1、2020 年广东省高考数学一模试卷（文科）年广东省高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题） 1已知集合 A，B 均为全集 U1，2，3，4，5，6，7的子集，集合 A1，2，3，4， 则满足 AUB1，2的集合 B 可以是（ ） A1，2，3，4 B1，2，7 C3，4，5，6 D1，2，3 2复数 （i 为虚数单位）的虚部为（ ） A1 B2 C5 D1 3已知向量 ， 向量 满足 2 （1，m），若 ，则 m（ ） A3 B3 C1 D2 4已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 F1，F2，上、下顶点分别为 A， B，若四边形 AF2BF1是正方形且面积为 4，则椭圆 C 的方程
2、为（ ） A B C D 5如图，OAB 是边长为 2 的正三角形，记OAB 位于直线 xt（0t2）左侧的图形 的面积为 f（t），则 yf（t）的大致图象为（ ） A B C D 6若 ，则 的值为（ ） A B C D 7甲、乙两人分别从 4 种不同的图书中任选 2 本阅读，则甲、乙两人选的 2 本恰好相同的 概率为（ ） A B C D 8某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一 样的正三棱锥后得到的如果被截正方体的棱长为 40cm，则石凳子的体积为（ ） A B C D 9执行如图的程序框图，若输出 A 的值为 ，则输入 i 的值为（ ） A4 B
3、5 C6 D7 10已知 O 是坐标原点，双曲线 C： 1（a0，b0）的右焦点为 F，过点 F 的 直线 l 与 x 轴垂直，且交双曲线 C 于 A，B 两点，若ABO 是等腰直角三角形，则双曲 线 C 的离心率为（ ） A B C D 11在ABC 中，已知 A60，D 是边 BC 上一点，且 BD2DC，AD2，则ABC 面 积的最大值为（ ） A B C2 D 12已知 f（x）是定义在（ ， ）上的奇函数，f（1）0，且当 x（0， ）时，f（x） +f（x）tanx0，则不等式 f（x）0 的解集为（ ） A（1，0）（1， ） B（1，0）（0，1） C（ ，1）（1， ） D（
4、 ，1）（0，1） 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13设函数 f（x）mx2lnx，若曲线 yf（x）在点（e，f（e）处的切线与直线 ex+y+2020 0 平行，则 m 14若 x，y 满足约束条件 ，则 z2x+y 的最大值为 15如图，已知三棱锥 PABC 满足 PAPBPCAB2，ACBC，则该三棱锥外接球 的体积为 16函数 f（x）sinx+acosx 满足 f（x）f（ x），x0， ，方程 f（x）m0 恰 有两个不等的实根，则实数 m 的取值范围为 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知an为单调递增的等差数列，设其前 n 项和为
5、 Sn，S520，且 a3，a5+1，a9成等 比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）求 Sn的最小值及取得最小值时 n 的值 18某城市 2018 年抽样 100 户居民的月均用电量（单位：千瓦时），以160，180），180， 200），200，220），220，240），240，260），260，280），280，300分组，得到 如表频率分布表： 分组 频数 频率 160，180） n1 0.04 180，200） 19 f1 200，220） n2 0.22 220，240） 25 0.25 240，260） 15 0.15 260，280） 10 f2 280，300 5 0
6、.05 （1）求表中 n1，n2，f1，f2的值，并估计 2018 年该市居民月均用电量的中位数 m； （2） 该城市最近十年的居民月均用电量逐年上升， 以当年居民月均用电量的中位数 u （单 位：千瓦时）作为统计数据，如图是部分数据的折线图 由折线图看出，可用线性回归模型拟合 u 与年份 t 的关系 为简化运算，对以上数据进行预处理，令 xt2014，yu195，请你在答题卡上完 成数据预处理表； 建立 u 关于 t 的线性回归方程，预测 2020 年该市居民月均用电量的中位数 附：回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， 19如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1，D 是 AB
7、 的中点，E 是 C1C 的中点，且 AB1，AA1 2 （1）证明：CD平面 A1EB； （2）求点 A1到平面 BDE 的距离 20动圆 C 与 x 轴交于 A（x1，0），B（x2，0）两点，且 x1，x2是方程 x2+2mx40 的两 根 （1）若线段 AB 是动圆 C 的直径，求动圆 C 的方程； （2）证明：当动圆 C 过点 M（0，1）时，动圆 C 在 y 轴上截得弦长为定值 21已知函数 f（x）ex+（me）xmx2 （1）当 m0 时，求函数 f（x）的极值； （2）当 m0 时，证明：在（0，1）上 f（x）存在唯一零点 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23
8、题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C1的极坐标方程为 cos2sin1 若 P 为曲线 C1上的动点， Q 是射线 OP 上的 一动点，且满足|OP| |OQ|2，记动点 Q 的轨迹为 C2 （1）求 C2的直角坐标方程； （2）若曲线 C1与曲线 C2交于 M，N 两点，求OMN 的面积 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 （1）当 k1 时，解不等式 f（x）1； （2）若 f（x）x 对于任意的实数 x 恒成立，求实数 k 的取值范围 参考
9、答案参考答案 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 A，B 均为全集 U1，2，3，4，5，6，7的子集，集合 A1，2，3，4， 则满足 AUB1，2的集合 B 可以是（ ） A1，2，3，4 B1，2，7 C3，4，5，6 D1，2，3 【分析】根据题意得出 1，2B，即可判断结论 解：集合 A，B 均为全集 U1，2，3，4，5，6，7的子集，集合 A1，2，3，4， 要满足 AUB1，2； 则 1，2B， 故符合条件的选项为 C 故选：C 【点评】本题考查集合了的交、并、补集的混合运算问题，是基础题 2复数 （i 为虚数单位）的虚部为（ ） A1 B
10、2 C5 D1 【分析】利用复数的运算法则即可得出 解：z i， 复数 的虚部是 1， 故选：D 【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题 3已知向量 ， 向量 满足 2 （1，m），若 ，则 m（ ） A3 B3 C1 D2 【分析】由题意利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质、两个向量的数量 积公式，求得 m 的值 解：向量 ， ，向量 满足 2 （1，m），设 （ x，y）， 则（1+x，2+y）（1，m），1+x1，且2+ym， 求得 x2，my2 若 ，则 y1y0，故 y1， my23， 故选：A 【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质、两个向量
11、的数 量积公式，属于基础题 4已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 F1，F2，上、下顶点分别为 A， B，若四边形 AF2BF1是正方形且面积为 4，则椭圆 C 的方程为（ ） A B C D 【分析】由四边形 AF2BF1是正方形且面积为 4 可得 b，c 的值，再由 a，b，c 之间的关 系求出 a 的值，进而求出椭圆的面积 解：由 AF2BF1是正方形可得 bc， 再由 AF2BF1的面积为 4 可得 2c 2b4，即 bc2，又 a 2b2+c2， 解得：a24，b22， 所以椭圆的方程为： 1； 故选：A 【点评】本题考查椭圆的性质，及正方形的面积与对角线的关系，属于中档题 5如图，O
12、AB 是边长为 2 的正三角形，记OAB 位于直线 xt（0t2）左侧的图形 的面积为 f（t），则 yf（t）的大致图象为（ ） A B C D 【分析】根据面积的变换趋势与 t 的关系进行判断即可 解：当 0x1 时，函数的面积递增，且递增速度越来越快，此时，CD，不合适， 当 1x2 时，函数的面积任然递增，且递增速度逐渐变慢，排除 A， 故选：B 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数递增速度与 t 的关系是解决本 题的关键难度不大 6若 ，则 的值为（ ） A B C D 【分析】由已知利用诱导公式可求 sin 的值，进而利用诱导公式，二倍角的余弦函数公 式化简所求即可求
13、解 解： ， 可得 sin ， cos22sin 212（ ）21 故选：B 【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应 用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 7甲、乙两人分别从 4 种不同的图书中任选 2 本阅读，则甲、乙两人选的 2 本恰好相同的 概率为（ ） A B C D 【分析】基本事件总数 n ，由此能求出甲、乙两人选的 2 本恰好相同的概率 解：甲、乙两人分别从 4 种不同的图书中任选 2 本阅读， 基本事件总数 n ， 则甲、乙两人选的 2 本恰好相同的概率 p 故选：C 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力
14、以及化归 与转化思想，是基础题 8某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一 样的正三棱锥后得到的如果被截正方体的棱长为 40cm，则石凳子的体积为（ ） A B C D 【分析】由正方体的体积减去八个正三棱锥的体积求解 解：如图， 正方体 AC1 的棱长为 40cm，则截去的一个正三棱锥的体积为 cm3 又正方体的体积为 V40404064000cm3， 石凳子的体积为 64000 cm3， 故选：B 【点评】本题考查多面体体积的求法，考查计算能力，是基础题 9执行如图的程序框图，若输出 A 的值为 ，则输入 i 的值为（ ） A4 B5 C6 D7 【分析
15、】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 A 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 解：模拟程序的运行，可得 A ，k1 满足条件 1i，执行循环体，A ，k2 满足条件 2i，执行循环体，A ，k3 满足条件 3i，执行循环体，A ，k4 满足条件 4i，执行循环体，A ，k5 满足条件 5i，执行循环体，A ，k6 由题意，此时不满足条件 6i，退出循环，输出 A 的值为 ， 可得输入 i 的值为 5 故选：B 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 10已知 O 是坐标原
16、点，双曲线 C： 1（a0，b0）的右焦点为 F，过点 F 的 直线 l 与 x 轴垂直，且交双曲线 C 于 A，B 两点，若ABO 是等腰直角三角形，则双曲 线 C 的离心率为（ ） A B C D 【分析】由双曲线的性质，结合通径以及半焦距，可得 a，c 的方程，运用离心率公式计 算即可得到 解：由题意可知：|AF| ， 双曲线 C： 1（a0，b0）的右焦点为 F，过点 F 的直线 l 与 x 轴垂直， 且交双曲线 C 于 A，B 两点，若ABO 是等腰直角三角形，可得 c ， ee21，e1 解得 e 故选：A 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾
17、股 定理的运用，灵活运用双曲线的定义是解题的关键 11在ABC 中，已知 A60，D 是边 BC 上一点，且 BD2DC，AD2，则ABC 面 积的最大值为（ ） A B C2 D 【分析】先根据向量的三角形法则得到 ；对其两边平方，求出 bc 的取 值范围即可求得结论 解：因为在ABC 中，已知 A60，D 是边 BC 上一点，且 BD2DC，AD2， ； （ ） ； 2 ； 即：4 c 2 bc cos60 b 236c2+2bc+4b22 2bc6bc； bc6，（当且仅当 2bc 时等号成立）； SABC bcsinA 6 即ABC 面积的最大值为： 故选：B 【点评】本题考查ABC
18、的面积的求法以及向量知识的综合应用，涉及到基本不等式， 属于中档题目 12已知 f（x）是定义在（ ， ）上的奇函数，f（1）0，且当 x（0， ）时，f（x） +f（x）tanx0，则不等式 f（x）0 的解集为（ ） A（1，0）（1， ） B（1，0）（0，1） C（ ，1）（1， ） D（ ，1）（0，1） 【分析】令 g（x）f（x）sinx，g（x）f（x）+f（x）tanx cosx，当 x（0， ） 时，根据 f（x）+f（x）tanx0，可得函数 g（x）单调递增又 g（1）0，可得 x （0，1）时，g（x）f（x）sinx0，sinx0，解得 f（x）0x0 时，f（0）
19、0， 舍去根据 f（x）是定义在（ ， ）上的奇函数，可得 g（x）是定义在（ ， ）上 的偶函数进而得出不等式 f（x）0 的解集 解：令 g（x）f（x）sinx，g（x）f（x）cosx+f（x）sinxf（x）+f（x）tanx cosx， 当 x（0， ）时，f（x）+f（x）tanx0，g（x）0，即函数 g（x）单调递增 又 g（1）0，x（0，1）时，g（x）f（x）sinx0，sinx0，解得 f（x）0 x0 时，f（0）0，舍去 f（x）是定义在（ ， ）上的奇函数，g（x）是定义在（ ， ）上的偶函数 不等式 f（x）0 的解集为（1，0）（0，1） 故选：B 【点评】
20、本题考查了利用导数研究的单调性、构造法、方程与不等式的解法、分类讨论 方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13设函数 f（x）mx2lnx，若曲线 yf（x）在点（e，f（e）处的切线与直线 ex+y+2020 0 平行，则 m 【分析】求出 f（x）的导数，然后根据切线与直线 ex+y+20200 平行，得 f（e） e，列出关于 m 的方程，解出 m 的值 解：f（x）m（2xlnx+x）， 又曲线 yf（x）在点（e，f（e）处的切线与直线 ex+y+20200 平行， f（e）3eme，解得 m 故答案为
21、： 【点评】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，同时考查学生运用方程思想解题 的能力和运算能力 14若 x，y 满足约束条件 ，则 z2x+y 的最大值为 7 【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数 形结合即可得目标函数的最值 解：画出 x，y 满足约束条件 ，可行域如图阴影部分 由 ，得 A（2，3） 目标函数 z2x+y 可看做斜率为2 的动直线，其纵截距越大 z 越大， 由图数形结合可得当动直线过点 A 时，z 最大22+37 故答案为：7 【点评】本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形 结合的思想方法，属于基础题
22、15如图，已知三棱锥 PABC 满足 PAPBPCAB2，ACBC，则该三棱锥外接球 的体积为 【分析】因为 ACBC，所以ABC 的外接圆的圆心为斜边 AB 的中点 D，再由 PAPB PC 可得球心 O 在直线 PD 所在的直线上，设为 O，然后在直角三角形中由勾股定理可 得外接球的半径，进而求出外接球的体积 解：因为 ACBC，所以ABC 的外接圆的圆心为斜边 AB 的中点 D， 可得外接圆的半径为 r 1， 再由 PAPBPCAB2 可得 PD面 ABC，可得 PD ， 可得球心 O 在直线 PD 所在的直线上，设外接球的半径为 R，取 OPOAR， 在OAD 中，R2r2+（PDR）
23、2， 即 R21+（ R）2，解得：R ， 所以外接球的体积 V R3 ， 故答案为： 【点评】本题考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的体积公式，属于中 档题 16函数 f（x）sinx+acosx 满足 f（x）f（ x），x0， ，方程 f（x）m0 恰 有两个不等的实根，则实数 m 的取值范围为 或2m1 【分析】首先利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步利用函数的图象求出函数 f （x）的图象和函数 ym 的交点，进一步求出结果 解： 函数 f （x） sinx+acosx 满足 f （x） f （ x） ， 则函数的对称轴为 x ， 当 x 时， 函数 f（x）取得最值
24、， 即 ，整理得 ，解得 a ， 所以 f（x）sin 2sin（ ） 由于 x0， ，所以 ， 根据函数的图象， 当 或2m1 时， 函数的 f （x） 的图象与 ym 有两个交点， 即方程 f （x） m0 恰有两个不等的实根， 故答案为： 或2m1 【点评】 本题考查的知识要点： 三角函数关系式的恒等变换， 正弦型函数的性质的应用， 函数的图象的应用，函数的零点和函数的图象的交点的关系的应用，主要考查学生的运 算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知an为单调递增的等差数列，设其前 n 项和为 Sn，S520，且 a3，a5+1，a9
25、成等 比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）求 Sn的最小值及取得最小值时 n 的值 【分析】（1）设等差数列的公差为 d，d0，由等差数列的求和公式和通项公式，结合 等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式； （2）由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，注意 n 为正整数，可得所求最 值 解：（1）an为单调递增的等差数列，设公差为 d，d0， 由 S520，可得 5a1+10d20，即 a1+2d4， 由 a3，a5+1，a9成等比数列，可得 a3a9（a5 +1） 2，即（a 1+2d） （a1+8d）（a1+4d+1） 2， 化为 2a1d2a1+1
26、+8d， 由解得 d ，a15， 则 an 5 （n1） （n11）； （2）Sn n（5 ） （n 221n） （n ）2 ， 由于 n 为正整数，可得 n10 或 11 时，Sn取得最小值 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及等比中项的性质，考查 方程思想和化简运算能力，属于基础题 18某城市 2018 年抽样 100 户居民的月均用电量（单位：千瓦时），以160，180），180， 200），200，220），220，240），240，260），260，280），280，300分组，得到 如表频率分布表： 分组 频数 频率 160，180） n1 0.04 180，2
27、00） 19 f1 200，220） n2 0.22 220，240） 25 0.25 240，260） 15 0.15 260，280） 10 f2 280，300 5 0.05 （1）求表中 n1，n2，f1，f2的值，并估计 2018 年该市居民月均用电量的中位数 m； （2） 该城市最近十年的居民月均用电量逐年上升， 以当年居民月均用电量的中位数 u （单 位：千瓦时）作为统计数据，如图是部分数据的折线图 由折线图看出，可用线性回归模型拟合 u 与年份 t 的关系 为简化运算，对以上数据进行预处理，令 xt2014，yu195，请你在答题卡上完 成数据预处理表； 建立 u 关于 t 的
28、线性回归方程，预测 2020 年该市居民月均用电量的中位数 附：回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， 【分析】（1）根据频数、频率和样本容量的关系可分别求出 n1，n2，f1，f2的值；设样 本的中位数为 a，根据中位数的性质可列出关于 a 的方程，解之即可得解； （2）根据折线图中的数据和 xt2014，yu195，算出每组数据对应的 x 和 y 值 即可； 由中的数据，可求出 ， ，再根据 ， 的参考公式，求出这两个系数后可得 y 关于 x 的线性回归方程，再把 t 和 u 代入化简即可得 u 关于 t 的线性回归方程；令 t2020， 算出 u 的值就是所求 解：（1）n
29、11000.044；n21000.2222； ； 设样本频率分布表的中位数为 a，则 0.04+0.19+0.22+0.25 ，解得 a 224， 由样本估计总体，可估计 2018 年该市居民月均用电量的中位数 m 为 224 千瓦时 （2）数据预处理如下表： xt2014 4 2 0 2 4 yu195 21 11 0 19 29 由可知， ， ， ， ， y 关于 x 的线性回归方程为 ， xt2014，yu195，u1956.5（t2014）+3.2， 故 u 关于 t 的线性回归方程为 u6.5t12892.8， 当 t2020 时，u6.5202012892.8237.2（千瓦时）
30、故预测 2020 年该市居民月均用电量的中位数为 237.2 千瓦时 【点评】本题考查对频数、频率分布表的认识、线性回归方程的求法，考查学生对数据 的分析与处理能力，属于基础题 19如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1，D 是 AB 的中点，E 是 C1C 的中点，且 AB1，AA1 2 （1）证明：CD平面 A1EB； （2）求点 A1到平面 BDE 的距离 【分析】 （1）取 A1B 的中点 F，连接 EF，DF，由三角形中位线定理可得 DFA1A，DF ， 再由已知得到 DFEC， DFEC， 得四边形 CDEF 为平行四边形， 则 CDEF 由 直线与平面平行的判定可得 CD平面 A
31、1EB； （2）证明 CD平面 A1ABB1，又由（1）知，CDEF，得到 EF平面 A1ABB1，再证明 AB平面 CDE，得 ABDE，则 BDDE，分别求出平面 BDE 与平面 A1BD 的体积，然 后利用等体积法求点 A1到平面 BDE 的距离 【解答】（1）证明：取 A1B 的中点 F，连接 EF，DF， D，F 分别是 AB，A1B 的中点，DFA1A，DF ， A1AC1C，A1AC1C，E 是 C1C 的中点， DFEC，DFEC，可得四边形 CDEF 为平行四边形，则 CDEF CD平面 A1EB，EF平面 A1EB， CD平面 A1EB； （2）解：ABC 是正三角形，D
32、是 AB 的中点，CDAB， ABCA1B1C1是直三棱柱，A1A平面 ABC，则 A1ACD A1AABA，CD平面 A1ABB1， 又由（1）知，CDEF，EF平面 A1ABB1， AB1，AA12，CD ，则 在 RtCDE 中，DE ABCD，ABCE，CDCEC， AB平面 CDE，得 ABDE，则 BDDE 设点 A1到平面 BDE 的距离为 d， 由 ，得 ， 即 ，则 d 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用 等体积法求点到平面的距离，是中档题 20动圆 C 与 x 轴交于 A（x1，0），B（x2，0）两点，且 x1，x2是方程 x2+
33、2mx40 的两 根 （1）若线段 AB 是动圆 C 的直径，求动圆 C 的方程； （2）证明：当动圆 C 过点 M（0，1）时，动圆 C 在 y 轴上截得弦长为定值 【分析】（1）由韦达定理可得到 x1+x22m，x1x24，从而求得圆心与半径，进而 求得动圆 C 的方程； （2）先设出动圆 C 的方程，再由题设条件解决 D、E、F 的值，进而求出动圆 C 在 y 轴 上截得弦长 解：（1）x1，x2是方程 x2+2mx40 的两根，x1+x22m，x1x24 动圆 C 与 x 轴交于 A（x1，0），B（x2，0）两点，且线段 AB 是动圆 C 的直径， 动圆 C 的圆心 C 的坐标为 （
34、m， 0） ， 半径为 动圆 C 的方程为（x+m）2+y2m2+4； （2）证明：设动圆 C 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F0，动圆 C 与 y 轴交于 M（0，1）， N（0，y1），令 y0 则 x2+Dx+F0， 由题意可知 D2m， F4， 又动圆 C 过点 M （0， 1） ， 1+E40， 解得 E3 令 x0，则 y2+3y40，解得 y1 或 y4，y14动圆 C 在 y 轴上截得弦 长为|y11|5 故动圆 C 在 y 轴上截得弦长为定值 【点评】本题主要考查圆的方程及被坐标轴截得的弦长的问题，属于基础题 21已知函数 f（x）ex+（me）xmx2 （1）当 m0
35、时，求函数 f（x）的极值； （2）当 m0 时，证明：在（0，1）上 f（x）存在唯一零点 【分析】（1）将 m0 带入，求导得 f（x）exe，再求出函数 f（x）的单调性，进 而求得极值； （2）求导得 f（x）ex2mx+me，令 g（x）f（x），对函数 g（x）求导后，可 知 g（x）f（x）在（0，1）上单调递增，而 g（0）0，g（1）0，进而函数 f（x） 在（0，1）上的单调性，再运用零点存在性定理可得证 解：（1）当 m0 时，f（x）exex，f（x）exe， 又 f（x）是增函数，且 f（1）0， 当 x1 时，f（x）0，当 x1 时，f（x）0， f（x）在（，1
36、）上单调递减，在（1，+）上单调递增， 当 x1 时，f（x）取得极小值 f（1）0，无极大值； （2）证明：f（x）ex2mx+me，令 g（x）f（x）ex2mx+me，则 g（x） ex2m， 当 m0 时，则 g（x）0，故 g（x）f（x）在（0，1）上单调递增， 又 g（0）f（0）1+me0，g（1）f（1）m0， 存在 x0（0，1），使得 g（x0）f（x0）0，且当 x（0，x0）时，f（x）0， f（x）是减函数， 当 x（x0，1）时，f（x）0，f（x）是增函数， 又f（0）1，f（1）0， f（x）在（0，1）上存在唯一零点 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极
37、值及函数的零点，考查推理论证能力及运 算求解能力，属于中档题 一、选择题 22在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C1的极坐标方程为 cos2sin1 若 P 为曲线 C1上的动点， Q 是射线 OP 上的 一动点，且满足|OP| |OQ|2，记动点 Q 的轨迹为 C2 （1）求 C2的直角坐标方程； （2）若曲线 C1与曲线 C2交于 M，N 两点，求OMN 的面积 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果 解：（1）曲线
38、 C1的极坐标方程为 cos2sin1 若 P 为曲线 C1上的动点，Q 是射线 OP 上的一动点，且满足|OP| |OQ|2，记动点 Q 的 轨迹为 C2 设 P（1，），Q（，）， 则：1cos21sin1，即 ， 由于|OP| |OQ|2， 所以 2cos4sin，整理得 22cos4sin，转换为直角坐标方程为：（x1） 2+（y+2）25（原点除外） （2）曲线 C1的极坐标方程为 cos2sin1 转换为直角坐标方程为：x2y10 曲线 C2的圆心为（1，2），半径为 ， 所以圆心到直线 C1的距离 d 所以|MN| 由于点 O 到 C1的距离 所以 【点评】本题考查的知识要点：参
39、数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点 到直线的，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力， 属于基础题型 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 （1）当 k1 时，解不等式 f（x）1； （2）若 f（x）x 对于任意的实数 x 恒成立，求实数 k 的取值范围 【分析】 （1） 由题意可得|x1| |x+3|3， 由零点分区间法和绝对值的定义， 去绝对值， 解不等式，求并集，可得所求解集； （2）由题意可得|xk| |x+3|x+2 恒成立讨论 x2 恒成立，x2 时，可得|x k| 恒成立， 讨论2x1， x1 时， 结合绝对值不等式的解法和恒成立思想，
40、可得所求范围 解：（1）当 k1 时，不等式 f（x）1 即为|x1| |x+3|3， 等价为 或 或 ， 解得 1x 或1x1 或 x， 则原不等式的解集为1， ； （2）f（x）x 对于任意的实数 x 恒成立，即为|xk| |x+3|x+2 恒成立 当 x2 时，|xk| |x+3|0x+2 恒成立； 当 x2 时， |xk| |x+3|x+2 恒成立等价为|xk| x+2， 即|xk| 恒成立， 当2x1 时，|xk| 恒成立； 当 x1 时，|xk| 恒成立等价为 xk 或 xk 恒成立 即 x2k+1 或 x （k ）恒成立， 则 2k+11 解得 k1， 所以 k 的取值范围是（，1 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问 题解法，注意运用转化思想和分类讨论思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档 题
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