1、已知集合 A（x，y）|yx2，B（x，y）|x2+y21，则集合 AB 中元素的 个数为（ ） A0 B1 C2 D3 2（5 分） 瑞士数学家欧拉在 1748 年得到复数的三角形式： eicos+isin，（i 为虚数单位） ， 根据该式，计算 ei+1 的值为（ ） A1 B0 C1 Di 3 （5 分）移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明” ，某中学为了解 本校学生中新“四大发 明”的普及情况，随机调査了 100 位学生，共中使用过移功支付或共享单车的学生共 90 位，使用过移动支付的学生共有 80 位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生 共有 60 位，则该
2、校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A0.5 B0.6 C0.7 D0.8 4 （5 分）二次项的展开式中常数项为（ ） A5 B10 C15 D20 5 （5 分）在等差数列an中，a5+a1340，则 a7+a8+a9+a10+a11（ ） A40 B60 C80 D100 6 （5 分）函数 yxsinx 的大致图象为（ ） A B C D 7 （5 分）如图，执行程序框图后，输出的结果是（ ） 第 2 页（共 22 页） A140 B204 C245 D300 8 （5 分）已知函数 f（x）sinx，将 f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的， 纵坐标扩
3、大为原来的 3 倍；再把图象上所有的点向上平移 1 个单位长度，得到函数 yg （x）的图象，则函数|g（x）|的最小正周期为（ ） A B C D2 9 （5 分）若函数 f（x）ax2与函数 g（x）lnx 存在公共点 P（m，n） ，并且在 P（m，n） 处具有公共切线，则实数 a（ ） A B C D 10 （5 分）阿波罗尼斯（约公元前 262190 年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距 离之比为常数 k（k0，k1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆若平 面内两定点 A，B 间的距离为 2，动点 P 满足，则 PA2+PB2的最小值为（ ） A B C D 11 （5
4、 分）函数 g（x）的图象如图所示，则方程 g（g（x3） ）0 的实数根个数为（ ） A3 B6 C9 D12 12 （5 分）四边形 ABDC 是菱形，BAC60，AB，沿对角线 BC 翻折后，二面角 ABCD 的余弦值为，则三棱锥 DABC 的外接球的体积为（ ） A B C D 第 3 页（共 22 页） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分共分共 20 分）分） 13 （5 分）已知 ， 为单位向量， ， ，则 14 （5 分）记 Sn为数列|an的前 n 项和，若满足 a11，Sn+1an+1，则 S4 15 （5 分）边长为 1 的正方体
5、 ABCDA1B1C1D1中，点 M 为上底面 A1B1C1D1的中心，N 为下底面 ABCD 内一点，且直线 MN 与底面 ABCD 所成线面角的正切值为 2，则点 N 的 轨迹围成的封闭图象的面积为 16 （5 分）设 F1，F2为椭圆 C：的两个焦点，M 为 C 上点，MF1F2的内心 I 的纵坐标为，则F1MF2的余弦值为 三、解答题（共三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）某调研机构，对本地22，50岁的人群随机抽取 200 人进行了一次生活习惯是 否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称
6、为“低碳族” 否则称为“非低碳 族” ，结果显示，有 100 人为“低碳族” 该 100 人的年龄情况对应的频率分布直方图如 图 （1）根据频率分布直方图，估计这 100 名“低碳族”年龄的平均值，中位数； （2）若在“低碳族”且年龄在30，34） ，34，38）的两组人群中，用分层抽样的方法抽 取 30 人，试估算每个年龄段应各抽取多少人？ 18（12 分） 在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 且满足 （1）求角 B 的大小； （2）若 D 为 AC 的中点，且 BD1，求 SABC的最大值 19 （12 分）如图甲，在直角梯形 ABCD 中，ABCD，AB
7、BC，CD2AB2BC4，过 A 点作 AECD，垂足为 E，现将ADE 沿 AE 折叠，使得 DEEC取 AD 的中点 F， 连接 BF，CF，EF，如图乙 （1）求证：BC平面 DEC； 第 4 页（共 22 页） （2）求二面角 CBFE 的余弦值 20 （12 分）已知抛物线 E：y22px（p0） ，过其焦点 F 的直线与抛物线相交于 A（x1， y1） ，B（x2，y2）两点，满足 y1y24 （）求抛物线 E 的方程； （）已知点 C 的坐标为（2，0） ，记直线 CA，CB 的斜率分别为 k1，k2，求+ 的最小值 21 （12 分）已知 f（x）ex，g（x）lnx，若点 A
8、 为函数 f（x）上的任意一点，点 B 为函 数 g（x）上的任意一点 （1）求 A，B 两点之间距离的最小值； （2）若 A，B 为函数 f（x）与函数 g（x）公切线的两个切点，求证：这样的点 B 有且仅 有两个，且满足条件的两个点 B 的横坐标互为倒数 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多选答区域指定位置答题如果多 做，则按所做的第一题计
9、分，做，则按所做的第一题计分，选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 x0y 中，曲线 C1的参数方程为（其中 为参数） 曲线 C2的普通方程为，以坐标原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标 第 5 页（共 22 页） 系 （1）求曲线 C1和曲线 C2的极坐标方程； （2）射线 l1：依次与曲线 C1和曲线 C2交于 A，B 两点， 射线 l2：依次与曲线 C1和曲线 C2交于 C，D 两点，求 的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xa|+|x1| （1）若不等式 f（x）3 的解集为x|0x3，
10、求实数 a 的值； （2）当 a2 时，若 f（x）4n2n+12 对一切实数 x 恒成立，求实数 n 的取值范围 第 6 页（共 22 页） 2019-2020 学年云南师大附中高三 （上） 第一次月考数学试卷 （理学年云南师大附中高三 （上） 第一次月考数学试卷 （理 科） （科） （8 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分共分在小题的四个选项中，只有一项是符合题分共分在小题的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的）目要求的） 1 （5 分）已知集合 A（x，y）|yx2，B（x，y）|x2+y
11、21，则集合 AB 中元素的 个数为（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】AB 是圆 x2+y21 与抛物线 yx2的交点的集合，由此能求出圆 x2+y21 与抛 物线 yx2的交点的个数 【解答】解：集合 A（x，y）|yx2，A（x，y）|x2+y21， AB 是圆 x2+y21 与抛物线 yx2的交点的集合， 圆 x2+y21 与抛物线 yx2有两个交点， 集合 AB 中元素的个数为 2 故选：C 【点评】本题考查两个集合的交集的个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 2（5 分） 瑞士数学家欧拉在 1748 年得到复数的三角形式： eicos+isin，（i
12、 为虚数单位） ， 根据该式，计算 ei+1 的值为（ ） A1 B0 C1 Di 【分析】利用公式 eixcosx+isinx，代入化简即可得出 【解答】解：由 eixcosx+isinx， 则 ei+1cos+isin+10， 故选：B 【点评】本题考查了复数的三角方程及其应用、三角函数求值，考查了推理能力与计算 能力，属于基础题 3 （5 分）移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明” ，某中学为了解 本校学生中新“四大发 第 7 页（共 22 页） 明”的普及情况，随机调査了 100 位学生，共中使用过移功支付或共享单车的学生共 90 位，使用过移动支付的学生共有 80
13、位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生 共有 60 位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A0.5 B0.6 C0.7 D0.8 【分析】实质是考了集合与概率的综合的问题，画出维恩图即可解决 【解答】解：根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如图， 所以该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值 故选：C 【点评】本题考查了集合和概率统计的综合运用能力，属于基础题 4 （5 分）二次项的展开式中常数项为（ ） A5 B10 C15 D20 【分析】由题意利用二次项定理的通项公式，求得展开式中常数项 【解答】解：利用二次项定理的通项公式
14、，求得二次项的展开式通项公式为 ， 令 62r0，求得 r3，可得常数项为 ， 故选：D 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 5 （5 分）在等差数列an中，a5+a1340，则 a7+a8+a9+a10+a11（ ） A40 B60 C80 D100 【分析】由等差数列的性质可得：a5+a132a940，解得 a9，可得 a7+a8+a9+a10+a11 5a9，即可得出 【解答】解：由等差数列的性质可得：a5+a132a940， 解得 a920， 所以 a7+a8+a9+a10+a115a9100， 第 8 页（共 22 页） 故选：
15、D 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属 于中档题 6 （5 分）函数 yxsinx 的大致图象为（ ） A B C D 【分析】先判断，函数的奇偶性和对称性，结合函数值的符号的对应性进行排除即可 【解答】解：f（x）xsin（x）xsinxf（x） ， 则函数为偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 A，C 当 x时，ysin0，排除 D， 故选：B 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性，对称性以及函数值 的对应性，结合排除法是解决本题的关键 7 （5 分）如图，执行程序框图后，输出的结果是（ ） A140 B204 C245 D30
16、0 【分析】由已知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行 过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：S0，n1， 第一次执行循环体后，b111，s0+11，n2 不满足退出循环的条件； 第 9 页（共 22 页） 第二次执行循环体后，b224，s11+225，n3，不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后，b339，s11+22+3314，n4，不满足退出循环的 条件； 第三次执行循环体后，b8864，s11+22+33+88204，n9，满足退 出循环的条件； 该程序执行的是 s11+22+88， 故输出 S 值为 204， 故选：B 【点评】本
17、题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 8 （5 分）已知函数 f（x）sinx，将 f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的， 纵坐标扩大为原来的 3 倍；再把图象上所有的点向上平移 1 个单位长度，得到函数 yg （x）的图象，则函数|g（x）|的最小正周期为（ ） A B C D2 【分析】直接利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的额关系式， 进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果 【解答】解：f（x）sinx，根据三角函数平移性质可知，当将 f（x）的图象上的所有点 的横坐示缩短到原来的， 纵坐标扩大为原来的 3
18、 倍，得到函数解析式为 f（x）3sin2x， 再把所得图象向上平移 1 个単位长度，得到 g（x）3sin2x+1， 由图象知|g（x）|的周期为 ， 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题 9 （5 分）若函数 f（x）ax2与函数 g（x）lnx 存在公共点 P（m，n） ，并且在 P（m，n） 处具有公共切线，则实数 a（ ） A B C D 第 10 页（共 22 页） 【分析】求出两个函数的导数，利用在 P（m，n）处具有公共切线，得到斜率相同，求 解即可 【解答】解：因为 f（x）a
19、x2，所以 f（x）2ax2； 由 g（x）lnx，得， 因为 f（x）ax2与 g（x）lnx 在它们的公共点 P（m，n）处具有公共切线， 所以 nam2，nlnm， 解得， 故选：C 【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力 10 （5 分）阿波罗尼斯（约公元前 262190 年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距 离之比为常数 k（k0，k1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆若平 面内两定点 A，B 间的距离为 2，动点 P 满足，则 PA2+PB2的最小值为（ ） A B C D 【分析】建立直角坐标系，设出 P 的坐标，求出轨迹方程，
20、然后推出 PA2+PB2的表达式， 转化求解最小值即可 【解答】解：以经过 A，B 的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴， 建立直角坐标系，则 A（l，0） ，B（1，0） ， 设 P（x，y） ， ， 两边平方并整理得 x2+y26x+10（x3）2+y28， 所以 P 点的執迹是以（3，0）为圆心，为半径的圆， y28（x3）2，3x3+2， 则有2x2+182（x3）212x3624， 则 PA2+PB2的最小值为 3624 故选：A 【点评】本题考查轨迹方程的求法，表达式的最值的求法，考查转化思想以及计算能力 11 （5 分）函数 g（x）的图象如图所示，则方程 g（g
21、（x3） ）0 的实数根个数为（ ） 第 11 页（共 22 页） A3 B6 C9 D12 【分析】利用换元法，结合函数的图象，求解方程的解的个数即可 【解答】解：令 tx3，ug（t） ，则由 g（g（x3） ）0，有 g（u）0， 由图象知有三个根 u1，u2，u3， 分别令 u1g（t） ，u2g（t） ，u3g（t） ， 解出有 9 个 t 符合方程， 在令 tx3解出相应 x 的根的个数为 9 个， 故选：C 【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的图象的应用，考查数形结合以及计算能力 12 （5 分）四边形 ABDC 是菱形，BAC60，AB，沿对角线 BC 翻折后，二面角 AB
22、CD 的余弦值为，则三棱锥 DABC 的外接球的体积为（ ） A B C D 【分析】取 BC 的中点为 M，设球心 O 在平面 ABC 内的射影为 01，在平面 BCD 内的射 影为 O2，则二面角 ABCD 的平面角为AMD，设AMD2，解得 tan，球 O 的半径，然后求解外接球的体积 【解答】解：如图，取 BC 的中点为 M， 设球心 O 在平面 ABC 内的射影为 01， 第 12 页（共 22 页） 在平面 BCD 内的射影为 O2， 则二面角 ABCD 的平面角为AMD，AB， 所以 DM，DO21，O2M， 设AMD2，则，解得 tan， ，球 O 的半径， 所求外接球的体积为
23、， 故选：B 【点评】本题考查二面角的平面角的求法，几何体的外接球的体积的求法，考查空间想 象能力以及计算能力 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分共分共 20 分）分） 13 （5 分）已知 ， 为单位向量， ， ，则 【分析】根据平面向量的模长公式，计算即可 【解答】解：由题意知，| | |1， 4+4 +4+411cos+17， |2 + | 故答案为： 【点评】本题考查了平面向量的模长计算问题，是基础题 14 （5 分）记 Sn为数列|an的前 n 项和，若满足 a11，Sn+1an+1，则 S4 15 【分析】通过由 Sn+1an+1，当 n
24、2 时，Sn1+1an，两式相减得 an+12an，得到an 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，求出 an2n 1然后求解即可 【解答】解：由 Sn+1an+1，得， 当 n2 时，Sn1+1an， 第 13 页（共 22 页） 两式相减得 an+12an， 由 a11，所以 a2a1+12，即 a22a1， 所以an是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，an2n 1 所以 S4a5115 故答案为：15 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列通项公式的求法，考查计算能力 15 （5 分）边长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 M 为上底面 A1B1C1D1的中心，
25、N 为下底面 ABCD 内一点，且直线 MN 与底面 ABCD 所成线面角的正切值为 2，则点 N 的 轨迹围成的封闭图象的面积为 【分析】画出图形，M 在底面 ABCD 内的投影为底面 ABCD 的中心 O，连接 ON，可得 MNO 即为直线 MN 与底面 ABCD 所成线面角， 说明 N 的轨迹是以底面 ABCD 的中心 0 为圆心，以为半径的圆，然后求解面积即可 【解答】解：如图，由题意知，M 在底面 ABCD 内的投影为底面 ABCD 的中心 O，连接 ON， 则MNO 即为直线 MN 与底面 ABCD 所成线面角， 所以 tanMNO2，则 NO， 所以 N 的轨迹是以底面 ABCD
26、 的中心 0 为圆心，以为半径的圆， 则 N 的轨迹围成的封闭图象的面积为 S 故答案为： 【点评】本题考查轨迹的判断，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算 能力 16 （5 分）设 F1，F2为椭圆 C：的两个焦点，M 为 C 上点，MF1F2的内心 I 第 14 页（共 22 页） 的纵坐标为，则F1MF2的余弦值为 0 【分析】求出内切圆的半径，利用焦点三角形的面积公式转化求解即可 【解答】解：如图，由题意知MF1F2的内切圆的半径为，又由三角形的内切圆半 径， 即， 又 由 焦 点 三 角 形 的 面 积 ， 所 以， 所 以 ， 所以 cosF1MF20 故答案为：0 【
27、点评】本题考查椭圆的简单性质，特殊角的三角函数值，考查分类讨论思想及数形结 合思想的应用，考查计算能力，属于中档题 三、解答题（共三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）某调研机构，对本地22，50岁的人群随机抽取 200 人进行了一次生活习惯是 否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” 否则称为“非低碳 族” ，结果显示，有 100 人为“低碳族” 该 100 人的年龄情况对应的频率分布直方图如 图 （1）根据频率分布直方图，估计这 100 名“低碳族”年龄的平均值，中位数； （2）若在
28、“低碳族”且年龄在30，34） ，34，38）的两组人群中，用分层抽样的方法抽 取 30 人，试估算每个年龄段应各抽取多少人？ 第 15 页（共 22 页） 【分析】 （1）根据频率分布直方图，能估计这 100 名“低碳族”年龄的平均值，中位数 （2）先求出年龄段30，34） ，34，38）的频率，由此能估算每个年龄段应各抽取多少人 【解答】解： （1）100 位“低碳族”的年龄平均值 x 为 x240.04+280.08+320.16+360.44+400.16+440.1+480.0235.9236， 中位数为（0.50.040.080.16）0.11+3436 （2）年龄段30，34）
29、，34，38）的频率分别为 0.0440.16，0.1140.44， 因为 0.16：0.444：11，所以人数分别为 8 人，22 人 【点评】本题考查平均数、中位数的求法，考查各年龄段应抽取人数的求法，考查频率 分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 18（12 分） 在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 且满足 （1）求角 B 的大小； （2）若 D 为 AC 的中点，且 BD1，求 SABC的最大值 【分析】 （1）由正弦定理及，得， 由 A（0，） ，可得 sinA0，展开，利用弦化切即可得出 （2）如图，由，又 D 为 AC 的中点，
30、可得，利 用数量积运算性质即可得出 【解答】解： （1）由正弦定理及得， 由 A（0，） ，所以 sinA0， 则， tanB， 又 B（0，） ， 第 16 页（共 22 页） 所以 B （2）如图，由 又 D 为 AC 的中点，则， 所以， 则，当且仅当 ac 时取等号， 所以ABC 的面积最大值为 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、数量积运算性质、三角形面积计算公式，考查 了推理能力与计算能力，属于中档题 19 （12 分）如图甲，在直角梯形 ABCD 中，ABCD，ABBC，CD2AB2BC4，过 A 点作 AECD，垂足为 E，现将ADE 沿 AE 折叠，使得 DEEC取 AD 的
31、中点 F， 连接 BF，CF，EF，如图乙 （1）求证：BC平面 DEC； （2）求二面角 CBFE 的余弦值 【分析】 （1）根据线面垂直的判定定理即可证明 FG平面 BCD； （2）建立空间坐标系，利用向量法即可二面角 CBFE 的余弦值 【解答】解： （1）证明：如图，DEEC，DEAE， DE平面 ABCE， 又BC平面 ABCE， 第 17 页（共 22 页） DEBC， 又BCEC，DEECE， BC平面 DEC （2）如图，以点 E 为坐标原点，分别以 EA，EC，ED 为 x，y，z 轴建立空间坐标系 E xyz， E（0，0，0） ，C（0，2，0） ，B（，2，0） ，D（
32、0，0，2） ，A（2，0，0） ，F（1，0， ） ， 设平面 EFB 的法向量， 由， 所以有， 取 x11，得平面 EFB 的一个法向量， 由， 所以有， 取 y21，得平面 BCF 的一个法向量， 设二面角 CBFE 的大小为 ， 则 【点评】本题主要考查空间直线和平面垂直的判定，以及二面角的求解，综合考查学生 的计算能力 20 （12 分）已知抛物线 E：y22px（p0） ，过其焦点 F 的直线与抛物线相交于 A（x1， 第 18 页（共 22 页） y1） ，B（x2，y2）两点，满足 y1y24 （）求抛物线 E 的方程； （）已知点 C 的坐标为（2，0） ，记直线 CA，C
33、B 的斜率分别为 k1，k2，求+ 的最小值 【分析】 （1）利用已知条件求出 p，即可得到抛物线方程 （2）设出直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理，转化求解直线的斜率关系的表达式， 然后求解最小值 【解答】 （本小题满分 12 分） 解： （1）因为直线过焦点，所以有 y1y2p24， 解得 p2，所以抛物线 E 的方程为 y24x （2）由（1）知抛物线的焦点坐示为 F（l，0） ，设直线 AB 的方程为 xmy+1， 联立抛物线的方程 y24my40，所以 y1+y24m，y1y24， 则有， 因此 第 19 页（共 22 页） 所以当且仅当 m0 时，有最小值 【点评】本题考查直线与
34、抛物线的位置关系的综合应用，抛物线方程的求法，考查转化 思想以及计算能力 21 （12 分）已知 f（x）ex，g（x）lnx，若点 A 为函数 f（x）上的任意一点，点 B 为函 数 g（x）上的任意一点 （1）求 A，B 两点之间距离的最小值； （2）若 A，B 为函数 f（x）与函数 g（x）公切线的两个切点，求证：这样的点 B 有且仅 有两个，且满足条件的两个点 B 的横坐标互为倒数 【分析】 （1）求出 f（x）在点（0，1）处的切线为 yx+1，g（x）在点（1，0）的切线 为 yx1，由于 f（x）ex与 g（x）lnx 互为反函数，即函数图象关于 yx 对称，可 得 A，B 两
35、点间的距离的最小值即为（0，1）与（1，0）之间的距离； （2）设 A，B（x2，lnx2）求出 f（x）在 A处的切线方程，g（x） 在 B（x2，lnx2）处的切线方程，可得，则 1+x2（x21）lnx2， 把证这样的点 B 有且仅有两个，转化为证 1+x2（x21）lnx2有且有两个解，构造函数 h（x）（x1）lnxx1，然后利用导数证明 【解答】 （1）解：由 f（x）ex，得 f（x）在点（0，1）处的切线为 yx+1， 又 g（x）lnx，则 g（x）在点（1，0）的切线为 yx1， 由于 f（x）ex与 g（x）lnx 互为反函数，即函数图象关于 yx 对称，如图， 故而 A
36、，B 两点间的距离的最小值即为（0，1）与（1，0）之同的距离， A，B 两点间的距离的最小值为； （2）证明：设 A，B（x2，lnx2） 则 f （x） 在 A处的切线为， 即； g（x）在 B（x2，lnx2）处的切线为，即 第 20 页（共 22 页） ，则 1+x2（x21）lnx2， 要证这样的点 B 有且仅有两个，需证上式有且有两个解， 令 h（x）（x1）lnxx1，下面证 h（x）0，有且有两个解 由， ylnx 单调递增，单调递减，h（x）单调递增， 又 h（1）10，故存在唯一的 x0（1，2） ，使得 h（x0） 0， 故而 x（0，x0）时，h（x0）0，h（x）单调
37、递减； 当 x（x0，+）时，h（x0）0，h（x）单调递增 又 h（x0）h（1）2，h（e2）e230， h（x）0 在（x0，+）上有唯一的根 记 h（）0，由 x01，则， 又， 故是 h（x）0 在（0，x0）上有唯一的根， h（x）0，有且仅有两个解 综上所述，这样的点 B 有且仅有两个，且满足条件的两个点 B 的横坐标互为倒数 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的 单调性，考查函数零点的判定，体现了数学转化思想方法，属难题 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题
38、号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注意所注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多 做，则按所做的第一题计分，做，则按所做的第一题计分，选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 第 21 页（共 22 页） 22 （10 分）在平面直角坐标系 x0y 中，曲线 C1的参数方程为（其中 为参数） 曲线 C2的普通方程为，以坐标原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系 （1）求曲线 C1和曲线 C2的极坐标方程； （2）射线 l1：依次与曲线 C1和曲线 C2交于
39、 A，B 两点， 射线 l2：依次与曲线 C1和曲线 C2交于 C，D 两点，求 的最大值 【分析】 （1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转 换 （2）利用三角形的面积对三角函数的关系式进行变换求出最大值 【解答】解： （1）由曲线 C1的参数方程为（其中 为参数） ， 所以曲线 C1的普通方程为 x2+y29， 由则曲线 C1的极坐标方程为 3 又曲线 C2的普通方程为， 由则曲线 C2的极坐标方程为 （2）如图，由题意知 第 22 页（共 22 页） ， 当且仅当，即，不等式区等号， 所以的最大值为 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方
40、程之间的转换，三角 函数关系式的恒等变换，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思 维能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xa|+|x1| （1）若不等式 f（x）3 的解集为x|0x3，求实数 a 的值； （2）当 a2 时，若 f（x）4n2n+12 对一切实数 x 恒成立，求实数 n 的取值范围 【分析】 （1）根据绝对值的几何意义，利用 f（x）3 的解集求得 a 的值； （2）利用绝对值不等式求出 a2 时 f（x）的最小值，把问题化为关于 n 的不等式，利 用换元法求出不等式的解集，即可得出 n 的取值范围 【解答】解： （1）由绝对值的几何意义知， f（x）|xa|+|x1|表示在数紬上，动点 x 到定点 a 和 1 的距高之和， 当且仅当 a2 时，f（x）3 的解集为x|0x3， 所以 a2； （2）当 a2 时，f（x）|x2|+|x1|x2x+1|1 恒成立， 又 f（x）4n2n+12 对一切实数 x 恒成立， 所以 14n2n+12， 令 2nt，化简得 t22t30，解得 t3， 所以 nlog23， 即实数 n 的取值范围是（，log23 【点评】本题考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题， 是中档题
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