 1a1e33,解可得 a 的取值范围,即可得答案 第 14 页(共 21 页) 【解答】解:根据题意,若函数 f(x)x3+x+a(xe)与 g(x)3lnxx1 的图象上存在关于 x 轴对称的点, 则方程x3+x+a3lnx+x+1 在区间,e上有解, 即方程 a1x33lnx 在区间,e上有解, 设函数 g(x

    25、)x33lnx,其导数 g(x)3x2, 又由 x,e,可得:当x1 时,g(x)0,g(x)为减函数, 当 1xe 时,g(x)0,g(x)为增函数, 故函数 g(x)x33lnx 有最小值 g(1)1, 又由 g()+3,g(e)e33;比较可得:g()g(e) , 故函数 g(x)x33lnx 有最大值 g(e)e33, 故函数 g(x)x33lnx 在区间,e上的值域为1,e33; 若方程 a+1x33lnx 在区间,e上有解, 必有 1a1e33,则有 2ae32, 即 a 的取值范围是2,e32; 故答案为:2,e32; 【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围;关键是将已

    26、知存在关于 x 轴对 称的点转化为方程方程 a1x33lnx 在区间,e上有解 三、解答题:共三、解答题:共 70 分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,题为必考题, 每个试题每个试题考生都必须作答。第考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。题为选考题,考生根据要求作答。(一一)必考题:共必考题:共 60 分。分。 17 (12 分)某企业为了解该企业工人组装某产品所用时间,对每个工人组装一个该产品的 用时作了记录,得到大量统计数据从这些统计数据中随机抽取了 9 个数据作为样本, 得到如图所示的

    27、茎叶图(单位:分钟) 若用时不超过 40(分钟) ,则称这个工人为优秀 员工 (1)求这个样本数据的中位数和众数; (2)从样本数据用时不超过 50 分钟的工人中随机抽取 2 个,求至少有一个工人是优秀 员工的概率 第 15 页(共 21 页) 【分析】 (1)由茎叶图能求出中位数和众数 (2)设不超过 50 的工人为 a,b,c,d,e,f,g,其中 a,b,c 为优秀员工,从这 7 名 工人中随机抽取 2 人,利用列举法能求出至少有一个工人是优秀员工的概率 【解答】解: (1)由茎叶图得: 中位数为 43,众数为 47 (2)设不超过 50 的工人为 a,b,c,d,e,f,g, 其中 a

    28、,b,c 为优秀员工, 从这 7 名工人中随机抽取 2 人的基本事件有 21 个,分别为: a,b,a,c,a,d,a,e,a,f,a,g,b,c,b,d,b,e,b,f, b,g, c,d,c,e,c,f,c,g,d,e,d,f,d,g,e,f,e,g,f,g, 其中至少有一名工人是优秀员工的基本事件有 15 个, 至少有一个工人是优秀员工的概率 P 【点评】本题考查中位数、众数、概率的求法,考查茎叶图、古典概型、列举法等基础 知识,考查运算求解能力,是基础题 18 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的菱形,PAPC5,点 M,N 分别是 AB,PC 的

    29、中点 (1)求证:MN平面 PAD; (2)若 cosPCD,DAB60,求三棱锥 PADN 的体积 第 16 页(共 21 页) 【分析】 (1)取 PD 的中点 H,连接 NH,AH,证明四边形 AMNH 为平行四边形,则 MN AH,再由线面平行的判定可得 MN平面 PAD; (2)求解三角形得 PDDC,同理 PDAD,得到 PD平面 ABCD,结合 MN平面 PAD,由 VPADNVNPADVMPADVPADM求解三棱锥 PADN 的体积 【解答】 (1)证明:取 PD 的中点 H,连接 NH,AH, N 是 PC 的中点,NHDC,NH, 又 AMDC,AM,NHAM 且 NHAM

    30、, 四边形 AMNH 为平行四边形,则 MNAH, 又 MN平面 PAD,AH平面 PAD, MN平面 PAD; (2)解:PC5,DC4,cosPCD, ,则 PC2PD2+DC2, PDDC,同理 PDAD, 又 ADDCD,PD平面 ABCD, 又 MN平面 PAD,VPADNVNPADVMPADVPADM, 又DAB60, 【点评】本题考查直线与平面平行的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用 等积法求多面体的体积,是中档题 19 (12 分)已知数列an满足对任意 nN*都有 2an+1an+an+2,其前 n 项和为 Sn,且 S7 49,a3是 a1与 a13的等比中项,a

    31、1a2 (1)求数列an的通项公式 an; 第 17 页(共 21 页) (2)已知数列bn满足 bn2,cnanbn,设数列cn的前 n 项和为 Tn,求 大于 1000 的最小的正整数 n 的值 【分析】 (1)由任意 nN*都有 2an+1an+an+2可得数列an是等差数列,再利用等差数 列的通项公式和前 n 项和公式即可求解; ( 2 ) 由 题 意 可 知 , 利 用 错 位 相 减 法 求 得 ,由1000 得,22n+21000,解得 n4,所以满足条 件的最小的正整数 n 的值为 4 【解答】解: (1)任意 nN*都有 2an+1an+an+2, 数列an是等差数列, S7

    32、49,7a449,a47, 又a3是 a1与 a13的等比中项,a1a2,设数列an的公差为 d,且 d0, 则(7d)2(73d) (7+9d) ,解得 d2, a173d1, an1+2(n1)2n1; (2)由题意可知, , , 得:, , 4n+122n+2, 由1000 得,22n+21000, 2n+210, n4, 满足条件的最小的正整数 n 的值为 4 【点评】本题主要考查了等差数列的性质,考查了错位相减法数列求和,是中档题 20 (12 分)已知点 P(1,) , (x1,y) , (x+1,y) ,且| |+| |4,满足条件 第 18 页(共 21 页) 的点 Q(x,y

    33、)的轨迹为曲线 C (1)求曲线 C 的方程; (2)是否存在过点(0,1)的直线 l,直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,直线 PA, PB 与 y 轴分别交于 M, N 两点, 使得|PM|PN|?若存在, 求出直线 l 的方程; 若不存在, 请说明理由 【分析】 (1)设 F1(1,0) ,F2(1,0) ,由向量的模和两点的距离公式,结合椭圆的 定义可得 c1,a2,求得 b,进而得到所求曲线的方程; (2)假设存在这样的直线符合题意讨论直线 l 的斜率不存在,检验不成立;当直线 l 的斜率存在时,设方程为 ykx1,A(x1,kx11) ,B(x2,kx21) ,由|PM|P

    34、N|, 可得 kPA+kPB0,运用直线的斜率公式,化简整理,再联立直线方程和椭圆方程,运用 韦达定理,解 k 的方程,可得所求斜率,可判断存在直线 l 【解答】解: (1)设 F1(1,0) ,F2(1,0) , 由 (x1,y) , (x+1,y) ,| |+| |4, 可得+4,即为|QF1|+|QF2|4, 由 4|F1F2|,可得 Q 的轨迹是以 F1(1,0) ,F2(1,0)为焦点,且 2a4 的椭圆, 由 c1,a2,可得 b,可得曲线 C 的方程为+1; (2)假设存在过点(0,1)的直线 l 符合题意 当直线 l 的斜率不存在,设方程为 x0,可得 M,N 为短轴的两个端点

    35、, |PM|PN|不成立; 当直线 l 的斜率存在时,设方程为 ykx1,A(x1,kx11) ,B(x2,kx21) , 由|PM|PN|,可得 kPM+kPN0,即 kPA+kPB0, 可得+0,化为 2kx1x2(k+) (x1+x2)+50, 由可得(3+4k2)x28kx80, 由(0,1)在椭圆内,可得直线 l 与椭圆相交, x1+x2,x1x2, 第 19 页(共 21 页) 则 2k()(k+) ()+50, 化为16k8k(k+)+5(3+4k2)0,即为 4k212k+50,解得 k或 k, 所以存在直线 l 符合题意,且方程为 yx1 或 yx1 【点评】本题考查椭圆的定

    36、义、方程和性质,考查直线方程和椭圆方程联立,运用韦达 定理,以及直线的斜率公式,考查化简运算能力和推理能力,属于中档题 21 (12 分)已知函数 f(x)ln(x+1)ax+1a(aR) (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若 bln(x+1)+exx10 对任意 x0 恒成立,求实数 b 的取值范围 【分析】 (1)求导,分类讨论即可得到单调性情况; (2)令 g(x)bln(x+1)+exx1,问题等价于对任意 x0,g(x)0 等价于 g(x) g(0) ,分 b0 及 b0 两种情况讨论即可得出结论 【解答】解: (1)f(x)的定义域为(1,+) , 当 a0 时,a(x+1

    37、)+10,故函数 f(x)在(1,+)单调递增; 当 a0 时,时,f(x)0,当时,f(x)0,故函数 f(x) 在单调递增,在单调递增; (2)令 g(x)bln(x+1)+exx1,则 g(0)0, 对任意 x0,g(x)0 等价于 g(x)g(0) , , 当 b0 时,g(0)0,则存在 m0,使 x(0,m)使,g(x)0, g(x)在(0,m)上是减函数, x(0,m)时,g(x)g(0) ,与条件不符, 当 b0 时,由 x0,可知 x+11,故, g(x)0, g(x)在(0,+)上是增函数, x0 时,g(x)g(0) ,即 g(x)0, ; 综上,实数 b 的取值范围为0

    38、,+) 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及不等式的恒成立问题,考查分类讨论思 第 20 页(共 21 页) 想,属于中档题 (二二)选考题:共选考题:共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一则按所做的第一 题计分。题计分。选修选修 4-4:坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为( 为参数,以坐 标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,曲线 C2的极坐 标方程为 4cos (1)求曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的普

    39、通方程; (2)设射线 OP:与曲线 C1交于不同于极点的点 A,与曲线 C2交于不同于极点 的点 B,求线段 AB 的长 【分析】 (1)直接利用转换关系的应用,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进 行转换 (2)利用极径的应用求出结果 【解答】解: (1)曲线 C1的参数方程为( 为参数,转换为直角坐标方 程为 x2+(y2)24 曲线 C2的极坐标方程为 4cos转换为直角坐标方程为(x2)2+y24 (2)设射线 OP:与曲线 C1交于不同于极点的点 A, 所以,解得 12 与曲线 C2交于不同于极点的点 B, 所以,解得, 所以 【点评】本题考查的知识要点:参数方程、极坐标方程和

    40、直角坐标方程之间的转换,极 径的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲(10 分分) 23设函数 f(x)|x+a|+|x1|(aR) (1)当 a1 时,求不等式 f(x)4 的解集; (2)若对任意 xR 都有 f(x)2,求实数 a 的取值范围 第 21 页(共 21 页) 【分析】 (1)原不等式即为|x+1|+|x1|4,由绝对值的意义,去绝对值,解不等式,求 并集,可得所求解集; (2)由题意可得 f(x)min2,运用绝对值不等式的性质可得 f(x)的最小值,由绝对 值不等式的解法可得所求范围 【解答】解: (1)当 a1 时,不等式 f(x)4 即为|x+1|+|x1|4, 可得或或, 解得 x2 或 x或 x2, 则原不等式的解集为(,22,+) ; (2)若对任意 xR 都有 f(x)2, 即为 f(x)min2, 由|x+a|+|x1|x+ax+1|a+1|,当(x+a) (x1)0 取得等号, 则 f(x)min|a+1|,由|a+1|2,可得 a1 或 a3, 则 a 的取值范围是(,31,+) 【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法,考查分类讨论思想和 转化思想,考查化简运算能力和推理能力,属于中档题


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