2019-2020学年云南省名校高三（上）8月月考数学试卷（理科）含详细解答

1、已知集合 AxN|x26x+80，集合 Bx|2x8，则 AB（ ） A3，4 B2，3，4 C2，3 D4 2 （5 分）设复数 z 满足（1+i）z2，则复平面内表示 z 的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）已知正项等比数列an中，a2a3a4，若 S331，则 an（ ） A25n B25n 1 C5n D5n 1 4 （5 分）设 a0.60.6，blog0.61.5，c1.50.6，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bacb Cbac Dbca 5 （5 分）若平面单位向量 ， ， 不共线且两两所成角相等，则| + + |（ ）

2、A B3 C0 D1 6 （5 分）棱长为 4 的正方体的所有棱与球 O 相切，则球的半径为（ ） A2 B4 C2 D4 7 （5 分）函数 f（x）x2cosx 在的图象大致是（ ） A B C D 8 （5 分）为计算 S1+，设计了如图的程序框图，则在空白框中 应填入（ ） 第 2 页（共 19 页） Aii+1 Bii+2 Cii+3 Dii+4 9（5 分） 右面茎叶图表示的是甲、 乙两人在 5 次综合测评中的成绩， 其中一个数字被污损 则 甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ） A B C D 10 （5 分）古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前 262公元前 190 年）的著

3、作圆锥曲线 论是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为 常数 k（k0，k1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆在平面直角坐 标系中， 设 A （3， 0） ， B （3， 0） ， 动点 M 满足2， 则动点 M 的轨迹方程为 （ ） A （x5）2+y216 Bx2+（y5）29 C （x+5）2+y216 Dx2+（y+5）29 11 （5 分）没函数 f（x）的最大值为 M，最小值为 m，则（M+m 1）2019的值是（ ） A1 B2 C22019 D32019 12 （5 分）棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，G 分

4、别是 AB，AD，B1C1的中 第 3 页（共 19 页） 点，那么正方体内过 E，F，G 的截面面积为（ ） A3 B3 C2 D2 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）曲线 yx2+lnx 在点（1，1）处的切线方程为 14 （5 分）在公差为 3 的等差数列an中，a1，a3，a11成等比数列，则数列an的前 n 项 和 Sn 15 （5 分）甲队和乙队进行乒乓球决赛，采取七局四胜制（当一队贏得四局胜利时，该队 获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队每局取胜的概率为 0.8且各局比赛结果相互 独立，则甲队以 4

5、：1 获胜的概率是 16 （5 分）已知双曲线 的右焦点为 F，双曲线 C 与过原点 的直线相交于 A、B 两点，连接 AF，BF若|AF|6，|BF|8，则该双 曲线的离心率为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、计明过稈或演算步骤分解答应写出文字说明、计明过稈或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选专题，考生根据要求作答题为选专题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 3acos2B+

6、3bcosBcosAc0 （1）求 cosB； （2）若 AB2，3sinA2sinB，求ABC 的面积 18 （12 分）如图，在ABC 中，B90，ABBC2，P 为 AB 边上一动点，PDBC 交 AC 于点 D，现将PDA 沿 PD 翻折至PDA1，E 是 A1C 的中点 （1）若 P 为 AB 的中点证明：DE平面 PBA1 （2）若平面 PDA1平面 PDA，且 DE平面 CBA1，求二面角 PA1DC 的正弦值 19 （12 分）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从 6 道备选题中一次性随机 第 4 页（共 19 页） 抽取 3 道题，按照题目要求独立完成规定：至少正确

7、完成其中 2 道题的便可通过已 知 6 道备选题中应聘者甲有 4 道题能正确完成， 2 道题不能完成； 应聘者乙每题正确完成 的概率都是，且每题正确完成与否互不影响 （）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望； （）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？ 20 （12 分）已知点 M（x，y）满足2 （1）求点 M 的轨迹 E 的方程； （2）设过点 N（1，0）的直线 l 与曲线 E 交于 A，B 两点，若OAB 的面积为（O 为坐标原点） 求直线 l 的方程 21 （12 分）已知函数 f（x）axcosx，a0 （1）若函数 f（x）为单调函数，求 a 的取值范

8、围； （2）若 x0，2，求：当 a时，函数 f（x）仅有一个零点 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，以坐 标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系直线 l 的极坐标方程为 cos+sin3 （1）求直线 l 的直角坐标方程； （2）求曲线 C 上的点到直线 l 距离的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：

9、不等式选讲 23已知 a，b，c，d 为正数，且满足 abcd1，证明： （1） （a+b） （b+c） （c+d） （d+a）16； （2）+a2+b2+c2+d2 第 5 页（共 19 页） 2019-2020 学年云南省名校高三（上）学年云南省名校高三（上）8 月月考数学试卷（理科）月月考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 AxN|x26x+8

10、0，集合 Bx|2x8，则 AB（ ） A3，4 B2，3，4 C2，3 D4 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：AxN|2x42，3，4，Bx|x3， AB3，4 故选：A 【点评】考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，以 及交集的运算 2 （5 分）设复数 z 满足（1+i）z2，则复平面内表示 z 的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用复数的运算法则即可得出 【解答】解：（1+i）z2， ， 则复平面内表示 z 的点位于第四象限 故选：D 【点评】本题考查了复数的运算法则及其几何意义，考查了

11、推理能力与计算能力，属于 基础题 3 （5 分）已知正项等比数列an中，a2a3a4，若 S331，则 an（ ） A25n B25n 1 C5n D5n 1 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出 【解答】解：由 a2a3a4得，即0，解得 a11 又S3a1+a2+a331，即 1+q+q231，解得 q5， 第 6 页（共 19 页） 故选：D 【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属 于中档题 4 （5 分）设 a0.60.6，blog0.61.5，c1.50.6，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bacb Cbac Dbca 【分析】容

12、易得出 00.60.61，log0.61.50，1.50.61，从而得出 a，b，c 的大小关系 【解答】解：00.60.60.601，log0.61.5log0.610，1.50.61.501， bac 故选：C 【点评】考查指数函数、对数函数的单调性，增函数和减函数的定义 5 （5 分）若平面单位向量 ， ， 不共线且两两所成角相等，则| + + |（ ） A B3 C0 D1 【分析】根据三个向量不共线且两两所成的角相等可知，它们两两夹角为 120；再根据 平面向量模的计算公式即可得出答案 【解答】解：平面单位向量 ， ， 不共线且两两所成角相等； ， ， 两两夹角为 120，且； 0

13、故选：C 【点评】本题考查了平面向量模的运算，属基础题 6 （5 分）棱长为 4 的正方体的所有棱与球 O 相切，则球的半径为（ ） A2 B4 C2 D4 【分析】判断正方体与球的关系，然后求解球的半径 【解答】解：球和正方体的所有棱相切，则该球的直径为正方体的面对角线的长， 即，所以， 故选：C 第 7 页（共 19 页） 【点评】本题考查长方体的外接球的半径的求法，考查计算能力 7 （5 分）函数 f（x）x2cosx 在的图象大致是（ ） A B C D 【分析】利用函数的奇偶性，排除选项，利用函数的极值判断即可 【解答】解：函数 f（x）x2cosx 在，满足 f（x）f（x） ，所

14、以函数 是偶函数，排除选项 A，C； 当 x（0，）时，f（x）2xcosxx2sinx，令 2xcosxx2sinx0，可得 xtanx2， 方程的解 x，即函数的极大值点 x，排除 D， 故选：B 【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的极值的判断，函数的图象的判断，考查计算 能力 8 （5 分）为计算 S1+，设计了如图的程序框图，则在空白框中 应填入（ ） 第 8 页（共 19 页） Aii+1 Bii+2 Cii+3 Dii+4 【分析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的 SNT， 由此知空白处应填入的条件 【解答】解：模拟程序框图的运行过程知， 该程序运行后输出的是 SNT（

15、1）+（）+（） ； 累加步长是 2，则在空白处应填入 ii+2 故选：B 【点评】本题考查了循环程序的应用问题，是基础题 9（5 分） 右面茎叶图表示的是甲、 乙两人在 5 次综合测评中的成绩， 其中一个数字被污损 则 甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ） A B C D 【分析】由已知的茎叶图，我们可以求出甲乙两人的平均成绩，然后求出即甲的 平均成绩不超过乙的平均成绩的概率，进而根据对立事件减法公式得到答案 【解答】解：由已知中的茎叶图可得 第 9 页（共 19 页） 甲的 5 次综合测评中的成绩分别为 88，89，90，91，92， 则甲的平均成绩90 设污损数字为 X， 则乙的

16、5 次综合测评中的成绩分别为 83，83，87，99，90+X 则乙的平均成绩88.4+ 当 X8 或 9 时， 即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为 则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率 P1 故选：C 【点评】本题考查的知识点是平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式，其中根据已知 茎叶图求出数据的平均数是解答本题的关键 10 （5 分）古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前 262公元前 190 年）的著作圆锥曲线 论是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为 常数 k（k0，k1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆在平面直角坐 标系中， 设 A （3

17、， 0） ， B （3， 0） ， 动点 M 满足2， 则动点 M 的轨迹方程为 （ ） A （x5）2+y216 Bx2+（y5）29 C （x+5）2+y216 Dx2+（y+5）29 【分析】设出动点坐标，利用已知条件列出方程，化简求解即可 【解答】解：设 M（x，y） ，由， 得，可得： （x+3）2+y24（x3）2+4y2， 即 x210x+y2+90 故动点 M 的轨迹方程为（x5）2+y216 故选：A 【点评】本题考查轨迹方程的求法，是基本知识的考查 11 （5 分）没函数 f（x）的最大值为 M，最小值为 m，则（M+m 第 10 页（共 19 页） 1）2019的值是（

18、） A1 B2 C22019 D32019 【分析】化简函数的解析式，判断函数的奇偶性，求解最值的和，得到 M+m，然后求解 即可 【解答】解：， 设，则 g（x）为奇函数， 故 g（x）max+g（x）min0， 则 M+m2，所以（M+m1）20191 故选：A 【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的最值的求法，考查计算能力 12 （5 分）棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，G 分别是 AB，AD，B1C1的中 点，那么正方体内过 E，F，G 的截面面积为（ ） A3 B3 C2 D2 【分析】当切面 EFG 面的切正方体时，与各面都有交线，而相对的两面交线平行，

19、且切 点共面，故截面为正六边形，再根据已知条件求得面积 【解答】解：如图所示：取棱 AD，AB，BB1的中点 E，F，G，则该截面是一个边长为 的正六边形， 其面积为 故选：B 【点评】本题考查了空间中的平行关系与平面公理的应用问题，是基础题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 第 11 页（共 19 页） 13 （5 分）曲线 yx2+lnx 在点（1，1）处的切线方程为 3xy20 【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，再由点斜式方程，即可得到所求切线的方 程 【解答】解：yx2+lnx 的导数为 y2x+， 则在点（1，1）

20、处的切线斜率为 k3， 即有在点（1，1）处的切线方程为 y13（x1） ， 即为 3xy20 故答案为：3xy20 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，掌握导数的几何意义和运用点斜式方程是 解题的关键 14 （5 分）在公差为 3 的等差数列an中，a1，a3，a11成等比数列，则数列an的前 n 项 和 Sn 【分析】利用已知条件，求出数列的首项，然后求解数列的和即可 【解答】解：由题意得，即，解得 a12， 所以 an3n1，所以 故答案为： 【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，是基本知识的考查 15 （5 分）甲队和乙队进行乒乓球决赛，采取七局四胜制（当一队贏得四局胜利时，

21、该队 获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队每局取胜的概率为 0.8且各局比赛结果相互 独立，则甲队以 4：1 获胜的概率是 【分析】依题意，比赛情况为甲队在前 4 局中获胜 3 局，第 5 局必胜，又甲队每局的胜 率为 0.8，根据计数原理代入计算即可 【解答】解：甲队以 4：1 获胜时共进行了 5 局比赛，其中甲队在前 4 局中获胜 3 局，第 5 局必胜，则概率 故答案为： 【点评】本题考查了相互独立事件的概率乘法，计数原理等，属于基础题 第 12 页（共 19 页） 16 （5 分）已知双曲线 的右焦点为 F，双曲线 C 与过原点 的直线相交于 A、B 两点，连接 AF，BF若|AF|

22、6，|BF|8，则该双 曲线的离心率为 5 【分析】在AFB 中，由余弦定理可得|BF|2|AB|2+|AF|22|AB|AF|cosBAF，即可得 到|AB|， 由勾股定理的逆定理， 可得ABF90， 设 F为双曲线的右焦点， 连接 BF， AF根据对称性可得四边形 AFBF是矩形即可得到 a，c，进而求得离心率 【解答】解：在AFB 中，由余弦定理可得 |BF|2|AB|2+|AF|22|AB|AF|cosBAF， 即有 64|AB|2+3612|AB| 化为|AB|2|AB|280， 解得|AB|10 由勾股定理的逆定理，可得ABF90， 设 F为双曲线的右焦点，连接 BF，AF 根据对

23、称性可得四边形 AFBF是矩形 结合矩形性质可知，2c10，利用双曲线定义，2a862， 所以离心率 e5 故答案为：5 【点评】熟练掌握余弦定理、双曲线的定义、对称性、离心率、矩形的性质等基础知识 是解题的关键，考查运算能力，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、计明过稈或演算步骤分解答应写出文字说明、计明过稈或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 第 13 页（共 19 页） 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选专题，考生根据要求作答题为选专题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 1

24、7 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 3acos2B+3bcosBcosAc0 （1）求 cosB； （2）若 AB2，3sinA2sinB，求ABC 的面积 【分析】 （1）3acos2B+3bcosBcosAc3cosB（acosB+bcosA）c0，由正弦定理，结 合两角和与差的三角函数化简求解即可 （2）推出 3a2b根据余弦定理 b2a2+c22accosB，求出 a，b 然后求解三角形的面 积 【解答】解： （1）3acos2B+3bcosBcosAc3cosB（acosB+bcosA）c0， 由正弦定理，有 3cosB（sinAcosB+cos

25、AsinB）sinC0， 即 3cosBsinCsinC0，所以 （2）因为，所以 又 3sinA2sinB，所以 3a2b根据余弦定理 b2a2+c22accosB， 得，b2， 所以ABC 的面积为 【点评】本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理，两角和与差的三角函数的应 用，是中档题 18 （12 分）如图，在ABC 中，B90，ABBC2，P 为 AB 边上一动点，PDBC 交 AC 于点 D，现将PDA 沿 PD 翻折至PDA1，E 是 A1C 的中点 （1）若 P 为 AB 的中点证明：DE平面 PBA1 （2）若平面 PDA1平面 PDA，且 DE平面 CBA1，求二面角 P

26、A1DC 的正弦值 【分析】 （1）取 A1B 的中点 F，连接 EF，PF说明 EF 是A1BC 的中位线，推出四边 第 14 页（共 19 页） 形 PDEF 是平行四边形，得到 DEPF然后证明 DE平面 PBA1 （2）以点 P 为原点建立坐标系，求出平面 A1DC 的法向量，平面 A1PD 的法向量，设二 面角 PA1DC 的大小为 ，利用空间向量的数量积求解即可 【解答】 （1）证明：取 A1B 的中点 F，连接 EF，PF 因为P为AB的中点且PDBC， 所以PD是ABC的中位线 所以PDBC， 且PD 又因为 E 是 A1C 的中点，且 A1B 的中点为 F，所以 EF 是A1

27、BC 的中位线， 所以 EFBC，且 EF，所以 PDEF， 所以四边形 PDEF 是平行四边形，所以 DEPF 因为 PF平面 PBA1，DE平面 PBA1，所以 DE平面 PBA1 （2）解：因为 DE平面 CBA1，所以 DEA1C又因为 E 是 A1C 的中点， 所以 A1DDCDA，即 D 是 AC 的中点由 PDBC 可得，P 是 AB 的中点 在ABC 中，B90，PDBC，PDA 沿 PD 翻折至PDA1，且平面 PDA1平面 PDA， 利用面面垂直的性质可得 PA1平面 PBCD，以点 P 为原点建立坐标系如图所示， 则 A1（0，0，1） ，D（0，1，0） ，C（1，2，

28、0） ， 设平面 A1DC 的法向量为 （x，y，z） ， 有， 容易得到平面 A1PD 的法向量 （1，0，0） ， 设二面角 PA1DC 的大小为 ，有，所以 第 15 页（共 19 页） 【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空 间想象能力以及计算能力 19 （12 分）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从 6 道备选题中一次性随机 抽取 3 道题，按照题目要求独立完成规定：至少正确完成其中 2 道题的便可通过已 知 6 道备选题中应聘者甲有 4 道题能正确完成， 2 道题不能完成； 应聘者乙每题正确完成 的概率都是，且每题正确完成与否互不影

29、响 （）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望； （）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？ 【分析】 （）确定甲、乙两人正确完成面试题数的取值，求出相应的概率，即可得到分 布列，并计算其数学期望； （）确定 DD，即可比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大 【解答】解： （）设甲正确完成面试的题数为 ，则 的取值分别为 1，2，3（1 分） P （ 1 ） ； P （ 2 ） ； P （ 3 ） ； （3 分） 考生甲正确完成题数 的分布列为 1 2 3 P E1+2+32（4 分） 设乙正确完成面试的题数为 ，则 取值分别为 0，1，2，3（5 分） P（0）；P（

30、1），P（2） ，P（3）（7 分） 考生乙正确完成题数 的分布列为： 0 1 2 3 P E0+1+2+32（8 分） 第 16 页（共 19 页） （）因为 D，（10 分） Dnpq（12 分） 所以 DD 综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较 稳定；从至少完成 2 道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大（13 分） 【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查概率的计算，确定概率是关键 20 （12 分）已知点 M（x，y）满足2 （1）求点 M 的轨迹 E 的方程； （2）设过点 N（1，0）的直线 l 与曲线 E 交于 A，B 两点，若

31、OAB 的面积为（O 为坐标原点） 求直线 l 的方程 【分析】 （1）判断点 M 的轨迹 E，利用转化法求解 a，b 即可得到椭圆方程 （2）通过直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合三角形的面积求解直线的斜率， 推出直线方程 【解答】解： （1）由已知，动点 M 到点 P（1，0） ，Q（1，0）的距离之和为， 且，所以动点 M 的轨迹为椭圆，而，c1，所以 b1， 所以动点 M 的轨迹 E 的方程为 （2）当直线 l 与 x 轴垂直时，此时， 则，不满足条件 当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 yk（x+1） ， 由得（1+2k2）x2+4k2x+2k220， 所以，

32、 而， 由已知得， 第 17 页（共 19 页） ， 所以，则 k4+k220，所以 k1， 所以直线 l 的方程为 xy+10 或 x+y+10 【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题 解决问题的能力 21 （12 分）已知函数 f（x）axcosx，a0 （1）若函数 f（x）为单调函数，求 a 的取值范围； （2）若 x0，2，求：当 a时，函数 f（x）仅有一个零点 【分析】 （1）对 f（x）求导，根据1sinx1，分 a1 和 a1 两种情况判断 f（x） 的符号来确定 f（x）的单调性，进而得到 a 的范围； （2）当 a1 时，由（1）知函

33、数 f（x）在有且仅有一个零点；当 0a1 时， 由 f（x）的符号判断 f（x）的单调性，求出 f（x）的极大值和极小值，根据函数 f（x） 仅有一个零点，可得极大值大于 0，从而得到当 1时，函数 f（x）仅有一个零 点 【解答】解： （1）由 f（x）axcosx，得 f（x）a+sinx，xR 1sinx1，当 a1 时，f（x）a+sinx0，f（x）为 R 上的单调增函数； 当 a1 时，f（x）a+sinx0，f（x）为 R 上的单调减函数 综上，若函数 f（x）为单调函数，则 a 的取值范围为（，11，+） ； （2）当 a1 时，由（1）可知 f（x）为 R 上的单调增函数

34、又 f（0）1， 函数 f（x）在有且仅有一个零点，满足题意 当 0a1 时，令 f（x）a+sinx0，则 sinxa 由于 0x2，1sinx1， 从而必有 x1，x20，2，使 sinx1a，且 sinx2a 第 18 页（共 19 页） 不妨设 x1x2，且有， 当 x（0，x1）时，f（x）a+sinx0，f（x）为增函数； 当 x（x1，x2）时，f（x）a+sinx0，f（x）为减函数； 当 x（x2，2）时，f（x）a+sinx0，f（x）为增函数 从而函数 f（x）的极大值为 f（x1）ax1cosx1，极小值为 f（x2）ax2cosx2 ，cosx10，极大值 f（x1）

35、ax1cosx10 又 f（0）1，要使函数 f（x）仅有一个零点， 则极小值 f（x2）ax2cosx20， f（x2）ax2cosx2， 即，又， 当时，函数 f（x）仅有一个零点 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和零点存在定理的应用，考查了分类讨 论思想和数形结合思想，属难题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参

36、数） ，以坐 标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系直线 l 的极坐标方程为 cos+sin3 （1）求直线 l 的直角坐标方程； （2）求曲线 C 上的点到直线 l 距离的最大值 【分析】 （1）直接利用转换关系式的应用求出结果 （2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果 【解答】解： （1）直线 l 的极坐标方程为 cos+sin3转换为直线 l 的直角坐标 方程为 （2）设曲线 C 上点的坐标为，则曲线 C 上的点到直线 l 的距离 ，当时，d 取 第 19 页（共 19 页） 得最大值，所以 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角

37、坐标方程之间的转换，三角 函数关系式的恒等变换，点到直线的距离公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换 能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲不等式选讲 23已知 a，b，c，d 为正数，且满足 abcd1，证明： （1） （a+b） （b+c） （c+d） （d+a）16； （2）+a2+b2+c2+d2 【分析】 （1）利用基本不等式，结合综合法，证明即可 （2）利用“1”的代换，结合重要不等式，推出结果即可 【解答】 证明：（1） 因为 a， b， c， d 为正数， 所以， （当且仅当 abcd 时等号同时成立） ， 所以 又 abcd1，所以（a+b） （b+c） （c+d） （d+a）16 （2）因为 abcd1， 所以 又 2（a2+b2+c2+d2）（a2+b2）+（b2+c2）+（c2+d2）+（d2+a2）2ab+2bc+2cd+2da， 当且仅当 abcd 时取等号， 所以， 即 【点评】本题考查不等式的证明，重要不等式以及基本不等式的应用，综合法的应用， 考查逻辑推理能力