1、2020 年高考数学一模试卷年高考数学一模试卷 一、选择题 1已知集合 Ax|x10，B1，0，1，2，那么 AB（ ） A1，0 B0，1 C1，0，1，2 D2 2函数 的定义域为（ ） A（1，2 B2，+） C（，1）1，+） D（，1）2，+） 3已知 ，则 a（ ） A1 B0 C1 D2 4若双曲线 ： 的一条渐近线与直线 y2x+1 平行，则 b 的值为（ ） A1 B C D2 5如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三 棱锥的体积为（ ） A4 B6 C8 D12 6已知 x1，那么在下列不等式中，不成立的是（ ） Ax210 B Csi
2、nxx0 Dcosx+x0 7在平面直角坐标系中，动点 M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每 12 分钟转 动一周若点 M 的初始位置坐标为 ， ，则运动到 3 分钟时，动点 M 所处位置的坐 标是（ ） A ， B ， C ， D ， 8 已知三角形 ABC， 那么 “ ” 是 “三角形 ABC 为锐角三角形” 的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9设 O 为坐标原点，点 A（1，0），动点 P 在抛物线 y22x 上，且位于第一象限，M 是线 段 PA 的中点，则直线 OM 的斜率的范围为（ ） A（0，1 B ， C ， D
3、 ， 10假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称 前者为被捕食者，后者为捕食者现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的 数学模型假设捕食者的数量以 x（t）表示，被捕食者的数量以 y（t）表示如图描述 的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向下列说法正 确的是：（ ） A若在 t1，t2时刻满足：y（t1）y（t2），则 x（t1）x（t2） B如果 y（t）数量是先上升后下降的，那么 x（t）的数量一定也是先上升后下降 C被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值 D被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者
4、的数量也会达到最大值 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11已知向量 （m，1）， （1，2）， （2，3），若 与 共线，则实数 m 12在（x ） 6 的展开式中常数项为 （用数字作答） 13圆心在 x 轴上，且与直线 l1：yx 和 l2：yx2 都相切的圆的方程为 14ABC 是等边三角形，点 D 在边 AC 的延长线上，且 AD3CD， ，则 CD ，sinABD 15设函数 ， ， ， 给出下列四个结论： 对a0，t R，使得 f（x）t 无解； 对t0，a R，使得 f（x）t 有两解； 当 a0 时，t0，使得 f（x）t 有解； 当 a2 时，t R，使得
5、 f（x）t 有三解 其中，所有正确结论的序号是 三、解答题共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16如图，在四棱锥 PABCD 中，PD面 ABCD，底面 ABCD 为平行四边形，ABAC， ABAC1，PD1 （）求证：AD平面 PBC； （）求二面角 DPCB 的余弦值的大小 17已知函数 ，且满足_ （）求函数 f（x）的解析式及最小正周期； （）若关于 x 的方程 f（x）1 在区间0，m上有两个不同解，求实数 m 的取值范围 从f（x）的最大值为 1，f（x）的图象与直线 y3 的两个相邻交点的距离等于 ， f（x）的图象过点 ， 这三个条件中选择一个，
6、补充在上面问题中并作答 18中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计 2020 年北斗全球系 统建设将全面完成下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别 定位的 50 个点位的横、 纵坐标误差的值， 其中 “ ” 表示北斗二代定位模块的误差的值， “+”表示北斗三代定位模块的误差的值（单位：米） （）从北斗二代定位的 50 个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于 10 米 的概率； （）从图中 A，B，C，D 四个点位中随机选出两个，记 X 为其中纵坐标误差的值小于 4 的点位的个数，求 X 的分布列和数学期望； （）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵
7、坐标误差的方差的大小（结论不要求证 明） 19已知椭圆 ： ，它的上，下顶点分别为 A，B，左，右焦点分别为 F1，F2，若四边形 AF1BF2为正方形，且面积为 2 （）求椭圆 E 的标准方程； （）设存在斜率不为零且平行的两条直线 l1，l2，它们与椭圆 E 分别交于点 C，D，M， N，且四边形 CDMN 是菱形，求出该菱形周长的最大值 20已知函数 f（x）x（lnxax）（a R） （）若 a1，求曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程； （）若 f（x）有两个极值点，求实数 a 的取值范围； （）若 a1，求 f（x）在区间（0，2a上的最小值 21数列 A：x1，x2，x
8、3，xn，对于给定的 t（t1，t N+），记满足不等式：xnxt t*（nt）（n N+，nt）的 t*构成的集合为 T（t） （）若数列 A：xnn2，写出集合 T（2）； （）如果 T（t） （t N+，t1）均为相同的单元素集合，求证：数列 x1，x2，xn， 为等差数列； （）如果 T（t）（t N+，t1）为单元素集合，那么数列 x1，x2，xn，还是等差 数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例 参考答案 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项 1已知集合 Ax|x10，B1，0，1，2，那
9、么 AB（ ） A1，0 B0，1 C1，0，1，2 D2 【分析】可以求出集合 A，然后进行交集的运算即可 解：Ax|x1，B1，0，1，2， AB2 故选：D 【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础 题 2函数 的定义域为（ ） A（1，2 B2，+） C（，1）1，+） D（，1）2，+） 【分析】根据二次根式被开方数大于或等于 0，列不等式求出解集即可 解：函数 ， 令 0，得 x20， 解得 x2， 所以 f（x）的定义域为2，+） 故选：B 【点评】本题考查了根据二次根式被开方数大于或等于 0 求函数定义域的问题，是基础 题 3已知 ，则 a（
10、 ） A1 B0 C1 D2 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条 件求解 a 值 解： ， 2（1+ai）（1i）1+a+（a1）i， ，即 a1 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题 4若双曲线 ： 的一条渐近线与直线 y2x+1 平行，则 b 的值为（ ） A1 B C D2 【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到关系式，求解即可 解：双曲线 ： 的一条渐近线 ybx 与直线 y2x+1 平行， 可得 b2 故选：D 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 5如图所示，某三棱锥的正（
11、主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三 棱锥的体积为（ ） A4 B6 C8 D12 【分析】几何体是一个三棱锥，根据三视图的数据，画出直观图，求解体积即可 解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，D1BCD， 根据三棱锥的三视图的面积，设出三棱锥两两垂直的三条侧棱分别是 DC4，BC3， DD12 三棱锥的体积是 4324 故选：A 【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原平面图形，是基础题 6已知 x1，那么在下列不等式中，不成立的是（ ） Ax210 B Csinxx0 Dcosx+x0 【分析】根据 x1，利用函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性即可判
12、断 出结论 解：x1，x210，x 2， 又sinx，cosx 1，1， sinxx0，cosx+x0 可得：ABC 成立，D 不成立 故选：D 【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能 力与计算能力，属于基础题 7在平面直角坐标系中，动点 M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每 12 分钟转 动一周若点 M 的初始位置坐标为 ， ，则运动到 3 分钟时，动点 M 所处位置的坐 标是（ ） A ， B ， C ， D ， 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出 3 分钟转过的角度，由此计算点 M 所处位置 的坐标 解：每 12 分钟转动一周，则运动到
13、3 分钟时，转过的角为 2 ； 点M的初始位置坐标为 ， ， 运动到3分钟时动点M所处位置的坐标是M （ ， ） 故选：C 【点评】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题 8 已知三角形 ABC， 那么 “ ” 是 “三角形 ABC 为锐角三角形” 的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】三角形 ABC，那么“ ” 0，可得 A 为锐角进 而判断出结论 解：三角形 ABC，那么“ ” 0，可得 A 为锐角此时 三角形 ABC 不一定为锐角三角形 三角形 ABC 为锐角三角形A 为锐角 三角形 ABC，那么“ ”是“三角形 ABC
14、 为锐角三角形”的必要 不充分条件 故选：B 【点评】本题考查了向量数量积运算性质、简易逻辑的判定方法、三角形的分类，考查 了推理能力与计算能力，属于基础题 9设 O 为坐标原点，点 A（1，0），动点 P 在抛物线 y22x 上，且位于第一象限，M 是线 段 PA 的中点，则直线 OM 的斜率的范围为（ ） A（0，1 B ， C ， D ， 【分析】设 P 的坐标，看可得 PA 的中点 M 的坐标，进而求出 OM 的斜率，由均值不等 式可得其取值范围 解：设 P（ ，y），y0，所以 PA 的中点 M（ ， ）， 所以 kOM ， 因为 y ，所以 0 ， 所以 kOM （0， ， 故选：
15、C 【点评】本题考查抛物线的性质，及均值不等式的性质，属于中档题 10假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称 前者为被捕食者，后者为捕食者现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的 数学模型假设捕食者的数量以 x（t）表示，被捕食者的数量以 y（t）表示如图描述 的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向下列说法正 确的是：（ ） A若在 t1，t2时刻满足：y（t1）y（t2），则 x（t1）x（t2） B如果 y（t）数量是先上升后下降的，那么 x（t）的数量一定也是先上升后下降 C被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或
16、最小值 D被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值 【分析】根据图象数形结合，逐一进行分析即可 解：由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故 A 不正确； 在曲线上半段中观察到 y（t）是先上升后下降，而 x（t）是不断变小的，故 B 不正确； 捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数 量的最值处， 同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取 最值的时候， 所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故 C 正确； 当捕食者数量最大时在图象最右端，x（t） （25，30），y（t
17、） （0，50）， 此时二者总和 x（t）+y（t） （25，80），由图象可知存在点 x（t）10，y（t）100， x（t）+y（t）110，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时， 被捕食者数量也会达到最大值，故 D 错误， 故选：C 【点评】本题考查的知识点是函数的图象和性质，本题比较抽象，理解起来有一定的难 度 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11已知向量 （m，1）， （1，2）， （2，3），若 与 共线，则实数 m 3 【分析】先求出 （m1，3），再由 与 共线，列方程能求出实数 m 解：向量 （m，1）， （1，2）， （2，3）， （m1
18、，3）， 与 共线， ，解得实数 m3 故答案为：3 【点评】本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则和向量共线的性质等基础 知识，考查运算求解能力，是基础题 12在（x ） 6 的展开式中常数项为 160 （用数字作答） 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 0，求出 r 的值，即可求得常数 项 解：在 的展开式中的通项公式为 Tr+1 2r x62r，令 62r0，求得 r3， 可得常数项为 23160， 故答案为：160 【点评】 本题主要考查二项式定理的应用， 二项展开式的通项公式， 二项式系数的性质， 属于基础题 13 圆心在 x 轴上， 且与直线 l1： y
19、x 和 l2： yx2 都相切的圆的方程为 （x1） 2+y2 【分析】设所求圆的方程为（xa）2+y2r2，利用圆与直线 l1：yx 和 l2：yx2 都 相切，即可得出结论 解：设所求圆的方程为（xa）2+y2r2， 因为圆与直线 l1：yx 和 l2：yx2 都相切，则 r， 解得 a1，r ， 所以圆的方程为（x1）2+y2 故答案为：（x1）2+y2 【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基 础 14ABC 是等边三角形，点 D 在边 AC 的延长线上，且 AD3CD， ，则 CD 2 ，sinABD 【分析】 根据题意画出图形， 利用余弦定理求出
20、 CD 的值， 再利用正弦定理求出 sinABD 的值 解：如图所示，等边ABC 中， AD3CD，所以 AC2CD； 又 ，所以 BD2BC2+CD22BC CD cosBCD， 即 （2CD） 2+CD22 2CD CD cos120， 解得 CD2， 所以 AD6； 由 ， 即 ， 解得 sinABD 故答案为：2， 【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题 15设函数 ， ， ， 给出下列四个结论： 对a0，t R，使得 f（x）t 无解； 对t0，a R，使得 f（x）t 有两解； 当 a0 时，t0，使得 f（x）t 有解； 当 a2 时，t R，
21、使得 f（x）t 有三解 其中，所有正确结论的序号是 【分析】可取 a3，由一次函数的单调性和基本不等式，可得 f（x）的值域，即可判断 ；取 a0，判断 f（x）的单调性，即可判断；考虑 a0 时，求得 f（x）的值域， 即可判断；当 a2 时，结合一次函数的单调性和基本不等式，以及 f（x）的图象，即 可判断 解：对于，可取 a3，则 f（x） ， ， ，当 x0 时，f（x）3（x+1） （，3）； 当 x0 时，f（x）2x3+23x2 2，当且仅当 x3 时，取得等号， 故 a3 时，f（x）的值域为 R，t R，f（x）t 都有解，故错误； 对于可取 a0 时，f（x） ， ， ，
22、可得 f（x）在 R 上单调递增， 对t0，f（x）t 至多一解，故错误； 对于，当 a0 时，x0 时，f（x）a（x+1）递减，可得 f（x）a；又 x0 时，x a0，即有 2xa1， 可得 2xa+2ax2，则 f（x）的值域为（a，+）， t0，f（x）t 都有解，故正确； 对于，当 a2 时，x0 时，f（x）a（x+1）递增，可得 f（x）a；当 x0 时，f （x）2xa+2ax2，当且仅当 xa 时，取得等号， 由图象可得，当 2t3 时，f（x）t 有三解，故正确 故答案为： 【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查方程的解的个数，注意运用反例法判断命 题不正确，以及数形结
23、合思想，考查推理能力，属于中档题 三、解答题共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16如图，在四棱锥 PABCD 中，PD面 ABCD，底面 ABCD 为平行四边形，ABAC， ABAC1，PD1 （）求证：AD平面 PBC； （）求二面角 DPCB 的余弦值的大小 【分析】（）由底面 ABCD 为平行四边形，得 ADBC，再由直线与平面平行的判定 可得 AD平面 PBC； （）过 D 作平行于 AC 的直线 Dx，以 D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 D xyz分别求出平面 PCB 与平面 PCD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得 二面角 DP
24、CB 的余弦值 【解答】（）证明：底面 ABCD 为平行四边形，ADBC， BC平面 PBC，AD平面 PBC， AD平面 PBC； （）解：过 D 作平行于 AC 的直线 Dx， ABAC，DxDC，又 PD面 ABCD， 以 D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 Dxyz 则 C（0，1，0），P（0，0，1），B（1，2，0）， （1，1，0）， （0，1，1）， 设平面 PCB 的一个法向量为 ， ， ， 由 ，取 y1，得 ， ， ； 取平面 PCD 的一个法向量 ， ， 则 cos ， 由图可知，二面角 DPCB 为钝角， 二面角 DPCB 的余弦值为 【点评】本题考查直线与
25、平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用 空间向量求解空间角，是中档题 17已知函数 ，且满足_ （）求函数 f（x）的解析式及最小正周期； （）若关于 x 的方程 f（x）1 在区间0，m上有两个不同解，求实数 m 的取值范围 从f（x）的最大值为 1，f（x）的图象与直线 y3 的两个相邻交点的距离等于 ， f（x）的图象过点 ， 这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答 【分析】（）利用二倍角公式和诱导公式化简函数 f（x）， 若满足，利用最大值求出 a 的值，写出 f（x）的解析式，求出最小正周期； （）令 f（x）1 求得方程的解，根据方程 f（x）1 在区间0，m
26、上有两个不同解找 出这两个解，从而写出实数 m 的取值范围 若满足，利用三角函数的图象与性质列出方程求得 a 的值，以下解法均相同 若满足，利用 f（x）的图象过点 ， ，代入求出 a 的值，以下解法均相同 解：（）函数 f（x）asin（2x ）2cos 2（x ） asin（2x ）cos（2x ）1 asin（2x ）sin（2x ）1 （a+1）sin（2x ）1， 若满足f（x）的最大值为 1，则 a+12，解得 a1， 所以 f（x）2sin（2x ）1； f（x）的最小正周期为 T ； （）令 f（x）1，得 sin（2x ）1， 解得 2x 2k，k Z； 即 x k，k Z；
27、 若关于 x 的方程 f（x）1 在区间0，m上有两个不同解，则 x 或 ； 所以实数 m 的取值范围是 ， ） 若满足f（x）的图象与直线 y3 的两个相邻交点的距离等于 ， 且 f（x）的最小正周期为 T ，所以（a+1）13，解得 a1； 以下解法均相同 若满足f（x）的图象过点 ， ， 则 f（ ）（a+1）sin 10，解得 a1； 以下解法均相同 【点评】本题考查了利用三角函数的基本性质求解析式问题，也考查了三角函数图象与 性质的应用问题，是中档题 18中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计 2020 年北斗全球系 统建设将全面完成下图是在室外开放的环境下，北斗
28、二代和北斗三代定位模块，分别 定位的 50 个点位的横、 纵坐标误差的值， 其中 “ ” 表示北斗二代定位模块的误差的值， “+”表示北斗三代定位模块的误差的值（单位：米） （）从北斗二代定位的 50 个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于 10 米 的概率； （）从图中 A，B，C，D 四个点位中随机选出两个，记 X 为其中纵坐标误差的值小于 4 的点位的个数，求 X 的分布列和数学期望； （）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小（结论不要求证 明） 【分析】（）通过图象观察，在北斗二代定位的 50 个点中，横坐标误差的绝对值大于 10 米有 3 个点，由古典概率的
29、计算公式可得所求值； （）通过图象可得，A，B，C，D 四个点位中纵坐标误差值小于4 的有两个点：C， D， 则 X 的所有可能取值为 0， 1， 2， 分别求得它们的概率， 作出分布列， 计算期望即可； （）通过观察它们的极差，即可判断它们的方差的大小 解： （）由图可得，在北斗二代定位的 50 个点中，横坐标误差的绝对值大于 10 米有 3 个点， 所以从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于 10 米的概率为 0.06； （）由图可得，A，B，C，D 四个点位中纵坐标误差值小于4 的有两个点：C，D， 所以 X 的所有可能取值为 0，1，2， P（X0） ， P（X1） ， P（X2
30、） ， 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 所以 X 的期望为 E（X）0 1 2 1； （）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代 【点评】本题考查古典概率的求法，以及随机变量的分布列和期望的求法，方差的大小 的判断，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题 19已知椭圆 ： ，它的上，下顶点分别为 A，B，左，右焦点分别为 F1，F2，若四边形 AF1BF2为正方形，且面积为 2 （）求椭圆 E 的标准方程； （）设存在斜率不为零且平行的两条直线 l1，l2，它们与椭圆 E 分别交于点 C，D，M， N，且四边形 CDMN 是菱形，求出该菱形周长的最大值 【分析】（）由
31、题意可得 bc，bc2，求得 b，再由 a，b，c 的关系可得 a，进而得 到所求椭圆方程； （）设 l1的方程为 ykx+m1，C（x1，y1），D（x2，y2），设 l2的方程为 ykx+m2， M（x3，y3），N（x4，y4），分别联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于 0，以及弦长公式，求得|CD|，|MN|，运用菱形和椭圆的对称性可得 l1，l2关于原点对称， 结合菱形的对角线垂直和向量数量积为 0，可得 3m122k220，设菱形 CDMN 的周长 为 l，运用基本不等式，计算可得所求最大值 解：（）因为四边形 AF1BF2为正方形，且面积为 2， 所以 bc，且 2c
32、 2b2，解得 bc1，a 22， 所以椭圆的标准方程： y 21； （）设 l1的方程为 ykx+m1，C（x1，y1），D（x2，y2）， 设 l2的方程为 ykx+m2，M（x3，y3），N（x4，y4）， 联立 可得（1+2k 2）x2+4km 1x+2m1 220， 由0 可得 16k2m124（1+2k2）（2m122）0，化简可得 2k2+1m120， x1+x2 ，x 1x2 ， |CD| |x1x2| ， 同理可得|MN| ， 因为四边形 CDMN 为菱形，所以|CD|MN|，所以 m12m22，又因为 m1m2，所以 m1 m2， 所以 l1，l2关于原点对称，又椭圆关于原
33、点对称， 所以 C，M 关于原点对称，D，N 也关于原点对称，所以 且 ， （2x1，2y1）， （2x2，2y2），因为四边形 CDMN 为菱形，可得 0， 即 x1x2+y1y20，即 x1x2+（kx1+m1）（kx2+m1）0，即（1+k2）x 1x2+km1（x1+x2）+m1 2 0， 可得（1+k2） km1 m12 0， 化简可得 3m122k220， 设菱形 CDMN 的周长为 l， 则l4|CD| 4 ， 当且仅当 2+2k21+4k2， 即 k2 时等号成立，此时 m1 21，满足， 所以菱形 CDMN 的周长的最大值为 4 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭
34、圆的位置关系，注意联立直线方程 和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于 0，主要考查化简运算能力和推理能力，属于难 题 20已知函数 f（x）x（lnxax）（a 一、选择题） （）若 a1，求曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程； （）若 f（x）有两个极值点，求实数 a 的取值范围； （）若 a1，求 f（x）在区间（0，2a上的最小值 【分析】（）先利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切线方程； （）先把 f（x）有两个极值点转化为方程 2a 有两个不等的正根，再利用数形 结合求出 a 的取值范围； （）先利用导函数的符号判断 f（x）在区间（0，2a上的单调性，进而解决其
35、最小值 解：f（x）x（lnxax），f（x）1+lnx2ax （）当 a1 时，f（1）1，f（1）1，曲线 yf（x）在点（1，f（1）处 的切线方程为 y（1）（x1）， 即 yx； （）若 f（x）有两个极值点，f（x）1+lnx2ax0 有两个不等的正根，即 2a 两个不等的正根 令 g（x） ，x0，g（x） ，令 g（x）0x1，当 x （0，1）时 g （x）0，此时 g（x）单调递增； 当 x （1，+）时 g（x）0，此时 g（x）单调递减；且 g（1）1，故 02a1， 解得：a （0， ） （）f（x）x（lnxax），f（x）1+lnx2ax，f（x） 2a，a1，x
36、 （0，2a，令 f（x）0x ， 当 x （0， ）时，f（x）0，此时 f（x）单调递增；当 x （ ，+）时，f（x） 0，此时 f（x）单调递减， 故 f（x）maxf（ ）ln（2a）0， f（x）在（0，2a上单调递减，故 f（x）在（0，2a上的最小值为 f（2a）2aln（2a） 2a2 【点评】 本题主要考查曲线的切线方程的求法及导数的综合应用， 属于一道有难度的题 21数列 A：x1，x2，x3，xn，对于给定的 t（t1，t N+），记满足不等式：xnxt t*（nt）（n N+，nt）的 t*构成的集合为 T（t） （）若数列 A：xnn2，写出集合 T（2）； （）如
37、果 T（t） （t N+，t1）均为相同的单元素集合，求证：数列 x1，x2，xn， 为等差数列； （）如果 T（t）（t N+，t1）为单元素集合，那么数列 x1，x2，xn，还是等差 数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例 【分析】（）推导出 n24t*（n2）（n N+，nt），当 n2 时，上式可化为 n+2 t*，5t*，当 n1 时，上式可化为 3t*，由此能求出 T（2）为3，5 （）T（t）（t N+，tl）中均只有同一个元素，不妨设为 a当 nt+1 时，有 xt+1 xta， （t1） ， 当 nt1 时， 有 xtxt 1a （t1） ， 由此能
38、证明数列 x1， x2， ， xn，为等差数列 （）设 T（i）a，T（j）b，1ij，ab，由 T（i）a，知 xjxia（j i），由 T（j）b，知：xixjb（ij），即 xjxib（ji），从而 a（ji） xjxib（ji），ab设 T（i）ti，则 t2t3tn，1ij，则 titj，推 导出 t2t3t4t5，由此能证明数列 x1，x2，xn，还是等差数列 解：（）由于 A： ，T（2）为满足不等式 （nt）（n N+）的 t* 构成的集合， n24t*（n2）（n N+，nt）， 当 n2 时，上式可化为 n+2t*， 5t*， 当 n1 时，上式可化为 3t*， T（2）为
39、3，5 （）证明：对于数列 A：x1，x2，x3，xn， 若 T（t）（t N+，tl）中均只有同一个元素，不妨设为 a， 下面证明数列 A 为等差数列， 当 nt+1 时，有 xt+1xta，（t1）， 当 nt1 时，有 xtxt1a（t1）， 两式对任意大于 1 的整数均成立， x t+1 xta（t1）成立， 数列 x1，x2，xn，为等差数列 （）对于数列 A：x1，x2，xn， 不妨设 T（i）a，T（j）b，1ij，ab， 由 T（i）a，知 xjxia（ji）， 由 T（j）b，知：xixjb（ij），即 xjxib（ji）， a（ji）xjxib（ji）， ab 设 T（i）
40、ti，则 t2t3tn， 这说明 1ij，则 titj， 对于数列 A：x1，x2，xn，T（t）（t N+，t1）中均只有一个元素， 首先考察 t2 时的情况，不妨设 x2x1， x2x1t2，又 T（2）为单元素集， x2x1t2， 再证 t3x3x2，证明如下： 由 t3x3x2，证明如下： 由 t3的定义可知：t3x3x2， ， ， ， 由 t2的定义可知 x3x2t2x2x1， t3x3x2 ， x3x2t3， t3t2，t3x3x2t2， 则存在正整数 m（m4），使得（m2）t2xmx2， x2x1t2x3x2t3x4x3xkxk 1 xmx2 （m2）t2，这与矛盾， t3t2， 同理可证 t2t3t4t5， 数列 x1，x2，xn，还是等差数列 【点评】本题考查集合的求法，考查等差数列的证明，考查等比数列的判断与证明，考 查推理论主能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题
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