1、第二十讲 行程问题中的分段与比较 前一讲， 我们学习了变速和变向问题 这一讲我们来共同研究一些较复杂的分段问题 首 先来看一个复杂的相遇问题 例1 甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，20 分钟后在某处相遇如果甲每分 钟多走 15 米，而乙比甲提前 2 分钟出发，则相遇时仍在此处如果甲比乙晚 4 分钟出 发，乙每分钟少走 25 米，也能在此相遇那么 A、B 两地之间相距多少千米？ 分析分析画出三次相遇的线段图，然后分段比较 练习 1、一位职员每天早上以 40 千米/时的速度驾车，恰好能准时到达公司；某一天他晚离 开家 7 分钟，结果需要把速度提高 8 千米/时才能够准时到达公司，那
2、么他家到公司的距离 为多少千米？ 在分段问题中，有的时候需要比较前后的情况在比较中，最重要的就是找到不同和联 系，注意前后的时间和速度的关系也是解决问题的关键 例2 墨莫骑自行车从家到学校去，平常只用 20 分钟但是因为从他家开始 2 千米长的一 段路正在修路，他只好推车步行，步行速度只有骑车速度的 1 3 ，结果这天用了 36 分钟 才到学校从墨莫家到学校有多少千米？ 分析分析画出正常情况下，及修路时墨莫从家到学校的线段图，结合正反比例解题 练习 2、墨莫走路从家到学校去，平常要用 30 分钟但是今天当他走到距离学校 3 千 米处时，搭了路老师的顺风车去学校，结果这天用了 26 分钟就到了学
3、校已知车速是 墨莫步行速度的 3 倍，从墨莫家到学校有多少千米？ 例3 刘老师从家到单位时，前 1 3 的路程骑车，后面的路程乘车；从单位回家时，前 5 8 的路 程乘车，后面的路程骑车结果去单位的时间比回家的时间少 2 分钟已知刘老师骑车 每小时行 8 千米，乘车每小时行 16 千米请问：刘老师家到单位的距离是多少千米？ 分析分析画出线段图，结合分段比较及行程中的正反比例解题 练习 3、 小高从家去学校时， 前一半路程步行， 后一半路程乘车； 回家时， 前 1 3 的路程乘车， 后 2 3 的路程步行结果回家比去学校要多用 10 分钟已知小高步行每小时行 5 千米，乘车 每小时行 30 千米
4、那么小高家距离学校多少千米？ 例4 小明准时从家出发，以 3.6 千米/时的速度从家步行去学校，恰好准时到校某天，当 他走了 1.2 千米，发现手表慢了 5 分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课后 来算了一下，如果小明从家开始就跑步，可以比一直步行早 15 分钟到学校那么他家 离学校多少千米？小明跑步的速度是每小时多少千米？ 分析分析画出线段图，分段比较计算 练习 4、小郭准时从家里出发，以每分钟 100 米的速度从家步行去学校，恰好准时到达某 天，当他走了 4 千米的时候，发现手表慢了 15 分钟，因此立刻跑步前进，到学校的时候恰 好准时后来算了一下，如果从一开始就跑步，可以比一直步行
5、早到 30 分钟那么他家离 学校多远？小郭跑步的速度是多少？ 例5 每天从上游的甲地和下游的乙地会同时各开出一艘游船相对而行，船在静水中的 速度都是每分钟 600 米一天，两船出发后发现水流速度比平时快了 2 米/秒，结果两 船的相遇点和平时的相遇点相差了 1000 米，那么两地的距离是多少米？ 分 析 分 析 两 船 相 向 而 行 ， 一 个 顺 水 ， 一 个 逆 水 它 们 的 速 度 和 是 静水速度水速静水速度水速，水速正好抵消，说明速度和就是两船静水速度 之和，没有发生变化速度和不变，那么两次相遇所用的时间会不会变呢？ 例6 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发相向而行，6 小
6、时后相遇在 C 点如果甲车速 度不变，乙车每小时多行 5 千米，则相遇地点距 C 点 12 千米；如果乙车速度不变，甲 车每小时多行 5 千米，则相遇地点距 C 点 16 千米请问：A、B 两地间的距离是多少 千米？ 分析分析画出线段图，分段比较计算 汽车加速时间 汽车的加速性能，包括汽车的原地起步加速时间和超车加速时间原地起步加速时间， 指汽车从静止状态下，由第一挡起步，并以最大的加速强度(包括选择最恰当的换挡时机)逐 步换至高挡后，到某一预定的距离车速或车速所需的时间目前，常用 0-96KM 所需的时 间(秒数)来评价超车加速时间，用最高挡或次高挡全力加速至某一高速所需要的时间加 速时间越
7、短，汽车的加速性就越好，整车的动力性随即提高 部分车型加速时间（测试时间 2007 年） ： 公司 车型 加速时间 奥迪 奥迪 A8 S85.2 5.415 斯巴鲁 翼豹 06 款 WRX 轿车版 5.521 宝马 宝马 5 系 M5 5.59 奥迪 奥迪 TT3.2 Quattro 5.69 北京奔驰 克莱斯勒 300C 5.7L 豪华版 6.7 凯迪拉克 CTS3.6 高性能版 6.705 凯迪拉克 CTS3.6 高性能运动型 6.8 华晨宝马 宝马 5 系 530Li 豪华型 7.467 宝马 宝马 7 系 750Li 7.6 奥迪 奥迪 A84.2 7.626 作业 1. 甲、乙两人分
8、别从 A、B 两地同时出发，3 小时后在中点相遇；若甲每小时多走 6 千米， 乙提前 2 小时出发，则仍在中点相遇，那么 A、B 两地相距多少千米？ 2. 甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，4 小时后在途中相遇；若甲每小时少走 4 千米， 乙晚 1 小时出发，则仍在同一地点相遇已知 A、B 两地间的距离是 180 千米，那么乙 的速度是每小时多少千米？ 3. 路秀才要赶到京城去参加科举考试按原定速度的话，他需要 10 天才能到达京城但是 当他走到路程的一半时大病了一场，耽搁了 2 天病好之后他换了匹好马，每天能多走 100 里，结果正好在原定日期赶到那么路秀才家离京城多少里？ 4. 小高
9、准时从家出发，以每小时 6 千米的速度从家步行去学校，恰好提前 6 分钟到校某 天，当他走了 2 千米的时候，发现手表慢了 10 分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好提 前 2 分钟上课后来算了一下，如果小高从家开始就跑步，可以比一直步行早 18 分钟到 校那么他家离学校多少千米？小高跑步的速度是每小时多少千米？ 5. 甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，相遇点距离 B 地 10 千米如果甲每小 时多走 4 千米，乙每小时少走 4 千米，相遇点距离 B 地 8 千米那么乙原来每小时走多 少千米？ 第二十讲 行程问题中的分段与比较 例题： 例7 答案：答案：5.7 千米 详解：详解：甲
10、速度变快的时候，乙的时间还是 20 分钟，甲的时间变为了 18 分钟，考虑到甲的路程没有变 化， 可知此时的速度和刚开始时的比为20:18， 可计算出开始时甲的速度为 135 米/分 乙变慢的时候， 甲的时间还是 20 分钟，但乙的时间变为了 24 分钟，同样可知，开始时乙的速度为 150 米/分，则可求 出甲乙两地间的距离为20(135150)5700米，为 5.7 千米 例8 答案答案：5 千米 详解：详解：墨莫这天比平时多走了 16 分钟，主要是浪费在修路的地方在修路的地方，这天与平时的速 度比为 1:3， 时间比为 3:1， 因此平时行这段距离用时 8 分钟， 从墨莫家到学校的距离为2
11、8 205 千 米 例9 答案答案：12.8 千米 详解：详解：去的时候， 2 3 的路程乘车，回家的时候， 5 8 的路程乘车，两者相差全程的 251 3824 ，说明在 这段路程上，乘车比骑车少用 2 分钟，乘车与骑车速度比为 2:1，时间比为 1:2，因此这段路程乘车用 时 2 分钟，全程乘车用时 48 分钟，合 0.8 小时刘老师家到单位的距离为16 0.812.8千米 例10 答案答案：1.8 千米；7.2 千米/时 详解：详解： 如图，小明在 OB 这段路程跑步相当于比步行少用 5 分钟，而如果小明从家开始就跑步，可 A B A B A B 甲 乙 20 分钟 乙 20 分钟 20
12、 分钟 甲 18 分钟 甲 20 分钟 乙 24 分钟 家 学校 平常 36 分钟 2 千米 这天 20 分钟 以比一直步行早 15 分钟到学校，说明 OB 为全程的 1 3 ，全程为 1 1.2(1)1.8 3 千米，小明步行全程 用时1.83.60.5小时，合 30 分钟，则跑步行全程用时30 1515分钟，跑步速度为 7.2 千米/时 例11 答案答案：10000 米 详解：详解：抓住不变量，两次相比可以发现所行路程和，速度和不变，因此所用时间也相同顺流的游船 比平时多行了 1000 米， 每秒钟多行 2 米， 因此所用时间为 500 秒 两地的距离为500101010000 米 例12
13、 答案答案： 420 千米 详解：详解：抓住不变量，第二个过程与第三个过程甲、乙速度和，路程和不变，因此所用时间相同（相同 时间相同线） 比较甲 2 与甲 3，相同时间内甲 3 比甲 2 多行了 28 千米，每小时多行 5 千米，因此行 了2855.6小时比较甲 1 与甲 2，两者速度相同，甲 1 比甲 2 多行了 12 千米，多行了 0.4 小时， 说明甲 1 与甲 2 的速度为 30 千米/时同理，比较乙 1 与乙 2，可求得乙 1 与乙 2 的速度为 40 千米/ 时A、B 间的距离为(3040)6420千米 练习： 1. 答案：答案：28 千米 简答：注意单位换算 2. 答案答案：3.
14、75 千米 简答：解法同例 2 家 学校 平时 准时到达 某天 提前 5 分钟 假设 提前 15 分钟 1.2 千米 A O B A B D C E 甲 1 甲 2 甲 3 乙 1 6 小时 乙 2 乙 3 3. 答案答案：6 千米 简答：解法同例 3 4. 答案：答案：8 千米；160 米/分 简答简答： 解法同例 4 作业 1. 答案：18 简答：比较甲的两个运动过程，路程不变，时间比为 3:1，速度比为 1:3 2. 答案：25 简答：比较甲的两个运动过程，路程不变，时间比为 4:5，速度比为 5:4 3. 答案：1500 简答：后面一半路程原计划用时 5 天，实际用时 3 天，速度比为 3:5可求出原定速度为每天 150 里， 距离为 1500 里 4. 答案：3；15 简答：比较不同情况的时间，计算跑步与步行的速度比 5. 答案：20 简答：由于甲乙速度和不变，前后两次相遇所用时间是相同的第二次与第一次相比，甲的速度增加 了 4 千米/时，路程增加了 2 千米，那么所用时间是半个小时乙第一次走了 10 千米，速度为 20 千米 /时
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