1、第三讲 质数与合数 什么是质数？ 每一个数都能写成若干个数相乘的形式， 考虑到任何一个数都能写成若干个 1 乘以它本 身 的 形 式 ， 所 以 不 考 虑1 作 为 乘 数 的 情 况 ：623，824222 ， 12263 422 3 这些数都能拆成若干个不为 1 的数相乘的形式， 我们把这样的 数称为合数而像 2，3，7这些不能拆成若干个不为 1 的数相乘形式的数，我们称之为 质数如果说得形象一点，质数就是“拆不开”的数，合数就是拆得开的数 严格说来，质数就是只能被只能被 1 和自身整除的数和自身整除的数；合数是除了除了 1 和它本身之外，还能被和它本身之外，还能被 其它数整除的数其它数
2、整除的数注意，1 既不是质数也不是合数既不是质数也不是合数 我们先来看一个关于质数的小问题， 提高大家对质数的熟悉程度： 请写出所有颠倒个位 十位之后还是质数的两位质数 _（填写在横线上） 相信对 100 以内的质数比较熟悉的同学， 做这个题目会很轻松 质数是我们后面学习的 基础， 因此同学们一定要牢牢记住常见的质数 请同学们在下面的横线上写出 100 以内的所 有质数： 同学们还可以这样做：从大到小 写出 100 以内的质数如果你能一个不少地写出来，说 明你对 100 以内的质数确实掌握得很牢固了_ 当然， 同学们写出的这些质数只是质数大军中的冰山一角 在 100 以上还有无穷多个质 数，比
3、如接着 100 的就有四个质数：101，103，107，109 【分析】156 以内的质数有哪些？把它们列出来，然后依次找出对应的汉字，这句话就出 来了 下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗： 美少年华朋会友，幼长相亲同切磋； 杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多； 九天九霄志凌云，九七共庆手相握； 聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌 将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为156号， 再将号码中的质数由小到大找出来， 将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话 例 题 1 1 自然数 N 是一个两位数，它是一个质数，而且 N 的个位数字与十位数字都是质数，这 样的自然数有多少个？
4、 【分析】对于第 1 问，依次枚举即可，可知这两个不同的质数一定都是奇数那么后两问中 的质数可以都是奇数吗？ 如果三个互不相同的质数相加，和为 52，这三个质数可能是多少？ 通过前面的学习， 我们对质数已经有了基本了解 下面我们来学习这一讲中最重要的内 容：分解质因数分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式如：302 3 5 ， 1002 2 5 5 ，2802 2 2 5 7 同学们请注意：分解式应该把质因数按从小到 大的顺序写好，每个数分解质因数的形式是唯一的 分解质因数的方法一般是短除法，如下图所示，我们将 30 分解质因数，在计算的过程 练 习 2 2 （1）如果两个不同的质数相加等
5、于 26，那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出 （2）如果两个不同的质数相加等于 25，那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出 （3）三个互不相同的质数相加，和为 40，这三个质数的乘积可能是多少？请全部写出 例 题 2 2 练 习 1 1 中要善用各种特殊数的整除特性 100 在分解质因数时也可以写成： 22 10025；280 在分解质因数时也可以写成 3 280257 这种写法更简洁更方便，其中位于质因数右上角，表示质因数个数的数 叫作指数，如： 这里 280 的分解式中 5 和 7 的指数都是 1，写的时候可以省略 如何确定一个大数是不是质数呢？我们要判断 197 是不是质数
6、， 难道需要一一验算 197 以内的所有质数吗？ 同学们不用担心， 数学家们早就为我们准备了简单的方法， 只需要试很少的几个就能判 断例如我们要判断 197 是否为质数，只需要验算 15 以内的质数就足够了！因为 15 15225比 197 大类似的，如果我们要判断 2011 是不是质数，只需要验算 45 以内 的质数，因为45 452025比 2011 大有了这个方法，同学们以后判断一个大数是不是 质数就非常方便了 分析分析 将一个数分解质因数， 可以从最小的质数开始， 一个一个去试商， 写成短除的形式 请把下面的数分解质因数： （1）373； （2）12660 练 习 3 3 请把下面的数
7、分解质因数： （1）360； （2）539； （3）999； （4）10101 例 题 3 3 22 10025 指数 3 28025 7 指数 2 30 3 15 5 能 整 除 30 的质数 相除后得 到的商 在整数问题中，有一类特殊的问题，专求乘积末尾连续 0 的个数解决这类问题的方法 同样是质因数分解下面我们来看一个例题 【分析】乘积的末尾要出现一个 0，只需要乘数中凑出一个 10，那么能凑出来几个 10，末 尾就有多少个连续的 0注意到1025，我们只需要计算这个算式中含有的质因数 2 和 5 的个数就可以了 算式1 2 330 的计算结果的末尾有多少个连续的 0？ 分解质因数是学习
8、数论问题时非常重要的方法， 大家一定要能熟练的将一个数分解质因 数， 这应该作为一项基本的能力来培养 下面我们来看看如何利用分解质因数来解决实际的 问题 三个连续自然数的乘积等于 39270，那么这三个数的和等于多少？ 例 题 5 5 练 习 4 4 算式1 2 3100 计算结果的末尾有多少个连续的 0？ 例 题 4 4 分析分析39270 是三个自然数的乘积，于是先将 39270 分解质因数，再对这些质因数进行适 当的组合，凑出题目中的三个连续自然数由于连续自然数相互之间比较接近，所以凑的时 候也必须尽量接近 【分析】完全平方数是两个相同数的乘积，那么分解后它的每个质因数的次数都是偶数而
9、32 360235，它不是一个平方数它最小再乘上多少，结果就是平方数了？ 通过上面例题的讲解，相信大家能体会到分解质因数的好处它就像手术刀一样，把整 数解剖开来，让我们把整数的组成结构看得一清二楚很多看似复杂的问题，如果从分解质 因数的角度来看，就会变得非常简单 360 与一个三位数的乘积是完全平方数，这个三位数最小是多少？ 例 题 6 6 质数有无穷个吗？ 在正整数里走得越远，我们就发现质数变得越来越稀少有人可能会问：质数 出现频率越来越小，它们会不会在某处终止呢？会不会从某个数开始之后就没有质 数了呢？ 早在公元前300年左右，欧几里得就第一次证明了质数有无穷多个他用的是如 下的反证法：
10、设n代表最后一个质数，那么从2到n的所有质数的积是2 3 5 7n 将这个 积加1称为k，因为2，3，5，7，11，n都不能整除k，所以k必然含有一个更大的 质因数！这与n代表最后一个质数相矛盾！ 课 堂 内 外 作业 1. （1）如果两个不同的质数相加等于 39，那么这两个质数的乘积是多少？ （2）三个互不相同的质数相加，和为 30，这三个质数的乘积是多少？ 2. 自然数 49，87，101，103，121 中，哪些是质数？ 3. 请把下面的数分解质因数： （1）240； （2）1080 4. 三个连续自然数的乘积为 336，则这三个数的和是多少？ 5. 算式1 2 335 的计算结果的末尾
11、有多少个连续的 0？ 第三讲 质数与合数 例题1. 答案：少年朋友亲切联欢一九九七相聚中山 详解：156 中的质数有 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、 31、37、41、43、47、53 共 16 个 例题2. 答案： （1）69、133； （2）46； （3）434 详解： （1）26 可以拆成 3 与 23 的和，或者 7 与 19 的和； （2）25 只能拆成 2 和 23 的和；（3） 三个数的和是偶数， 可以是三个偶数， 或者一偶两奇考虑到质数中只有 2 是偶数，可知一定是一偶两 奇，且偶数是 2另外两个奇数是 7 和 31 例题3. 答案： （1） 32 360
12、235； （2） 2 539711； （3） 3 999337； （4）101013 7 13 37 例题4. 答案：24 详解：末尾 0 的个数与算式结果所含质因数 2 和 5 的个数有关， 结果中质因数的个数又与乘数中质因数的个数有关因为 2 的个 数要比 5 的个数多，所以 0 的个数等于 5 的个数乘数中 5 的倍 数有20个， 25的倍数有4个， 所以质因数5的个数有20424个 末 尾有 24 个连续的 0 例题5. 答案：102 详解：392702 3 5 7 11 17 考虑其中最大的质因数 17，三个 自然数中一定有 17 的倍数如果是 17，那么一定有 16 或 18这 不
13、可能 如果是34， 另外两个数是33和35， 正好满足333435102 例题6. 答案：160 详解： 完全平方数的每个质因数的次数一定是偶数 而 32 360235， 至少要再乘上2510才是一个平方数题目要求是三位数，即 360 10_ 三位数 是一个平方数可知空格上也要填入一个平方数，最 小要填 16要乘的三位数最小是 160 练习1. 答案：23、37、53、73 简答：一位数中的质数只有 2、3、5、7而 N 的个位数字只能是 3 和 7，分类枚举即可 练习2. 答案：2、3、47 或者 2、7、43 或者 2、13、37 或者 2、19、 31 简答：三个质数一定是一偶两奇，偶数
14、是 2 练习3. 答案： （1）质数； （2） 2 1266023 5 211 练习4. 答案：7 简答：130 中 5 的倍数有 6 个，25 的倍数有 1 个，所以其中有 7 个 5计算结果的末尾有 7 个连续的 0 作业1. 答案： （1）74； （2）230 或 374 简答： （1）39237， 乘积为 74 （2）3025232 11 17 ， 乘积为 230 或 374 作业2. 答案：101，103 作业3. 答案： （1）； （2） 作业4. 答案：21 简答：，和为 21 作业5. 答案：8 个 简答：看含有因子 5 的个数，是 5 的倍数的数有 7 个，是 25 的倍数的数有 1 个，共 8 个 4 33623 76 7 8 33 1080235 4 24023 5
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