1、20202020 年高三质量调查年高三质量调查数学试卷数学试卷 本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟. 参考公式： 如果事件BA,互斥，那么)()()(BPAPBAP. 如果事件BA,相互独立，那么)()()(BPAPABP. 柱体的体积公式VSh，其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高. 锥体的体积公式 1 3 VSh，其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高. 第 I 卷 注意事项： 1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 2本卷共 9 个小题，每小题 5 分，共 4
2、5 分. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1已知, a bR，若 i 2i i b a （i是虚数单位） ，则复数iab是 A.1 2i B12i C2i D2i 2设R，则“ 22 ”是“sin0”的 A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件 3已知函数 2 lnf xxxax.若曲线 yf x在点 1,1f处的切线与直线 y 2x平行，则实数a A 7 2 B2 C 3 2 D1 4在ABC中，90B，3AB，4BC，以边BC所在的直线为轴，将ABC 旋转一周，所成的曲面围成的几何体的体积为 A36 B12 C36 D12 5
3、为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取 部分学生参加环保知识测试，这些学生的成绩（分） 的频率分布直方图如图所示，数据（分数）的分组 依次为20,40，40,60，60,80，80,100. 若分数在区间20,40的频数为5，则大于等于60分的人数为 A15 B20 C35 D45 6 已知函数 25 x f xx.若 1 3 1 log 2 af ， 3 log5bf， 0.2 6cf， 则a， b，c的大小关系为 Aabc Bacb Ccab Dcba 7已知函数 sinf xx（0, 2 ）的最小正周期为，其图象关于直线 6 x 对称.给出下面四个结论：将 f x的图象向右平移 6
4、 个单位长度后得到的函 数图象关于原点对称；点 5 0 12 ， 为 f x图象的一个对称中心； 1 42 f ； f x在区间0 6 ， 上单调递增.其中正确的结论为 A B C D 8设双曲线 22 22 1 xy ab 0ab的两条渐近线与圆 22 10xy相交于A，B，C， D四点，若四边形ABCD的面积为12，则双曲线的离心率是 A. 10 3 B.10 C.10或 10 3 D2 10 9 在等腰梯形ABCD中，AB/CD，60BAD，8AB，4CD.若M为线段BC 的中点，E为线段CD上一点，且27AM AE，则DM DE A.15 B10 C 20 3 D5 第卷 注意事项：
5、o 40 60 80 20 0.02 100 0.015 0.01 a 分分 成绩成绩 / 频率频率 组距组距 1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定位置上. 2本卷共 11 个小题，共 105 分. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分, 共 30 分；答题直接填写结果，不必写计算或 推证过程. 10 已知集合 2,2 m A，,Bm n（,m nR） ， 且 1 4 AB， 则AB . 11在 5 2 1 2 x x 的展开式中， 5 x项的系数为 （用数字作答）. 12设0,0ab，若a与 2 b的等差中项是2，则 22 log2logab的最大值是 . 13 已知圆:
6、C 22 1116xy， 过点2,3P 的直线 L 与C相交于A，B两点， 且2 11AB ，则 L 的方程为 . 14天津市某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛，规则为:每位参赛教师都要回答3个 问题， 且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响， 若每答对1个问题， 得1分； 答错，得0分，最后按照得分多少排出名次，并分一、二、三等奖分别给予奖励.已知 对给出的3个问题，教师甲答对的概率分别为 3 1 , 4 2 p.若教师甲恰好答对3个问题的 概率是 1 4 ，则p ；在前述条件下，设随机变量X表示教师甲答对题目的个 数，则X的数学期望为 . 15 已知函数 2 0, 20. xxx
7、f x xx ， ， 若存在xR使得关于x的不等式 1f xax成 立，则实数a的取值范围是 . 三、解答题:本大题共 5 个小题,共 75 分；解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算 步骤. 16.（本小题满分 14 分） 在ABC中， 内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinsin 2 AB acA， 7c，23ab. （1）求角C的大小； （2）求sinCB的值. 17 （本小题满分 15 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC中，四边形 11 ABB A， 11 BBC C均为正方形，且 A1 A 1111 ABBC，M为 1 CC的中点， N为 1 AB的中点. （1
8、）求证：MN/平面ABC； （2）求二面角 1 BMNB的正弦值； （3）设P是棱 11 BC上一点，若直线PM与平面 1 MNB所成角的正弦值为 2 15 ，求 1 11 B P BC 的值. 18 （本小题满分 15 分） 已知抛物线:C 2 4 2yx的焦点为椭圆:E 22 22 1 xy ab （0ab）的右焦点，C 的准线与E交于P，Q两点，且2PQ. （1）求E的方程； （2）过E的左顶点A作直线L交E于另一点B，且BO（O为坐标原点）的延长线交E 于点M，若直线AM的斜率为1，求L的方程. 19.（本小题满分 15 分） 设 n a是等比数列， n b是等差数列.已知 4 8a
9、， 32 2aa，1 2 ba， 265 bba. （1）求 n a和 n b的通项公式； （2）设 21 21 2 21, +12 , mm n m abnm c bnm ， ， 其中mN，求数列 n c的前2n项和. 20.（本小题满分 16 分） 已知函数 ln1()f xxmxmR在1x 处取得极值A，函数 g xf x 1x ex ，其中2.71828e 是自然对数的底数. （1）求m的值，并判断A是 f x的最大值还是最小值； （2）求 g x的单调区间； （3）证明：对于任意正整数n，不等式 2 111 111 222n e 成立. 数学试卷参考答案数学试卷参考答案 一、选择题：
10、(本大题共 9 个小题，每小题 5 分，共 45 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B A D B C D C A D 二、填空题：(本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分) 10 1 2, 2, 4 1180 122 13280xy 14 2 3 ； 23 12 15, 30, 三、解答题： （本大题共 5 个小题，共 75 分） 16解： （1）由题设及正弦定理，得sinsinsinsin 2 AB ACA 1 分 在ABC中，因为sin0A ，所以sinsin 2 AB C 2 分 由于+ =A BC，从而sincos 22 ABC ， 所以cos2sin
11、cos 222 = CCC 4 分 在ABC中，因为0 22 C ，所以cos0 2 C ，所以 1 sin 22 C ， 所以 26 = C ，即 3 C 6 分 （2）在ABC中，由于7, 3 cC ， 则由余弦定理，得 22 72cos 3 abab ，即 22 7abab 8 分 因为23ab，所以 2 22 33 7 22 b bb ， 解得2b ，从而3a 10 分 在ABC中，由正弦定理，得 2 sin sin321 3 sin 777 bC B c 因为ABC中，27bc，且 3 C ，所以0 3 B ， 所以 2 2 212 7 cos1 sin1 77 BB 12 分 所以
12、sinsincoscossinCBCBCB 32 712121 272714 14 分 17解：因为四边形 11 ABB A， 11 BBC C均为正方形，所以 111111 ,ABBB BBBC 又 1111 ABBC， 从而以点 1 B为坐标原点，分别以向量 111 ,B B BC 11 B A的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,建立 如图所示的空间直角坐标系 1 Bxyz 1 分 不妨设 1 2BB，则有 1 0,0,0 ,2,0,0 ,BB 1 0,0,2 ,1,2,0 ,1,0,1AMN， 所以0, 2,1MN 2 分 （1）证明： 【方法一】易知，平面ABC的法向量为 1 2,0,0
13、B B 由于 1 0B B MN，所以 1 B BMN，即 1 BBMN 4 分 又因为MN平面ABC，所以MN/平面ABC5 分 【说明】本小题的其它解法如下（这里过程略述） ，若步骤完整、过程严谨，请参照 赋分标准，酌情赋分： 【方法二】取 1 B B的中点Q,连接MQ证明平面MNQ/平面ABC，进而证得 MN/平面ABC 【方法三】取AB的中点R,连接,CR NR先证明MN/CR,进而证得MN/平 面ABC （2）由题意，知0, 2,1MN,1,2,0 BM, 1 1,2,0B M 设平面MNB的法向量为, ,mx y z， A1 A B C M C1 B1 1 N P 则有 0, 0,
14、 m MN m BM 即 20, 20. yz xy 令1y，得2,1,2m 7 分 设平面 1 MNB的法向量为 111 ,nx y z， 则有 1 0, 0, n MN n B M 即 11 11 20, 20. yz xy 令 1 1y，得2,1,2 n8 分 所以1,3,3m nmn，所以 1 cos, 9 m n m n m n ， 10 分 设二面角 1 BMNB的大小为， 所以 2 4 5 sin1 cos, 9 m n 故所求二面角 1 BMNB的正弦值为 4 5 9 11 分 （3）设点0, ,0Pt（02t ） ，则1,2,0PMt, 且有 2 ,12,3PM nt PMt
15、n 设直线PM与平面 1 MNB所成角为， 则有 2 sincos, 15 PM n，即 2 2 15 3 12 t t ， 12 分 整理，得 2 2116200tt，解得 2 3 t 或 10 7 t （舍去） 14 分 所以 1 11 1 23 B Pt BC 15 分 18解： （1）易得，抛物线C的焦点F的坐标为 2,0，准线方程2x ， 所以椭圆E的右焦点 2,0F，左焦点为 2,0 F 2 分 设椭圆E的半焦距为c,依题意得 2 222 2, 2 2, , c b PQ a abc 解得2,2ab 5 分 故所求椭圆的方程为 22 1 42 xy 6 分 （2） 【方法一】由题意
16、，得E的左顶点2,0A 又知直线L的斜率存在，不妨设为k（0k ） ，点, BB B xy, 则直线AB方程为2yk x7 分 联立方程组 22 2 , 1. 42 yk x xy + 消去y并整理，得 2222 218840kxk xk， （）9 分 易得 2 222 84 21 84160kkk ， 所以点2, B x为方程（）的实数根， 从而 2 2 84 2= 21 B k x k ，所以 2 2 24 21 B k x k 所以 2 22 244 22 2121 BB kk yk xk kk 11 分 由题意，点,B M均在E上，且,B M关于原点O对称， 所以点, BB Mxy,即
17、 2 22 244 , 2121 kk M kk 12 分 因为1 AM k,所以 2 2 2 4 21 1 24 2+ 21 k k k k ，解得 1 2 k 14 分 故所求直线L的方程为 1 2 2 yx ，即220xy 15 分 【方法二】由题意，得E的左顶点2,0A ，直线AM的斜率为1， 所以直线AM的方程为2yx 7 分 联立方程组 22 2, 1. 42 yx xy 消去y并整理，得 2 3840xx 解得2x ，或 2 3 x 10 分 所以点M的横坐标 2 3 M x （因为2为点A的横坐标） ， 所以点M的纵坐标 4 3 M y，从而点 2 4 , 3 3 M 12 分
18、 由题意，点,B M均在E上，且,B M关于原点O对称， 所以点B的坐标为 24 , 33 ，所以 1 2 AB k 14 分 所以直线AB的方程为 1 2 2 yx , 即所求直线L的方程为220xy15 分 19解： （1）设等比数列 n a公比为q，由 432 8,2aaa， 得 3 1 2 11 8, 2 a q a qa q ， 消去 1 a并整理，得 2 440qq，2 分 解得2q ,从而 1 1a 所以 1 2n n a ； 3 分 设等差数列 n b的公差为d，由 12 ba, 265 bba， 得 1 2, 4616 b d ， 5 分 解得 1 2,2bd 所以2122
19、n bnn 6 分 （2）由（1）及题意，得 221, 212 , n n nnm c nnm ， ， 其中mN 8 分 当n为奇数时，不妨设数列 2nn的前n项和为S奇， 所以 13521n Scccc 奇 ， 即 3521 1 23 25 2212 n Sn 奇 ， 9 分 所以 3572121 41 23 25 2232212 nn Snn 奇 上述两式相减，得 352121 322 22 22 2212 nn Sn 奇 41 2121 21 4 5610 22122 1 433 n nn n n ， 11 分 所以S 奇 21 6510 2 99 n n 12 分 当n为偶数时，易得，
20、数列2 +1n前n项和为 2 541 =59 134123 2 nn Snnn 偶 14 分 设Cn的前 2n 项和为 T2n 则 2n TSS 奇偶 212 6510 223 99 n n nn 15 分 20解： （1）因为 ln1f xxmx（0,x） ， 所以 1 m fx x （ 0,x） 1 分 因为1x 是 f x的极值点，所以 10 f ， 即10 1 m ，所以1m 2 分 此时 ln1f xxx， 11 1 x fx xx ， （ 0,x） 易得，当01x时， 0fx；当1x 时， 0fx， 所以函数 f x在区间0,1上单调递减；在区间1,上单调递增，4 分 所以函数 f
21、 x在1x 处的极值A是最小值5 分 （2）由（1）知，1m ，所以 1 ln1 x g xex ，且0,x 所以 1 1 x gxe x 6 分 设 1 1 x h xe x （0,x） ，则 1 2 1 x h xe x 7 分 显然，当0x 时， 0h x恒成立， 所以函数 h x在0,x上单调递增，且 10h9 分 所以,当01x时， 0h x ，即 0gx； 当1x 时， 0h x ，即 0gx 所以，函数 g x的单调递减区间为0,1；单调递增区间为1, 11 分 （3）证明：由（1）可知, 当1x 时， 10f xf，即1lnxx 12 分 不妨令 1 1 2n x （nN） ， 则有 11 ln 1 22 nn （nN） 13 分 所以 1212 1111111 ln 1ln 1ln 111 2222222 nnn ， 即 2 111 ln1111ln 222 n e15 分 因为函数lnyx在区间1,上单调递增， 所以 2 111 111 222 n e（得证） 16 分
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