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    浙江省宁波市鄞州区2020年5月中考模拟考试数学试卷(含答案)

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    浙江省宁波市鄞州区2020年5月中考模拟考试数学试卷(含答案)

    1、浙江省宁波市鄞州区浙江省宁波市鄞州区 2020 届九年级届九年级 5 月中考模拟考试数学试题月中考模拟考试数学试题 一选择题(共一选择题(共 10 小题)小题) 13 的相反数是( ) A3 B3 C D 2下列计算正确的是( ) A32aa Ba2a3a6 C (a2)3a6 D(a1)a1 3 疫情期间, 某地向武汉捐赠口罩 1200000 只, 其中数 1200000 用科学记数法表示是 ( ) A12105 B12106 C1.2105 D1.2106 4如图所示的几何体的俯视图是( ) A B C D 5如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员 10 次选拔赛成绩的数据信息,要根据表中

    2、的 信息选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择的运动员是( ) 甲 乙 丙 丁 平均数 (cm) 562 559 562 560 方差 S2(cm2) 3.5 3.5 15.5 16.5 A甲 B乙 C丙 D丁 6能说明命题“若 ab,则 3a2b“为假命题的反例为( ) Aa3,b2 Ba2,b3 Ca2,b3 Da3,b2 7 在一条道路上, 甲从 A 地出发到 B 地, 乙从 B 地出发到 A 地, 乙的速度是 80 千米/小时, 两人同时出发各自到达终点后停止,设行驶过程中甲、乙之间的距离为 s 千米,甲行驶 的时间为 t 小时,s 与 t 之间的函数关系如图所示,则下列说

    3、法错误的是( ) A乙出发 1 小时与甲在途中相遇 B甲从 A 地到达 B 地需行驶 3 小时 C甲在 1.5 小时后放慢速度行驶 D乙到达 A 地时甲离 B 地还有 60 干米 8三角形纸片 ABC 中,C90,甲折叠纸片使点 A 与点 B 重合,压平得到的折痕长记 为 m;乙折叠纸片使得 CA 与 CB 所在的直线重合,压平得到的折痕长记为 n,则 m,n 的大小关系是( ) Amn Bmn Cmn Dmn 9如图是二次函数 yax2+bx+c 的图象,下列结论:2ab;ab+c0;ab; ac,其中正确的结论是( ) A B C D 10七巧板是我国祖先的一项卓越创造,如图正方形 ABC

    4、D 可以制作一副七巧板,现将这 副七巧板拼成如图 2 的 “风车”造型 (内部有一块空心) ,连结最外围的风车顶点 M、N、 P、Q 得到一个四边形 MNPQ,则正方形 ABCD 与四边形 MNPQ 的面积之比为( ) A5:8 B3:5 C8:13 D25:49 二填空题(共二填空题(共 6 小题)小题) 11二次根式中字母 x 的取值范围是 12一个密码箱的密码是六位数,小明没有记住最后一位,最后一位是 0 到 9 这 10 个数字 中的一个,则他一次就拨对密码的概率是 13若圆锥的母线为 5,底面半径为 3,则圆锥的侧面积为 14 如图, 建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB, 从地面上点D处

    5、观测旗杆顶点A的仰角为50, 观测旗杆底部点 B 的仰角为 45若旗杆的高度 AB 为 3.5 米,则建筑物 BC 的高度约为 米 (精确到 1 米,可用参考数据:sin500.8,tan501.2) 15如图,矩形 ABCD 中,将BCD 绕点 B 逆时针旋转得BEF,其中点 C 的对应点 E 恰 好落在BD上 BF, EF分别交边AD于点G, H 若GH4HD, 则cosDBC的值为 16如图,点 A 在反比例函数 y(x0,k10)的图象上,点 B,C 在反比例函数 y (x0,k20)的图象上,ABx 轴,CDx 轴于点 D,交 AB 于点 E若ABC 与DBC 的面积之差为 3,则

    6、k1的值为 三解答题(共三解答题(共 8 小题)小题) 17 (1)计算:4sin60+(3) 220200; (2)解方程: 18如图,在 44 的方格中,点 A,B,C 为格点 (1)利用无刻度的直尺在图 1 中画ABC 的中线 BE 和重心 G; (2)在图 2 中标注ABC 的外心 O 并画出外接圆及切线 CP 19 我国青少年视力情况已经受到全社会的广泛关注 某校随机调研了 200 名初中七八九年 级学生的视力情况,并把调查数据绘制成如图不完整统计图: (1) 七年级参与调查的有多少人?若该校有七年级学生400人, 请估计七年级近视人数; (2)某同学说“由图 2 可知,从七年级到九

    7、年级,近视率越来越低” ,你认为这个说法 正确吗?请作出判断,并说明理由 20如图,ABCD 中,点 E,F 分别在 BC,AD 上,BEDF,连结 AE,CF (1)求证:四边形 AECF 是平行四边形; (2)若四边形 AECF 为菱形,AFC120,BECE4,求ABCD 的面积 21学校为奖励在家自主学习有突出表现的学生,决定购买笔记本和钢笔作为奖品已知 1 本笔记本和 4 支钢笔共需 100 元,4 本笔记本和 6 支钢笔共需 190 元 (1)分别求一本笔记本和一支钢笔的售价; (2)若学校准备购进这两种奖品共 90 份,并且笔记本的数量不多于钢笔数量的 3 倍, 请设计出最省钱的

    8、购买方案,并说明理由 22问题小明在学习时遇到这样一个问题:求不等式 x3+3x2x30 的解集 他经历了如下思考过程: 回顾 (1)如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y1ax+b 与双曲线 y2交于 A (1,3) 和 B(3,1) ,则不等式 ax+b的解集是 探究将不等式 x3+3x2x30 按条件进行转化: 当 x0 时,原不等式不成立; 当 x0 时,不等式两边同除以 x 并移项转化为 x2+3x1; 当 x0 时,不等式两边同除以 x 并移项转化为 x2+3x1 (2)构造函数,画出图象: 设 y3x2+3x1,y4,在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象; 双曲线 y

    9、4如图 2 所示,请在此坐标系中画出抛物线 yx2+3x1 (不用列表) (3)确定两个函数图象公共点的横坐标: 观察所画两个函数的图象,猜想并通过代入函数解析式验证可知:满足 y3y4的所有 x 的值为 解决 (4)借助图象,写出解集: 结合“探究”中的讨论,观察两个函数的图象可知:不等式 x3+3x2x30 的解集 为 23如图 1,RtABC 中,点 D,E 分别为直角边 AC,BC 上的点,若满足 AD2+BE2DE2, 则称 DE 为 RABC 的“完美分割线” 显然,当 DE 为ABC 的中位线时,DE 是ABC 的一条完美分割线 (1)如图 1,AB10,cosA,AD3,若 D

    10、E 为完美分割线,则 BE 的长是 (2)如图 2,对 AC 边上的点 D,在 RtABC 中的斜边 AB 上取点 P,使得 DPDA, 过点 P 画 PEPD 交 BC 于点 E,连结 DE,求证:DE 是直角ABC 的完美分割线 (3)如图 3,在 RtABC 中,AC10,BC5,DE 是其完美分割线,点 P 是斜边 AB 的中点,连结 PD、PE,求 cosPDE 的值 24如图 1,以 AB 为直径作O,点 C 是直径 AB 上方半圆上的一点,连结 AC,BC,过点 C 作ACB 的平分线交O 于点 D,过点 D 作 AB 的平行线交 CB 的延长线于点 E (1)如图 1,连结 A

    11、D,求证:ADCDEC (2)若O 的半径为 5,求 CACE 的最大值 (3)如图 2,连结 AE,设 tanABCx,tanAECy, 求 y 关于 x 的函数解析式; 若,求 y 的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 10 小题)小题) 13 的相反数是( ) A3 B3 C D 【分析】根据相反数的意义,3 的相反数即是在 3 的前面加负号 【解答】解:根据相反数的概念及意义可知:3 的相反数是3 故选:B 【点评】本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号; 一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0 的相反数是 0 2下

    12、列计算正确的是( ) A32aa Ba2a3a6 C (a2)3a6 D(a1)a1 【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分 别计算得出答案 【解答】解:A、32a,不是同类项,无法合并,故此选项错误; B、a2a3a5,故此选项错误; C、 (a2)3a6,正确; D、(a1)a+1,故此选项错误; 故选:C 【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算,正确掌 握相关运算法则是解题关键 3 疫情期间, 某地向武汉捐赠口罩 1200000 只, 其中数 1200000 用科学记数法表示是 ( ) A12105 B12106 C1.

    13、2105 D1.2106 【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为 a10n,其中 1|a|10,n 为正整 数,据此判断即可 【解答】解:12000001.2106 故选:D 【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数,一般形式为 a10n,其中 1|a| 10,确定 a 与 n 的值是解题的关键 4如图所示的几何体的俯视图是( ) A B C D 【分析】找到从上面看,所得到的图形即可 【解答】解:该几何体的俯视图为 故选:D 【点评】本题考查了三视图的知识,俯视图是从物体的上面看得到的视图 5如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员 10 次选拔赛成绩的数据信息,要根据表中的 信

    14、息选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择的运动员是( ) 甲 乙 丙 丁 平均数 (cm) 562 559 562 560 方差 S2(cm2) 3.5 3.5 15.5 16.5 A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】根据方差和平均数的意义找出平均数大且方差小的运动员即可 【解答】解:甲的方差是 3.5,乙的方差是 3.5,丙的方差是 15.5,丁的方差是 16.5, S甲 2S 乙 2S 丙 2S 丁 2, 发挥稳定的运动员应从甲和乙中选拔, 甲的平均数是 562,乙的平均数是 559, 成绩好的应是甲, 从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择甲; 故选:A 【点评】

    15、 本题考查了方差和平均数 方差是用来衡量一组数据波动大小的量, 方差越大, 表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这 组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定 6能说明命题“若 ab,则 3a2b“为假命题的反例为( ) Aa3,b2 Ba2,b3 Ca2,b3 Da3,b2 【分析】根据有理数的乘法法则、有理数的大小比较法则解答 【解答】解:当 a2,b3 时,23,而 3(2)2(3) ,即 ab 时,3a2b, 命题“若 ab,则 3a2b“为假命题, 故选:B 【点评】本题考查的是假命题的证明,任何一个命题非真即假要说明一个命

    16、题的正确 性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可 7 在一条道路上, 甲从 A 地出发到 B 地, 乙从 B 地出发到 A 地, 乙的速度是 80 千米/小时, 两人同时出发各自到达终点后停止,设行驶过程中甲、乙之间的距离为 s 千米,甲行驶 的时间为 t 小时,s 与 t 之间的函数关系如图所示,则下列说法错误的是( ) A乙出发 1 小时与甲在途中相遇 B甲从 A 地到达 B 地需行驶 3 小时 C甲在 1.5 小时后放慢速度行驶 D乙到达 A 地时甲离 B 地还有 60 干米 【分析】根据题意和图象,可以判断各个选项中的说法是否正确,从而可以解答本题 【解答

    17、】解:由图可知, 乙出发 1 小时与甲在途中相遇,故选项 A 正确; 甲的速度为:12018040 千米/小时, 则甲从 A 地到达 B 地需行驶 120403(小时) ,故选项 B 正确; 当乙达到 A 地时,甲离 B 地的距离是:120120804060(千米) ,故选项 D 正确; 由于 m 的值不知,故甲在 1.5 小时后速度是否改变不能确定,故选项 C 错误; 故选:C 【点评】本题考查一次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质 和数形结合的思想解答 8三角形纸片 ABC 中,C90,甲折叠纸片使点 A 与点 B 重合,压平得到的折痕长记 为 m;乙折叠纸片使得 C

    18、A 与 CB 所在的直线重合,压平得到的折痕长记为 n,则 m,n 的大小关系是( ) Amn Bmn Cmn Dmn 【分析】由题意折痕 m 是线段 EF,EF 垂直平分线段 AB,折痕 n 是线段 CD,CD 平分 ACB,利用图象法解决问题即可 【解答】解:如图, 由题意折痕 m 是线段 EF,EF 垂直平分线段 AB,折痕 n 是线段 CD,CD 平分ACB, ACB90, 当 ACCB 时,mn, 当 ACBC 时,观察图形可知,mn, 综上,mn, 故选:A 【点评】本题考查翻折变换,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,属 于中考常考题型 9如图是二次函数 yax2+b

    19、x+c 的图象,下列结论:2ab;ab+c0;ab; ac,其中正确的结论是( ) A B C D 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的 关系,然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断 【解答】解:抛物线的对称轴在 y 轴右侧,则 a、b 同号,而 a0,则 b0,而 c0; 函数的对称性 x1,故 2ab,故正确,符合题意; 当 x1 时,yab+c0,故错误,不符合题意; 由得,ab+c0,即 abc0,即 ab,故正确,符合题意; 由得:ab+c0,即 a+cb2a,故 ac,故正确,符合题意;

    20、故选:D 【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关 系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用 10七巧板是我国祖先的一项卓越创造,如图正方形 ABCD 可以制作一副七巧板,现将这 副七巧板拼成如图 2 的 “风车”造型 (内部有一块空心) ,连结最外围的风车顶点 M、N、 P、Q 得到一个四边形 MNPQ,则正方形 ABCD 与四边形 MNPQ 的面积之比为( ) A5:8 B3:5 C8:13 D25:49 【分析】设 AC4a,解直角三角形求出 AB、MQ,再求出两正方形的面积,即可得出答 案 【解答】解:设 ACa+a+a+a4

    21、a,则 ABBCACsin452 a, 所以正方形 ABCD 的面积是(2 a)28a2; 图 2 中 ME3a,EQ2a, 由勾股定理得:MQa, 所以正方形 MNPQ 的面积为( a)213a2, 所以图中正方形 ABCD,MNPQ 的面积比为 , 故选:C 【点评】本题考查了勾股定理和正方形的性质,能够求出两正方形的边长是解此题的关 键 二填空题(共二填空题(共 6 小题)小题) 11二次根式中字母 x 的取值范围是 x3 【分析】由二次根式有意义的条件得出不等式,解不等式即可 【解答】解:当 x30 时,二次根式有意义, 则 x3; 故答案为:x3 【点评】本题考查了二次根式有意义的条

    22、件、不等式的解法;熟记二次根式有意义的条 件是解决问题的关键 12一个密码箱的密码是六位数,小明没有记住最后一位,最后一位是 0 到 9 这 10 个数字 中的一个,则他一次就拨对密码的概率是 【分析】最后一位是 0 到 9 这 10 个数字中的一个,总共有十种情况,其中拨对密码只有 一种情况,利用概率公式进行计算即可 【解答】解:他一次就拨对密码的概率是 故答案为: 【点评】考查了概率公式,如果一个事件有 n 种可能,而且这些事件的可能性相同,其 中事件 A 出现 m 种结果,那么事件 A 的概率 P(A) 13若圆锥的母线为 5,底面半径为 3,则圆锥的侧面积为 15 【分析】利用圆锥的侧

    23、面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形 的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算 【解答】解:圆锥的侧面积23515 故答案为 15 【点评】本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆 锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长 14 如图, 建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB, 从地面上点D处观测旗杆顶点A的仰角为50, 观测旗杆底部点 B 的仰角为 45若旗杆的高度 AB 为 3.5 米,则建筑物 BC 的高度约为 18 米 (精确到 1 米,可用参考数据:sin500.8,tan501.2) 【分析】由题意可知BCD 是等腰直角三角形,得出 BCD

    24、C,设 BCxm,在ACD 中利用正切函数的定义列出关于 x 的方程,解方程进而得出 BC 的长求出答案 【解答】解:在BCD 中,BDC45,BCD90, BCDC, 设 BCxm,则 DCxm,ACAB+BC(3.5+x)m, 在ACD 中,ADC50,ACD90, tanADCtan501.2, 解得:x18, 答:建筑物 BC 的高度约为 18m 故答案为:18 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题,掌握仰角的概念、熟记锐 角三角函数的定义是解题的关键 15如图,矩形 ABCD 中,将BCD 绕点 B 逆时针旋转得BEF,其中点 C 的对应点 E 恰 好落在 BD 上BF

    25、,EF 分别交边 AD 于点 G,H若 GH4HD,则 cosDBC 的值为 【分析】由旋转的性质可得FBEDBC,BFBD,BEBC,BEFC90, 再由矩形的性质得出EDHDBC,设 HDx,GH4x,设 BEBCy,分别用 x 和 y 表示出 BC、BD、DE、DH,根据 cosDBCcosEDH,列出比例式,化简得 ,即 cosDBC 【解答】解:将BCD 绕点 B 逆时针旋转得BEF,其中点 C 的对应点 E 恰好落在 BD 上 FBEDBC,BFBD,BEBC,BEFC90, 矩形 ABCD 中,ADBC, EDHDBC, FBEDBCEDH, BGDG, GH4HD, 设 HDx

    26、,GH4x,设 BEBCy, 则 BGDG5x, DHE+EDH90,F+FBE90,FBEEDH, FDHE, FHGDHE, FFHG, GFGH4x, BFBD9x,DE9xy, cosDBCcosEDH, , , xy81x29xy, 10xy81x2, 10y81x, ,即 cosDBC 故答案为: 【点评】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定及余弦函数的定义, 熟练掌握相关性质及定理是解题的关键 16如图,点 A 在反比例函数 y(x0,k10)的图象上,点 B,C 在反比例函数 y (x0,k20)的图象上,ABx 轴,CDx 轴于点 D,交 AB 于点 E若ABC

    27、 与DBC 的面积之差为 3,则 k1的值为 9 【分析】 设 CE2t, 则 DE3t, 利用反比例函数图象上点的坐标特征得到 C (, 5t) , B(,3t) ,A(,3t) ,再根据三角形面积公式得到()2t5t ()3,然后化简后可得到的值 【解答】解:设 CE2t,则 DE3t, 点 B,C 在反比例函数 y(x0,k20)的图象上,ABx 轴,CDx 轴, C(,5t) ,B(,3t) , A(,3t) , ABC 与DBC 的面积之差为 3, ()2t5t()3, k19 故答案为9 【点评】本题考查了反比例函数反比例系数 k 的几何意义:在反比例函数 y图象中任 取一点,过这

    28、一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|也 考查了反比例函数图象上点的坐标特征 三解答题(共三解答题(共 8 小题)小题) 17 (1)计算:4sin60+(3) 220200; (2)解方程: 【分析】 (1)原式利用零指数幂、负整数指数幂法则,二次根式性质,以及特殊角的三 角函数值计算即可求出值; (2)分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到 x 的值,经检验即可得到 分式方程的解 【解答】解: (1)原式24+1 22+1 ; (2)去分母得:2x2x2, 解得:x0, 经检验 x0 是分式方程的解 【点评】此题考查了解分式方程,以及实数的运

    29、算,熟练掌握分式方程的解法及运算法 则是解本题的关键 18如图,在 44 的方格中,点 A,B,C 为格点 (1)利用无刻度的直尺在图 1 中画ABC 的中线 BE 和重心 G; (2)在图 2 中标注ABC 的外心 O 并画出外接圆及切线 CP 【分析】 (1)根据中线的概念作图; (2)根据线段垂直平分线的定义作图 【解答】解: (1)如图所示,BE 和点 G 即为所求; (2)如图所示,O 和 PC 即为所求 【点评】本题主要考查作图应用与设计作图,解题的关键是掌握三角形的高线、中线 以及角平分线的定义 19 我国青少年视力情况已经受到全社会的广泛关注 某校随机调研了 200 名初中七八

    30、九年 级学生的视力情况,并把调查数据绘制成如图不完整统计图: (1) 七年级参与调查的有多少人?若该校有七年级学生400人, 请估计七年级近视人数; (2)某同学说“由图 2 可知,从七年级到九年级,近视率越来越低” ,你认为这个说法 正确吗?请作出判断,并说明理由 【分析】 (1)根据总数七年级参与调查的百分数即可得到结论; (2)分别计算出个年级的近视率进行比较即可得到结论 【解答】解: (1)200(125%35%)80(人) , 400220(人) , 答:七年级参与调查的有 80 人,估计七年级近视人数为 220 人; (2)这个说法不正确, 理由:七年级学生的近视率为55%,八年级

    31、学生近视率为60%,九 年级学生近视率为70%, 55%60%70%, 从七年级到九年级,近视率越来越低越高 【点评】本题考查了条形统计图,扇形统计图,正确的理解题意是解题的关键 20如图,ABCD 中,点 E,F 分别在 BC,AD 上,BEDF,连结 AE,CF (1)求证:四边形 AECF 是平行四边形; (2)若四边形 AECF 为菱形,AFC120,BECE4,求ABCD 的面积 【分析】 (1)根据四边形 ABCD 是平行四边形,可得 ADBC,ADBC,再由 BEDF 可得 AF 与 EC 平行且相等,进而可以证明四边形 AECF 是平行四边形; (2)根据四边形 AECF 为菱

    32、形,AFC120,可以证明ABE 是等边三角形,过点 A 作 AGBE 于点 G,根据特殊角三角函数即可求出 AG 的长,进而求出ABCD 的面积 【解答】解: (1)证明:四边形 ABCD 是平行四边形, ADBC,ADBC, BEDF, ECAF, 又ECAF, 四边形 AECF 是平行四边形; (2)四边形 AECF 为菱形, AEEC,AECAFC120, AEB60, BECE4, AEBE4, ABE 是等边三角形, 过点 A 作 AGBE 于点 G, AGABsinB2, BCBE+EC8, ABCD 的面积BCAG8216 【点评】 本题考查了菱形的性质、 全等三角形的判定与性

    33、质、 等边三角形的判定与性质、 平行四边形的判定与性质,解决本题的关键是综合运用以上知识 21学校为奖励在家自主学习有突出表现的学生,决定购买笔记本和钢笔作为奖品已知 1 本笔记本和 4 支钢笔共需 100 元,4 本笔记本和 6 支钢笔共需 190 元 (1)分别求一本笔记本和一支钢笔的售价; (2)若学校准备购进这两种奖品共 90 份,并且笔记本的数量不多于钢笔数量的 3 倍, 请设计出最省钱的购买方案,并说明理由 【分析】 (1)设一本笔记本的售价为 x 元,一支钢笔的售价为 y 元,根据“1 本笔记本和 4 支钢笔共需 100 元,4 本笔记本和 6 支钢笔共需 190 元” ,即可得

    34、出关于 x,y 的二元一 次方程组,解之即可得出结论; (2)设购进 m 本笔记本,则购进(90m)支钢笔,根据笔记本的数量不多于钢笔数量 的 3 倍,即可得出关于 m 的一元一次不等式,解之即可得出 m 的取值范围,设学校购进 这两种奖品的总价为 w 元,根据总价单价数量,即可得出 w 关于 m 的函数关系式, 再利用一次函数的性质即可解决最值问题 【解答】解: (1)设一本笔记本的售价为 x 元,一支钢笔的售价为 y 元, 依题意,得:, 解得: 答:一本笔记本的售价为 16 元,一支钢笔的售价为 21 元 (2)设购进 m 本笔记本,则购进(90m)支钢笔, 依题意,得:m3(90m)

    35、, 解得:m67 设学校购进这两种奖品的总价为 w 元,则 w16m+21(90m)5m+1890 50, w 值随 m 值的增大而减小, 又m67,且 m 为整数, 当 m67 时,w 取得最小值,最小值为 1555, 当购进 67 本笔记本、23 支钢笔时,购买的总价最少,最少费用为 1555 元 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性 质,解题的关键是: (1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组; (2)根据各数量之 间的关系,找出 w 关于 m 的函数关系式 22问题小明在学习时遇到这样一个问题:求不等式 x3+3x2x30 的解集 他经历了如下

    36、思考过程: 回顾 (1)如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y1ax+b 与双曲线 y2交于 A (1,3) 和 B(3,1) ,则不等式 ax+b的解集是 x1 或3x0 探究将不等式 x3+3x2x30 按条件进行转化: 当 x0 时,原不等式不成立; 当 x0 时,不等式两边同除以 x 并移项转化为 x2+3x1; 当 x0 时,不等式两边同除以 x 并移项转化为 x2+3x1 (2)构造函数,画出图象: 设 y3x2+3x1,y4,在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象; 双曲线 y4如图 2 所示,请在此坐标系中画出抛物线 yx2+3x1 (不用列表) (3)确定两个函数图

    37、象公共点的横坐标: 观察所画两个函数的图象,猜想并通过代入函数解析式验证可知:满足 y3y4的所有 x 的值为 3 或1 或 1 解决 (4)借助图象,写出解集: 结合 “探究” 中的讨论, 观察两个函数的图象可知: 不等式 x3+3x2x30 的解集为 x 1 或 x3 或1x0 【分析】 (1)利用数形结合的思想,写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自 变量的取值范围即可 (2)利用描点法画出二次函数的图象即可 (3)利用图象法可得结论 (4)利用数形结合的思想写出当 x0 时,不等式两边同除以 x 并移项转化为 x2+3x1 的解集,当 x0 时,不等式两边同除以 x 并移项转化为

    38、 x2+3x1的解集即可解 决问题 【解答】解: (1)如图 1 中,观察图形可知:不等式 ax+b的解集为 x1 或3x 0 故答案为:x1 或3x0 (2)函数 y3x2+3x1 的图形如图所示: (3)观察图象可知,两个函数图象的公共点的横坐标为3,1,1 经过检验可知:点(3,1) ,点(1,3) ,点(1,3)是两个函数的交点坐标, 满足 y3y4的所有 x 的值为3 或1 或 1 故答案为3 或1 或 1 (4)观察图象,当 x0 时,不等式两边同除以 x 并移项转化为 x2+3x1的解集为 x 1, 当 x0 时,不等式两边同除以 x 并移项转化为 x2+3x1的解集为 x3 或

    39、1x 0, 不等式 x3+3x2x30 的解集为 x1 或 x3 或1x0 故答案为 x1 或 x3 或1x0 【点评】本题属于反比例函数综合题,考查了反比例函数的性质,一次函数的性质,二 次函数的性质等知识,解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题,把不等式问题 转化为函数图象问题解决,属于中考压轴题 23如图 1,RtABC 中,点 D,E 分别为直角边 AC,BC 上的点,若满足 AD2+BE2DE2, 则称 DE 为 RABC 的“完美分割线” 显然,当 DE 为ABC 的中位线时,DE 是ABC 的一条完美分割线 (1)如图 1,AB10,cosA,AD3,若 DE 为完美分割线,

    40、则 BE 的长是 (2)如图 2,对 AC 边上的点 D,在 RtABC 中的斜边 AB 上取点 P,使得 DPDA, 过点 P 画 PEPD 交 BC 于点 E,连结 DE,求证:DE 是直角ABC 的完美分割线 (3)如图 3,在 RtABC 中,AC10,BC5,DE 是其完美分割线,点 P 是斜边 AB 的中点,连结 PD、PE,求 cosPDE 的值 【分析】 (1)由勾股定理求出 BC6,设 BEx,则 CE6x,则 AD2+BE2DE2,可 得出 32+x252+(6x)2,解得:x,则答案可求出; (2)证得 AD2+BE2DP2+EP2DE2,则结论得证; (3)延长 DP

    41、至 F,使 PFPD,连接 BF,EF,证明APDBPF(SAS) ,得出 AD BF, AFBP, 则EPD90, 过点 P 作 PMAC, PNBC, 则MPDNPE 90MPE,证明MPDNPE,得出 PE2PD,设 PDa,则 PE2a,则 DE a,则可求出答案 【解答】解: (1)AB10,cosA, cosA, AC8,CD5, 6, 设 BEx,则 CE6x, 在 RtCDE 中,DE2CD2+CE252+(6x)2, DE 为完美分割线, AD2+BE2DE2, 32+x252+(6x)2, 解得:x BE 故答案为: (2)证明:如图 2, DADP, DAPDPA, PE

    42、PD, DPA+EPB90, 又AB, EPBB, EPEB, AD2+BE2DP2+EP2DE2, DE 是直角ABC 的完美分割线 (3)解:延长 DP 至 F,使 PFPD,连接 BF,EF, APBP,APDBPF, APDBPF(SAS) , ADBF,AFBP, EBFCBA+FBPCBA+A90, DE 是完美分割线, DE2AD2+BE2BF2+BE2EF2,即 EDEF 又 PDPF, EPD90, 过点 P 作 PMAC,PNBC, 则MPDNPE90MPE, MPDNPE, , 设 PDa,则 PE2a,则 DEa, cosPDE 【点评】本题是三角形综合题,考查了全等三

    43、角形的判定与性质,相似三角形的判定与 性质, 勾股定理, 锐角三角函数等知识, 理解掌握完美分割线这一新定义是解题的关键 24如图 1,以 AB 为直径作O,点 C 是直径 AB 上方半圆上的一点,连结 AC,BC,过点 C 作ACB 的平分线交O 于点 D,过点 D 作 AB 的平行线交 CB 的延长线于点 E (1)如图 1,连结 AD,求证:ADCDEC (2)若O 的半径为 5,求 CACE 的最大值 (3)如图 2,连结 AE,设 tanABCx,tanAECy, 求 y 关于 x 的函数解析式; 若,求 y 的值 【分析】 (1)由平行线的性质及圆周角定理可得出结论; (2)证明A

    44、DCDEC,得出,则可得出答案; ( 3 ) : 连 接 AD , 由 ADC DEC , 得 出 y tan AEC ,过点 D 作 DFCE,不妨设 EFa,则 CDa,则可得出答 案; 得出 yx 代入 y得,解得,x12,x2,则可求出 y 的值 【解答】 (1)证明:ABDE, ABCE, ADCABC, ADCE; (2)解:CD 平分ACB, ACDDCE, 又ADCE, ADCDEC, , 即 CD2CACE, 又O 的半径为 5, CACECD2102100 即 CACE 的最大值为 100 (3)解:连接 AD, ADCDEC, ytanAEC, 过点 D 作 DFCE,不妨设 EFa, CEDCBA,DCE45, CFDFax, CDax, y , , 9:4, 即 x:y9:4, 将 yx 代入 y得, , 解得,x12,x2, 当 x2 时,y, 当 x时,y, y或 【点评】本题是圆的综合题,考查了平行线的性质,角平分线的定义,圆周角定理,相 似三角形的判定与性质,锐角三角函数,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关 键


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