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    中考培优竞赛专题经典讲义 第29讲 存在性问题之特殊四边形

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    中考培优竞赛专题经典讲义 第29讲 存在性问题之特殊四边形

    1、第 29 讲 存在性问题之特殊四边形 菱形存在性问题,抓住邻边相等(即等腰三角形)和对角线垂直; 矩形存在性问题,抓住内角 90与对角线相等; 正方形存在性问题,抓住等腰直角三角形的性质即可. 【例【例题讲解题讲解】 】 例题 1.如图,在 RtABC中,C=90,AC=6cm,BC=8cm,点 P从点 B出发,沿 BA方向以 2cm/s的速度向终点 A 运动;同时,动点 Q从点 C出发沿 CB方向以 1cm/s的速度向终点 B运动,将BPQ沿 BC翻折,点 P的对应点 为点 P,设 Q点运动的时间 t秒,若四边形 QPB P为菱形,求 t的值. 解:若四边形 QPBP为菱形,t=2秒理由如下

    2、: C=90,AC=BC,ABC是等腰直角三角形,ABC=45, 点 P的速度是每秒2cm,点 Q的速度是每秒 1cm,BP=2tcm,BQ=(6t)cm, 四边形 QPBP为菱形, 2t 2 2 = 6 2 t ,解得:t=2; 即若四边形 QPBP为菱形的值为 2 秒. 例题 2.如图,已知 O(0,0),A(4,0),B(4,3).动点 P 从 O 点出发,以每秒 3 个单位的速度,沿OAB 的边 OA、AB 作匀速运动;动直线l从AB位置出发,以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动.若它们同时出发, 运动的时间为 t秒,当直线 l运动到 O时,它们都停止运动.当 P在线段 AB

    3、上运动时,设直线 l分别与 OA、 OB 交于 C、D,试问:四边形 CPBD是否可能为菱形?若能,求出此时 t的值;若不能,请说明理由,并说明如何改变 直线 l的出发时间,使得四边形 CPBD 会是菱形. 解:四边形 CPBD 不可能为菱形. 如图所示,根据题意可得,ACt,AP=3t4,BP=3AP=73t,OC=4t, 因为 CDAB,所以OCDOAB,所以 OCCD OAAB ,即 4 34 CDt ,解得:CD= 3 4 (4t), 因为 CD=BP,所以 3 4 (4t)=73t,解得:t= 16 9 ,所以 BP= 5 3 ,在ACP中,由勾股定理得, P Q P C B A O

    4、 A B x y CP 2222 16420 ()( ) 939 ACAP,因为 CPBP,所以四边形 CPBD 不可能为菱形. 若要使四边形 CPBD 为菱形,设直线比 P 点迟 x 秒出发,则 AC=tx,AP=3t4,BP=CP=73t,因为四边形 CPBD 为菱形,则 CPOB,所以ACPAOB,则 ACAPCP OAABOB , 则 3473 435 txtt , 34 34 3473 35 ttx tt ,解得: 41 24 5 24 t x , 即直线比 P点迟 5 24 秒出发时可使四边形 CPBD为菱形. 例题 3.如图,直线 y= 3 4 x+3与 y轴交于点 A,与 x轴

    5、交于点 B,点 P从点 B出发以每秒 1个单位长度的速度沿 BA边向终点A运动,同时点 Q以相同的速度从坐标原点O出发沿OB边向终点 B运动,设点P运动的时间为 t秒. (1)求点 A,B的坐标; (2)在点 P,Q运动的过程中,是否存在点 N,使得以点 A,P,Q,N为顶点的四边形是矩形?若存在,求 t的值并直接 写出点 N的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1)对于直线 y= 3 4 x+3,令 x=0,得到 y=3,令 y=0得到 x=4,A(0,3),B(4,0); (2)存在以点 APQN为顶点的四边形是矩形, 如图 2 所示,当APQ=90时,BPQ=AOB=90, 由(2)得:

    6、cosPBQ= BP BQ ,即 4 45 t t ,解得:t= 16 9 此时 N坐标为( 4 5 , 29 15 ) 如果PAQ=90,OAB 为锐角,PAQOAB, 不成立,PAQ90 如果AQP=90,当 Q与 O重合时,t=0,此时 N坐标为(4,3), 当 0t5时如图 3所示过 P作 PMx 轴于点 M. 由得:MB 4 5 t, QM=OBOQBM=4 9 5 t, AOQ=QMP=AQP=90,OAQ=MQP,RtAOQRtQMP AOOQ MQPM ,即 3 93 4 55 t tt ,解得:t= 11 5 ,此时 N坐标为( 9 5 , 56 15 ) 综上所述:当 t的

    7、值为 0, 16 9 , 11 9 时, x y O A B P Q 以点 APQN为顶点的四边形是矩形,点 N的坐标分别为(4,3) ( 4 5 , 29 15 ), ( 9 5 , 56 15 ) 例题 4.如图,抛物线 y=x2+bx+c与 x轴交于 A(1,0),B(3,0)两点,顶点 M 关于 x轴的对称点是 M. (1)求抛物线的解析式; (2)是否存在过A,B两点的抛物线,其顶点P关于x轴的对称点为Q,使得四边形APBQ为正方形?若存在,求出 此抛物线的解析式;若不存在,请说明理由. 解:(1)根据题意,抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A(1,0),B(3,0),则将点 A、

    8、B 坐标代入抛物线解析式可得: 10 930 bc bc ,+3得:12+4c=0,解得 c=3,代入得 b=2,故原方程组的解为 2 3 b c ,所以抛物线 的表达式为 yx22x3. (2)存在.如图所示,四边形 APBQ 是正方形.因为四边形 APBQ 是正方形,所以该抛物线顶点肯定在 AB的中垂 线上,且 AB=PQ,AB与 PQ相互垂直平分,则点P的坐标为P(1,2)或 P(1,2).当点 P坐标为P(1,2)时,设抛物 线解析式为 y=a(x1)2+2.因为抛物线过 A、 B两点,所以将点 A坐标代入函数解析式得 a(11)2+2=0,解得 a= 1 2 , 故抛物线的解析式为:

    9、y= 1 2 (x1)2+2。 当点 P 坐标为 P(1,2)时,设抛物线解析式为 y=a(x1)22。因为抛物线过 A、B 点,所以将点坐标代入 函数解析式得 a(11)22=0,解得 a= 1 2 , 故抛物线的解析式为 y= 1 2 (x1)22。 综上所述:存在过 A、B 两点的抛物线 y= 1 2 (x1)2+2 或 y= 1 2 (x1)22,其顶点 P 关于轴的对称点为 Q, 使得四边形 APBQ 是正方形. 【巩固训练】 1.如图,在RtABC中,C=90,AC=BC=6cm,点 P从点B出发,沿BA方向以每秒2cm的速度向终点A运动; 同时,动点 Q从点 C出发沿 CB方向以

    10、每秒 1cm的速度向终点 B运动,将BPQ沿 BC翻折,点 P的对应点为 点 P,设 Q点运动的时间 t秒,若四边形 QPBP为菱形,则 t的值为 . ABO C M x y 2.如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y=x2+bx+c的图像与 x轴交于 A、B两点,B点的坐标为(3,0),与 y轴交 于 C(0,3),点 P是直线 BC下方抛物线上的动点. (1)求二次函数解析式; (2)连接 PO、PC,并将POC沿 y 轴对折,得到四边形 POPC,那么是否存在点 P,使得四边形 POPC为菱形? 若存在,请求出此时点 P的坐标;若不存在,请说明理由; 3.如图,矩形OABC的顶点A、C分

    11、别在x、y的正半轴上,点B的坐标为(3,4),一次函数 2 3 yxb 的 图象与边OC、AB分别交于点D、E,并且满足ODBE点M是线段DE上的一个动点 (1)求b的值; (2)连结OM,若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3,求点M的坐标; (3)设点N是x轴上方平面内的一点,以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形,求点N的坐标 A B C P Q P y x OB P C A 4. 如图 1,已知Rt ABC中,90C,8ACcm,6BCcm点P由B出发沿BA方向向点A匀速运 动,同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为2/cm s以AQ、PQ为边作平行 四

    12、边形AQPD,连接DQ,交AB于点E设运动的时间为t(单位:)(04)st剟解答下列问题: (1)用含有t的代数式表示AE (2)当t为何值时,平行四边形AQPD为矩形 (3)如图 2,当t为何值时,平行四边形AQPD为菱形 5.如图 1,在直角梯形ABCD中,/ /ADBC,90ADC,4ADCD,3BC 点M从点D出发以 每秒 2 个单位长度的速度向点A运动同时,点N从点B出发,以每秒 1 个单位长度的速度向点C运 动 其中一个动点到达终点时, 另一个动点也随之停止运动 过点N作NPAD于点P 连接AC交NP 于点Q,连接MQ设运动时间为t秒 (1)填空:AM ;AP (用含t的代数式表示

    13、) (2)t取何值时,梯形ABNM面积等于梯形ABCD面积的 1 3 ; (3)如图 2,将AQM沿AD翻折,得AKM,请问是否存在某时刻t,使四边形AQMK为正方形?说 明理由 6. 如图,二次函数 2 yxxc的图象与x轴分别交于A、B两点,顶点M关于x轴的对称点是M (1)若( 4,0)A ,求二次函数的关系式; (2)在(1)的条件下,求四边形AMBM的面积; (3)是否存在抛物线 2 yxxc,使得四边形AMBM为正方形?若存在,请求出此抛物线的函数关系 式;若不存在,请说明理由 7 如图, 在平面直角坐标系中, 直线AB与x轴、y轴分别相交于点(6,0)A、(0,8)B 点( 0

    14、, )Cm是线段OB 上动点,过点C作CEAB于点E,点D为 x轴上一动点,连结CD、DE,以CD、DE为边作CDEF (1)求CE的长(用含m的代数式表示) ; (2)当3m 时,是否存在点D,使CDEF得顶点F恰好落在y轴上?若存在,求出点D的坐标;若不 存在,请说明理由; (3)点D在整个运动过程中,若存在唯一的位置,使得CDEF为矩形,请求出所有满足条件的m的值 参考答案 1.答案:2 2.解:(1)将点 B、C的坐标代入 y=x2+bx+c,得 930 3 bc c ,将代入,得 b=2. 故二次函数的解析式为 y=x22x3. (2)如图 1所示,假设抛物线上存在点 P,使四边形

    15、POPC为形,连接 PP交 CO于点 E,因为四边形 POPC为菱 形,所以 PC=PO,PECO.故 OE=EC= 3 2 ,即点 P的纵坐标为 3 2 . 由 x22x3= 3 2 ,得 x= 210 2 或 x= 210 2 ,当 x= 210 2 时,点 P不在直线 BC下方, 故舍去.故存在这样的点,此时点 P的坐标为( 210 2 , 3 2 ) 3.解: (1) 2 3 yxb 中,令0x ,解得yb,则D的坐标是(0, )b,ODb, ODBE, BEb,则E的坐标是(3,4)b, 把E的坐标代入 2 3 yxb 得42bb , 解得:3b ; (2) 11 3136 22 O

    16、AED SODAEOA 四边形 , 三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3, 1.5 ODM S 设M的横坐标是a,则 1 31.5 2 a, 解得:1a , 把1xa代入 2 3 3 yx 得 247 3 333 y 则M的坐标是 7 (1, ) 3 ; (3) 当四边形OMDN是菱形时, 如图 (1) ,M的纵坐标是 3 2 , 把 3 2 y 代入 2 3 3 yx , 得 23 3 32 x, 解得: 9 4 x , 则M的坐标是 9 ( 4 , 3) 2 , 则N的坐标是 9 ( 4 , 3) 2 ; 当四边形OMND是菱形时,如图(2)3OMOD,设M的横坐标是m,则

    17、纵坐标是 2 3 3 m, 则 22 2 (3)9 3 mm , 解得: 36 13 m 或 0(舍去) 则M的坐标是 36 (13, 15) 13 则DM的中点是 18 (13, 27) 13 则N的坐标是 36 (13, 54) 13 故N的坐标是 9 ( 4 , 3) 2 或 36 (13, 54) 13 4.解: (1)Rt ABC中,90C,8ACcm,6BCcm 由勾股定理得:10ABcm, 点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度均为2/cm s, 2BPtcm, 102APABBPt, 四边形AQPD为平行四边形, 1 5 2 AEAPt; (2)当AQPD是矩形时,PQAC

    18、, / /PQBC, APQABC QAAC APAB 即 28 10210 t t 解之 20 9 t 当 20 9 t 时,AQPD是矩形; (3)当AQPD是菱形时,DQAP, 则 AEAC COSBAC AQAB 即 54 25 t t 解之 25 13 t 当 25 13 t 时,AQPD是菱形 5.解: (1)如图 12DMt, 42AMADDMt 在直角梯形ABCD中,/ /ADBC,90ADC,NPAD于点P, 四边形CNPD为矩形, 3DPCNBCBNt, 4(3)1APADDPtt ; (2)如图 1梯形ABNM的面积等于梯形ABCD面积的 1 3 , 111 (42 )4

    19、(34)4 232 tt, 解得 5 3 t 当 5 3 t 时,梯形ABNM面积等于梯形ABCD面积的 1 3 ; (3)存在时刻 1 2 t ,能够使四边形AQMK为正方形理由如下: 90ADC,ADCD, 45CAD 将AQM沿AD翻折,得AKM, QMKM,AQAK,290KAQCAD 若四边形AQMK为正方形,则AQMQ, NPMA, MPAP, 2AMAP, 422(1)tt , 1 2 t , 当 1 2 t 时,四边形AQMK为正方形 故答案为:42t;1t 6.解: (1)( 4,0)A 在二次函数 2 yxxc的图象上, 2 ( 4)( 4)0c , 解得20c , 二次函

    20、数的关系式为 2 20yxx; (2) 22 181 20() 24 yxxx, 顶点M的坐标为 1 ( 2 , 81) 4 , ( 4,0)A ,对称轴为 1 2 x , 点B的坐标为(5,0), 5( 4)549AB , 181729 9 248 ABM S , 顶点M关于x轴的对称点是M, 729729 22 84 ABMAMBM SS 四边形 ; (3)存在抛物线 2 3 4 yxx,使得四边形AMBM为正方形 理由如下:令0y ,则 2 0xxc,设点AB的坐标分别为 1 (A x,0), 2 (B x,0), 则 12 1xx, 12 x xc, 所以, 2 121 2 ()41

    21、4ABxxx xc, 点M的纵坐标为: 2 441 44 acbc a , 顶点M关于x轴的对称点是M,四边形AMBM为正方形, 41 142 4 c c , 整理得, 2 16830cc, 解得 1 1 4 c , 2 3 4 c , 又抛物线与x轴有两个交点, 22 4( 1)40bacc ,解得 1 4 c , c的值为 3 4 , 故存在抛物线 2 3 4 yxx,使得四边形AMBM为正方形 7.解: (1)(6,0)A,(0,8)B, 6OA,08B , 22 10ABOAOB, 90CEBAOB , OBAEBC , BCEBAO, OEBC OAAB ,即 8 610 CEm ,

    22、 324 55 CEm ; (2)3m , 85BCm, 324 3 55 CEm , 4BE, 点F落在y轴上, (如图2) , / /DEBO, EDABOA, ADAE AOAB ,即 66 610 OD , 12 5 OD, 点D的坐标为 12 ( 5 ,0); (3)取CE的中点P,过P作PGy轴于G点, 1123 2510 CPCEm ()当0m 时, 08m时,如图 3, GCPBAO , 3 coscos 5 GCPBAO, 3 123369 cos() 5 5102550 m CGCPGCPm 3694136 25505025 OGOCCGmmm, 根据题意,得 OGCP 4136123 5025510 mm, 解得 6 7 m , 当8m时,OGCP显然不存在满足条件的m的值; ()当0m 时,点C与原点O重合, (图4) ; ()当0m 时, 当点E与点A重合时,如图 5, 易证COAAOB, COAO AOOB 即 6 68 m ,解得 9 2 m ; 当点E与点A不重合时,如图 6, , 3694136 () 25505025 OGOCCGmmm , 由题意,得 OGCP 即 4136123 5025510 mm, 解得 96 13 m , 综上所述: 6 7 m 或 0或 9 2 或 96 13


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