1、2020 年高考数学二模试卷（文科）年高考数学二模试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题） 1已知集合 Ax|x22x30，xZ，Bx|x|2，xZ，则 AB（ ） A1，0，1 B2，1，0，1 C1，0，1，2 D2，1，0，1，2，3 2已知复数 z 满足 a+bi，（a，bR），则 a+b（ ） A0 B1 C1 D 3命题 p：x0，ex1，则命题 p 的否定是（ ） Ax0，ex1 Bx0，ex1 Cx00，e 1 Dx00，e 1 4如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员 9 场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是 （ ） A乙所得分数的极差为 26 B乙所得分数的中位数为 19
2、 C两人所得分数的众数相同 D甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数 5已知 a，b，cR，3a2，4b5，5c4，则下列不等关系中正确的是（ ） Aabc Bcba Ccab Dacb 6函数 f（x）sin（x ）的图象平移后对应的函数为 g（x）sin（x ），若 g（x） 为偶函数，则|的最小值为（ ） A B C D 7函数 f（x） 的图象大致为（ ） A B C D 8 已知 m， n 为两条不同直线， ， 为两个不同的平面， 则下列说法中正确的个数是 （ ） 若 m，则 m； 若 m，m，则 ； 若 m，n，则 mn； 若 m，n，则 mn； A1 B2 C3 D4 9已知A
3、BC 三内角 A，B，C 满足 cos2A+cos2B1+cos2C 且 2sinAsinBsinC，则下列结 论正确的是（ ） AAB，C BAB，C CAB，C DAB，C 10若点 A 为抛物线 y24x 上一点，F 是抛物线的焦点，|AF|6，点 P 为直线 x1 上的 动点，则|PA|+|PF|的最小值为（ ） A2 B2 C2+2 D8 11已知三棱锥 PABC 中，PA1，PB ，CACBAB2，平面 PAB平面 ABC， 则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A B C D 12已知函数 f（x）的定义域为（ ， ），f（x）是 f（x）的导函数若 f（x）cosx+f （x）s
4、inx0，则关于 x 的不等式 f（x） f（ ）cosx 的解集为（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ ， ）（ ， ） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知向量 （2，1）， （1，t），且| | |，则 t 14已知六张卡片上分别标有数字 1，2，3，4，5，6，随机取出两张卡片，则数字之和为 偶数的概率为 15 已知双曲线 mx2+y21 的一条渐近线方程为 y x， 则其焦点到渐近线的距离为 16 根据疾病防控的需要， 某医院要从感染科抽调两名医生随省医疗队赴武汉参加抗疫工作， 现有甲、乙、丙、丁、戊五名优秀医生申请作为志愿者参加为确
5、定最终驰援武汉的人 选，医院领导组五位成员先各推荐两名人员，分别为“丁、戊”，“丙、戊”，“甲、 乙”，“乙、戊”，“甲、丁”根据最终入选名单发现五位领导中有一人推荐的两人 都没有入选，其余四人推荐的人选中各有一人入选根据以上信息判断，最后随省医疗 队参加抗疫的两名医生是 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17记 Sn是等差数列an的前 n 项和，且 a1+S211，a2+a4a3+7 （1）求an的通项公式； （2）求数列 的前 n
6、项和 Tn 18如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，AB2，P 为 A1B1的中点 （1）证明：平面 PA1D平面 ABC1； （2）求多面体 PA1BDD1的体积 19已知椭圆 E： 1，点 A，B 分别是椭圆的左，右顶点，P 是椭圆上一点 （1）若直线 AP 的斜率为 2，求直线 PB 的斜率； （2）若点 P 的坐标为（ ，1），斜率为 的直线 l 与椭圆相交于 E，F（异于 P 点） 两点证明：PE，PF 的斜率 k1，k2的和为定值 20 为了研究昼夜温差与引发感冒的情况， 医务人员对某高中在同一时间段相同温差下的学 生感冒情况进行抽样调研，所得数据统计如表 1
7、 所示，并将男生感冒的人数与温差情况 统计如表 2 所示 表 1 患感冒人数 不患感冒人数 合计 男生 30 70 100 女生 42 58 p 合计 m n 200 表 2 温差 x 6 7 8 9 10 患感冒人数 y 8 10 14 20 23 （1）写出 m，n，p 的值； （2）判断是否有 95%的把握认为在相同的温差下认为“性别”与“患感冒的情况”具有 相关性； （3）根据表 2 数据，计算 y 与 x 的相关系数 r，并说明 y 与 x 的线性相关性强弱（若 0.75 |r|1， 则认为 y 与 x 线性相关性很强； 0.3|r|0.75， 则认为 y 与 x 线性相关性一般；
8、|r|0.25，则认为 y 与 x 线性相关性较弱） 附：参考公式：K2 ，na+b+c+d P（K2k0） 0.25 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 r ， （xi ） 210， （yi ） 2164， 20.2485 21已知函数 f（x）x2lnx （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若关于 x 的不等式 f（x）ax+10 恒成立，求实数 a 的取值范围 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程
9、22 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数方程为 （t 为参数， 且 t0） ， 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos 3sin10 （1）写出曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与 x 轴交点记为 M，与曲线 C 交于 P，Q 两点，求 选修 4-5：不等式选讲 23已知 a，b 为实数，且满足 3a2+4b212证明： （1） ； （2）a+2b4 参考答案 一、选择题：本大题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1已知集合 Ax|x22x
10、30，xZ，Bx|x|2，xZ，则 AB（ ） A1，0，1 B2，1，0，1 C1，0，1，2 D2，1，0，1，2，3 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 解：Ax|1x3，xZ1，0，1，2，3，Bx|2x2，xZ2，1， 0，1，2， AB1，0，1，2 故选：C 【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，绝对值不等式的 解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题 2已知复数 z 满足 a+bi，（a，bR），则 a+b（ ） A0 B1 C1 D 【分析】把已知等式变形，咋样复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条 件求解 解：由 a+
11、bi，得 1（a+bi）（1+i）（ab）+（a+b）i， a+b0 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题 3命题 p：x0，ex1，则命题 p 的否定是（ ） Ax0，ex1 Bx0，ex1 Cx00，e 1 Dx00，e 1 【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可 解：全称命题的否定是特称命题 命题 p：x0，ex1 的否定是：x00，ex01； 故选：C 【点评】本题考查命题的否定，注意量词的变化，是对基本知识的考查 4如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员 9 场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是 （ ） A乙所得分数的极差为 26
12、B乙所得分数的中位数为 19 C两人所得分数的众数相同 D甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数 【分析】根据极差，中位数，众数和平均数的定义，求出这些数，再将所得数据与各项 进行对照，即可得解 解：A、乙所得分数的极差为 33726，故本选项说法正确； B、乙所得分数的中位数为 19，故本选项说法正确； C、甲、乙两人所得分数的众数都为 22，故本选项说法正确； D、 甲 ， 乙 ，则甲乙，故本选项说法错误 故选：D 【点评】本题主要考查了茎叶图，要我们判断其中关于特征数的描述不正确的一项，着 重考查了茎叶图的认识，以及极差，平均数，中位数和众数的定义及求法等知识，属于 基础题 5已知 a
13、，b，cR，3a2，4b5，5c4，则下列不等关系中正确的是（ ） Aabc Bcba Ccab Dacb 【分析】3a2，4b5，5c4，alog32log94log541，b1，即可得出 a，b，c 的 大小关系 解：3a2，4b5，5c4， alog32log94log541，b1 acb 故选：D 【点评】本题考查了不等式的大小比较、对数函数的单调性性，考查了推理能力与计算 能力，属于基础题 6函数 f（x）sin（x ）的图象平移后对应的函数为 g（x）sin（x ），若 g（x） 为偶函数，则|的最小值为（ ） A B C D 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和函数的平移变
14、换的应用求出结果 【解答】函数 f（x）sin（x ）的图象平移后对应的函数为 g（x）sin（x ）， 由于 g（x）为偶函数， 所以 （kZ），解得 k ， 当 k0 时， ， 即|的最小值为 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的平移变换的应 用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 7函数 f（x） 的图象大致为（ ） A B C D 【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想进行判断排除即可 解：函数的定义域为x|x0， f（x） f（x），则函数 f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除 A， 当 x+，f（x）+排除 C
15、，D， 故选：B 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用奇偶性的定义以及极限思想结合排 除法是解决本题的关键比较基础 8 已知 m， n 为两条不同直线， ， 为两个不同的平面， 则下列说法中正确的个数是 （ ） 若 m，则 m； 若 m，m，则 ； 若 m，n，则 mn； 若 m，n，则 mn； A1 B2 C3 D4 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个命题得 答案 解：对于，若 m，则 m 或 m，故错误； 对于，若 m，m，则 或 与 ，故错误； 对于，若 m，则 m，又 n，mn，故正确； 对于，若 m，n，则 mn，故正确 说法正确的个数是
16、 2 故选：B 【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查 空间想象能力与思维能力，是中档题 9已知ABC 三内角 A，B，C 满足 cos2A+cos2B1+cos2C 且 2sinAsinBsinC，则下列结 论正确的是（ ） AAB，C BAB，C CAB，C DAB，C 【分析】 由二倍角的余弦函数公式化简已知可得 sin2A+sin2Bsin2C， 由正弦定理得： a2+b2 c2，可求 C ，由已知等式及二倍角公式可得 sin2Asin2B1，进而可求 AB，即 可得解 解：cos2A+cos2B1+cos2C， 12sin2A+12sin2B1+
17、12sin2C，可得：sin2A+sin2Bsin2C， 由正弦定理得：a2+b2c2， C ， 又sinC2sinAsinB， 可得：2sinAsinB2sinBcosB2sinAcosA1， 可得：sin2Asin2B1， 由于 A，B 为锐角，可得 AB 故选：D 【点评】本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，三角形内角和定理在解三角形中的综 合应用，考查了转化思想，属于基础题 10若点 A 为抛物线 y24x 上一点，F 是抛物线的焦点，|AF|6，点 P 为直线 x1 上的 动点，则|PA|+|PF|的最小值为（ ） A2 B2 C2+2 D8 【分析】先根据抛物线的定义可知，|AF|
18、 ，可求出 xA，代入抛物线方程后可得点 A 的坐标，设点 F 关于 x1 的对称点为 E，则 E（3，0），利用点关于直线的对称 性， 将问题进行转化， |PA|+|PF|PA|+|PE|AE|， 最后利用两点间距离公式求出线段|AE| 的长即可得解 解：由题意可知，p2，F（1，0）， 由抛物线的定义可知，|AF| ，xA5， 代入抛物线方程，得 ，不妨取点 A 为（5， ）， 设点 F 关于 x1 的对称点为 E，则 E（3，0）， |PA|+|PF|PA|+|PE|AE| 故选：B 【点评】本题考查抛物线的性质、点关于直线的对称问题等，考查学生的转化与化归能 力和运算能力，属于基础题
19、11已知三棱锥 PABC 中，PA1，PB ，CACBAB2，平面 PAB平面 ABC， 则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A B C D 【分析】取 AB 的中点 D，由题意可知点 D 为PAB 的外接圆的圆心，由平面 PAB平 面 ABC 得到 CD平面 PAB， 所以此三棱锥的外接球的球心在 CD 上，又ABC 为等边三角形，所以ABC 的外接圆 的半径即为三棱锥的外接球的半径， 利用正弦定理求出ABC 的外接圆的半径即可解题 解：取 AB 的中点 D，连接 CD，PD，如图所示： 因为 PA1，PB ，AB2，所以 AB2PA2+PB2， 所以PAB 为直角三角形，且APB90， 点
20、 D 是 AB 的中点，DADBDP， 点 D 为PAB 的外接圆的圆心， 又平面 PAB平面 ABC，且 CDAB， CD平面 PAB， 此三棱锥的外接球的球心在 CD 上， 又ABC 为等边三角形， ABC 的外接圆的圆心即为三棱锥的外接球的球心，ABC 的外接圆的半径即为三棱 锥的外接球的半径， 三棱锥的外接球的半径 R ， 此三棱锥的外接球的表面积为：4R24 ， 故选：B 【点评】本题主要考查了三棱锥的外接球的问题，是中档题 12已知函数 f（x）的定义域为（ ， ），f（x）是 f（x）的导函数若 f（x）cosx+f （x）sinx0，则关于 x 的不等式 f（x） f（ ）co
21、sx 的解集为（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ ， ）（ ， ） 【分析】 函数 f （x） 的定义域为 （ ， ） ， 不等式 f （x） f （ ） cosx， 即 令 g （x） ，x（ ， ），利用导数研究其单调性即可得出不等式的解集 解：函数 f（x）的定义域为（ ， ）， 不等式 f（x） f（ ）cosx，即 令 g（x） ，x（ ， ）， f（x）cosx+f（x）sinx0， g（x） 0， 函数 g（x）在 x（ ， ）上单调递减， ，即为：g（x）g（ ），解得 x 关于 x 的不等式 f（x） f（ ）cosx 的解集为（ ， ） 故选：C 【点评
22、】本题考查了利用导数研究函数的单调性解不等式、构造法、等价转化方法，考 查了推理能力与计算能力，属于中档题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知向量 （2，1）， （1，t），且| | |，则 t 2 【分析】根据向量垂直的等价条件以及平面向量的坐标运算，求值计算即可 解：| | |，则 ， 211t0，t2， 故答案是：2 【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据向量垂直的坐标公式进行求解是解决本 题的关键 14已知六张卡片上分别标有数字 1，2，3，4，5，6，随机取出两张卡片，则数字之和为 偶数的概率为 【分析】 基本事件总数 n 15， 数字之和为偶数
23、包含的基本事件个数 m 6， 由此能求出数字之和为偶数的概率 解：六张卡片上分别标有数字 1，2，3，4，5，6，随机取出两张卡片， 基本事件总数 n 15， 数字之和为偶数包含的基本事件个数 m 6， 则数字之和为偶数的概率 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 15已知双曲线 mx2+y21 的一条渐近线方程为 y x，则其焦点到渐近线的距离为 2 【分析】通过双曲线的渐近线方程，求出 m，求出焦点坐标，利用点到直线的距离转化 求解即可 解：双曲线 mx2+y21 的一条渐近线方程为 y x， 可得 ，解得 m ， 双曲
24、线方程为：y2 1，可得焦点坐标（0， ）， 焦点到渐近线的距离为： 2 故答案为：2 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 16 根据疾病防控的需要， 某医院要从感染科抽调两名医生随省医疗队赴武汉参加抗疫工作， 现有甲、乙、丙、丁、戊五名优秀医生申请作为志愿者参加为确定最终驰援武汉的人 选，医院领导组五位成员先各推荐两名人员，分别为“丁、戊”，“丙、戊”，“甲、 乙”，“乙、戊”，“甲、丁”根据最终入选名单发现五位领导中有一人推荐的两人 都没有入选，其余四人推荐的人选中各有一人入选根据以上信息判断，最后随省医疗 队参加抗疫的两名医生是 乙、丁 【分析】利用假设法，
25、分别假设哪两人没有入选，得出相对应的结论即可推出 解：由于最终入选名单发现五位领导中有一人推荐的两人都没有入选，其余四人推荐的 人选中各有一人入选， 若没有入选为甲、乙，则丁、戊一定入选，与“丁、戊”只有一人相矛盾， 若没有入选为甲、丁，则乙、戊一定入选，与“乙、戊”只有一人相矛盾， 若没有入选为乙、戊，则甲、丁一定入选，与“甲、丁”只有一人相矛盾， 若没有入选为丙、戊，则乙、丁一定入选，则甲没有入选，则符合题意要求， 故最后随省医疗队参加抗疫的两名医生是乙、丁， 故答案为：乙、丁 【点评】 本题考查简单的合情推理， 考查数据分析能力以及推理论证能力， 属于中档题 三、 解答题： 共 70 分
26、 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17记 Sn是等差数列an的前 n 项和，且 a1+S211，a2+a4a3+7 （1）求an的通项公式； （2）求数列 的前 n 项和 Tn 【分析】（1）设等差数列an的公差为 d，由等差数列的通项公式可得首项和公差的方 程组，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式； （2） 求得 （ ）， 再由数列的裂项相消求和， 计算可得所求和 解：（1）等差数列an的公差设为 d， 由 a1+S211，a2+a4a3+7，可得 3a
27、1+d11，2a1+4da1+2d+7，即 a 1+2d7， 解得 a13，d2， 则 an3+2（n1）2n+1； （2） （ ）， 可得 Tn （ ） （ ） 【点评】本题考查等差数列的通项公式的运用，同时考查数列的裂项相消求和，考查方 程思想和运算能力，是一道基础题 18如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，AB2，P 为 A1B1的中点 （1）证明：平面 PA1D平面 ABC1； （2）求多面体 PA1BDD1的体积 【分析】（1）推导出 BC1B1C，BC1AB，从而 BC1A1D，BC1A1P，从而 BC1平 面 PA1D 由此能证明平面 PA1D平面 ABC1
28、 （2） 多面体 PA1BDD1的体积为： V ，由此能求出结果 解：（1）证明：在长方体 ABCDA1B1C1D1中， AA1AD1，AB2，P 为 A1B1的中点 BC1B1C，BC1AB， B1CA1D，ABA1P，BC1A1D，BC1A1P， A1DA1PA1，BC1平面 PA1D， BC1平面 ABC1平面 PA1D平面 ABC1 （2）解：多面体 PA1BDD1的体积为： V 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题 19已知椭圆 E： 1，点 A，B 分别是椭圆的左，右顶点，P 是椭圆上
29、一点 （1）若直线 AP 的斜率为 2，求直线 PB 的斜率； （2）若点 P 的坐标为（ ，1），斜率为 的直线 l 与椭圆相交于 E，F（异于 P 点） 两点证明：PE，PF 的斜率 k1，k2的和为定值 【分析】（1）由椭圆的方程可得 A，B 的坐标，由题意可得中线 AP 的方程，与椭圆联 立求出 P 的坐标，进而求出直线 PB 的斜率； （2）设直线 l 的方程，与椭圆联立求出两根之和，两根之积，进而求出 k1，k2的和，求 出为定值 解：（1）由椭圆的方程可得 A（2，0），B（2，0）， 由题意可得中线 AP 的方程为：y2（x+2），设 P（m，n）， 联立直线与椭圆可得： ，整
30、理可得：9x2+32x+280，所以2 m ，所 以 m ， 代入直线 AP 中可得 n2（ 2） ，所以 P（ ， ）， 所以 kPB ， 所以直线 PB 的斜率为 ； （2）由题意设直线 l 的方程 x y+t，设 E（x1，y1），F（x2，y2）， 则直线 l 与椭圆联立 ，整理可得 4y2+2 ty+t240， 8t244（t24）0，即 t28，y1+y2 t，y1y2 ， 所以 k1+k2 0， 所以可证的 PE，PF 的斜率 k1，k2的和为定值 0 【点评】本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合应用，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 20 为了研究昼夜温差与引发感冒的情况
31、， 医务人员对某高中在同一时间段相同温差下的学 生感冒情况进行抽样调研，所得数据统计如表 1 所示，并将男生感冒的人数与温差情况 统计如表 2 所示 表 1 患感冒人数 不患感冒人数 合计 男生 30 70 100 女生 42 58 p 合计 m n 200 表 2 温差 x 6 7 8 9 10 患感冒人数 y 8 10 14 20 23 （1）写出 m，n，p 的值； （2）判断是否有 95%的把握认为在相同的温差下认为“性别”与“患感冒的情况”具有 相关性； （3）根据表 2 数据，计算 y 与 x 的相关系数 r，并说明 y 与 x 的线性相关性强弱（若 0.75 |r|1， 则认为
32、y 与 x 线性相关性很强； 0.3|r|0.75， 则认为 y 与 x 线性相关性一般； |r|0.25，则认为 y 与 x 线性相关性较弱） 附：参考公式：K2 ，na+b+c+d P（K2k0） 0.25 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 r ， （xi ） 210， （yi ） 2164， 20.2485 【分析】（1）根据表中数据直接可以算出结果； （2）由题中数据直接代入 K2公式，算出结果，进而判断结论； （3）由题算出 ， ，代入 r 公式即可算出结果，进而判断结论 解：（1）根
33、据表中数据直接可以得出 m72，n128，p100； （2）由题中数据直接代入 K2 ， 所以没有 95%的把握认为在相同的温差下认为 “性别” 与 “患感冒的情况” 具有相关性； （3）由题 ， ， 所以 ， 则 r ， 所以 y 与 x 的线性相关性很强 【点评】本题主要考查的是独立性检验及相关系数，是道基础题 21已知函数 f（x）x2lnx （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若关于 x 的不等式 f（x）ax+10 恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】（1）求导，判断导函数与 0 的关系，进而得出单调性情况； （2）问题转化为 恒成立，令 ，利用导数求其最小值即可 解： （1）
34、由已知，函数的定义域为（0，+）， ，令 f （x）0，解得 ， 当 时，f（x）0，f（x）在 ， 上单调递减， 当 时，f（x）0，f（x）在 ， 上单调递增 综上，f（x）的单调递减区间为 ， ，单调递增区间为 ， ； （2）f（x）ax+10 恒成立，即 x2lnxax+10 等价于 恒成立， 令 ， ，令 ，则 在（0，+）上恒成立， g（x）在（0，+）上单调递增， g（1）0， 0x1 时，g（x）0，g（x）在（0，1）上单调递减， x1 时，g（x）0，g（x）在（1，+）上单调递增， g（x）ming（1）1， a1，即实数 a 的取值范围为（，1 【点评】 本题考查利用导
35、数研究函数的单调性， 极值及最值， 考查不等式的恒成立问题， 考查转化思想及运算能力，属于中档题 一、选择题 22 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数方程为 （t 为参数， 且 t0） ， 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos 3sin10 （1）写出曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与 x 轴交点记为 M，与曲线 C 交于 P，Q 两点，求 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 解：（1）曲线 C 的参
36、数方程为 （t 为参数，且 t0），转换为直角坐标 方程为 y24x 直线 l 的极坐标方程为 cos3sin10，转换为直角坐标方程为 x3y10 （2）直线 l 与 x 轴交点记为 M，即（1，0），转换为参数方程为 （t 为参数）与曲线 C 交于 P，Q 两点， 把直线的参数方程代入方程 y24x 得到 ， 所以 ，t1t240， 则： 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型 选修 4-5：不等式选讲 23已知 a，b 为实数，且满足 3a2+4b212证明：
37、（1） ； （2）a+2b4 【分析】（1）根据基本不等式即可证明； （2）利用已知条件转化为椭圆上的点坐标，利用三角函数有界性，转化求解即可 【解答】证明：（1）3a2+4b24 |ab|，当且仅当 |a|2|b|取等号，且 3a2+4b212， 4 |ab|12， |ab| ， ab ； （2）证明：a，b 为实数，且满足 3a2+4b212 可得： ， 表示的图形是椭圆以及内部部分， 椭圆上的点为 （2cos， sin） ， a+2b2cos+2 sin4cos（ ）， 因为 cos（ ）1， 所以 4cos（ ）4 所以 a+2b4 【点评】本题考查不等式的证明，基本不等式的应用，三角函数的有界性以及两角和与 差的三角函数的应用，是中档题
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