1、已知集合 Mx|4x2，Nx|x2x60，则 MN（ ） Ax|4x3 Bx|4x2 Cx|2x2 Dx|2x3 2 （5 分）设复数 z1+i（i 是虚数单位） ，则复数 z+在复平面内所对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）在ABC 中， “” ，是“ABC 为锐角三角形”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）若，则 tan2（ ） A B C D 5 （5 分） 九章算术是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解九章算术 时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限
2、逼近圆的面积，为 此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位 3.1416，后人 称 3.14 为徽率如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的 n 为（ ） （1.732，sin150.258，sin7.50.131） 第 2 页（共 25 页） A6 B12 C24 D48 6 （5 分） 公比为 2 的等比数列an的各项都是正数， 且 a3a1116， 则 （ ） A4 B5 C6 D7 7 （5 分）设 a0.40.5，b0.60.5，c0.60.3，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aacb Bbac Cabc Dcab 8 （5 分）已知函
3、数 f（x）若方程 f（x）a 有三个不同的实数根，则 实数 a 的取值范围是（ ） A （1，3） B （0，3） C （0，2） D （0，1） 9 （5 分）某人向边分别为 5，12，13 的三角形区域内随机丢一粒芝麻，假设芝麻落在区域 内的任意一点是等可能的，则其恰落在离三个顶点距离都大于 2 的地方的概率为（ ） A B C D 10 （5 分）给出下列四个命题，其中不正确的命题为 若 coscos，则 2k，kZ； 函数的图象关于直线对称； 函数 ycos（sinx） ，xR 为偶函数； 函数 ysin|x|是周期函数 （ ） A B C D 第 3 页（共 25 页） 11 （5
4、 分）已知圆 M： （x+）2+y236，定点 N（，0） ，点 P 为圆 M 上的动点，点 Q 在 NP 上， 点 G 在线段 MP 上， 且满足2，0， 则点 G 的轨迹方程为 （ ） A+1 B+1 C1 D1 12 （5 分）已知直线 ykx+b 与曲线 yln（2x）和曲线 yln（x+1）都相切，则 k（ ） Aln2 B C D 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）过圆锥的轴的截面是顶角为 120的等腰三角形，若圆锥的体积为 ，则圆锥的 母线长为 14 （5 分）2019 年 3 月 1
5、0 日，山间一道赤焰拔地而起，巨大的轰鸣声响彻大凉山，长征三 号乙运载火箭托举“中星 6C”卫星成功发射升空这一刻，中国长征系列运载火箭的发 射次数刷新为“300” 长征系列运载火箭实现第一个“百发”用了 37 年，第二个“百发” 用了不到 8 年，第三个“百发”用时仅 4 年多已知在不考虑空气阻力的情况下，火箭 的最大速度 v（米/秒）和燃料的质量 M（千克） 、火箭（除燃料外）的质量 m（千克）的 函数关系式是当燃料质量是火箭质量的 倍时，火箭的最大 速度可达 12000 米/秒 15（5分） 函数的图象可以由函数的图象向 平移 个 单位长度得到 16 （5 分）已知x表示不超过实数 x
6、的最大整数，函数 g（x）x为取整函数x0是函数 的零点，则 g（x01） 三、解答题： （共三、解答题： （共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答） （一）必题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共考题：共 60 分分. 17 （12 分）设函数 f（x）sinx，xR （1）已知 0，2） ，函数 f（x+）是偶函数，求 的值； 第 4 页（共 25 页） （2）设，求 g（x）的单调递减区间
7、 18 （12 分）如图，四面体 ABCD 中，O，E 分别是 BD，BC 的中点，CACB CDBD2 （1）求证：AO平面 BCD； （2）求三棱锥 DACE 的体积 19 （12 分）足球是当今世界传播最广、参与人数最多的体育运动，其有广泛的社会影界各 国民众喜爱 （1）为调查大学生喜欢足球是否与性别有关，随机选取 50 名大学生进行问卷调查，当 问卷评分不低于 80 分则认为喜欢足球，当评分低于 80 分则认为不喜欢足球，这 50 名大 学生问卷评分的茎叶图如下： 依据上述数据制成如下列联表： 喜欢足球人数 不喜欢足球人数 总计 女生 a b a+b 男生 c d c+d 总计 a+c
8、 b+d a+b+c+d 请问是否有 90%的把握认为喜欢足球与性别有关？ 参考公式及数据：K2，na+b+c+d P（K2k0） 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 第 5 页（共 25 页） （2）已知某国“糖果盒”足球场每年平均上座率 y 与该国成年男子国家足球队在国际足 联的年度排名 x 线性相关，数据如表（6k9，3m6，k，mN*） 年度排名 x 9 k 6 m 3 平均上座率 0.9 0.91 0.92 0.93 0.95 求变量 y 与 x 的线性回归方程 x+a，并预测排名为 1 时该球场的上座率 参考公式及
9、数据： ，+a；xiyi27.49 20 （12 分）设函数 （1）求函数 f（x）的单调区间： （2）记 f（x）的最小值为 g（a） ，求 g（a）的最大值 21 （12 分）在平面直角坐标系中，动点 M 分别与两个定点 A（2，0） ，B（2，0）的连 线的斜率之积为 （1）求动点 M 的轨迹 C 的方程； （2）设过点（1，0）的直线与轨迹 C 交于 P，Q 两点，判断直线 x与以线段 PQ 为直径的圆的位置关系，并说明理由 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在请考生在 22，23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题如果多做，则按所做的第一题
10、 计分计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ， 以 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2） 设点P （1， m） ， 若直线l与曲线C相交于A， B两点， 能否求出m的值使得， 若能，求 m 的值；若不能请说明理由 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|ax1|（a0） （1）若不等式 f（x）2 的解集为 A，且 A（2，2） ，求实数 a 的取值范围； 第
11、 6 页（共 25 页） （2）若不等式对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围 第 7 页（共 25 页） 2019-2020 学年云南省玉溪一中高三（上）第二次月考数学试卷学年云南省玉溪一中高三（上）第二次月考数学试卷 （文科） （文科） （10 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大一、选择题： （本大题共题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合 Mx|4x2，Nx|x2x60，则 MN（ ）
12、 Ax|4x3 Bx|4x2 Cx|2x2 Dx|2x3 【分析】利用一元二次不等式的解法和交集的运算即可得出 【解答】解：Mx|4x2，Nx|x2x60x|2x3， MNx|2x2 故选：C 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法和交集的运算，属基础题 2 （5 分）设复数 z1+i（i 是虚数单位） ，则复数 z+在复平面内所对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】把 z1+i 代入 z+，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数对应点的坐 标得答案 【解答】解：z1+i， z+， 复数 z+在复平面内所对应的点的坐标为（） ，在第一象限 故选：A 【点评
13、】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 3 （5 分）在ABC 中， “” ，是“ABC 为锐角三角形”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】在ABC 中， “”C 为锐角，根据充要条件的定义，可得答案 第 8 页（共 25 页） 【解答】解：在ABC 中， “”cosC0C 为锐角， 故， “” ，是“ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件， 故选：B 【点评】本题考查的知识点是平面向量的数量积的运算，充要条件，难度中档 4 （5 分）若，则 tan2（ ） A B C D 【分析】 由二倍角公式
14、化简已知的式子并求 tan 的值， 再由二倍角的正切公式求出 tan2 的值 【解答】解：由题意得， 则，即，得 tan2， 所以 tan2， 故选：D 【点评】本题考查二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用，属于基础题 5 （5 分） 九章算术是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解九章算术 时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为 此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位 3.1416，后人 称 3.14 为徽率如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的 n 为（ ） （1.732，sin150.258，sin
15、7.50.131） 第 9 页（共 25 页） A6 B12 C24 D48 【分析】列出循环过程中 s 与 n 的数值，满足判断框的条件即可结束循环 【解答】解：模拟执行程序，可得： n3，S3sin120， 不满足条件 S3，执行循环体，n6，S6sin60， 不满足条件 S3，执行循环体，n12，S12sin303， 不满足条件 S3，执行循环体，n24，S24sin15120.25883.1056， 满足条件 S3，退出循环，输出 n 的值为 24 故选：C 【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于 基础题 6 （5 分） 公比为 2 的等比数列an
16、的各项都是正数， 且 a3a1116， 则 （ ） A4 B5 C6 D7 【分析】公比为 2 的等比数列an的各项都是正数，且 a3a1116，根据通项公式可得： 21216，解得 a1，利用通项公式与对数运算性质即可得出 【解答】解：公比为 2 的等比数列an的各项都是正数，且 a3a1116， 21216， 第 10 页（共 25 页） a12 4 a102 42925 则5 故选：B 【点评】本题考查了等比数列的通项公式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 7 （5 分）设 a0.40.5，b0.60.5，c0.60.3，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aacb
17、Bbac Cabc Dcab 【分析】根据指数函数的单调性得出 cb，而根据幂函数的单调性得出 ba，从而求出 a，b，c 之间的大小关系 【解答】解：根据指数函数的性质可得，y0.6x为减函数，且 0.50.3， 0.60.50.60.3，即 cb； 而 0.40.50.60.5， 故 cba 故选：C 【点评】本题考查利用指数函数的性质比较大小，属于基础题 8 （5 分）已知函数 f（x）若方程 f（x）a 有三个不同的实数根，则 实数 a 的取值范围是（ ） A （1，3） B （0，3） C （0，2） D （0，1） 【分析】结合方程 f（x）a 有三个不同的实数解，将问题转化为函数
18、图象交点的个数判 断问题，进而结合函数 f（x）的图象即可获得解答 【解答】解：由题意可知：函数 f（x）的图象如下： 第 11 页（共 25 页） 由关于 x 的方程 f（x）a0 有三个不同的实数解， 可知函数 ya 与函数 yf（x）有三个不同的交点， 由图象易知：实数 a 的取值范围为（0，1） ， 故选：D 【点评】此题考查的是方程的根的存在性以及根的个数问题在解答的过程当中充分体 现了问题转化的思想、数形结合的思想 9 （5 分）某人向边分别为 5，12，13 的三角形区域内随机丢一粒芝麻，假设芝麻落在区域 内的任意一点是等可能的，则其恰落在离三个顶点距离都大于 2 的地方的概率为
19、（ ） A B C D 【分析】推导出三角形区域面积 S30，离三个顶点距离都大于 2 的地方 的面积即阴影部分面积为 S阴S22302，假设芝麻落在区域内的任 意一点是等可能的，由此能求出其恰落在离三个顶点距离都大于 2 的地方的概率 【解答】解：某人向边分别为 5，12，13 的三角形区域内随机丢一粒芝麻， 三角形区域面积 S30， 离三个顶点距离都大于 2 的地方的面积即阴影部分面积为 S阴S2230 2， 假设芝麻落在区域内的任意一点是等可能的， 则其恰落在离三个顶点距离都大于 2 的地方的概率 p 第 12 页（共 25 页） 故选：C 【点评】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础
20、知识，考查运算求解能力，是基础 题 10 （5 分）给出下列四个命题，其中不正确的命题为 若 coscos，则 2k，kZ； 函数的图象关于直线对称； 函数 ycos（sinx） ，xR 为偶函数； 函数 ysin|x|是周期函数 （ ） A B C D 【分析】由 cos cos 得到 与 的关系判断；求出函数的对称 轴方程判断；利用偶函数的定义判断；画出函数 ysin|x|的图象判断 【解答】解：对于，若 cos cos ，则 2k 或 +2k，kZ，故错误； 对于，由 2x+k，得 x，kZ，若，则 kZ， 函数的图象不关于直线对称，故错误； 对于，由 cossin（x）cos（sinx
21、）cos（sinx） ，得函数 ycos（sin x） （xR） 为偶函数，故正确； 对于，函数 ysin|x|，其图象如图， 第 13 页（共 25 页） 由图可知，函数不是周期函数，故错误 不正确的命题是 故选：D 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，注意运用定 义法和图象，属中档题 11 （5 分）已知圆 M： （x+）2+y236，定点 N（，0） ，点 P 为圆 M 上的动点，点 Q 在 NP 上， 点 G 在线段 MP 上， 且满足2，0， 则点 G 的轨迹方程为 （ ） A+1 B+1 C1 D1 【分析】由2，0，知 Q 为 PN 的中点且 GQP
22、N，可得|GN|+|GM|MP| 6，故 G 点的轨迹是以 M、N 为焦点的椭圆，从而可求方程 【解答】解：由2，0，知 Q 为 PN 的中点且 GQPN， GQ 为 PN 的中垂线，|PG|GN| |GN|+|GM|MP|6， 故 G 点的轨迹是以 M、N 为焦点的椭圆，其长半轴长 a3，半焦距 c， 短半轴长 b2， 点 G 的轨迹方程是+1 故选：A 【点评】本题主要考查椭圆的定义，解题的关键是将问题等价转化为符合椭圆的定义 12 （5 分）已知直线 ykx+b 与曲线 yln（2x）和曲线 yln（x+1）都相切，则 k（ ） Aln2 B C D 【分析】设切点（x1，kx1+b）
23、， （x2，kx2+b） ，分别表示出在这两点处的斜率和切线，找 到对应关系即可 【解答】解：设切点（x1，kx1+b） ， （x2，kx2+b） ， 由题意得 k，所以 x1x2+1，切线方程分别可以表示为： 第 14 页（共 25 页） y（xx1）+ln2x1x+ln2x11， y（xx2）+ln（x2+1）x+lnx1， 所以有 ln2x11lnx1，解得 ln2，即 kln2 故选：A 【点评】本题考查公切线的相关知识点，利用函数导数解决问题即可，属于基础题 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5
24、分）过圆锥的轴的截面是顶角为 120的等腰三角形，若圆锥的体积为 ，则圆锥的 母线长为 2 【分析】根据题意，求出圆锥的底面半径和高，代入公式即可 【解答】解：由题意可知，如图圆锥的轴截面的顶角ASB120， 所以在直角三角形中，OSB60， 圆锥的底面半径为 rSBsin60SB， 高 hSBcos60SB， 所以该圆锥的体积为： V 解得 SB2 圆锥的母线长为 2 故答案为：2 【点评】本题考查圆锥的体积，求出圆锥的底面半径和高是解决问题的关键，考查空间 中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 14 （5 分）2019 年 3 月 10 日，山间一道赤焰拔地
25、而起，巨大的轰鸣声响彻大凉山，长征三 第 15 页（共 25 页） 号乙运载火箭托举“中星 6C”卫星成功发射升空这一刻，中国长征系列运载火箭的发 射次数刷新为“300” 长征系列运载火箭实现第一个“百发”用了 37 年，第二个“百发” 用了不到 8 年，第三个“百发”用时仅 4 年多已知在不考虑空气阻力的情况下，火箭 的最大速度 v（米/秒）和燃料的质量 M（千克） 、火箭（除燃料外）的质量 m（千克）的 函数关系式是当燃料质量是火箭质量的 e61 倍时，火箭的最 大速度可达 12000 米/秒 【分析】当 V12000 时，2000ln（1+）12000，由此求出e61从而当燃料质 量是火
26、箭质量的 e61 倍时，火箭的最大速度可达 12000 米/秒 【解答】解：在不考虑空气阻力的情况下， 火箭的最大速度 v（米/秒）和燃料的质量 M（千克） 、火箭（除燃料外）的质量 m（千克） 的函数关系式是 当 V12000 时，2000ln（1+）12000， ln（1+）6， 解得e61 当燃料质量是火箭质量的 e61 倍时，火箭的最大速度可达 12000 米/秒 故答案为：e61 【点评】本题考查火箭的最大速度可达 12000 米/秒时，燃料质量是火箭质量的倍数的求 法，考查对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，是中档题 15 （5 分） 函数的图象可以由函数的图象向
27、 右 平移 个 单位长度得到 【分析】由题意利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】解：由于cos（+）cos（）cos（x ） ， 可得把函数 ycos的图象向右平移个单位长度得到 ycos（x）sin （+）的图象 第 16 页（共 25 页） 故答案为：右， 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题 16 （5 分）已知x表示不超过实数 x 的最大整数，函数 g（x）x为取整函数x0是函数 的零点，则 g（x01） 1 【分析】本题利用 f（x）的单调性，结合 f（2）和 f（3）的函数值的正负，确定 f（x） 的零点所在区间，从而求解
28、 【解答】解单调递增，且 f（2）ln210，f（3）ln30， x0（2，3） ，x01（1，2） ， g（x01）1 故答案为 1 【点评】本题考查零点存在性定理的应用，以及学生的逻辑分析能力 三、解答题： （共三、解答题： （共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）设函数 f（x）sinx，xR （1
29、）已知 0，2） ，函数 f（x+）是偶函数，求 的值； （2）设，求 g（x）的单调递减区间 【分析】 （1）由题意利用三角函数的奇偶性，两角和差的三角公式，求出 的值 （2）利用三角恒等变换化简 g（x）得解析式，再根据正弦函数的单调性，求出 g（x） 的单调递减区间 【解答】解： （I）因为函数 f（x）sinx，xR，故 f（x+）sin（x+） ， 由于 f（x+）sin（x+）是偶函数，所以，对任意实数 x 都有 sin（x+）sin（x+） ， 即 sinxcos0，cos0，或 （）g（x）+ + 1（cos2xsin2x）， 第 17 页（共 25 页） 解不等式，kZ 可得
30、：， 所以，g（x）的单调递减区间为，kZ 【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性，三角恒等变换，正弦函数的单调性，属于中 档题 18 （12 分）如图，四面体 ABCD 中，O，E 分别是 BD，BC 的中点，CACB CDBD2 （1）求证：AO平面 BCD； （2）求三棱锥 DACE 的体积 【分析】 （1）根据直线与平面垂直的判定定理证明 AO 与平面 BCD 内两相交直线垂直即 可； （2）利用等积法求出三棱锥 ACDE 的体积即可 【解答】解： （1）证明：连接 OC， BODO，ABAD， AOBD； BODO，BCCD， COBD； 在AOC 中，由已知可得 AO1，CO， 而
31、AC2， AO2+CO2AC2， AOC90，即 AOOC； BDOCO， AO平面 BCD； （2）V三棱锥DACEV三棱锥ACDE 第 18 页（共 25 页） SCDEAO SBCDAO 221 ， 即三棱锥 DACE 的体积为 【点评】本题主要考查了直线与平面的位置关系以及三棱锥体积的计算问题，也考查了 空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力 19 （12 分）足球是当今世界传播最广、参与人数最多的体育运动，其有广泛的社会影界各 国民众喜爱 （1）为调查大学生喜欢足球是否与性别有关，随机选取 50 名大学生进行问卷调查，当 问卷评分不低于 80 分则认为喜欢足球，当评分低于 80 分则认
32、为不喜欢足球，这 50 名大 学生问卷评分的茎叶图如下： 依据上述数据制成如下列联表： 喜欢足球人数 不喜欢足球人数 总计 女生 a b a+b 男生 c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 请问是否有 90%的把握认为喜欢足球与性别有关？ 第 19 页（共 25 页） 参考公式及数据：K2，na+b+c+d P（K2k0） 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 （2）已知某国“糖果盒”足球场每年平均上座率 y 与该国成年男子国家足球队在国际足 联的年度排名 x 线性相关，数据如表（6k9，3m6，k，mN*） 年
33、度排名 x 9 k 6 m 3 平均上座率 0.9 0.91 0.92 0.93 0.95 求变量 y 与 x 的线性回归方程 x+a，并预测排名为 1 时该球场的上座率 参考公式及数据： ，+a；xiyi27.49 【分析】 （1）由题意计算 a、b、c 和 d 的值，填写列联表，计算 K2，对照列联表得出结 论； （2）由题意求出平均数与回归系数，写出回归方程，利用回归方程计算 x1 时 的值 【解答】解： （1）由题意知，a8，b12，c20，d10，填写列联表如下； 喜欢足球人数 不喜欢足球人数 总计 女生 8 12 20 男生 20 10 30 总计 28 22 50 计算 K232
34、.706， 所以有 90%的把握认为喜欢足球与性别有关； （2）由题意知，xiyi27.49， 若 k8，则 90.9+80.91+60.92+m0.93+30.9527.49， 解得 m4.02，不合题意，舍去； 若 k7，则 90.9+70.91+60.92+m0.93+30.9527.49， 第 20 页（共 25 页） 解得 m5； 因此200， 6， 0.992； 所以 0.0085， a 0.992（0.0085）60.973， 所以 y 与 x 的线性回归方程为 0.0085x+0.973， 计算 x1 时， 0.00851+0.9730.9645， 即预测排名为 1 时该球场的
35、上座率为 96.45% 【点评】本题考查线性回归方程的应用问题，也考查独立性检验的应用问题，是中档题 20 （12 分）设函数 （1）求函数 f（x）的单调区间： （2）记 f（x）的最小值为 g（a） ，求 g（a）的最大值 【分析】 （1）求出导函数，利用函数的导数大于 0 和小于 0，求解函数的单调区间 （2）利用第一问，求出函数的最小值，然后利用导数求解函数的最大值即可 【解答】解： （1）函数的定义域为：x|x0， ， f（x）单减区间为（0，a） ，单增区间（a，+） （2）由（1）， ， 第 21 页（共 25 页） 容易得到 g（a）在（0，+）上单调递减， g（1）0， a（
36、0，1）时，g（a）0，a（1，+）时，g（a）0， 所以 g（a）在（0，1）单增， （1，+）单减， g（a）maxg（1）1 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算 能力 21 （12 分）在平面直角坐标系中，动点 M 分别与两个定点 A（2，0） ，B（2，0）的连 线的斜率之积为 （1）求动点 M 的轨迹 C 的方程； （2）设过点（1，0）的直线与轨迹 C 交于 P，Q 两点，判断直线 x与以线段 PQ 为直径的圆的位置关系，并说明理由 【分析】 （1）设动点 M 的坐标为（x，y） ，由斜率之积为列式求动点 M 的轨迹 C 的 方程； （2）
37、过点（1，0）的直线为 x 轴时，显然不合题意设过点（1，0）的直线方程为 xmy1，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得 PQ 的中点坐标为 N （） 再由弦长公式求|PQ|求得点 N 到直线 x的距离为 d由 0，可得 d，即直线 x与以线段 PQ 为直 径的圆相离 【解答】解： （1）设动点 M 的坐标为（x，y） ， （x2） ，（x2） ， 整理得 动点 M 的轨迹 C 的方程（x2） ； （2）过点（1，0）的直线为 x 轴时，显然不合题意 第 22 页（共 25 页） 可设过点（1，0）的直线方程为 xmy1， 设直线 xmy1 与轨迹 C 的交点坐标为 P（x1，y1
38、） ，Q（x2，y2） ， 由，得（m2+2）y22my30 （2m）2+12（m2+2）0， 由韦达定理得， PQ 的中点坐标为 N（） |PQ| 点 N 到直线 x的距离为 d 0， 即 d， 直线 x与以线段 PQ 为直径的圆相离 【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力， 是中档题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在请考生在 22，23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题如果多做，则按所做的第一题 计分计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中
39、，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ， 以 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； 第 23 页（共 25 页） （2） 设点P （1， m） ， 若直线l与曲线C相交于A， B两点， 能否求出m的值使得， 若能，求 m 的值；若不能请说明理由 【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求 出结果 （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 【解答】解： （1）曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，转换为曲线 C 的普通 方程为（x1）2+y21 直线
40、l 的极坐标方程为转换为直角坐标方程为 ，即 （2）由于直线 l 过点 P（1，m） ，倾斜角为 30，故直线 l 的参数方程为（t 是参数） 设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2，将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程并化 简得 t2+mt+m210 43m20 解得， ， 解得 m3 不满足 不存在 m，使直线与曲线相交 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|ax1|（a0） （1
41、）若不等式 f（x）2 的解集为 A，且 A（2，2） ，求实数 a 的取值范围； （2）若不等式对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）不等式 f（x）2 化为2ax12，求出不等式的解集 A，根据包含关 系求出 a 的取值范围； 第 24 页（共 25 页） （2）不等式化为|ax1|+|x+1|，设 g（x）|ax1|+|x+1|，a 0，分类讨论求出 g（x）的最小值，列不等式组求出实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）函数 f（x）|ax1|（a0） ， 不等式 f（x）2 化为2ax12， 即1ax3， 解得x， 所以不等式的解集为 Ax|x； 又 A（
42、2，2） ， 所以，解得 a， 所以实数 a 的取值范围是 a； （2）不等式，化为|ax1|+|x+1|， 设 g（x）|ax1|+|x+1|，a0， 则 g（x）； 所以当 x时，g（x）单调递增，最小值为 g（）1+，解得 a2； 当1x时，若 a1，则 g（x）单调递增，且 g（x）g（1）a+1，解得 1a； 若 a1，则 g（x）单调递减，且 g（x）g（）+1，解得 1a2； 当 x1 时，g（x）单调递减，最小值为 g（1）a+1，解得 a； 综上所述，不等式恒成立时实数 a 的取值范围是（，2） 【点评】本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了转化与分类讨论应用问题，是中 档题
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