1、2020 年高考数学模拟试卷（文科）（年高考数学模拟试卷（文科）（A 卷）（全国卷）卷）（全国卷） 一、选择题（共 12 小题） 1集合 Ax|1x0，集合 By|y2x+1，xR，则 AB（ ） A（1，+） B1，+） C（0，+） D 2复数 的共轭复数是（ ） A1+2i B12i C2i+1 D2i+1 3如图是 2020 年 2 月 15 日至 3 月 2 日武汉市新冠肺炎新增确诊病例的折线统计图则下 列说法不正确的是（ ） A2020 年 2 月 19 日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数 B武汉市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低 C2020 年 2
2、 月 19 日至 3 月 2 日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于 400 人的有 8 天 D 2020 年 2 月 15 日到 3 月 2 日武汉市新冠肺炎新增确诊病例最多的一天比最少的一天 多 1549 人 4等差数列an的前 n 项和为 Sn，满足 S10S727，则 （ ） A B C3 D3 5角谷猜想，也叫 3n+1 猜想，是由日本数学家角谷静夫发现的，是指对于每一个正整数， 如果它是奇数，则对它乘 3 再加 1；如果它是偶数，则对它除以 2，如此循环最终都能够 得到 1如：取 n6，根据上述过程，得出 6，3，10，5，16，8，4，2，1，共 9 个数若 n5，根据上述过程得出的整
3、数中，随机选取两个不同的数，则这两个数都是偶数的概 率为（ ） A B C D 6已知函数 f（x）是偶函数，f（x+1）为奇函数，并且当 x1，2时，f（x）1|x2|， 则下列选项正确的是（ ） Af（x）在（3，2）上为减函数，且 f（x）0 Bf（x）在（3，2）上为减函数，且 f（x）0 Cf（x）在（3，2）上为增函数，且 f（x）0 Df（x）在（3，2）上为增函数，且 f（x）0 7如图，在边长为 1 的正方形网格中，粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体 积为（ ） A16 B C32 D8 8双曲 ， 的渐近线与圆 x 2+y2a2 在第一、二象限分别交于 M，N 两点
4、，且|MN|a，则双曲线的离心率为（ ） A B C D2 9已知 ， ， ， 若 ，且 ，则 + 的 值为（ ） A B C D 10 如图是函数 ， ， 的部分图象， 设 x0是函数 f （x） 在 ， 上的极小值点，则 f（x0）+f（x0）的值为（ ） A0 B3 C D 11函数 f（x）xtanxex在 ， 上的零点个数为（ ） A1 B2 C3 D4 12把圆心角为 120的扇形铁板围成一个圆锥，则该圆锥的侧面积与它的外接球的表面积 之比为（ ） A B C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，过 F 作与
5、x 轴垂直的直线交抛物线于 A，B 两点， 若|AB|3，则 p 14已知变量 x，y 满足 ，则 2xy 的最小值为 15若函数 f（x） ， ， 有最小值，则实数 a 的取值范围为 16已知等比数列an的公比为 q（q0），前 n 项和为 Sn，且满足 a1q，a5a1+S4若 对一切正整数n， 不等式152n2m+manmSn， 恒成立， 则实数m的取值范围为 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（-）必考题：共 60 分 17在ABC 中，有 （1）求 B；
6、 （2）若 A45，角 B 的角平分线 BD 交 AC 于 D， ，求边 AD 的长 18如图，在三棱锥 PABC 中，PB平面 ABC，平面 PAC平面 PBC，PBBC2，AC 1 （1）证明：AC平面 PBC； （2）求点 C 到平面 PBA 的距离 19已知椭圆 ： 的焦距为 4且过点 ， （1）求椭圆 E 的方程； （2）设 A（0，b），B（0，b），C（a，b），过 B 点且斜率为 k（k0）的直线 l 交 椭圆 E 于另一点 M，交 x 轴于点 Q，直线 AM 与直线 xa 相交于点 P证明：PQOC （O 为坐标原点） 202020 年 1 月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形
7、势严峻，避免外出是减少相互交叉感 染最有效的方式在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗该种病毒某 小区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了 100 位成年人，记录了他 们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如图： （1）求 a 的值，并估计这 100 位居民锻炼时间的平均值 （同一组中的数据用该组区间 的中点值代表）； （2）小张是该小区的一位居民，他记录了自己“宅”家 7 天的锻炼时长： 序号 n 1 2 3 4 5 6 7 锻炼时长 m（单位：分钟） 10 15 12 20 30 25 35 （）根据数据求 m 关于 n 的线性回归方程； （）若 （ 是（1）中的平均
8、值），则当天被称为“有效运动日”估计小张 “宅”家第 8 天是否是“有效运动日”？ 附；在线性回归方程 中， ， 21已知函数 f（x）lnxax2 （1）判断函数 f（x）在点 x1 处的切线是否过定点？若过，求出该点的坐标；若不过， 请说明理由 （2）若 f（x）有最大值 g（a），证明：g（a）a 选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计 分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：y2ax（a0），曲线 C2： （ 为参数） 在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中， 直线 l 的极坐标方程为
9、（R） ， l 与 C1，C2分别交于异于极点的 A，B 两点且 2|OB|OA| （1）写出曲线 C2的极坐标方程； （2）求实数 a 的值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xa|+2|x|（a0） （1）解不等式 f（x）2a； （2）若函数 f（x）的图象与直线 y2a 围成的图形的面积为 6，求实数 a 的值 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1集合 Ax|1x0，集合 By|y2x+1，xR，则 AB（ ） A（1，+） B1，+） C（0，+） D 【分析】化简集合 A、B，
10、根据交集的定义写出 AB 解：集合 Ax|1x0x|x11，+）， 集合 By|y2x+1，xRy|y1（1，+）， 则 AB（1，+） 故选：A 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题 2复数 的共轭复数是（ ） A1+2i B12i C2i+1 D2i+1 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案 解： ， 复数 的共轭复数是12i 故选：B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3如图是 2020 年 2 月 15 日至 3 月 2 日武汉市新冠肺炎新增确诊病例的折线统计图则下 列说法不正确的是（ ） A2020 年 2
11、月 19 日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数 B武汉市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低 C2020 年 2 月 19 日至 3 月 2 日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于 400 人的有 8 天 D 2020 年 2 月 15 日到 3 月 2 日武汉市新冠肺炎新增确诊病例最多的一天比最少的一天 多 1549 人 【分析】直接利用折线图以及统计的相关知识逐一分析即可 解：对于 A， 由图可知 18 日病例 1660 人，19 日 615 人，大幅下降至三位数， 故 A 正确； 对于 B，很明显，病例人数呈大幅下降趋势，故防控取得了阶段性的成果，但防控要求 不能降低
12、，故 B 正确； 对于 C，由图得到，病例低于 400 人的有 2 月 20 日、21 日、23 日、25 日、26 日、27 日、3 月 1 日、2 日，共 8 天，故 C 正确； 对于 D， 由图病例最多一天人数 1690 人比最少一天人数 111 人多了 1579 人， 故 D 错误 故选：D 【点评】本题考查了合情推理能力，考查的折线图的提取信息能力，数形结合，属于中 档题 4等差数列an的前 n 项和为 Sn，满足 S10S727，则 （ ） A B C3 D3 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出 解：设等差数列an的公差为 d，S10S727， 3a1 d d27， 化
13、为：a1+8d9， a99 则 3 故选：D 【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题 5角谷猜想，也叫 3n+1 猜想，是由日本数学家角谷静夫发现的，是指对于每一个正整数， 如果它是奇数，则对它乘 3 再加 1；如果它是偶数，则对它除以 2，如此循环最终都能够 得到 1如：取 n6，根据上述过程，得出 6，3，10，5，16，8，4，2，1，共 9 个数若 n5，根据上述过程得出的整数中，随机选取两个不同的数，则这两个数都是偶数的概 率为（ ） A B C D 【分析】根据上述过程得出所有的整数，从而随机选取两个不同的数，基本事件总数 n ，这两个
14、数都是偶数包含的基本事件个数 m ，由此能求出这两个数 都是偶数的概率 解：若 n5，根据上述过程得出的整数有： 5，16，8，4，2，1， 随机选取两个不同的数， 基本事件总数 n ， 这两个数都是偶数包含的基本事件个数 m ， 则这两个数都是偶数的概率为 p 故选：C 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 6已知函数 f（x）是偶函数，f（x+1）为奇函数，并且当 x1，2时，f（x）1|x2|， 则下列选项正确的是（ ） Af（x）在（3，2）上为减函数，且 f（x）0 Bf（x）在（3，2）上为减函数，且 f（x）0 Cf（x）在（3，2）上
15、为增函数，且 f（x）0 Df（x）在（3，2）上为增函数，且 f（x）0 【分析】根据题意，分析可得 f（x+4）f（x），结合函数的解析式可得当 x（3， 2）时函数的解析式，据此分析可得答案 解：根据题意，函数 f（x+1）为奇函数，则有 f（x+1）f（x+1），即 f（x+2） f（x）， 又由 f（x）为偶函数，则 f（x）f（x），则有 f（x+2）f（x）， 即有 f（x+4）f（x）， 当 x1，2时，f（x）1|x2|x1， 若 x（3，2），则 x+4（1，2）， 则 f（x+4）（x+4）1x+3， 则当 x（3，2）时，有 f（x）x+3，则 f（x）为增函数且 f（
16、x）f（3）0； 故 f（x）在（3，2）上为增函数，且 f（x）0； 故选：C 【点评】本题考查函数奇偶性、周期性的判断，注意分析函数的周期，属于基础题 7如图，在边长为 1 的正方形网格中，粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体 积为（ ） A16 B C32 D8 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可 解：边长为 1 的正方形网格中，粗线画出的是某几何体的三视图 则该几何体是三棱柱 AD1EBC1F，底面三角形的面积为： 4，三棱柱的高为 4， 所以三棱锥的体积为：4416 故选：A 【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是
17、基本 知识的考查，基础题 8双曲 ， 的渐近线与圆 x 2+y2a2 在第一、二象限分别交于 M，N 两点，且|MN|a，则双曲线的离心率为（ ） A B C D2 【分析】 将双曲线的渐近线的方程代入圆 x2+y2a2中， 解出 x 的值， 进而求出|MN|的值， 由题意可得 a，c 的关系，求出离心率 解：由双曲线的方程可得 y x，代入圆 x 2+y2a2中可得 x2a2，所以 x2 ， 即 x ， 所以|MN|2x a，可得 e 2， 故选：D 【点评】本题考查双曲线的性质及直线与圆的交点的求法，属于中档题 9已知 ， ， ， 若 ，且 ，则 + 的 值为（ ） A B C D 【分析
18、】 根据题意， 由向量的坐标计算公式可得 的坐标， 由向量模的公式可得 （） 2+（2）25210，解可得 的值，又由向量垂直与数量积的关系可得 0，变形分析可得 3，进而可得 +4，计算可得答案 解： 根据题意， ， ， ， ， 则 （1， 2） ， 则 （， 2）， 若 ，则有（） 2+（2）25210，解可得 ， （，2）， 若 ，则 （2）（）+（2）（2）2+3 0，则 3， 则 +44 ； 故选：B 【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算以及向量垂直的判断，属于基 础题 10 如图是函数 ， ， 的部分图象， 设 x0是函数 f （x） 在 ， 上的极小值点，则 f（x
19、0）+f（x0）的值为（ ） A0 B3 C D 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值， 可得 f（x）的解析式，再利用正弦函数的最小值， 解：根据函数 ， ， 的部分图象，可得 A2， ，2 再根据五点法作图可得 2 0， ，故 f（x）2sin（2x ） 设x0是函数f （x） 在 ， 上的极小值点， 2x ， ， 故2x0 ， x0 ， 则 f（x0）+f（x0）2+2sin（ ）213， 故选：B 【点评】本题主要考查由函数 yAsin（x+）的部分图象求解析式，由函数的图象的 顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，正弦函数的最
20、小值，属于 基础题 11函数 f（x）xtanxex在 ， 上的零点个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】函数 f（x）xtanxex在 ， 上的零点，显然 x0 不是零点，所以问题即 为 的根，也就是 ytanx 与 y 在（ ， ）上图象交点的个数，ytanx 的 图象容易画出，研究 y 在（ ， ）上的单调性，极值情况，做出图象，即可解决 问题 解：由已知得 f（x）xtanxex在 ， 上的零点，由于 x0 不是零点，所以问题即 转化为 的根，也就是 ytanx 与 y 在（ ， ）上图象交点的横坐标 ytanx 的图象容易画出 令 ， ， 显然 ， 或 ， 时，g（x）0，故
21、 g（x）在 ， ， ， 上是减函数； 当 ， 时，g（x）0，故 g（x）在（1， ）上是增函数 且 ，x0（x0）时， ；x0（x0）时， +；g（1） e ， 同一坐标系画出 ytanx，g（x） 在（ ， ）上的图象： 可见，ytanx 与 yg（x）有且只有两个交点，故 f（x）xtanxex在 ， 上的零 点个数为 2 个 故选：B 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值情况，然后借助于图象研究函数零 点的问题，同时考查了学生利用数形结合思想、转化思想以及函数与方程思想解决问题 的能力属于中档题 12把圆心角为 120的扇形铁板围成一个圆锥，则该圆锥的侧面积与它的外接球的表
22、面积 之比为（ ） A B C D 【分析】由扇形围成一个圆锥，可得圆锥的底面半径的关系，可得圆锥的侧面积，求出 圆锥的高，底面半径，外接球的半径之间的关系求出外接球的半径，进而求出外接球的 表面积进而求出面积之比 解：设圆锥的半径为 l，围成的圆锥的底面半径为 r，底面的圆心为 O，圆锥的外接球的 半径为 R，外接球的球心为 O，如图所示， 由题意可得 2rl ，所以 r ，所以圆锥的高 PO l， 在AOO中，OA2r2+（POOP）2，而 OAOPR，所以 R2 （ lR）2， 解得 R l 所以外接球的表面积 S4R24 l 2 l 2， 圆锥的侧面积 S 2r l 所以圆锥的侧面积与
23、它的外接球的表面积之比为 ， 故选：C 【点评】本题考查扇形围成的圆锥的底面半径与扇形的半径的关系，及外接球的半径的 关系，属于中档题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，过 F 作与 x 轴垂直的直线交抛物线于 A，B 两点， 若|AB|3，则 p 【分析】由题可知， ，再结合抛物线的定义可知，|AB|xA+xB+p，代入数据 进行运算即可得解 解：由题可知， ， 由抛物线的定义可知，|AB|xA+xB+p2p3， p 故答案为： 【点评】本题考查抛物线的定义，属于基础题 14已知变量 x，y 满足 ，则 2xy 的最小值为
24、 1 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z2xy 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最值即可 解：变量 x，y 满足 的可行域如图阴影部分， 目标函数 z2xy， 点 A（ ， ），B（ ， ），C（2，1），D（0，1） 直线在 A 处的纵截距取得最大值，此时 z 有最小值， z 的最小值：z2 （ ）1， 故答案为：1 【点评】本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各角点的值一一代入，最后比较， 即可得到目标函数的最优解，是常用的一种方法 15 若函数 f （x） ， ， 有最小值， 则实数 a 的取值范围为 1， +） 【分析】求出当
25、x1 时函数的值域，当 x1 时函数的值域，结合题意即可得出 a 的取 值范围 解：当 x1 时，函数 ，由复合函数的单调性可知，此时函数 f（x） 为减函数，故 f（x）1，+）， 当 x1 时，函数 为减函数，此时无最小值，但当 x+时，f（x）a，故 f（x）（a，a+1）， 则依题意，需 a1， 故答案为：1，+） 【点评】 本题考查函数最值以及参数的取值范围的求法， 考查分析问题解决问题的能力， 属于中档题 16已知等比数列an的公比为 q（q0），前 n 项和为 Sn，且满足 a1q，a5a1+S4若 对一切正整数 n，不等式 152n2m+manmSn，恒成立，则实数 m 的取值
26、范围为 【分析】先由已知条件求出等比数列的通项公式和前 n 项和，代入不等式中，进行参变 分离，转化为求 f（n）的最值，作差判断数列的单调性，进而可以得到最小值，即可求 出 m 的取值范围 解：若 q1，则 a1q1，即 an1，此时 a5a1+S4，与题意不符，舍去； 若 q1，由 a5a1+S4，可得 a1q4a1 ， 即 a1（1q4 ） 0， a1（1q4）（1 ）0 解得 qa12， 则 an2n，Sn2（2n1）； 对一切正整数 n，不等式 152n2m+m 2n2m（2n1）恒成立， 化简得 152nm 2n， 分离可得 m ， 设 f（n） ，则 f（n+1） ， f（n+1
27、）f（n） ， 当 1n8 时，f（n+1）f（n），即 f（9）f（8）f（1）； 当 n9 时，f（n+1）f（n），即 f（9）f（10）； 所以 f（n）的最小值为 f（9） ， 故答案为：m 【点评】本题考查等比数列的通项公式与求和公式，数列的单调性判断，以及与不等式 相联系的恒成立问题，属于中档题目 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（-）必考题：共 60 分 17在ABC 中，有 （1）求 B； （2）若 A45，角 B 的角平分线 BD 交 AC
28、于 D， ，求边 AD 的长 【分析】 （1）由已知利用两角和的正弦函数公式可得 sin（B+30）1，结合范围 30 B+30210，即可求解 B 的值 （2）根据三角形的内角和定理可求 C75，又ABD30，从而可求BDC75 C，设 BDBCx，在BDC 中，根据余弦定理求得 ，在BAD 中，根据正 弦定理即可求解 AD 的值 解：（1）由 ，知 ，可得：sin（B+30）1， 0B180， 30B+30210， B+3090，即 B60 （2）A45，B60， C75， BD 为角平分线， ABD30， 从而BDC75C， BDBC， 设 BDBCx，在BDC 中，根据余弦定理得 ，
29、求得 ， 在BAD 中，根据正弦定理得 ，可得： 【点评】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，三角形的内角和定理，余弦定理，正 弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 18如图，在三棱锥 PABC 中，PB平面 ABC，平面 PAC平面 PBC，PBBC2，AC 1 （1）证明：AC平面 PBC； （2）求点 C 到平面 PBA 的距离 【分析】（1）推导出 PBAC 取 PC 的中点 D，连接 BD，推导出 BDPC，从而 BD平面 PAC进而 BDAC由此能证明 AC平面 PBC （2）过点 C 作 CMAB，交 AB 于 M，则 CM平面 PBA 由 AC BCA
30、B CM，能 求出点 C 到平面 PBA 的距离 解：（1）证明：PB平面 ABC，AC平面 ABC，PBAC 取 PC 的中点 D，连接 BD， PBBC，BDPC 又平面 PAC平面 PBC，平面 PAC平面 PBCPC，BD平面 PBC， BD平面 PAC 又 AC平面 PAC，BDAC PBBDB，AC平面 PBC （2）解：由题意知平面 PBA平面 ABC，AB 为交线， 在 RtABC 中，过点 C 作 CMAB，交 AB 于 M，则 CM平面 PBA 又 AC BCAB CM， ， 点 C 到平面 PBA 的距离为 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空
31、间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19已知椭圆 ： 的焦距为 4且过点 ， （1）求椭圆 E 的方程； （2）设 A（0，b），B（0，b），C（a，b），过 B 点且斜率为 k（k0）的直线 l 交 椭圆 E 于另一点 M，交 x 轴于点 Q，直线 AM 与直线 xa 相交于点 P证明：PQOC （O 为坐标原点） 【分析】 （1） 求出 c2， 由椭圆的定义求出 a， 然后求解 b， 即可得到椭圆 E 的方程 （另 解：由题可知 ，解得 ） （2）直线 l：ykx2 与椭圆 x2+2y28 联立，求出 MQ 的坐标，直线 AM 的斜率，直线 AM 的
32、方程，然后求解直线 PQ 的斜率推出直线 OC 的斜率，即可证明 PQOC 【解答】（1）解：由题可知，2c4，c2，椭圆的左，右焦点分别为（2，0）， （2，0） 由椭圆的定义知 ， ，b2a2c24，椭圆 E 的方程为 （另解：由题可知 ，解得 ） （2）证明：易得 A（0，2），B（0，2）， ， ， 直线 l：ykx2 与椭圆 x2+2y28 联立，得（2k2+1）x28kx0， ，从而 ， ， ， 直线 AM 的斜率为 ，直线 AM 的方程为 令 得 ， ， 直线 PQ 的斜率 直线 OC 的斜率 ， kPQkOC，从而 PQOC 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位
33、置关系的应用，考查分析问 题解决问题的能力，属于中档题 202020 年 1 月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免外出是减少相互交叉感 染最有效的方式在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗该种病毒某 小区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了 100 位成年人，记录了他 们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如图： （1）求 a 的值，并估计这 100 位居民锻炼时间的平均值 （同一组中的数据用该组区间 的中点值代表）； （2）小张是该小区的一位居民，他记录了自己“宅”家 7 天的锻炼时长： 序号 n 1 2 3 4 5 6 7 锻炼时长 m（单位：分钟） 10
34、15 12 20 30 25 35 （）根据数据求 m 关于 n 的线性回归方程； （）若 （ 是（1）中的平均值），则当天被称为“有效运动日”估计小张 “宅”家第 8 天是否是“有效运动日”？ 附；在线性回归方程 中， ， 【分析】（1）利用频率分布直方图的面积为 1，求出 a，求出这 100 位居民锻炼时间的 平均值 即可 （2）（）求出样本中心，求出回归直线方程的斜率，得到截距，然后求解回归直线方 程 （）当 n8 时，求出 m利用“有效运动日”的定义估计小张“宅”家第 8 天是“有 效运动日” 解：（1）（0.005+0.012+a+0.035+0.015+0.003）101，a0.0
35、3 0.0031030.2 （2）（） ， ， （2021）+（54）（3021）+（64）（2521）+（74） （3521）113， ， ， m 关于 n 的线性回归方程为 （）当 n8 时， ，估计小张“宅”家第 8 天是“有效运动日” 【点评】本题考查频率分布直方图的应用，回归直线方程的求法与应用，是基本知识的 考查 21已知函数 f（x）lnxax2 （1）判断函数 f（x）在点 x1 处的切线是否过定点？若过，求出该点的坐标；若不过， 请说明理由 （2）若 f（x）有最大值 g（a），证明：g（a）a 【分析】（1） ，f（1）12a，切点坐标为（1，a），可得 f（x） 在 x1
36、 处的切线方程为 y+a（12a）（x1），化简 y（x1）+a（12x），进 而得出结论 （2）由题知，f（x）的定义域为（0，+） 对 a 分类讨论， 利用导数研究函数的单调性可得极值最值，进而证明结论 【解答】（1）解： ，f（1）12a，切点坐标为（1，a）， f（x）在 x1 处的切线方程为 y+a（12a）（x1）， 即 y（x1）+a（12x），令 12x0，得 ， f（x）在 x1 处的切线过定点其坐标为 ， （2）证明：由题知，f（x）的定义域为（0，+） 若 a0，则 f（x）0 恒成立，f（x）在（0，+）上单调递增，f（x）无最大值 若 a0，令 f（x）0，得 （舍）
37、或 ， 当 ， ，f（x）0；当 ， 时，f（x）0， 故 f（x）在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减， 故 ， 即 若证 g（a）a，可证 ，令 2at， ， 则有 ，即证 tlnt10 设 p（t）tlnt1（t0），则 当 t（0，1）时，p（t）0，p（t）单调递减；当 t（1，+）时，p（t）0，p（t） 单调递增， 故 p（t）minp（1）0p（t）0，即 g（a）a 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式解法、分类 讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，
38、则按所做的第一题计 分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：y2ax（a0），曲线 C2： （ 为参数） 在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中， 直线 l 的极坐标方程为 （R） ， l 与 C1，C2分别交于异于极点的 A，B 两点且 2|OB|OA| （1）写出曲线 C2的极坐标方程； （2）求实数 a 的值 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用极径的应用建立等量关系，求出参数 a 的值 解： （1）曲线 C2： （ 为参数）转换为直角坐标方程为 x 2+（y2）24， 转换为极
39、坐标方程为 24sin，化简得 4sin （2）曲线 C1：y2ax（a0），转换为极坐标方程为 2sin2acos，整理得 sin2 acos 所以 ，解得 ， 同理 ，解得 ， 由于 2|OB|OA|， 整理得 ，解得 a4 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径 的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xa|+2|x|（a0） （1）解不等式 f（x）2a； （2）若函数 f（x）的图象与直线 y2a 围成的图形的面积为 6，求实数 a 的值 【分析】（1）分类写出分段函数解
40、析式，代入 f（x）2a，求解后取并集得答案； （2）作出分段函数的图象，画出图形，由函数 f（x）的图象与直线 y2a 围成的图形的 面积为 6 列式求解 a 值 解：（1）若 xa，则 f（x）|xa|+2|x|xa+2x3xa， 由 f（x）2a，得 3xa2a，即 xa，则 xa； 若 0xa，则 f（x）|xa|+2|x|x+a+2xx+a， 由 f（x）2a，得 x+a2a，即 xa，此时 x； 若 x0，则 f（x）|xa|+2|x|x+a2x3x+a， 由 f（x）2a，得3x+a2a，即 x ，则 x 不等式 f（x）2a 的解集为x|x 或 xa； （2）由（1）知，f（x） ， ， ， ， 作出函数的图象如图： 则 ，解得 a3（a0） 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分段函数的图象，是中档题
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