1、第第 1 17 7 讲讲 二次函数与面积二次函数与面积 解这类问题一般用到以下与面积相关的知识：图形割补、等积转换、等比转化. 【例题讲解】【例题讲解】 例题例题 1 如图 1， 过ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫ABC 的“水平宽” （a） ，中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高（h） ” 我们可得出一种 计算三角形面积的新方法： ABC S 1 2 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 解答问题： 如图 2，顶点为 C（1,4）的抛物线 yax2bxc 交x轴于点 A（3,0） ，交 y轴于点 B （1）求抛物线和直线
2、 AB的解析式； （2）点 P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接 PA，PB，当 P 点运动到顶点 C时，求CAB 的铅垂高 CD 及 CAB S； 是否存在抛物线上一点 P，使 PAB S CAB S？若存在，求出 P点的坐标；若不存在，请说明理由 h a C B A 水平宽 铅 直 高 x y D C B A O x y A B O 【解析】 （1）设抛物线的解析式为： 1 ya（x1）4 把 A（3,0）代入解析式求得 a1， 所以 1 y（x1）4x2x3， 设直线 AB的解析式为： 2 ykxb 由 1 yx2x3 求得 B点的坐标为（0,3） 把 A（3,0） ，B（0,
3、3）代入 2 ykxb 中 解得：k1，b3 所以 2 yx3； （2）因为 C 点坐标为（1,4） 所以当 x1 时， 1 y4， 2 y2 所以 CD422 CAB S 1 2 323（平方单位） ； 图 1 图 2 备用图 假设存在符合条件的点 P，设 P 点的横坐标为 x，PAB 的铅垂高为 h，则 h 1 y 2 y（x2x3） （x3）x3x 由 PAB S CAB S 得： 1 2 3（x3x）3 化简得：x3x20， 解得： 1 x1， 2 x2， 将 1 x1 代入 1 yx2x3中， 解得 P点坐标为（1，4） 将 2 x2 代入 1 yx2x3中， 解得 P点坐标为（2，
4、3） 点 P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点， 综上所述，P点的坐标为（1，4） ， （2，3） 模型讲解 竖切竖切 面积公式均为 1 = 2 Sdh h d D C B A d D h C B A h d D C B A 横切横切 面积公式均为 1 = 2 Sdh C B A D d h C B A D d h h d D C B A 【总结】【总结】 这种“铅垂高铅垂高水平宽的一半水平宽的一半”的求解方法可过三角形的任意一点，并且“横竖横竖”均可.而在选择时，如 何选用，取决于点 D的坐标哪种更易求得. 例题例题 2 已知一次函数 y（k3）x（k1）的图像与 x 轴、y轴分别相交于点
5、 A、B，P（1，4）. （1）若OBP 的面积为 3，求 k 的值； （2）若AOB 的面积为 1，求 k 的值. 【解析】 （1）y（k3）x（k1）的图像与 x轴、y 轴分别相交于点 A、B， A（ 1k k 3 ，0） ，B（0，k1） P（1，4） 1 2 1k13 1k6 1 k7，或 2 k5. （2） 1 2 1k k 3 1k1 2 1k k 3 2 （k1）23k 当 k30，即 k3时，k4k50 1 k5，或 2 k1； 当 k30，即 k3时，k7（舍去） ； 综上所述： 1 k5，或 2 k1. 例题例题 3 如图，二次函数 y 1 2 ax2axc 的图像的顶点为
6、 C，一次函数 yx3的图像与这个二次函数 的图像交于 A、B 两点（其中点 A在点 B的左侧） ，与它的对称轴交于点 D. （1）求点 D的坐标； （2）若点 C与点 D 关于 x轴对称，且BCD的面积为 4，求此二次函数的关系式. x y O 【解析】 （1）y 1 2 ax2axc x a a 1， yx3 y2 D（1，2）； （2）设 B 点坐标为（m，n）. 点 C与点 D关于 x轴对称， C（1，2） CD4. BCD S4， 1 2 4（m1）4 m3 yx3 n330 B（3，0） y 1 2 ax2axc 1 2 2 9 03 2 aac aac 1 3 c 2 a y 1
7、 2 x2x 3 2 . x y D C B A O 例题例题 4 已知抛物线 yax2bxc与 x轴交于 A、B两点，与 y 轴交于点 C，其中点 B 在 x 轴的正半轴上， 点 C 在 y 轴正半轴上，线段 OB、OC的长（OBOC）是方程 x10x160 的两个根，且抛物线的对称 轴是直线 x2. （1）求抛物线解析式； （2）若点 E时线段 AB上的一个动点（与点 A、B不重合） ，过点 E 作 EFAC交 BC于点 F，连接 CE， 设 AE的长为 m，CEF的面积为 S，求 S与 m 之间的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围. x y 2 8 -6 F E C B A O 【
8、解析】 （1）x10x160， 解得 1 x2， 2 x8 点 B在 x轴的正半轴上，点 C在 y轴的正半轴上，线段 OB、OC的长（OBOC） ， 点 B的坐标为（2,0） ，点 C 的坐标为（0,8） 又由抛物线的对称轴是直线 x2，得 A点坐标为（6,0） ，把 A，B，C点坐标代入表达式 yaxbx c，得 3660 420 8 abc abc c ， 解得 2 3 8 3 8 a b c 所求抛物线的表达式为 y 2 3 x 8 3 8 （2）依题意，AEm，则 BE8m， OA6，OC8, AC10. EFAC， BEFBAC， EF AC BE AB ，即 10 EF 8 8 m
9、 ， EF 405 4 m 过点 F作 FGAB，垂足为 G， 则 sinFEGsinCAB 4 5 ， FG EF 4 5 ，FG 4 5 405 4 m 8m， S BCE S BFE S 1 2 （8m）8 1 2 （8m） （8m） 1 2 m4m（0m8）. x y G2 8 -6 F E C B A O 【巩固练习】【巩固练习】 1.已知直线 y2x4 与 x轴、y 轴分别交于 A，D两点，抛物线 y 1 2 xbxc 经过点 A，D，点 B是 抛物线与 x 轴的另一个交点 （1）求这条抛物线的解析式及点 B 的坐标； （2）设点 M 是直线 AD上一点，且 AOM S: OMD
10、S1:3，求点 M的坐标； 2如图，已知抛物线 yxbxc 与一直线相交于 A（1,0） ，C（2,3）两点，与 y轴交于点 N，其顶 点为 D （1）抛物线及直线 AC 的函数关系式； （2）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，直接写出APC的面积的最大值及此时点 P的坐标 x y D P NC B A O 3如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 yax2ax3a（a0）与 x轴交于 A，B两点（点 A在点 B 的左侧） ，经过点 A 的直线 l：ykxb与 y轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D，且 CD4AC （1）直接写出点 A 的坐标，并求直线 l的函数表达式（
11、其中 k，b用含 a的式子表示） ； （2）点 E 是直线 l上方的抛物线上的一点，若ACE 的面积的最大值为 5 4 ，求 a 的值； x y l E D C B A 4. 已知：二次函数 yaxbx6（a0）的图象与 x 轴交于 A、B两点（点 A在点 B的左侧） ，点 A、点 B 的横坐标是方程 x4x120的两个根 （1）求出该二次函数的表达式及顶点坐标； （2）如图，连接 AC、BC，点 P是线段 OB上一个动点（点 P不与点 O、B重合） ，过点 P 作 PQAC交 BC 于点 Q，当CPQ 的面积最大时，求点 P 的坐标 x y Q P C BA 5一次函数 y 3 4 x 的图
12、象如图所示，它与二次函数 yax4axc的图象交于 A、B两点（其中点 A 在点 B的右侧） ，与这个二次函数图象的对称轴交于点 C （1）求点 C的坐标 （2）设二次函数图象的顶点为 D 若点 D 与点 C 关于现在 x 轴对称，且ACD 的面积等于 3，求此二次函数的关系式 若 CDAC，且ACD的面积等于 10，求此二次函数的关系式 x y C y=- 3 4 x O 6.已知：在直角坐标系中，点 C的坐标为（0，2） ，点 A与点 B在 x轴上，且点 A与点 B的横坐标是方 程 x3x40 的两个根，点 A在点 B的左侧. （1）求经过 A、B、C 三点的抛物线的关系式. （2）点 D
13、的坐标为（2，0） ，点 P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中 m0，n0）连接 CD、CP， 设CDP的面积为 S，当 S 取某一个值时，有两个点 P 与之对应，求此时 S的取值范围？ x y P D C BA O 7、如图，在平面直角坐标系中，点 O为坐标原点，直线 l与抛物线 ymxnx 相交于 A（1，3） ，B（4， 0）两点. （1）求出抛物线的解析式； （2）点 P 是线段 AB 上一动点， （点 P不与点 A、B重合） ，过点 P 作 PMOA，交第一象限内的抛物线于 点 M，过点 M 作 MCx轴于点 C，交 AB 于点 N，若BCN、PMN的面积 BCN S、 PMN
14、S满足 BCN S 2 PMN S，求出 MN NC 的值，并求出此时点 M的坐标. x y N M P CB A O 参考答案 1.【解析】 （1）令 y0，则 2x40， 解得 x2， 令 x0，则 y4， 所以，点 A（2,0） 、D（0,4） ； 代入抛物线 y 1 2 xbxc中，得： 1 420 2 4 bc c ，解得 1 4 b c 抛物线的解析式：y 1 2 xx4； 令 y0，得：0 1 2 xx4，解得 1 x2、 2 x4 点 B（4,0） （2） AOM S: OMD S1:3，AM:MD1:3； 过点 M 作 MNx轴于 N，如图； 当点 M在线段 AD上时，AM:
15、AD1:4； MNOD，AMNADO MN 1 4 OD1、AN 1 4 OA 1 2 、ONOAAN2 1 2 3 2 ； M（ 3 2 ，1） ； 当点 M在线段 DA 的延长线上时，AM:AD1:2； MNOD，AMNADO， MN 1 2 OD2、AN 1 2 OA1、ONOAAN3； M（3，2） ； 综上，符合条件的点 M有两个，坐标为： （ 3 2 ，1） 、 （3，2） x y D B AN N M M O 2.【解析】 （1）yx1； （2）点 P的坐标为（ 1 2 ， 15 4 ）. （1）将 A（1,0） ，C（2,3）代入 yxbxc，得： 10 423 bc bc ，
16、解得： 3 b c 2 ， 抛物线的函数关系式为 yx2x3 设直线 AC的函数关系式为 ykxa（k0） ， 将 A（1,0） ，C（2,3）代入 ykxa，得： 0 23 ka ka ，解得： 1 1 k a ， 直线 AC的函数关系式为 yx1 （2）过点 P作 PMx 轴，垂足为点 M，过点 C作 CNx轴，垂足为 N，如图所示 设点 P的坐标为（x，x2x3） （1x2） ，则点 M 的坐标为（x,0） 点 A的坐标为（1,0） ，点 C的坐标为（2,3） ， AMx1，MN2x，PMx2x3，CN3，AN3， APC S APM S PMNC S梯形 ACN S， 1 2 AMPM
17、 1 2 （PMCN） MN 1 2 ANCN， 1 2 （x1） （x2x3） 1 2 （x2x33） （2x） 1 2 33， 3 2 x 3 2 x3 APC S 3 2 x 3 2 x3 3 2 （x 1 2 ） 27 8 ， 3 2 0， 当 x 1 2 时， APC S取得最大值，最大值为 27 8 ，此时点 P的坐标为（ 1 2 ，15 4 ） x y NM D P NC B A O 3.【解析】 （1）令 y0，则 ax2ax3a0， 解得 1 x1， 2 x3 点 A在点 B的左侧， A（1,0） 如图 1，作 DFx 轴于 F， DFOC， OF OA CD AC ， CD
18、4AC， OF OA CD AC 4， OA1， OF4， D 点的横坐标为 4， 代入 yax2ax3a 得，y5a， D（4,5a） 把 A、D 坐标代入 ykxb 得 0 45a kb kb ， 解得 a ka b ， 直线 l的函数表达式为 yaxa （2）如图 1，过点 E作 ENy 轴于点 N 设点 E（m，a（m1） （m3） ） ， 11AE yk xb， 则 11 11 13a mmmkb kb 0 ， 解得： 1 3 3 ka m ba m ， AE ya（m3）xa（m3） ，M（0，a（m3） ） ， MCa（m3）a，NEm， ACE S ACM S CEM S 1
19、2 a（m3） 1 2 a（m3）am 1 2 （m1）a（m3）a 2 a （m 3 2 ） 25 8 a， 有最大值 25 8 a 5 4 ， a 2 5 . x y M N F l E D C B A 4.【解析】 （1）由 x4x120， 解得： 1 x2， 2 x6， 点 A、点 B的横坐标是方程 x4x120的两个根， 故 A（2,0） 、B（6,0） ， 则 426 0 3666 0 ab ab ， 解得 1 2 2 a b 故二次函数 y 1 2 x2x6，顶点坐标（2,8） ； （2）设点 P的横坐标为 m，则 0m6， 连接 AQ， 直线 BC 的解析式为 yx6，直线 A
20、C的解析式为 y3x6， 设 Q 点坐标为（a，6a） ， 由 PQAC， 可知 6a am 3， 解得 a 63 4 m ， 6a 3 4 （6m） ， CPQ S APQ S 1 2 （m2） 3 4 （6m） 3 8 （m4m12） 3 8 （m2）6， 当 m2 时，S最大6， 所以，当CPQ 的面积最大时，点 P的坐标是（2,0） x y Q P C BA 5.【解析】 （1）抛物线的对称轴方程为 x 2 b a ， 抛物线的对称轴为 x 4 2 a a 2 将 x2 代入 y 3 4 x得：y 3 4 （2） 3 2 ， 点 C的坐标为（2， 3 2 ） （2）点 D与点 C关于
21、x轴对称， 点 D的坐标为（2， 3 2 ） CD3 设点 A的横坐标为 x，则点 A 到 CD的距离（x2） ACD的面积等于 3， 1 2 CD（x2）3 解得：x0 将 x0 代入 y 3 4 x 得：y0 点 A的坐标为（0,0） 设抛物线的解析式为 ya（x2） 3 2 ，将（0,0）代入得；4a 3 2 0，解得：a 3 8 抛物线的解析式为 y 3 8 （x2） 3 2 x y C D C B A y=- 3 4 x O 如图所示，过点 A作 AEDC，垂足为 E x yD C F E A y=- 3 4 x O 设点 D的坐标为（2，m） ，则 CD 3 2 m DCAC， A
22、C 3 2 m， EAx 轴， COFCAE. AE 4 5 AC 43 52 m ACD的面积为 10， 1 2 CDAE10，即 1 2 （m 3 2 ） 4 5 （m 3 2 ）10. 解得：m6.5 或 m3.5 当 m6.5 时，点 D 的坐标为（2,6.5） AE 4 5 （6.51.5） 点 A的横坐标为242 将 x2 代入 y 3 4 x 得；y 3 4 2 3 2 点 A的坐标为（2， 3 2 ） 设抛物线的解析式为 ya（x2）6.5，将点 A的坐标代入得：16a6.51.5 解得：a 1 2 抛物线的解析式为 y 1 2 （x2）6.5 当 m3.5时，点 D的坐标为（
23、2，3.5） AE 4 5 1.5（3.5）4 点 A的坐标为（2， 3 2 ） 设抛物线的解析式为 ya（x2）3.5，将点 A的坐标代入得：16a3.51.5 解得：a 1 8 抛物线的解析式为 y 1 8 （x2）3.5 6.【解析】 （1）解方程 x3x40，得： 1 x1、 2 x4，则 A（1,0） 、B（4,0） ； 依题意，设抛物线的解析式：ya（x1） （x4） ，代入 C（0，2） ，得： a（01） （04）2， 解得：a 1 2 故抛物线的解析式：y 1 2 （x1） （x4） 1 2 x 3 2 x2 （2）由 C（0，2） 、D（2,0）得，直线 CD：yx2； 作
24、直线 lCD，且直线 l与抛物线有且只有一个交点 P，设直线 l：yxb，联立抛物线的解析式： xb 1 2 x 3 2 x2，即： 1 2 x 5 2 x2b0 25 4 4 1 2 （2b）0，解得 b 41 8 即，直线 l：yx 41 8 ； 联立直线 l和抛物线的解析式，得： 2 41 8 13 2 22 yx yxx ， 解得 5 2 21 8 x y 则 P（ 5 2 ， 21 8 ） ； 过 P 作 PMx 轴于 M，如图（2） CDP 的最大面积： max S 12151152125 (2)22(2) 28222288 ； 当 P（ 5 2 ， 21 8 ）时，CDP的面积有
25、最大值，且最大面积为 25 8 连接 BC 则 BCD S 1 2 BDOC 1 2 （42）22 S的取值范围是 2S 25 8 . 7.【解析】 （1）A（1,3） ，B（4,0）在抛物线 ymxnx 的图象上， 3 1640 mn mn ，解得 4 m n 1 ， 抛物线解析式为 yx4x； （3）如图，过 P作 PFCM于点 F， x y N M P F DCB A O PMOA， RtADCRtMFP， MF PF AD OD 3， MF3PF， 在 RtABD 中，BD3，AD3， tanABD1， ABD45，设 BCa，则 CNa， 在 RtSPFN 中，PNFBNC45， tanPNF PF FN 1， FNPF， MNMFFN4PF， BCN S2 PMN S， 1 2 a2 1 2 4PF， a2 2PF， NCa2 2PF， MN NC 4 2 2 PE PF 2， MN2NC2a， MCMNNC（21）a， M点坐标为（4a， （21）a） ， 又 M点在抛物线上，代入可得（4a）4（4a）（21）a， 解得 a32或 a0（舍去） ， OC4a21，MC322， 点 M 的坐标为（21，322）
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