1、2020 年辽宁省辽阳市高考数学二模试卷（理科）年辽宁省辽阳市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题） 1若集合 Mx|x3，Nx|x24，则 MN（ ） A（2，3） B（，2） C（2，3） D（，2）（2，3） 2设 zi+（2i）2，则 （ ） A3+3i B33i C5+3i D53i 3已知抛物线 C：x22py（p0）的准线 l 平分圆 M：（x+2）2+（y+3）24 的周长，则 p（ ） A2 B3 C6 D3 4设等比数列an的前 n 项和是 Sn，a22，a516，则 S6（ ） A63 B63 C31 D31 5已知向量 ， ， ， ， ， ，若 ，则 （
2、 ） A12 B6 C6 D3 6已知动点 P（x，y）在由直线 l1：2xy+10，l2：2x+y+50 和 xy+10 围成的封闭 区域（含边界）内，则 的取值范围为（ ） A（，13，+） B（，17，+） C ， ， D ， ， 7已知直线 a平面 ，则“平面 平面 ”是“直线 a平面 ”的（ ） A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、 癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二 地支”地支又与十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、
3、猴、鸡、狗、猪”依 次对应，“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配， 组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅癸酉；甲戌、乙亥、丙子 癸未；甲申、乙酉、丙戌癸巳；，共得到 60 个组合，称六十甲子，周而复始， 无穷无尽.2020 年是“干支纪年法”中的庚子年，那么 2086 年出生的孩子属相为（ ） A猴 B马 C羊 D鸡 9 已知等差数列an的公差为2， 前n项和为Sn， 且S1 ， S 2 ， S 4成等比数列 令 ， 则数 列bn的前 50 项和 T50（ ） A B C D 10已知函数 ，且 f（5a2）f（a2），则 a 的取值范围是（ ） A（0
4、，+） B（，0） C ， D ， 11已知点 A1，A2分别为双曲线 C： ， 的左、右顶点，直线 ykx 交双曲线于 M， N 两点， 若 4， 则双曲线 C 的离心率为 （ ） A B2 C D 12已知函数 ， ， ， ， ，则函数 g（x）2f（x）2mf（x）2 的零点个 数为（ ） A3 B1 或 3 C3 或 4 或 5 D1 或 3 或 5 二、填空题：把答案填在答题卡中的横线上. 13已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时， ， ， ， ， 则 f（f （9） 14已知（x2）6a0+a1x+a2x2+a6x6，则 15已知函数 f（x）|sinx|cosx
5、，给出以下四个命题： f（x）的图象关于 y 轴对称； f（x）在，0上是减函数； f（x）是周期函数； f（x）在，上恰有两个零点 其中真命题的序号是 （请写出所有真命题的序号） 16已知菱形 ABCD 的边长为 ，BAD60，沿对角线 BD 将菱形 ABCD 折起，使得 二面角 ABDC 为钝二面角，且折后所得四面体 ABCD 外接球的表面积为 36，则二 面角 ABDC 的余弦值为 三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1721 题为必考题，每个 试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题 17在ABC 中，角 A，B，C 所对的边
6、分别为 a，b，c，a3，b2， （1）求 sinB 的值； （2）若ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积 18某家政公司对部分员工的服务进行民意调查，调查按各项服务标准进行量化评分，婴幼 儿保姆部对 4050 岁和 2030 岁各 20 名女保姆的调查结果如表： 分数 年龄 （0，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 4050 岁 0 2 4 7 7 2030 岁 3 5 5 5 2 （1）若规定评分不低于 80 分为优秀保姆，试分别估计这两个年龄段保姆的优秀率； （2） 按照大于或等于 80 分为优秀保姆， 80 分以下为非优秀保姆统计 作出 22 列联表， 并
7、判断能否有 95%的把握认为对保姆工作质量的评价是否优秀与年龄有关 （3）从所有成绩在 70 分以上的人中按年龄利用分层抽样抽取 10 名保姆，再从这 10 人 中选取 3 人给大家作经验报告，设抽到 4050 岁的保姆的人数为 ，求出 的分布列与 期望值 下面的临界值表供参考： P（K2k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式： ，其中 na+b+c+d 19如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，已知ABC 是直角三角形，侧面 ABB1A1是矩形，AB
8、 BC1，BB12， （1）证明：BC1AC （2）E 是棱 CC1的中点，求直线 B1C 与平面 ABE 所成角的正弦值 20已知椭圆 C： 的离心率为 ，设直线 l 过椭圆 C 的上顶点和右 焦点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为 2 （1）求椭圆 C 的方程 （2）过点 P（8，0）且斜率不为零的直线交椭圆 C 于 M，N 两点，在 x 轴的正半轴上是 否存在定点 Q，使得直线 MQ，NQ 的斜率之积为非零的常数？若存在，求出定点 Q 的坐 标；若不存在，请说明理由 21已知函数 （1）讨论 f（x）的极值点的个数； （2）若 f（x）有 3 个极值点 x1，x2，x3（其中 x1x2
9、x3），证明：x1x3x22 （二）选考题：请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ， （ 为参数）以坐 标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 已知射线 L 的极坐标方程为 （ 0） （1）求曲线 C 的极坐标方程与射线 L 的直角坐标方程； （2）若射线 L 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|OA|2 |OB|+|OB|2 |OA| 选修 4-5：不等式选讲 23已知 a0，函数 f（x）|ax1|，g（x）|ax+2| （1）若 f（x）g（x），
10、求 x 的取值范围； （2）若 f（x）+g（x）|210a7|对 xR 恒成立，求 a 的最大值与最小值之和 参考答案参考答案 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1若集合 Mx|x3，Nx|x24，则 MN（ ） A（2，3） B（，2） C（2，3） D（，2）（2，3） 【分析】求出集合 M，N，由此能求出 MN 解：集合 Mx|x3， Nx|x24x|x2 或 x2， MN（，2）（2，3） 故选：D 2设 zi+（2i）2，则 （ ） A3+3i B33i C5+3i D53i 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 解：zi+（2i）2i
11、+414i33i， 则 3+3i， 故选：A 3已知抛物线 C：x22py（p0）的准线 l 平分圆 M：（x+2）2+（y+3）24 的周长，则 p（ ） A2 B3 C6 D3 【分析】求出抛物线的准线方程，利用圆的圆心在准线上，转化求解即可 解：抛物线 C：x22py 的准线为 ， 抛物线 C：x22py（p0）的准线 l 平分圆 M：（x+2）2+（y+3）24 的周长， 所以 ，则 p6 故选：C 4设等比数列an的前 n 项和是 Sn，a22，a516，则 S6（ ） A63 B63 C31 D31 【分析】利用等比数列通项公式求出首项与公比，由此能求出 S6 解：设an的公比为
12、q，则 ， 解得 q2，a11， 所以 故选：A 5已知向量 ， ， ， ， ， ，若 ，则 （ ） A12 B6 C6 D3 【分析】根据 ，求出 m 的值，代入即可得到答案 解：由 ，得 3m+6m0，解得 m3， 所以 ， ， ， ， 则 故选：C 6已知动点 P（x，y）在由直线 l1：2xy+10，l2：2x+y+50 和 xy+10 围成的封闭 区域（含边界）内，则 的取值范围为（ ） A（，13，+） B（，17，+） C ， ， D ， ， 【分析】作出可行域，目标函数表示可行域内的点与原点连线的斜率，数形结合可得 解：画出直线 l1：2xy+10，l2：2x+y+50 和 x
13、y+10 围成的封闭区域（含边界） 如图： 由 ，解得 B（2，1）， 由 ，解得 A（0，1） 结合可行域， 的几何意义为可行域内的点到点 D（1，2）的斜率， 1， 3， 可得 z（，13，+） 故选：A 7已知直线 a平面 ，则“平面 平面 ”是“直线 a平面 ”的（ ） A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据线面平行、面面垂直的性质即可判断出结论 解：若直线 a平面 ，平面 平面 ，此时直线 a 与平面 可能平行，所以充分性不 成立； 若直线 a平面 ，直线 a平面 ，则平面 平面 ，所以必要性成立， 故选：B 8“干支纪年法”是我国历
14、法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、 癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二 地支”地支又与十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”依 次对应，“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配， 组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅癸酉；甲戌、乙亥、丙子 癸未；甲申、乙酉、丙戌癸巳；，共得到 60 个组合，称六十甲子，周而复始， 无穷无尽.2020 年是“干支纪年法”中的庚子年，那么 2086 年出生的孩子属相为（ ） A猴 B马 C羊 D鸡 【分析】直接利用周期的应用求出结果 解：六十甲子
15、，周而复始，无穷无尽， 即周期是 60，2086 年与 2026 年一样，2020 年是庚子年，2021 年是辛丑年，2022 年是壬 寅年，2023 年是癸卯年，2024 年是甲辰年，2025 年是乙巳年，2026 年是丙午年， 则 2086 年出生的孩子属相为马 故选：B 9 已知等差数列an的公差为2， 前n项和为Sn， 且S1 ， S 2 ， S 4成等比数列 令 ， 则数 列bn的前 50 项和 T50（ ） A B C D 【分析】本题先根据等差数列的求和公式写出 S1，S2，S4关于 a1的表达式，然后根据等 比中项的性质列出算式并解出 a1的值，即可得到等差数列an的通项公式，
16、进一步可计 算出数列bn的通项公式，再运用裂项相消法可计算出前 50 项和 T50的值 解：由题意，可知 S1a1 ， ， ， S1，S2，S4成等比数列， S22S1 S4，即 ， 解得 a11， an1+2 （n1）2n1， ， T50b1+b2+b50 （1 ） （ ） （ ） （1 ） （1 ） 故选：D 10已知函数 ，且 f（5a2）f（a2），则 a 的取值范围是（ ） A（0，+） B（，0） C ， D ， 【分析】根据题意，分析 f（x）的奇偶性与单调性，据此可得 f（5a2）f（a2） f（5a2）f（a+2）5a2a+2，解可得 a 的取值范围，即可得答案 解：根据题意
17、，函数 ，其定义域为 R， 又由 f（x） f（x），f（x）为奇函数， 又 ，函数 y9 x+1 为增函数，则 f（x）在 R 上单调递增； f（5a2）f（a2）f（5a2）f（a+2）5a2a+2，解可得 ； 故 a 的取值范围为（ ，+）； 故选：D 11已知点 A1，A2分别为双曲线 C： ， 的左、右顶点，直线 ykx 交双曲线于 M， N 两点， 若 4， 则双曲线 C 的离心率为 （ ） A B2 C D 【分析】设出 M 的坐标，利用双曲线方程，通过直线的斜率的关系，求解双曲线的离心 率即可 解：设 M（x0，y0），则 ， 同理可得 ， 所以 ， 即 ，所以双曲线 C 的离
18、心率为 故选：C 12已知函数 ， ， ， ， ，则函数 g（x）2f（x）2mf（x）2 的零点个 数为（ ） A3 B1 或 3 C3 或 4 或 5 D1 或 3 或 5 【分析】求出导函数，判断函数的单调性，画出函数 f（x）的图象，令 f（x）t，则方 程必有两根 t1 ， t 2（t1t2） 且 t1t21， ， ， 此时恰有 t1e， ， 当 t1e 时， 当 t1e 时， 当et10 时， 判断函数的零点个数， 推出结果即可 解：若 ， ，当 ， 时，f（x）0，f（x）在 ， 上单调递增； 若 xe，+），f（x）0，f（x）在e，+）上单调递减 由此可画出函数 f（x）的图
19、象，如图所示令 f（x）t，则方程必有两根 t1，t2（t1t2） 且 t1t21， 注意到 ， ，此时恰有 t1e， ，满足题意 当 t1e 时，有 ， 此时 f（x）t1有 1 个根，此时 f（x）t2有 2 个根； 当 t1e 时，必有 ， ， 此时 f（x）t1有 0 个根，此时 f（x）t2有 3 个根； 当et10 时，必有 此时 f（x）t1有 2 个根，此时 f（x）t2有 1 个根 综上所述，对任意的 m，函数 g（x）2f（x）2mf（x）2 的零点只有 3 个 故选：A 二、填空题：把答案填在答题卡中的横线上. 13已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，
20、 ， ， ， ， 则 f（f （9） 1 【分析】根据题意，由偶函数的性质可得 f（9）f（9），由解析式求出 f（9）的值， 即可得 f（9）的值，代入函数的解析式计算可得答案 解：根据题意，因为 f（x）是定义在 R 上的偶函数，所以 f（9）f（9）， 又由当 x0 时， ， ， ， ， ，则 f（9）log392， 则 f（9）2， 所以 故答案为：1 14已知（x2）6a0+a1x+a2x2+a6x6，则 【分析】先根据已知求出 a3和 a0进而求得结论 解：因为（x2）6a0+a1x+a2x2+a6x6， 故 a3为 x3的系数； 因为 ，所以 a3160 令 x0，得 ，所以 故
21、答案为： 15已知函数 f（x）|sinx|cosx，给出以下四个命题： f（x）的图象关于 y 轴对称； f（x）在，0上是减函数； f（x）是周期函数； f（x）在，上恰有两个零点 其中真命题的序号是 （请写出所有真命题的序号） 【分析】利用函数的奇偶性判断；函数的单调性判断；利用函数的周期性判断； 通过函数的零点判断，推出结果 解：对于，函数 f（x）sinxcosx 的定义域为 R，且满足 f（x）f（x）， 所以 f（x）是定义域在 R 上的偶函数，其图象关于 y 轴对称，为真命题； 对于，当 x，0时，sinx0， ， 对于 ， ， ，所以在，0上先减后增，那么 f（x）在 ，0上
22、先增后减，为假命题； 对于，因为 f（x+2）|sin（x+2）|cos（x+2）|sinx|cosxf（x），函数 f（x） 是周期为 2 的周期函数，为真命题； 对于，当 x，0时，sinx0， ，且 ， ， f（x）在，0上恰有一个零点是 ，又由知道 f（x）是定义在 R 上的偶函数，所 以在（0，上有一个零点是 ， 则为真命题 故答案为： 16已知菱形 ABCD 的边长为 ，BAD60，沿对角线 BD 将菱形 ABCD 折起，使得 二面角 ABDC 为钝二面角，且折后所得四面体 ABCD 外接球的表面积为 36，则二 面角 ABDC 的余弦值为 【分析】作出草图，分析可得AEC 是二面
23、角 ABDC 的平面角，依题意，外接球的 半径为 3，再求出 ，HE2，进而得到 ，由此得解 解：由已知得，ABD 和BCD 均为正三角形，如图，设 E 为 BD 的中点，延长 CE， 作 AHEC 交 EC 于点 H， 易得AEC 是二面角 ABDC 的平面角， 作BCD 的中心 F，则 F 在 EC 上，且 FC2EF，作 FGHA，作 AGHC，AGGF G， 可知四面体 ABCD 外接球的球心 O 在 GF 上， 设外接球的半径为 R，则 R3， 在 RtAGO 和 RtCFO 中，由于 ，EF1， 所以 R2CF2+OF2，R2OG2+AG2，AE2AH2+HE2， 解得 ，HE2，
24、 从而 ， 所以二面角 ABDC 的余弦值为 故答案为： 三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1721 题为必考题，每个 试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题 17在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，a3，b2， （1）求 sinB 的值； （2）若ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积 【分析】（1）由正弦定理得到 2R ，再次利用正弦定理即可求出 sinB； （2）先由 sinB 的值求出 cosB 的值，再利用余弦定理求出 c，即可利用三角形面积公式 求出结果 解：（1）由正弦定理， ，可化为 ， 解得
25、 ， ； （2）因为ABC 为锐角三角形，所 ， 所以 b2a2+c22accosB，即 ， 解得 或 ， 当 时，a 2b2+c2，此时 A 为钝角，舍去 所以 ， 18某家政公司对部分员工的服务进行民意调查，调查按各项服务标准进行量化评分，婴幼 儿保姆部对 4050 岁和 2030 岁各 20 名女保姆的调查结果如表： 分数 年龄 （0，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 4050 岁 0 2 4 7 7 2030 岁 3 5 5 5 2 （1）若规定评分不低于 80 分为优秀保姆，试分别估计这两个年龄段保姆的优秀率； （2） 按照大于或等于 80 分为优秀保姆
26、， 80 分以下为非优秀保姆统计 作出 22 列联表， 并判断能否有 95%的把握认为对保姆工作质量的评价是否优秀与年龄有关 （3）从所有成绩在 70 分以上的人中按年龄利用分层抽样抽取 10 名保姆，再从这 10 人 中选取 3 人给大家作经验报告，设抽到 4050 岁的保姆的人数为 ，求出 的分布列与 期望值 下面的临界值表供参考： P（K2k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式： ，其中 na+b+c+d 【分析】（1）利用频率分布表转化求解概率
27、即可 （2）求出 k2，然后判断是否有 95%的把握认为对保姆工作质量的评价与年龄有关 （3）求出 的求值，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可 解：（1）根据表格可知 4050 岁的保姆优秀的概率 ，2030 岁的保姆优秀 的概率为 ， （2）成绩与年龄列联表 优秀 非优秀 合计 4050 岁 14 6 20 2030 岁 7 13 20 合计 21 19 40 根据列联表中的数据，得到 ， 所以有 95%的把握认为对保姆工作质量的评价与年龄有关 （3）成绩在 7（0 分）以上的 4050 岁的保姆有 18 人，2030 岁的保姆有 12 人， 从 4050 岁的保姆中选 6 人，2030
28、 岁的保姆中选 4 人， 的取值为 0，1，2，3； ， ， ， ， 故 的分布列如下表所示： 0 1 2 3 P 故 19如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，已知ABC 是直角三角形，侧面 ABB1A1是矩形，AB BC1，BB12， （1）证明：BC1AC （2）E 是棱 CC1的中点，求直线 B1C 与平面 ABE 所成角的正弦值 【分析】（1）推导出 ABBC，ABBB1从而 AB平面 BCC1B1，进而 ABBC1推 导出 BCBC1从而 BC1平面 ABC由此能证明 BC1AC （2）以 B 为坐标原点，分别以 BC，BA，BC1为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 利
29、用向量法能求出直线 B1C 与平面 ABE 所成角的正弦值 解：（1）证明：因为ABC 是直角三角形，BABC，所以 ABBC 因为侧面 ABB1A1是矩形，所以 ABBB1 因为 BCBB1B，所以 AB平面 BCC1B1，从而 ABBC1 因为 BC1，CC12， ，所以 ，即 BCBC1 因为 BCABB，所以 BC1平面 ABC 所以 BC1AC （2）解：由（1）知，以 B 为坐标原点，分别以 BC，BA，BC1为 x 轴，y 轴，z 轴建立 空间直角坐标系， 则 B（0，0，0），C（1，0，0），A（0，1，0）， ， ， ， ， ， 设面 ABE 的法向量为 ， ， ， 由 ，
30、得 ， ， ， 令 z1 1，得 ， ， 又 （2，0， ）， 设直线 B1C 与平面 ABE 所成角的大小为 ， 则 sin ， 所以直线 B1C 与平面 ABE 所成角的正弦值为 20已知椭圆 C： 的离心率为 ，设直线 l 过椭圆 C 的上顶点和右 焦点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为 2 （1）求椭圆 C 的方程 （2）过点 P（8，0）且斜率不为零的直线交椭圆 C 于 M，N 两点，在 x 轴的正半轴上是 否存在定点 Q，使得直线 MQ，NQ 的斜率之积为非零的常数？若存在，求出定点 Q 的坐 标；若不存在，请说明理由 【分析】（1）设椭圆的半焦距为 c，通过离心率结合懂得珍惜的
31、距离公式求出 a，b，得 到椭圆方程 （2）依题意设直线 MN 的方程为 xmy+8，M（x1，y1），N（x2，y2）联立方程组 ， ， 消去 x 得（m2+2）y2+16my+480，通过韦达定理，假设存在定点 Q（t， 0）（t0），使得直线 MQ，NQ 的斜率之积为非零常数，则 转化求解即可 解：（1）设椭圆的半焦距为 c，根据题意，得 因为 l 过椭圆 C 的上顶点和右顶点，所以 l 的方程为 ，即 bx+cybc0 又由点 O 到直线 l 的距离为 2，得 ，所以 设 a2k， ，则 b2a2c22k28，解得 k2，从而 a4， 所以椭圆 c 的方程为 （2）依题意设直线 MN
32、的方程为 xmy+8，M（x1，y1），N（x2，y2） 联立方程组 ， ， 消去 x 得（m2+2）y2+16my+480，（16m）2448 （m2+2）64m23840， 所以 ， ， ， 假设存在定点 Q（t，0）（t0），使得直线 MQ，NQ 的斜率之积为非零常数， 则 要使 kMQkNQ为非零常数，当且仅当 t2160，即 t4 时成立， 此时， ， 所以 x 轴的正半轴上存在定点 Q（4，0），使得直线 MQ，NQ 的斜率之积为常数 21已知函数 （1）讨论 f（x）的极值点的个数； （2）若 f（x）有 3 个极值点 x1，x2，x3（其中 x1x2x3），证明：x1x3x22
33、 【分析】（1）求出导函数，构造 ，利用函数的导数判断函数的单调性求出函数 的极值，推出函数 f（x）的极值点的个数 （2） f （x） 有 3 个极值点 x1 ， x 2 ， x 3（其中 x1x2x3） ， 得到 ， 且 x21， 即 ， 要证 x1x31， 设 ， k1， 得到 x3x1lnk， 通过联立 ， ， 推出 ， 要证 x1x31， 只需 ， k1， 需证明 转 化证明 利用函数的导数判断函数的单调性转化证明即可 【解答】（1）解：f（x）（x1）ex+a（x2x）（x1）（ex+ax）， 令 ， ，故 g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调 递增， 在（，0）上单
34、调递减，且当 x0 时，g（x）0 当 a0 时，f（x）有 2 个极值点，当ea0 时，f（x）只有 1 个极值点， 当 ae 时，f（x）有 3 个极值点 （2）证明：因为 f（x）有 3 个极值点 x1，x2，x3（其中 x1x2x3），所以 ， 且 x21，即得 ， 要证 ，即 x1x31， 由 ，得 ， 设 ，k1， ，所以 x3 x1lnk， 联立 ， ， 得 ， ， 所以 ， 所以要证 x1x31，只需 ，k1， 则有 ，即 ，则需证明 令 ，t1，即需证明 因为 恒成立， 所以 h（t）在 t（1，+）上是单调递减函数，则有 ， 即 成立，所以 x1x31，即 得以证明 一、选
35、择题 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ， （ 为参数）以坐 标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 已知射线 L 的极坐标方程为 （ 0） （1）求曲线 C 的极坐标方程与射线 L 的直角坐标方程； （2）若射线 L 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|OA|2 |OB|+|OB|2 |OA| 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用极径的应用和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 解：（1）曲线 C 的参数方程为 ， （ 为参数）转换为直角坐标方程 为（x4）2+（y+1）28，转换为极坐标方程
36、为 28cos+2sin+90 射线 L 的极坐标方程为 （0）转换为直角坐标方程为 yx （2）射线 L 与曲线 C 交于 A，B 两点， 所以 ，整理得 ， 所以 ，AB9， 所以|OA|2 |OB|+|OB|2 |OA| 选修 4-5：不等式选讲 23已知 a0，函数 f（x）|ax1|，g（x）|ax+2| （1）若 f（x）g（x），求 x 的取值范围； （2）若 f（x）+g（x）|210a7|对 xR 恒成立，求 a 的最大值与最小值之和 【分析】（1）双绝对值不等式，两边同时平方 （2）恒成立问题转化为最值，然后解绝对值不等式 解：（1）因为 f（x）g（x），所以|ax1|ax+2|， 两边同时平方得 a2x22ax+1a2x2+4ax+4， 即 6ax3， 当 a0 时，x ， 当 a0，时 x （2）因为 f（x）+g（x）|ax1|+|ax+2|（ax1）（ax+2）|3， 所以 f（x）+g（x）的最小值为 3， 所以|210a7|3，则3210a73， 解得 lg2alg5， 故 a 的最大值与最小值之和为 lg2+lg5lg101
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