1、湘潭县湘潭县一一中中 20202020 届高三届高三 5 5 月模拟考试数学月模拟考试数学试卷试卷（理科）（理科） 本试题卷共 6 页，23 题（含选考题） ，全卷满分：150 分，考试用时：120 分钟 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1若集合 2 |lg(32),|60AxR yxBxR xx，则AB （ ） A|2xR x B| 21xRx C 2 |3 3 xRx D|3xR x 2已知复数 3 2 (1) i z i ，则z的虚部为（ ） A 1 2 B 1 2 C 1 2 i D 1 2 i 3现有如下
2、命题： 命题:p“ 000 (,0,ln0xxx ”的否定为“(0,),ln0xxx ” ； 命题:qABC中，abc、 、分别为角ABC、 、的对边，则“ab”是“coscosAB”的充要条件 则下列命题中的真命题是（ ） Ap Bpq C()pq D()pq 4右图是一程序框图，若输出的 12 29 A ，则输入的A值为（ ） A 2 5 B 5 12 C 29 60 D 1 2 5在直角坐标系xOy中，角的顶点在原点，始边与x的非负半轴重合，终边经过点(2, 3)P，则 cos2 2 的值为（ ） A 2 3 7 B 2 3 7 C 4 3 7 D 4 3 7 6函数 4sin ( )(
3、,0)(0, ) 22 xx xx f xx 的大致图象为（ ） A B C D 7设数列 n a中， 1 1 1 2,1 n n aa a （2n且 * nN） ，则 2020 a（ ） A1 B 1 2 C2 D 5 2 8在二项式 4 1 2 n x x 的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项随机排成一列， 则恰有两项有理项相邻的概率为（ ） A 1 4 B 1 3 C 1 2 D 5 12 49太极图被称为“中华第一图” 从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、 气功、武术到南韩国旗，太极图无不跃居其上这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一
4、 起，因而被称为“阴阳鱼太极图” 在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为 22 ( , )|(1)1Ax yxy或 22 22 4 (1)1 0 xy xy x ，设点( , )x yA，则2zxy的最大值与最小值之和 是（ ） A1 2 5 B15 C15 D1 2 5 10如图，在ABC中， 2 , 3 BDBC E为线段AD上的动点，且CExCAyCB，则 13 xy 的最小值 为（ ） A8 B9 C12 D16 1l已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F，准线为, l P为C上一点，PQ垂直l于点,Q M N分别为,PQ PF 的中点，MN与x轴相交于点R，若60NRF，则PQF
5、的面积等于（ ） A3 B2 3 C4 3 D8 3 12 已知函数( )2 lnf xxxax， 过点(1, 2)P可作两条直线与( )f x的图象相切， 则a的取值范围是 （ ） A 2,) B( 2,) C(,2 D(,2) 二、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分 13某产品的年广告费用x与年销售额y的统计数据如下表 年广告费用x（万元） 4 2 3 5 年销售额y（万元） 49 m 39 54 经测算，年广告费用x与年销售额y满足线性回归方程9.49.1yx，则m的值为_ 14若等差数列 n a的前n项和为 n S，且满足 3254 6,15aSaS，则 43 aS
6、_ 15三棱柱 111 ABCABC的侧棱垂直于底面，且 1 3,1,2ACBCABAA，若该三棱柱的所 有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_ 16 已知双曲线 2 2 2 :1(0) x Eya a 的左、 右焦点分别为 12 ,F FM在E的左支上， 12 , 6 3 FMF ， 则 12 MF MF的取值范围为_ 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生 都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：60 分 17 （12 分） 已知函数 1 ( )sin (sin3cos ) 2 f xxxx （1
7、）求( )f x的单调递减区间； （2） 在ABC中，, ,a b c分别为角, ,A B C的对边， 6 B 且满足 1 cos 2 aCcb， 求( )f B的取值范围 18 （12 分） 如图，在四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面ABCD是等腰梯形，/ /,4,2ABCD ABBCCD，顶点 1 D在底面ABCD内的射影恰为点C （1）求证：AC 平面 1 BCD； （2）若直线 1 DD与底面ABCD所成的角为 4 ，求平面 11 ABC D与平面 1 BCD所成锐二面角的余弦值 19 （12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，
8、 过椭圆C的左、 右焦点 12 ,F F分别作倾斜角为 6 的直 线 12 ,l l，且 12 ,l l之间的距离为 1 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线l与椭圆C只有一个公共点，求点 12 ,F F到直线l的距离之积 20 （12 分） 冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征()MERS和严重急性呼吸综合征 ()SARS等较严重疾病而今年初出现并在全球蔓延的新型冠状病毒(2019)nCoV是以前从未在人体中 发现的冠状病毒新毒株人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难 等在较严重病例中感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至
9、死亡 某药物研究所为筛查该种病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n（ * nN，且2n）份血液样本，每个 样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式： 方式一：逐份检验则需要检验n次； 方式二：混合检验，将n份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这n份的血液全为 阴性，因而这n份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这n份血液究竟哪几份 为阳性，就要对这n份再逐份检验，此时这n份血液的检验次数总共为1n次假设在接受检验的血液样 本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为(01)pp （1）假设有 6 份血液样本，其中只有 2 份
10、样本为阳性，从中任取 3 份样本进行医学研究，求至少有 1 份为 阳性样本的概率； （2） 假设将k（ * kN且2k） 份血液样本进行检验， 记采用逐份检验方式， 样本需要检验的总次数为 1 ， 采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 2 ； 运用概率统计的知识，若 12 EE，试求p关于k的函数关系式( )pf k； 若p与干扰素计量 n x相关，其中数列 n x满足 1 4 1 ln, 3 n n x xe x ，当 2 1 1p x 时，试讨论采用何种 检验方式更好？ 参考数据：ln20.6931,ln31.0986,ln41.3863,ln51.6094,ln61.7918 21
11、（12 分） 函数 2 1 ( )(2)2ln 2 f xaxa xx （1）求( )f x的单调区间； （2）在函数( )f x的图象上取 1122 ,A x yB x y两个不同的点，令直线AB的斜率为k，则在函数的 图象上是否存在点 00 ,P x y， 且 12 0 2 xx x ， 使得 0 kfx ？若存在， 求,A B两点的坐标， 若不存在， 说明理由 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22 （10 分）选修 4-4 极坐标与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线 1 2cos : 22sin x C y
12、 （为参数）上的动点，将OP绕点O顺时 针旋转 90得到OQ， 设点Q的轨迹为曲线 2 C 以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 12 ,C C的极坐标方程； （2） 在极坐标系中， 直线:()lR 与曲线 12 ,C C分别相交于异于极点O的,A B两点， 点4, 2 M ， 当45AMB时，求直线l的斜率 23 （10 分）选修 4-5 不等式选讲 设函数( ) |21|2|,f xxxaxR （1）当4a 时，求不等式( )9f x 的解集； （2）若 12 1xx，求证：对任意aR，都有 122 24f xxfx成立 数学参考答案及解析数学参考答案及解析 一
13、、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1 【答案】D 【解析】 2 |,|2 3 AxR xBxR x ，或3x ； |3ABxR x 故选 D 2 【答案】B 【解析】 3 22 (1)2 (1) ii z iii 1 (1)(1) i ii 11 22 i ， 则 11 22 zi ， 故选 B 3 【答案】D 【解析】 “ 000 (,0,ln0xxx ”的否定为“(,0,ln0xxx ” ，故命题p为假；在ABC 中，ab则AB， 即c o sc o sAB， 若c o sc o sAB， 则AB， 即ab， 所以ab是coscosAB 成立的充要条件，故命题
14、q为真，故()pq为真，故选 D 4 【答案】D 【解析】 运行程序框图， 输入 1 2 A 时 2 ,2 5 Ak； 5 ,3 12 Ak； 12 ,43 29 Ak， 输出 12 29 A 所 以输入 1 2 A ，依次列出此程序框图的运行步骤逆推即可 故选：D 5 【答案】C 【解析】 由已知得 32 sin,cos 77 4 3 cos2sin22sincos 27 故选 C 6 【答案】A 【解析】因为 4()sin()4sin ()( ) 2222 xxxx xxxx fxf x ，所以函数( )f x是偶函数，排除 B、D， 又 4 ( )0 22 f ，排除 C，故选 A 7
15、【答案】C 【解析】由已知得 1 1 1 n n a a ，可求 234 1 ,1,2 2 aaa ，数列 n a周期为 3 20201 2aa，故选 C 8 【答案】C 【解析】展开式通项为 23 4 1 4 1 ()2(0) 2 r nr rn rrr rnn TCxCxrn x ，由题意 110022 2222 ,8 nnn CCCn 所以当0,4,8r 时 163 4 r 为整数，相应的项为有理数，因此题二 项式展开式中共有 9 项，其中有 3 项是有理数，6 项是无理数，所求概率为 622 637 9 9 1 2 A A A P A 故选 C 9 【答案】B 【解析】如图，作直线20
16、xy，当直线上移与圆 22 (1)1xy相切时，2zxy取最大值，此时， 圆心（0，1）到直线2zxy的距离等于 1，即 |1| 1 5 z ， 解得z的最大值为：51， 当下移与圆 22 4xy相切时，2xy取最小值， 同理 | 2 5 z ，即z的最小值为：2 5， 所以2zxy的最大值与最小值之和是15 故选 B 10 【答案】D 【解析】如图：由已知得3,3CBCDCExCAyCBxCAyCD 因为E为线段AD上的动点，所以ADE、 、三点共线， 31xy 且0,0xy 13133333 (3 )1010216 yxyx xy xyxyxyxy 当且仅当 1 4 xy时取得最小值 16
17、 故选：D 11 【答案】C 【解析】因为,M N分别是,PQ PF的中点，所以/ /MNFQ，且/ /PQx轴又60NRF，所以 60FQP 由抛物线定义知| |PQPF， 所以FQP为正三角形 则FHPQ， 所以|2QMp， 正三角形边长为 4因为| 4,4 3 PQF PQS故选 C 12 【答案】B 【解析】由题意得，( )2ln2(0)fxxa x ，设切点为 0000 ,2lnxxxax，切线斜率为 00 2ln2kfxxa ， 切线方程为 00000 2ln2ln2yxxaxxaxx ， 因为切线过P点， 所以 00 22ln4(*)axx由于过点P可作两条直线与( )f x的图
18、象相切，所以方程（*）有两个不相等 的正根，令 222 ( )22ln4,( )2 x g xxxg x xx ，所以( )g x在（0,1）上单减，(1,)上单增， 且(1)2g ，因为0x 时，( ),g xx 时，( )g x ，结合( )g x的图象，可知2a 时 满足题意故选：B 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 3 【答案】26 【解析】回归方程是9.49.1yx经过样本中心点是( , )x y，且3.5,42xy，求得26m 14 【答案】10 【解析】由 32 54 6 15 aS aS 得 1 1 336 51015 ad ad 解得 1 1ad
19、 431 4610aSad 15 【答案】8 由已知得三角形ABC为直角三角形， 1 2 2AC 为外接球直径， 2 48SR 球 16 【答案】2,4 36 【解析】设 1212 ,MFm MFnFMF，则 222 42coscmnmn又2m na， 即 222 24mnmna，解得 2 1 cos mn ， 所以 1212 2cos2 | | coscos 1 1 cos 1 cos MF MFMFMFmn ， 因为 , 6 3 ，所以 13 2 31 cos,11 1 223cos ，则 2 24 36 1 1 cos ， 所以 12 MF MF的取值范围为2,4 36 三、解答题（共
20、70 分） 17 【答案】 （1） 5 , 36 kkkZ （2） 1 ,1 2 【解析】 （1） 1 ( )sin (sin3cos )sin 2 26 f xxxxx 由 3 222, 262 kxkkZ ，得 5 36 kxk 所以( )f x的单调递减区间为 5 , 36 kkkZ ； 6 分 （2）由条件 1 cos 2 aCcb，得 1 sincossinsin 2 ACCB， 又由sinsin()BAC，得 1 sincossinsincoscossin 2 ACCACAC 由sin0C ，得 1 cos 2 A，故 3 A 9 分 2 63 B 71 2,( )sin 2,1
21、66662 Bf BB ( )f B的取值范围为 1 ,1 2 12 分 18 【答案】 （1）见解析 （2） 7 7 【解析】 （1）证明：如图，连接 1 DC，则 1 DC 平面ABCD，, AC平面 1 ,ABCDACCD 2 分 在等腰梯形ABCD中，连接AC，过点C作CGAB于点G, 4,2,/ /ABBCCDABCD， 则 22 3,1,213AGBGCG 2222 3( 3)2 3ACAGCG 因此满足 222 16,ACBCABBCAC 5 分 又 1 ,BC CD 面 11 ,BCDBCCDC AC平面 1 BCD 6 分 （2）由（1）知 1 ,AC BC DC两两垂直，
22、1 DC 平面 11 ,2 4 ABCDD DCDCCD 以C为坐标原点，分别以 1 ,CA CB CD所在直线为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 7 分 则 1 (0,0,0),(2 3,0,0),(0,2,0),(0,0,2)CABD 1 ( 2 3,2,0),( 2 3,0,2)ABAD 设平面 11 ABC D的法向量( , , )nx y z，由 1 0 0 AB n AD n 得 2 320 2 320 xy xz 可得平面 11 ABC D的一个法向量(1, 3, 3)n ， 9 分 平面 1 BCD的一个法向量(1,0,0)m ， 10 分 设平面 11 AB
23、C D与平面ABCD所成锐二面角为 则 |7 cos |7 m n m n 因此平面 1 ADD与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为 7 7 12 分 19 【答案】 （1） 2 2 1 2 x y （2）1 【解析】 （1）设 22 cab，由 12 ,l l之间的距离为 1，得2 sin1 6 c ，所以1c 由椭圆C的离心率为 2 2 ，得 2 2 c a ，所以2,1ab， 所以椭圆C的标准方程为 2 2 1 2 x y 5 分 （2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为2x ，点 12 ,F F到直线l的距离之积为 1； 当直线l的斜率存在时，设其方程为ykxm， 联立ykxm及
24、2 2 1 2 x y，消去y得 222 214220kxkmxm， 8 分 因为直线l与椭圆C只有一个公共点，所以0 ，得 22 21mk 点 1( 1,0) F 到直线: lykxm的距离 1 2 | 1 km d k ， 点 2(1,0) F到直线: lykxm的距离 2 2 | 1 km d k ， 所以 22 22 12 22 21 1 11 kkmk d d kk ， 11 分 综上可得，若直线l与椭圆C只有一个公共点，则点 12 ,F F到直线l的距离之积为 1 12 分 20 【答案】 （1） 4 5 （2）当2,3,4k 时采用混合检验方式，5k 且 * kN时采用逐份检验方
25、式 【解析】 （1） 1221 2424 3 6 4 5 C CC C P C 4 分 （2）由已知，得 1 Ek； 2 的所有可能取值为 1，1k， 22 1(1) ,11 (1) kk PpPkp 2 (1)(1) 1 (1)1(1) kkk Epkpkkp 若 12 EE，则 1 11 11,1,1 k kk kkkppp kk ， 1 1 1 k p k p类于k的函数关系式为 1 1 1 k P k （ * kN且2k ） 8 分 由已知得 1 1 3 n n x e x ，数列 n x是等比数列，且 1 3 3 2 n n xexe 3 2 11 11P xe ，当 12 EE有1
26、(1)kkkkp ，得 3 111 (1),ln 3 k k pkk ke 设 13 ( )ln(0),( ) 33 x f xxx xfx x ，当3x时，( )0fx ，即( )f x在3,)上单调减 又 44 ln41.3863,1.3333,ln4 33 ；(4)0f 55 ln51.6094,1.6667,ln5,(5)0 33 f 当2,3,4k 时， 12 ,5EEk且 * kN时 12 EE 当2,3,4k 时采用混合检验方式，5k 且 * kN时采用逐份检验方式 12 分 21 【答案】 （1）见解析 （2）不存在 【解析】 （1）由题知定义域为(0,)， 2 2(2)2(2
27、)(1) ( )2 axa xaxx fxaxa xxx 1 分 当2a时， 2 01 a ， 令( )0fx ，解得 2 ,1 ,( )0xfx a ，解得 2 0,(1,)x a 即函数( )f x在 2 ,1 a 上单调递增，在 2 0, a 及(1,)上单调递减； 当2a 时， 2 1 a ，在(0,)上 2 ( 22)(1)2(1) ( )0 xxx fx xx ， 即函数( )f x在(0,)上单调递减； 当20a 时， 2 1 a 令( )0fx ，解得 2 1,( )0xfx a ，解得 2 (0,1),x a 即函数( )f x在 2 1, a 上单调递增，在（0,1）及 2
28、 , a 上单调递减； 当0a时， 令( )0fx ，解得(1,),( )0xfx ，解得(0,1)x 即函数( )f x在(1,)上单调递增，在（0，1）上单调递减； 5 分 综上所述： 当2a时，增区间为 2 ,1 a ，减区间为 2 0, a 及(1,)； 当2a 时，减区间为(0,)； 当20a 时，增区间为 2 1, a ，减区间为（0,1）及 2 , a ； 当0a时，减区间为（0,1） ，增区间为(1,)； 6 分 （2）假设存在，即满足 0AB kfx 因为已知 1122 ,A x yB x y不妨令 12 0xx 则 21212121 21 21212121 (2)2 lnl
29、n1 2 AB xxxxaxxxxyy ka xxxxxxxx 2121 21 2 lnln 2 2 xx axx a xx 而 12 00 012 24 22 2 xxa fxaxaa xxx 由 0AB kfx 得 21 2112 lnln2xx xxxx 存在，也就是证 21 21 12 2 lnln0 xx xx xx 存在 9 分 只要证 2 1 2 2 1 1 21 ln0 1 x xx x x x 存在，令 2 1 1 x t x ，故转化为 2(1) ln0(1) 1 t tt t 存在 即需要证明 4 ln2(1) 1 tt t 令 4 ( )ln(1) 1 g ttt t
30、则有 2 22 14(1) ( )0 (1)(1) t g t ttt t 故( )g t在1t 上单调递增，所以( )(1)2g tg， 故不存在 12 分 22 【答案】 （1）曲线 1 C的极坐标方程为4sin，曲线 2 C的极坐标方程为4cos （2）2k 【解析】 （1） 由题知点Q的轨迹是以 （2,0） 为圆心， 2 为半径的圆， 所以曲线 2 C的方程为 22 (2)4xy 222, cos ,sinxyxy， 曲线 1 C的极坐标方程为4sin，曲线 2 C的极坐标方程为4cos 5 分 （2）在极坐标系中，设点,A B的极径分别为 12 , ，则 12 |4sin4cosAB
31、 因为点M在曲线 1 C上且AMAB，所以| 4cosAM 在直角三角形ABM中45AMB，则| |AMAB 所以4cos4sin4cos，得直线l的斜率tan2k 10 分 23 【答案】 （1）|1x x或 7 2 x （2）见解析 【解析】 （1）当4a 时， 1 45, 2 1 ( )3,2 2 45,2 xx f xx xx ， 则( )9f x 等价于 1 2 459 x x 或 1 2 2 39 x 或 2 459 x x ， 解得1x或 7 2 x ， 所以( )9f x 的解集为 |1x x 或 7 2 x 5 分 （2） 12 1xx 122121222 2212414f xxfxxxxxaxxa 122122 22141224xxxxxaxa 121212 2244xxxxxx 对任意aR，都有 122 24f xxfx成立 10 分
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