1、已知角 的终边位于直线 2xy0 上，则 sin2（ ） A B C D 4 （5 分）已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为，则该 双曲线的离心率是（ ） A B C或 D或 5 （5 分）根据如下样本数据得到的回归直线方程，则（ ） x 2 3 4 5 6 y 4.0 2.5 0.5 0.5 2 A 0，0.94 B 0，40.9 C 0，0.94 D 0，40.9 6 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件，则 z2 2x+y 的最大值是（ ） A2 B1 C D1 7（5 分） 如图的程序框图的算法思路源于我国数学名著 九章算术 中的 “中国剩余定理” 若 正整数
2、N 除以正整数 m 后得余数 r，则记为 Nr（modm） ，如：82（mod3） ，则执行 该程序框图翰输出的 n 等于（ ） 第 2 页（共 22 页） A5 B6 C7 D8 8 （5 分）在ABC 中，D 在边 AC 上满足，E 为 BD 的中点，则（ ） A B C D 9 （5 分）设函数 f（x）的导数为 f（x）且 f（x）x3f（1）+x2+1，则 f（x）的单调递增 区间是（ ） A （，0）和（，+） B （，0） C （0，） D （，）和（0，+） 10 （5 分）函数 yln|x|在4，4的图象大致是（ ） A B C D 11 （5 分）在平面直角坐标系 xOy
3、中，抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，过 第 3 页（共 22 页） 点 F 倾斜角为的直线 l与抛物线交于不同的两点 A，B（其中点 A 在第一象限） ，过点 A 作 AMl，垂足为 M 且|MF|2，则抛物线的方程是（ ） Ay2x By23x Cy2x Dy22x 12 （5 分）已知 alog0.36，blog26， （ ） Ab2aabb+2a Bb2ab+2aab Cb+2ab2aab Dabb2ab+2a 二、填空题（共二、填空题（共 20 分）分） 13 （5 分）已知 f（x），则 f（1）的值为 14 （5 分）记 Sn为等比数列an的前 n 项和，若 3
4、S42S3+S5，a24，则 a6 15 （5 分）设函数在区间5，3上的最大值，最小值分别 为 m，n，则 m+n 的值为 16（5 分） 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， BAC90且 BB14 设其外接球的球心为 O 已 知三棱锥 OABC 的体积为 2，则球 O 的表面积的最小值是 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）在平面四边形 ABCD 中，cosABD，cosCBD （1）求ABC； （2）若ABC 的外接圆的面积 3，且，求ABC 的周长 18 （12 分）某冰糖橙，甜橙
5、的一种，云南著名特产，以味甜皮薄著称该橙按照等级可分 为四类：珍品、特级、优级和一级（每箱有 5kg）某采购商打算采购一批橙子销往省外， 并从采购的这批橙子中随机抽取 100 箱，利用橙子的等级分类标准得到的数据如表 等级 珍品 特级 优级 一般 箱数 40 30 10 20 售价（元/kg） 36 30 24 18 第 4 页（共 22 页） （1）试计算样本中的 100 箱不同等级橙子的平均价格； （2）按照分层抽样的方法，从这 100 箱橙子中抽取 10 箱，试计算各等级抽到的箱数； （3）若在（2）抽取的特级品和一级品的箱子上均编上号放在一起再从中抽取 2 箱，求 抽取的 2 箱中两种
6、等级均有的概率 19 （12 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，点 M、N 分别在棱 AC、CD 上，N 为 CD 的中点 （1）若 M 为 AC 的中点，求证：AD平面 BMN； （2）若平面 ABD平面 BCD，ABBC，求证：BCAD 20 （12 分）已知椭圆的离心率，短轴长为轴 4 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）已知不经过点 P（0，2）的直线 l：xmy+n（m0，nR）交椭圆 C 于 A，B 两点， 点 M 在 AB 上满足且|AB|2|PM|，问直线 l 是否过定点，若过求定点坐 标；若不过，请说明理由 21 （12 分）已知函数 f（x）alnxex+a（a0） （1
7、）求当 a1 时，f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （2）若关于 x 的不等式 f（x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清 楚题号楚题号.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 x0y 中，曲线 C1：（ 为参数） ，将曲线 C1上 的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的后得到曲线 C2以坐标原 点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程 第
8、 5 页（共 22 页） （1）求曲线 C2的极坐标方程和直线 l 的直角坐标方程； （2） 设直线 l 与曲线 C1交于不同的两点 A， B， 点 M 为抛物线的焦点， 求|MA| |MB|的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设 f（x）|x+2|+|x2|f（x）6 的解集为 M （1）求 M； （2）证明：若 a，bM 时，3|a+b|9+ab| 第 6 页（共 22 页） 2019-2020 学年云南师大附中高三 （上） 第二次月考数学试卷 （文学年云南师大附中高三 （上） 第二次月考数学试卷 （文 科） （科） （9 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析
9、 一、选择题（共一、选择题（共 60 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x22x30，Bx|ylg（x+3），则 AB（ ） Ax|3x1 Bx|x3 Cx|3x1 或 x3 Dx|1x3 【分析】分别求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 Ax|x22x30x|x3 或 x1， Bx|ylg（x+3）x|x3， ABx|3x1 或 x3 故选：C 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 2 （5 分）设 z，则 z 的虚部是（ ） A1 Bi C1 Di 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：z
10、， z 的虚部是 1 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3 （5 分）已知角 的终边位于直线 2xy0 上，则 sin2（ ） A B C D 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，同角三角函数的基 本关系，求得 sin2 的值 【解答】解：角 的终边位于直线 2xy0 上，tan2， 第 7 页（共 22 页） 则 sin2， 故选：B 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，同角三角函数的 基本关系，属于基础题 4 （5 分）已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为，则该 双曲线的离心
11、率是（ ） A B C或 D或 【分析】由渐近线方程可设双曲线的方程为 2x2y2m（m0） ，再讨论 m0，m0， 运用离心率公式计算即可得到 【解答】解：由于一条渐近线方程为， 可设双曲线的方程为 2x2y2m（m0） ， 当 m0 时，双曲线方程即为， 离心率 e； 当 m0 时，双曲线方程即为， 离心率 e 故选：D 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程的运用，离心率的求 法，考查分类讨论的思想方法，属于基础题和易错题 5 （5 分）根据如下样本数据得到的回归直线方程，则（ ） x 2 3 4 5 6 y 4.0 2.5 0.5 0.5 2 A 0，0.94 B
12、0，40.9 C 0，0.94 D 0，40.9 第 8 页（共 22 页） 【分析】由表格中的数据判断 0，结合 x2 时，y0，可知当 x0 时， 0；再求 出样本点的中心的坐标，代入线性回归方程可得，则答案可求 【解答】 解： 由表格中的数据可知， y 随 x 的增大而趋于减小， 可知回归直线方程 的斜率 0， 则当 x0 时， 0； ， 样本点的中心的坐标为（4，0.9） ， 线性回归方程恒过样本点的中心， 故选：D 【点评】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础 题 6 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件，则 z2 2x+y 的最大值是（ ） A2
13、 B1 C D1 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】解：实数 x，y 满足约束条件的可行域如图所示： 联立，解得 A（1，1） 化目标函数 t2x+y 为 y2x+t， 由图可知，当直线 y2x+t 过 A 时， 直线在 y 轴上的截距最大，t 有最大值1 则 z2 2x+y 的最大值为， 故选：C 第 9 页（共 22 页） 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 7（5 分） 如图的程序框图的算法思路源于我国数学名著 九章算术 中的 “中国剩余定理” 若
14、正整数 N 除以正整数 m 后得余数 r，则记为 Nr（modm） ，如：82（mod3） ，则执行 该程序框图翰输出的 n 等于（ ） A5 B6 C7 D8 【分析】根据程序框图，模拟执行循环，得出对应 n、M 的值， 从而求得满足第一个条件和第二个条件时 n 的值 【解答】解：由题意，根据程序框图知， 第一次执行循环得 n3，M15， 此时 150（mod5） ，不满足第一个条件，M1526 不满足第二个条件； 第二次执行循环体得 n5，M20， 此时 200（mod5） ，不满足第一个条件，M2026 不满足第二个条件； 第 10 页（共 22 页） 第三次执行循环体得 n7，M27，
15、 此时 272（mod5） ，且 M2726，既满足第一个条件，又满足第二个条件，退出循环； 则执行该程序框图后输出的 n7 故选：C 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题 8 （5 分）在ABC 中，D 在边 AC 上满足，E 为 BD 的中点，则（ ） A B C D 【分析】根据题意表示出，再由，可得，则 【解答】解：因为点 E 为 BD 的中点，所以， 又因为，所以， 则， 故选：B 【点评】本题考查平面向量的基本定理，属于基础题 9 （5 分）设函数 f（x）的导数为 f（x）且 f（x）x3f（1）+x2+1，则 f（x）的单调递增 区间是（ ） A （，0）和（，+）
16、B （，0） C （0，） D （，）和（0，+） 【分析】结合导数与单调性的关系即可求解函数的单调性的关系即可求解 【解答】解：由题意可得，f（x）3x2f（1）+2x， 所以，f（1）1，f（x）x3+x2+1，定义域 R， 则 f（x）3x2+2x， 当 0x时，f（x）0，此时函数单调递增，即函数的单调递增区间（0，） 故选：C 【点评】本题主要考查了函数的导数与函数单调性关系的简单应用，属于基础试题 10 （5 分）函数 yln|x|在4，4的图象大致是（ ） 第 11 页（共 22 页） A B C D 【分析】根据条件判断函数的奇偶性和对称性，结合特殊值的对应性进行排除即可 【解
17、答】解：函数的定义域为x|x0， f（x）ln|xln|x|，则函数 f（x）为偶函数，图象关于 y 轴 对称， 排除 C，D， 当 x时，f（）lnln0，排除 B， 故选：A 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性以及特殊值法 进行排除是解决本题的关键 11 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，过 点 F 倾斜角为的直线 l与抛物线交于不同的两点 A，B（其中点 A 在第一象限） ，过点 A 作 AMl，垂足为 M 且|MF|2，则抛物线的方程是（ ） Ay2x By23x Cy2x Dy22x 【分析】求得
18、抛物线的焦点 F 和准线 l 的方程，设直线 l 与 x 轴交于点 N，连接 MF，运 用抛物线的定义和等边三角形的性质，以及直角三角形的锐角三角函数的定义，可得 p， 进而得到抛物线的方程 【解答】解：抛物线 y22px（p0）的焦点为 F（，0） ，准线为 l：x， 设直线 l 与 x 轴交于点 N，连接 MF，因为直线 l的倾斜角为，即MAF， 第 12 页（共 22 页） 又|AF|AM|，所以AMF 为等边三角形，即AFM，则MFN， 在直角三角形 MNF 中，|MF|2，所以|NF|，即 p， 则抛物线的方程为 y22x， 故选：D 【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查等
19、边三角形的性质，考查转化思想 和运算能力，属于中档题 12 （5 分）已知 alog0.36，blog26， （ ） Ab2aabb+2a Bb2ab+2aab Cb+2ab2aab Dabb2ab+2a 【分析】容易判断出 a0，b0，从而得出 ab0，并可得出，从而 得出 b+2aab，并容易得出 b2ab+2a，从而得出 b2ab+2aab 【解答】解：alog0.360，blog260， ab0， ， ， b+2aab，又（b2a）（b+2a）4a0 b2ab+2aab 故选：B 【点评】考查对数的换底公式，对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，以及不等 式的性质 第 13 页（共
20、22 页） 二、填空题（共二、填空题（共 20 分）分） 13 （5 分）已知 f（x），则 f（1）的值为 4 【分析】由 12，得 f（1）f（1+1）f（2） ，由此能求出结果 【解答】解：f（x）， 12， f（1）f（1+1）f（2）224 故答案为：4 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题 14 （5 分）记 Sn为等比数列an的前 n 项和，若 3S42S3+S5，a24，则 a6 64 【分析】由已知可得，2S42S3S5s4，从而可求公比 q，然后结合等比数列的通项公 式即可求解 【解答】解：等比数列an中，3S42S3+S5，
21、2S42S3S5s4， 2a4a5， q2， a24， a12， 则 a622564， 故答案为：64 【点评】本题主要考查了等比是数列的通项公式的简单应用，属于基础试题 15 （5 分）设函数在区间5，3上的最大值，最小值分别 为 m，n，则 m+n 的值为 10 【分析】本题先对函数 f（x）化简，然后得到 f（x）5，解题关键是发现 f（x1）5是奇函数，则可得 m+n 的值 第 14 页（共 22 页） 【解答】解：由题意，5， 即 f（x）5， 则有 f（x1）5， f（x1）5是奇函数， f（x1）5 在区间4，4上的最大值与最小值互为相反数， 即 m5+n50， 则 m+n10
22、故答案为：10 【点评】本题主要考查函数的最值问题，考查了转化思想的应用以及数学运算能力本 题属中档题 16（5 分） 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， BAC90且 BB14 设其外接球的球心为 O 已 知三棱锥 OABC 的体积为 2，则球 O 的表面积的最小值是 28 【分析】根据题意，画出图形可知 O 为 O2O1的中点，且有 BC，进而可求出 球 O 的表面积表达式，利用基本不等式即可求出最小值 【解答】解：如图，在 RtABC 中，设 ABc，ACb，则 BC，取 BC，B1C1 的中点分别为 O2，O1， 则 O2， O1分别是 RtABC 和 RtA1B1C1的外接圆的圆心，
23、 连接 O2O1， 又直三棱柱 ABC A1B1C1的外接球的球心为 O， 则 O 为 O2O1的中点，连接 OB，则 OB 为三棱柱外接球的半径， 设半径为 R，因为三棱柱为直三棱柱，所以 BB1O2O14， 所以三棱柱 OABC 的高为 2，即 OO22， 又三棱柱 OABC 的体积为 2，所以 VOABCbc22，解得 bc6， 在 RtOO2B 中，R2（BC）2+（OO2）2（）2+4， 则球的表面积 S4R24（）（b2+c2）+162bc+1612+16 28， 第 15 页（共 22 页） 当且仅当 bc 时取得“” ，所以球 O 的表面积最小值为 28 【点评】本题考查三棱柱
24、外接球表面积求法，数形结合是关键，属于中档题 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）在平面四边形 ABCD 中，cosABD，cosCBD （1）求ABC； （2）若ABC 的外接圆的面积 3，且，求ABC 的周长 【分析】 （1）根据三角恒等变换求出 cosABC 与ABC 的值； （2）求出ABC 外接圆的半径 R，再利用正弦定理求边长 AC 的值，利用平面向量的数 量积和余弦定理求出 AB+BC 的值即可 【解答】解： （1）平面四边形 ABCD 中，cosABD，ABD（0，） ，
25、所以 sinABD； 又 cosCBD，同理 sinCBD； 所以 cosABCcos（ABDCBD） cosABDcosCBD+sinABDsinCBD + ， 又ABC（0，） ， 所以ABC； （2）设ABC 外接圆的半径为 R，则外接圆的面积为 R23，解得 R； 第 16 页（共 22 页） 所以2R，AC2RsinB2sin3； 又，即 BCBAcosB，解得 BCBA9； 又 AC2AB2+BC22ABBCcosB（AB+BC）23ABBC9， 所以 AB+BC6， 所以ABC 的周长为 9 【点评】本题考查了三角恒等变换与和正弦、余弦定理的应用问题，是中档题 18 （12 分）
26、某冰糖橙，甜橙的一种，云南著名特产，以味甜皮薄著称该橙按照等级可分 为四类：珍品、特级、优级和一级（每箱有 5kg）某采购商打算采购一批橙子销往省外， 并从采购的这批橙子中随机抽取 100 箱，利用橙子的等级分类标准得到的数据如表 等级 珍品 特级 优级 一般 箱数 40 30 10 20 售价（元/kg） 36 30 24 18 （1）试计算样本中的 100 箱不同等级橙子的平均价格； （2）按照分层抽样的方法，从这 100 箱橙子中抽取 10 箱，试计算各等级抽到的箱数； （3）若在（2）抽取的特级品和一级品的箱子上均编上号放在一起再从中抽取 2 箱，求 抽取的 2 箱中两种等级均有的概率
27、 【分析】 （1）由频率分布表能求出样本中的 100 箱不同等级橙子的平均价格 （2）按照分层抽样的方法，从这 100 箱橙子中抽取 10 箱，能求出各等级抽到的箱数 （3）抽到的特级 3 箱编号为 A1，A2，A3，抽到的一级两箱编号为：B1，B2，从抽取抽取 的特级品和一级品的 5 箱中均编上号放在一起再从中抽取 2 箱，利用列举法能求出抽取 的 2 箱中两种等级均有的概率 【解答】解： （1）依题意可知，样本中的 100 箱不同等级橙子的平均价格为： 29.4（元/kg） （2）按照分层抽样的方法，从这 100 箱橙子中抽取 10 箱，各等级抽到的箱数分别为： 珍品抽到：4， 特级抽到：
28、3， 优级抽到：1， 第 17 页（共 22 页） 一级抽到：2 （3）由（2）知，抽到的特级 3 箱编号为 A1，A2，A3，抽到的一级两箱编号为：B1，B2， 从抽取抽取的特级品和一级品的 5 箱中均编上号放在一起再从中抽取 2 箱， 共有种抽法，样本空间为： （A1，A2） ， （A1，A3） ， （A1，B1） ， （A1，B2） ， （A2，A3） ， （A2，B1） ， （A2，B2） ， （A3， B1） ， （A3，B2） ， （B1，B2）， 满足条件的基本事件有 6 种，分别为： （A1，B1） ， （A1，B2） ， （A2，B1） ， （A2，B2） ， （A3，B1）
29、 ， （A3，B2） 抽取的 2 箱中两种等级均有的概率 P 【点评】本题考查平均数、频数、概率的求法，考查分层抽样、列举法等基础知识，考 查运算求解能力，是基础题 19 （12 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，点 M、N 分别在棱 AC、CD 上，N 为 CD 的中点 （1）若 M 为 AC 的中点，求证：AD平面 BMN； （2）若平面 ABD平面 BCD，ABBC，求证：BCAD 【分析】 （1）推导出 MNAD，由此能证明 AD平面 BMN （2）作 AOBD，垂足为 O，推导出 AO平面 BCD，从而 AOBC，再由 ABBC， 得 BC平面 ABD，由此能证明 BCAD 【解答】
30、证明： （1）在ACD 中，点 M、N 分别在棱 AC、CD 的中点， MNAD， AD平面 BMN，MN平面 BMN， AD平面 BMN （2）如图，在平面 ADB 中，作 AOBD，垂足为 O， 第 18 页（共 22 页） 平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD， AO平面 ABD，AO平面 BCD， BC平面 BCD，AOBC， 又 ABBC，ABAOA，BC平面 ABD， AD平面 ABD，BCAD 【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置 关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）已知椭圆的离心率，短轴长为轴
31、4 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）已知不经过点 P（0，2）的直线 l：xmy+n（m0，nR）交椭圆 C 于 A，B 两点， 点 M 在 AB 上满足且|AB|2|PM|，问直线 l 是否过定点，若过求定点坐 标；若不过，请说明理由 【分析】 （1）由离心率及短轴长和 a，b，c 之间的关系求出椭圆的方程； （2） 直线 l 与椭圆联立求出两根之和及两根之积， 得出 M 的坐标， 由题意得出 0，求出 m，n 的关系，进而求出直线过的定点 【解答】解： （1）由题意 2b4，e，a2b2+c2，解得：a212，b24， 所以椭圆的方程为：； （2）设 A（x，y） ，B（x，y） ，
32、由 P（0，2） ，所以（x，y2） ，（x，y2） ， 因为 M 在直线 AB 上满足，所以 M 为 AB 的中点， 又|AB|2|PM|，即|MA|MB|MP|， 所以线段 AB 为PAB 的外接圆的直径，即0， 所以 xx+（y2） （y2）0，又 A，B 在直线 l 上， 第 19 页（共 22 页） 所以（my+n） （my+n）+（y2） （y2）0， 即（1+m2）yy+（mn2） （y+y）+n2+40， 联立整理： （3+m2）y2+2mny+n2120，* 因为直线 l 与椭圆交于不同的交点，A，B 两点， 所以4m2n24（3+m2） （n212）0，即 n24m2+12
33、， y+y，yy， 代入*中，n2+mn2m20，解得：n2m 或 nm， 所以直线 l：xmy2mm（x2） ，或 xmy+mm（x+1） ， 所以直线恒过定点（0，1）或（0，2）与 P 重合（舍） ， 综上所述，直线恒过定点（0，1） 【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）alnxex+a（a0） （1）求当 a1 时，f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （2）若关于 x 的不等式 f（x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）将 a1 代入求导，利用导数的几何意义即可得解； （2）先求得函数 f（x）的最大值，同时可以
34、得到 a 与极大值点的关系，构造函数可得极 大值点的取值范围，进而得到实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）当 a1 时，由 f（x）lnxex+1 得， 则 f（1）1e，f（1）1e， 所求切线方程为 y（1e）（1e） （x1） ，即（e1）x+y0； （2），令 g（x）axex，则 g（x）（x+1） ex0，故函数 g（x）在（0，+）上单减， 由于 g（0）a0，g（a）aaeaa（1ea）0，则存在 x0（0，a） ，使得 g（x0） 0，即，故， 又 0xx0，g（x）0，f（x）0，故 f（x）在（0，x0）单增；xx0，g（x）0， f（x）0，故 f（x）在（x0，
35、+）单减； 第 20 页（共 22 页） 在 xx0处有最大值， 由 f（x）0 恒成立得，则， 令，则， 函数 h（x）在（0，+）上单增， 由于 h（1）0，令 h（x）0，解得 0x1，故 x0（0，1） ， 由在（0，1）单增，所以 a（0，e） 【点评】本题考查导数的运算及几何意义，考查利用导数研究不等式的恒成立问题及最 值问题，考查逻辑推理能力及转化思想，属于中档题 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清 楚题号楚题号.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与
36、参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 x0y 中，曲线 C1：（ 为参数） ，将曲线 C1上 的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的后得到曲线 C2以坐标原 点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程 （1）求曲线 C2的极坐标方程和直线 l 的直角坐标方程； （2） 设直线 l 与曲线 C1交于不同的两点 A， B， 点 M 为抛物线的焦点， 求|MA| |MB|的值 【分析】 （1）将曲线 C1化为普通方程，然后经过伸缩变换得到曲线 C2的方程，再将 C2 的直角坐标方程转化为极坐标方程，对直线 l 根据其极坐标方程直接转化为直角坐标方 程即可 （
37、2）根据条件得到直线 l 的参数方程，然后由直线参数方程的几何意义求出|MA|MB| 的值 【解答】解： （1）将曲线 C1：（ 为参数） ，消参得 x2+y216， 经过伸缩变换，后得曲线 C2：， 化为极坐标方程为， 第 21 页（共 22 页） 将直线 l 的极坐标方程，化为直接坐标方程为； （2）由题意知 M（，0）在直线 l 上，又直线 l 的倾斜角为， 所以直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， 设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2， 将直线 l 的参数方程代入 x2+y216 中，得， 由韦达定理，得， 所以|MA|MB| 【点评】本题考查了曲线的伸缩变换，极坐标与直角坐标
38、的转化，参数方程和普通方程 的转化和直线参数方程的几何意义，考查了转化思想，属中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设 f（x）|x+2|+|x2|f（x）6 的解集为 M （1）求 M； （2）证明：若 a，bM 时，3|a+b|9+ab| 【分析】 （1）第一问主要考察绝对值不等式的解法：零点分段法； （2）第二问主要考察 比较大小的方法：作差比较法，先比较平方差，再利用可开方性得出结论 【解答】解： （1）由题可得：， 不等式 f（x）6 等价于或或， 解得3x3，故不等式 f（x）6 的解集为 M（3，3） ； （2）由（1）知 M（3，3） ，由于 a，bM， 所以3a3，3b3， 所以 a290，b290， 由于（3|a+b|）2|9+ab|29a2+9b281a2b29（a29）b2（a29）（a29） （b29）0， 第 22 页（共 22 页） 即（3|a+b|）2|9+ab|2， 所以 3|a+b|9+ab| 【点评】第一问用零点分段法需要注意每种情况与各种情况间范围的关系，第二问也可 用分析法进行处理
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