1、已知集合 A2，1，0，1，2，Bx|1x2，则 AB（ ） A1，0 B0，1 C1，0，1 D1，0，1，2 2 （5 分）在复平面内，对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）某商家今年上半年各月的人均销售额（单位：千元）与利润率统计表如下： 月份 1 2 3 4 5 6 人均销售额 6 5 8 3 4 7 利润率（%） 12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.3 根据表中数据，下列说法正确的是（ ） A利润率与人均销售额成正比例函数关系 B利润率与人均销售额成反比例函数关系 C利润率与人均销售额成正相关关系 D利润率与人均销售额成负相
2、关关系 4 （5 分）已知 a（），b（），c，则下列不等式正确的是（ ） Aabc Bbac Ccab Dcba 5 （5 分）在平面直角坐标系中，角 的终边与单位圆交于点 P（， ） ，则 sin（+） （ ） A B C D 6 （5 分）如图，先画一个正方形 ABCD，再将这个正方形各边的中点相连得到第 2 个正方 形，依此类推，得到第 4 个正方形 EFGH在正方形 ABCD 内随机取一点，则此点取自 正方 EFGH 内的概率是（ ） 第 2 页（共 22 页） A B C D 7 （5 分）已知 P（1，）是双曲线 C：1（a0，b0）渐近线上的点，则双 曲线 C 的离心率是（ ）
3、 A2 B C D 8 （5 分）函数的图象的一条对称轴方程是（ ） Ax Bx Cx Dx 9 （5 分）已知 F1，F2是椭圆 C：+1（ab0）的左，右焦点，B 为椭圆 C 短轴 的一个端点，直线 BF1与 C 的另一个交点为 A，若BAF2是等腰三角形，则 （ ） A B C D3 10 （5 分）在数学历史上有很多公式都是数学家欧拉（LeonhardEuler）发现的，它们都叫 做欧拉公式，分散在各个数学分支之中任意一个凸多面体的顶点数 V、棱数 E、面数 F 之间，都满足关系式 VE+F2，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”若一个凸二 十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该
4、多面体的顶点数为（ ） A10 B12 C15 D20 11 （5 分）已知函数 f（x）（x2m）ex，若函数 f（x）的图象在 x1 处切线的斜率为 3e，则 f（x）的极大值是（ ） A4e 2 B4e2 Ce 2 De2 12 （5 分）在棱长均为 2的四面体 ABCD 中，点 E 为 CD 的中点，点 F 为 BE 的中点若 点 M，N 是平面 BCD 内的两动点，且2，MN2，则MAN 的面积为（ ） A4 B3 C2 D2 第 3 页（共 22 页） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知 （1，
5、3） ， （1，t） ，若（ 2 ） ，则实数 t 14 （5 分）设 m0，p：0xm，q：x（x1）0，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 m 的值可以是 （只需填写一个满足条件的 m 即可） 15 （5 分）在ABC 中，已知 AC2，BC，BAC60，则 AB 16 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB4，AD3，点 E、F 分别在 BC、CD 上， 且EAF45， 设BAE， 当四边形 AECF 的面积取得最大值时， 则 tan 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题
6、为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知数列an是等比数列，公比 q1，若 a22，a1+a2+a37 （1）求an的通项公式； （2）设 bnlog2an，求数列bn的前 n 项和 18 （12 分） “中国大能手”是央视推出的一档大型职业技能挑战赛类节目，旨在通过该节 目，在全社会传播和弘扬“芳动光荣、技能宝贵、创造伟大”的时代风尚某公司准备 派出选手代表公司参加“中国大能手”职业技能挑战赛经过层层选拔，最后集中在甲、 乙两位选手在一项关
7、键技能的区分上，选手完成该项挑战的时间越少越好已知这两位 选手在 15 次挑战训练中，完成该项关键技能挑战所用的时间成绩（单位：秒）及挑战失 败（用“”表示）的情况如下表 1： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 甲 96 93 92 90 86 83 80 78 77 75 乙 95 93 92 88 83 82 80 80 74 73 据表 1 中甲、乙两选手完成该项关键技能挑战成功所用时间的数据，应用统计软件得下 表 2： 数字特征 均值（单位：秒） 方差 第 4 页（共 22 页） 甲 85 50.2 乙 84 54 （1）在表 1 中，从选手
8、甲完成挑战用时低于 90 秒的成绩中，任取 2 个，求这 2 个成绩 都低于 80 秒的概率； （2）若该公司只有一个参赛名额，以该关键技能挑战成绩为标准，根据以上信息，判断 哪位选手代表公司参加职业技能挑战赛更合适？请说明你的理由 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，PD平面 ABCD， ADBD6，AB6，E 是棱 PC 上的一点 （1）证明：BC平面 PBD； （2）若 PA平面 BDE，求的值； （3）在（2）的条件下，三棱锥 PBDE 的体积是 18，求 D 点到平面 PAB 的距离 20 （12 分）过点 E（1，0）的直线 l 与抛物线
9、 C：y24x 交于 A，B 两点，F 是 C 的焦 点 （1）若线段 AB 中点的横坐标为 3，求|AF|+|BF|的值； （2）求|AF|BF|的取值范围 21 （12 分）已知函数 f（x）2lnxx+ （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 a0，b0，证明： 二）选考題：共二）选考題：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答并用铅笔在答题卡选考题中任选一题作答并用铅笔在答题卡选考 题区域内把所选的题号涂黑如果多做，则按所做的第一题计分题区域内把所选的题号涂黑如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 44：坐标系与参数：坐标系与参数 方程方程（10 分）分） 第
10、 5 页（共 22 页） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为， （t 为参数） 以 原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 直线 l 的极坐标方程为 （R） （1）求 C1的极坐标方程； （2）若曲线 C2的极坐标方程为 +8cos0，直线 l 与 C1在第一象限的交点为 A，与 C2的交点为 B（异于原点） ，求|AB| 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x+1|x1| （1）求不等式 f（x）1 的解集； （2）若不等式 f（x）x2+x+m 的解集为 R，求实数 m 的取值范围 第 6 页（共 22 页）
11、2018-2019 学年云南省昆明市高三（上）学年云南省昆明市高三（上）1 月月考数学试卷（文月月考数学试卷（文 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 A2，1，0，1，2，Bx|1x2，则 AB（ ） A1，0 B0，1 C1，0，1 D1，0，1，2 【分析】进行交集的运算即可 【解答】解：A2，1，0，1，2，Bx|1x2； AB0，1 故选：B 【点评】
12、考查描述法、列举法表示集合的定义，以及交集的运算 2 （5 分）在复平面内，对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出 【解答】解：在复平面内，复数1i 对应的点（1，1）位于第 四象限 故选：D 【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题 3 （5 分）某商家今年上半年各月的人均销售额（单位：千元）与利润率统计表如下： 月份 1 2 3 4 5 6 人均销售额 6 5 8 3 4 7 利润率（%） 12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.3 根据表中数据，下列说法正确的是
13、（ ） A利润率与人均销售额成正比例函数关系 B利润率与人均销售额成反比例函数关系 第 7 页（共 22 页） C利润率与人均销售额成正相关关系 D利润率与人均销售额成负相关关系 【分析】根据题意画出利润与人均销售额的散点图，由散点图得出利润率与人均销售额 成正相关关系 【解答】解：根据题意，画出利润与人均销售额的散点图，如图所示； 由散点图知，利润率与人均销售额成正相关关系 故选：C 【点评】本题考查了利用散点图判断两变量的线性相关关系应用问题，是基础题 4 （5 分）已知 a（），b（），c，则下列不等式正确的是（ ） Aabc Bbac Ccab Dcba 【分析】容易得出， 从而可得出
14、 a，b，c 的大小关系 【解答】解：， ； cba 故选：D 【点评】考查指数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义 第 8 页（共 22 页） 5 （5 分）在平面直角坐标系中，角 的终边与单位圆交于点 P（， ） ，则 sin（+） （ ） A B C D 【分析】先由三角函数的定义可求 sin，cos，然后结合两角和的正弦公式可求 sin （+） 【解答】解：由三角函数的定义可知，sin，cos， 则 sin（+） 故选：A 【点评】本题主要考查了三角函数的定义及两角和的正弦公式的简单应用，属于基础试 题 6 （5 分）如图，先画一个正方形 ABCD，再将这个正方形各边的中点相连得到第
15、 2 个正方 形，依此类推，得到第 4 个正方形 EFGH在正方形 ABCD 内随机取一点，则此点取自 正方 EFGH 内的概率是（ ） A B C D 【分析】由几何概型的面积型，则 p，分别求正方形面积即可 【解答】解：由几何概型中的面积型可知： p， 设正方形 EFGH 的边长为 a， 则正方形 ABCD 的边长为 2a， 则 P， 故选：C 第 9 页（共 22 页） 【点评】本题考查几何概型的面积型，属简单题 7 （5 分）已知 P（1，）是双曲线 C：1（a0，b0）渐近线上的点，则双 曲线 C 的离心率是（ ） A2 B C D 【分析】求出双曲线的渐近线方程，然后转化求解即可
16、【解答】解：点 P（1，）是双曲线 C：1（a0，b0）渐近线上 y 的点， 可得：，即 ba，c2a23a2，e1， 所以 e2 故选：A 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力 8 （5 分）函数的图象的一条对称轴方程是（ ） Ax Bx Cx Dx 【分析】由于正弦函数的对称轴经过图象的顶点，即对称轴对应的 x 值使正弦函数取得 最值，故有 2xk+，kz，解方程求得 x 的值 【解答】解：由于正弦函数的对称轴经过图象的顶点，即对称轴对应的 x 值使正弦函数 取得最值， 故有 2xk+，kz，即 x+，kz， 故选：C 【点评】本题考查正弦函数的对称性，得到 2xk+，kz
17、，是解题的关键 第 10 页（共 22 页） 9 （5 分）已知 F1，F2是椭圆 C：+1（ab0）的左，右焦点，B 为椭圆 C 短轴 的一个端点，直线 BF1与 C 的另一个交点为 A，若BAF2是等腰三角形，则 （ ） A B C D3 【分析】设|AF1|t（t0） ，由已知条件得出|AB|AF2|，结合椭圆的定义得出，可 求出|AF1|和|AF2|，于是可求出答案 【解答】解：设|AF1|t（t0） ，由椭圆的定义可得|AF2|2at， 由题意可知，|AF2|BF2|a，由于BAF2是等腰三角形，则|AB|AF2|，即 a+t2at， 所以， 所以，因此， 故选：A 【点评】本题考查
18、直线与椭圆的综合问题，解决本题的关键在于灵活利用椭圆的定义， 属于中等题 10 （5 分）在数学历史上有很多公式都是数学家欧拉（LeonhardEuler）发现的，它们都叫 做欧拉公式，分散在各个数学分支之中任意一个凸多面体的顶点数 V、棱数 E、面数 F 之间，都满足关系式 VE+F2，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”若一个凸二 十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为（ ） A10 B12 C15 D20 【分析】欧拉定理中，根据已知条件求相应棱数，和顶点数是问题关键 【解答】每个面是三角形，每 1 个面对应 3 条棱，又每 1 条棱被 2 个三角形面共用， 即 1
19、 面对应 3/21.5 棱所以共有 1.52030 条棱 由欧拉定理可知，V+FE2，即 V+20302，得 V12 故选：B 【点评】根据欧拉定理解决问题 11 （5 分）已知函数 f（x）（x2m）ex，若函数 f（x）的图象在 x1 处切线的斜率为 3e，则 f（x）的极大值是（ ） 第 11 页（共 22 页） A4e 2 B4e2 Ce 2 De2 【分析】先对函数进行求导，由题意可得 f（2）0，f（1）3，代入可求出 a、 b 的值，进而可以求出函数的单调区间，函数的极大值为 f（0）0，极小值为 f（2） 4，即可得出函数的极大值与极小值的差 【解答】解：函数 f（x）（x2m
20、）ex，求导可得 f（x）（x2+2xm）ex， 所以 f（1）（3+m）e3e，解得 m0， f（x）（x2+2x）ex， 令（x2+2x）ex0，解得 x0，x2， x2，x0 时 f（x）0，函数是增函数，x（2，0） ，函数是减函数 所以函数的极大值为 f（2）4e 2， 故选：A 【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，以及利用导数解 决函数在闭区间上的最值问题和函数恒成立问题 12 （5 分）在棱长均为 2的四面体 ABCD 中，点 E 为 CD 的中点，点 F 为 BE 的中点若 点 M，N 是平面 BCD 内的两动点，且2，MN2，则MAN 的面积为（ ）
21、 A4 B3 C2 D2 【分析】首先根据 M，N 的条件，在平面 BCD 内建坐标系，得到 M，N 的轨迹为圆，并 且圆心为底面中心，MN 恰为直径，问题得解 【解答】解： 如图，以正BCD 的中心 O 为原点建立平面直角坐标系， 边长为， BE3， 第 12 页（共 22 页） B（2，0） ，F（） ， 设 M（x，y） ， 由， 可得， 整理得 x2+y21， 即点 M 的轨迹是以原点 O 为圆心的圆， 同样点 N 也在圆 O 上， 又 MN2， 故 MN 为圆 O 的直径， 又 AO底面 BCD， AOMN，且 AO， SAMN ， 故选：C 【点评】此题考查了点的轨迹，四面体的高等
22、，把立体几何与解析几何巧妙结合，难度 较大 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知 （1，3） ， （1，t） ，若（ 2 ） ，则实数 t 2 【分析】根据两向量垂直的坐标表示，列出方程，解方程求出 t 的值 【解答】解：由已知，得 2 （3，32t） ； 因为（ 2 ） ， 所以（ 2 ） 3+3（32t）0， 解得 t2 故答案为：2 【点评】本题考查了两向量垂直的坐标表示与运算问题，是基础题目 14 （5 分）设 m0，p：0xm，q：x（x1）0，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 m 第 13 页
23、（共 22 页） 的值可以是 （只需填写一个满足条件的 m 即可） 【分析】q：x（x1）0，解得 x 范围根据 p 是 q 的充分不必要条件，即可得出 【解答】解：q：x（x1）0，解得 0x1 m0，p：0xm，q：x（x1）0，p 是 q 的充分不必要条件， m1，因此 m 的值可以是 故答案为： 【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑判定方法，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 15 （5 分）在ABC 中，已知 AC2，BC，BAC60，则 AB 3 【分析】由已知利用余弦定理即可计算求解 【解答】解：AC2，BC，BAC60， 由余弦定理：BC2AB2+AC22ABACcos
24、BAC， 可得：7AB2+42，可得：AB22AB30， 解得：AB3，或1（舍去） 故答案为：3 【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题 16 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB4，AD3，点 E、F 分别在 BC、CD 上， 且EAF45，设BAE，当四边形 AECF 的面积取得最大值时，则 tan 1 【分析】运用直角三角形的正切函数的定义和三角形的面积公式，以及基本不等式的运 用，注意等号成立的条件，可得所求值 【解答】解：在直角三角形 ABE 中，可得 BE4tan， （0arctan） ， 在直角三角形 ADF 中，DF3tan（45） ， 可得
25、四边形 AECF 的面积 S1244tan33tan（45） 第 14 页（共 22 页） 128tan208（1+tan）+ （1） 8（1+tan） 212， 当且仅当 8（1+tan），即 tan1，满足 0arctan， 四边形 AECF 的面积取得最大值 故答案为：1 【点评】本题考查四边形的面积的最值，注意运用间接法和三角形的面积、以及正切函 数的定义，考查基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每
26、个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知数列an是等比数列，公比 q1，若 a22，a1+a2+a37 （1）求an的通项公式； （2）设 bnlog2an，求数列bn的前 n 项和 【分析】 （1）首先利用已知条件建立方程组，求出数列的首项和公比，进一步求出数列 的通项公式 （2）利用（1）的结论，进一步利用等差数列的前 n 项和公式求出结果 【解答】1 解：设首项为数列an是等比数列， 由于 a22，a1+a2+a37 所以：， 整理得：2q25q+20， 解得：， 由于公比 q
27、1， 第 15 页（共 22 页） 所以：q， 所以： （2）由于：， 故：bnlog2an3n 所以：数列bn是以 b1312 为首项，1 为公差的等差数列 所以： 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等差数列的前 n 项和公 式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 18 （12 分） “中国大能手”是央视推出的一档大型职业技能挑战赛类节目，旨在通过该节 目，在全社会传播和弘扬“芳动光荣、技能宝贵、创造伟大”的时代风尚某公司准备 派出选手代表公司参加“中国大能手”职业技能挑战赛经过层层选拔，最后集中在甲、 乙两位选手在一项关键技能的区分上，选手完成该项挑
28、战的时间越少越好已知这两位 选手在 15 次挑战训练中，完成该项关键技能挑战所用的时间成绩（单位：秒）及挑战失 败（用“”表示）的情况如下表 1： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 甲 96 93 92 90 86 83 80 78 77 75 乙 95 93 92 88 83 82 80 80 74 73 据表 1 中甲、乙两选手完成该项关键技能挑战成功所用时间的数据，应用统计软件得下 表 2： 数字特征 均值（单位：秒） 方差 甲 85 50.2 乙 84 54 （1）在表 1 中，从选手甲完成挑战用时低于 90 秒的成绩中，任取 2 个，求这
29、2 个成绩 都低于 80 秒的概率； （2）若该公司只有一个参赛名额，以该关键技能挑战成绩为标准，根据以上信息，判断 哪位选手代表公司参加职业技能挑战赛更合适？请说明你的理由 【分析】 （1）用列举法求出基本事件数，求出所求的概率值； 第 16 页（共 22 页） （2）根据甲、乙选手的均值和方差，选出均值高且方差小的选手参赛更合适 【解答】解： （1）选手甲完成挑战用时低于 90 秒的成绩有 6 个， 其中低于 80 秒的有 3 个记为 a、b、c，不低于 80 秒的有 3 个，记为 A、B、C， 从这 6 个中任取 2 个，基本事件是 AB、AC、Aa、Ab、Ac、 BC、Ba、Bb、Bc
30、、Ca、Cb、Cc、ab、ac、bc 共 15 个， 这 2 个成绩都低于 80 秒的基本事件是 ab、ac、bc 共 3 个， 故所求的概率为 P； （2）根据题意知，甲选手的均值是 85，方差是 50.2，乙选手的均值是 84，方差是 54， 甲选手水平相对高些，发挥更稳定些， 所以甲选手代表公司参加职业技能挑战赛更合适 【点评】本题考查了列举法求古典概型的概率问题，也考查了样本的数字特征应用问题， 是基础题 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，PD平面 ABCD， ADBD6，AB6，E 是棱 PC 上的一点 （1）证明：BC平面 PBD； （
31、2）若 PA平面 BDE，求的值； （3）在（2）的条件下，三棱锥 PBDE 的体积是 18，求 D 点到平面 PAB 的距离 【分析】 （1）推导出 BCPD，BDBC，由此能证明 BC平面 PBD （2）连结 AC，交 BD 于 O，连结 OE，由 PA平面 BDE，得 OEPA，由此能求出 （3）B 到平面 PCD 的距离 d3，设 PDa，则 ，由三棱锥 PBDE 的体积是 18，求出 PDa6，设点 D 到平 第 17 页（共 22 页） 面 PAB 的距离为 h，由 VPABDVDPAB，能求出 D 点到平面 PAB 的距离 【解答】 证明：（1） 在四棱锥 PABCD 中， 底面
32、 ABCD 是平行四边形， PD平面 ABCD， BCPD， ADBD6，AB6，BCAD， BD2+BC2CD2，BDBC， PDBDD，BC平面 PBD 解： （2）连结 AC，交 BD 于 O，连结 OE， 则 O 是 AC 的中点， PA平面 BDE，OEPA，E 是 PC 的中点， （3）B 到平面 PCD 的距离 d3， 设 PDa，则， 三棱锥 PBDE 的体积是 18， VPBDEVBPDE18， 解得 PDa6， 设点 D 到平面 PAB 的距离为 h， PD平面 ABCD，ADBD6，AB6， PAPB6， 18， 18， VPABDVDPAB， h2 D 点到平面 PAB
33、 的距离为 2 第 18 页（共 22 页） 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查两线段比值的求法，考查点到平面的距离的求 法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查 数形结合思想，是中档题 20 （12 分）过点 E（1，0）的直线 l 与抛物线 C：y24x 交于 A，B 两点，F 是 C 的焦 点 （1）若线段 AB 中点的横坐标为 3，求|AF|+|BF|的值； （2）求|AF|BF|的取值范围 【分析】 （1）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1+x26，根据抛物线的定义可得|AF|+|BF| x1+x2+28， （2）由抛物线的定义
34、可知|AF|BF|（x1+1） （x2+1）m2y1y2，再根据韦达定理和判别 式即可求出 【解答】解： （1）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1+x26， 由抛物线的定义可知|AF|x1+1，|BF|x2+1， |AF|+|BF|x1+x2+28， （2）设直线 l 的方程为 xmy1， 由，消 y 可得可得 y24my+40 即 y1+y24m，y1y28， 则16m2160，可得 m21， 由抛物线的定义可知|AF|x1+1，|BF|x2+1， 则|AF|BF|（x1+1） （x2+1）m2y1y24m24， 故|AF|BF|的取值范围为（4，+） 【点评】本题考查了直
35、线和抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，考查了运算能力和 第 19 页（共 22 页） 转化能力，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）2lnxx+ （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 a0，b0，证明： 【分析】 （1）求出函数 f（x）的定义域，并对函数 f（x）求导，确定 f（x）的正负， 即可确定函数 f（x）在定义域上的单调性； （2）设 ab0，分为两个不等式和 证明不等式时，转化为，换元，转化为 ，通过函数 f（x）在区间（1，+）上的单调性来证明； 证明不等式，转化为，换元，构造函数 ，通过函数 g（x）在区间（1，+）的单调性来证明 【 解 答 】 解 ：（
36、1 ） 函 数f （ x ） 的 定 义 域 为 （ 0 ， + ）， ， 所以，函数 f（x）在定义域（0，+）上单调递减； （2）假设 ab0 先 证 明 不 等 式， 即 证， 即 证 ， 令，则原不等式即为，其中 t1， 由 （1） 知， 函数 f （x） 在 （0， +） 上单调递减， 当 t1 时， f （t） f （1） 0， 即， 即， 所以，当 ab0 时， 下面证明 第 20 页（共 22 页） 即证，即， 令，即证，其中 x1， 构造函数，其中 x1， ，所以，函数 g（x）在区间（1，+）上单调递 增，所以，g（x）g（1）0， 所以，当 x1 时， 所以，当 ab0
37、时， 综上所述，当 a0，b0 时， 【点评】本题考查利用导数研究函数的极值和最值，解决本题的关键在于构造合适的函 数，利用单调性来处理问题，属于中等题 二）选考題：共二）选考題：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答并用铅笔在答题卡选考题中任选一题作答并用铅笔在答题卡选考 题区域内把所选的题号涂黑如果多做，则按所做的第一题计分题区域内把所选的题号涂黑如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 44：坐标系与参数：坐标系与参数 方程方程（10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为， （t 为参数） 以 原点为极点， x 轴的非负
38、半轴为极轴建立极坐标系， 直线 l 的极坐标方程为 （R） （1）求 C1的极坐标方程； （2）若曲线 C2的极坐标方程为 +8cos0，直线 l 与 C1在第一象限的交点为 A，与 C2的交点为 B（异于原点） ，求|AB| 【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换 （2）利用极径的应用求出结果 【解答】解： （1）曲线 C1的参数方程为， （t 为参数） 转换为直角坐标方程为：， 转换为极坐标方程为：2+82sin290 （2）由于点 A、B 在直线 l 上， 第 21 页（共 22 页） 可设 A（） ，B（） ， 把 A（）代入 2+82sin2
39、90， 解得：（负值舍去） ， 把 B（）代入曲线 C2的极坐标方程为 +8cos0， 得到：， 所以：|AB 【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径 的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x+1|x1| （1）求不等式 f（x）1 的解集； （2）若不等式 f（x）x2+x+m 的解集为 R，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）通过讨论 x 的范围，得到关于 x 的不等式组，解出即可； （2）问题转化为 mx2x+|2x+1|x1|，令 g（x）x2x+|2x+1|x1|，求出 函数的最大值，从而求出 m 的范围即可 【解答】解： （1）原不等式等价于|2x+1|x1|1， 等价于或或， 解得：x3 或x1 或 x1， 故原不等式的解集是x|x3 或 x； （2）由 f（x）x2+x+m 得 mx2x+|2x+1|x1|， 令 g（x）x2x+|2x+1|x1|， 则由题意得 mg（x）max， 又 g（x）， 第 22 页（共 22 页） 如图示： ， 由图象得 g（x）max1， 故 m1 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，数形结合思 想，是一道常规题
浙公网安备33030202001339号