2020年上海市静安区中考数学一模试卷（含详细解答）

1、如果将抛物线 yx22 平移，使平移后的抛物线与抛物线 yx28x+9 重合，那 么它平移的过程可以是（ ） A向右平移 4 个单位，向上平移 11 个单位 B向左平移 4 个单位，向上平移 11 个单位 C向左平移 4 个单位，向上平移 5 个单位 D向右平移 4 个单位，向下平移 5 个单位 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分）分） 7 （4 分）因式分解：x25x 8 （4 分）已知 f（x），那么 f（3） 第 2 页（共 24 页） 9 （4 分）方程的根为 10 （4 分）已知：，且 y4，那么 11（4 分）

2、在ABC 中， 边 BC、 AC 上的中线 AD、 BE 相交于点 G， AD6， 那么 AG 12（4 分） 如果两个相似三角形的对应边的比是 4： 5， 那么这两个三角形的面积比是 13 （4 分）如图，在大楼 AB 的楼顶 B 处测得另一栋楼 CD 底部 C 的俯角为 60 度，已知 A、 C 两点间的距离为 15 米，那么大楼 AB 的高度为 米 （结果保留根号） 14 （4 分）某商场四月份的营业额是 200 万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长 率相同，都为 x（x0） ，六月份的营业额为 y 万元，那么 y 关于 x 的函数解式是 15 （4 分）矩形的一条对角线长为 26

3、，这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为，那么该 矩形的面积为 16 （4 分）已知二次函数 ya2x2+8a2x+a（a 是常数，a0） ，当自变量 x 分别取6、4 时，对应的函数值分别为 y1、y2，那么 y1、y2的大小关系是：y1 y2（填“” 、 “” 或“” ） 17 （4 分）平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例 中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线” 在梯形 ABCD 中，ADBC，AD4， BC9，点 E、F 分别在边 AB、CD 上，且 EF 是梯形 ABCD 的“比例中线” ，那么 18 （4 分）如图，有一菱形纸片 ABCD，A60，将

4、该菱形纸片折叠，使点 A 恰好与 CD 的中点 E 重合，折痕为 FG，点 F、G 分别在边 AB、AD 上，联结 EF，那么 cosEFB 的值为 第 3 页（共 24 页） 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）先化简，再求值：，其中 xsin45，ycos60 20 （10 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC20，sinA，CDAB，垂足为 D （1）求 BD 的长； （2）设 ， ，用 、 表示 21 （10 分）已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+bx+1（b 为常数）的对称轴是直 线 x1

5、 （1）求该抛物线的表达式； （2）点 A（8，m）在该抛物线上，它关于该抛物线对称轴对称的点为 A，求点 A的坐标； （3） 选取适当的数据填入下表， 并在如图所示的平面直角坐标系内描点， 画出该抛物线 x y 22 （10 分）如图，在东西方向的海岸线 l 上有长为 300 米的码头 AB，在码头的最西端 A 第 4 页（共 24 页） 处测得轮船 M 在它的北偏东 45方向上；同一时刻，在 A 点正东方向距离 100 米的 C 处测得轮船 M 在北偏东 22方向上 （1）求轮船 M 到海岸线 l 的距离； （结果精确到 0.01 米） （2）如果轮船 M 沿着南偏东 30的方向航行，那么

6、该轮船能否行至码头 AB 靠岸？请 说明理由 （参考数据：sin220.375，cos220.927，tan220.404，1.732 ） 23 （12 分）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AC 与 BD 相交于点 O，点 E 在线段 OB 上， AE 的延长线与 BC 相交于点 F，OD2OBOE （1）求证：四边形 AFCD 是平行四边形； （2）如果 BCBD，AEAFADBF，求证：ABEACD 24 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中（如图） ，已知二次函数 yax2+bx+c（其中 a、b、c 是常数，且 a0）的图象经过点 A（0，3） 、B（1，0） 、C（3，0）

7、 ，联结 AB、AC （1）求这个二次函数的解析式； （2）点 D 是线段 AC 上的一点，联结 BD，如果 SABD：SBCD3：2，求 tanDBC 的 值； （3）如果点 E 在该二次函数图象的对称轴上，当 AC 平分BAE 时，求点 E 的坐标 第 5 页（共 24 页） 25 （14 分）已知：如图 1，在ABC 中，ABAC，点 D、E 分别在边 BC、DC 上，AB2 BEDC，DE：EC3：1，F 是边 AC 上的一点，DF 与 AE 交于点 G （1）找出图中与ACD 相似的三角形，并说明理由； （2）当 DF 平分ADC 时，求 DG：DF 的值； （3）如图 2，当BAC

8、90，且 DFAE 时，求 DG：DF 的值 第 6 页（共 24 页） 2020 年上海市静安区中考数学一模试卷年上海市静安区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有分） 【下列各题的四个选项中，有且只有 一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1 （4 分）已知 a+，b，那么 ab 的值为（ ） A B Cxy Dx+y 【分析】将 a、b 直接代入 ab，利

9、用平方差公式求值即可 【解答】解：a+，b， ab（+） （）xy， 故选：C 【点评】本题考查二次根式的化简求值；熟练掌握平方差公式是解题的关键 2 （4 分）已知点 P 在线段 AB 上，且 AP：PB2：3，那么 AB：PB 为（ ） A3：2 B3：5 C5：2 D5：3 【分析】根据比例的合比性质直接求解即可 【解答】解：由题意 AP：PB2：3， AB：PB（AP+PB） ：PB（2+3） ：35：3； 故选：D 【点评】本题主要考查比例线段问题，关键是根据比例的合比性质解答 3 （4 分）在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DEBC，AD：DB4：5，下列结 论中

10、正确的是（ ） A B C D 【分析】由平行线证出ADEABC，得出，即可得出答案 【解答】解：如图所示： AD：DB4：5， ， DEBC， ADEABC， 第 7 页（共 24 页） ， ； 故选：B 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关 键 4 （4 分）在 RtABC 中，C90，A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，如果 a 3b，那么A 的余切值为（ ） A B3 C D 【分析】根据余切函数的定义即可求解 【解答】解：在 RtABC 中，C90，A、B、C 所对的边分别为 a、b、c， a3b， cotA 故选：A 【点评】本题考查锐角

11、三角函数的定义，即：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜 边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边 5 （4 分）如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，设 ， ， 下列式子中正确的是（ ） A + B C + D 【分析】利用平行四边形的性质与计算机向法则求出即可解决问题 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， 第 8 页（共 24 页） + + ， 故选：C 【点评】本题考查平行四边形的性质，平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟 练掌握基本知识，属于中考常考题型 6 （4 分）如果将抛物线 yx22 平移，使平移后的抛物线与抛物线

12、 yx28x+9 重合，那 么它平移的过程可以是（ ） A向右平移 4 个单位，向上平移 11 个单位 B向左平移 4 个单位，向上平移 11 个单位 C向左平移 4 个单位，向上平移 5 个单位 D向右平移 4 个单位，向下平移 5 个单位 【分析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解 【解答】解：抛物线 yx28x+9（x4）27 的顶点坐标为（4，7） ，抛物线 y x22 的顶点坐标为（0，2） ， 顶点由（0，2）到（4，7）需要向右平移 4 个单位再向下平移 5 个单位 故选：D 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线 解析式更简

13、便 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分）分） 7 （4 分）因式分解：x25x x（x5） 【分析】根据提公因式法，可分解因式 【解答】解：x25xx（x5） 故答案为：x（x5） 【点评】本题考查了因式分解，提公因式法分解因式的关键是确定公因式 8 （4 分）已知 f（x），那么 f（3） 【分析】将 x3 代入 f（x）计算即可 【解答】解：当 x3 是，f（3）， 故答案为 【点评】本题考查函数值的求法；掌握代入法求函数值是解题的关键 第 9 页（共 24 页） 9 （4 分）方程的根为 x3 【分析】根据分式方程的解

14、法，方程两边同时乘以 2（x+1） ，将分式方程化为整式方程 求解即可 【解答】解：方程两边同时乘以 2（x+1） ，得 2（x1）x+1， 解得 x3， 经检验，x3 是原方程的根， 原方程的解为 x3， 故答案为 x3 【点评】本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，注意检验根的情况是解 题的关键 10 （4 分）已知：，且 y4，那么 【分析】根据分比性质可得答案 【解答】解：，且 y4， 故答案为： 【点评】此题主要考查了比例的性质，解题关键是熟练掌握分比性质 11（4 分） 在ABC 中， 边 BC、 AC 上的中线 AD、 BE 相交于点 G， AD6， 那么 AG 4 【

15、分析】由三角形的重心的概念和性质求解 【解答】解：AD、BE 为ABC 的中线，且 AD 与 BE 相交于点 G， G 点是三角形 ABC 的重心， AG4， 故答案为 4 【点评】此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重 心到顶点的距离是它到对边中点的距离的 2 倍 12 （4 分）如果两个相似三角形的对应边的比是 4：5，那么这两个三角形的面积比是 16： 25 【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，据此即可求解 第 10 页（共 24 页） 【解答】解：两个相似三角形面积的比是（4：5）216：25 故答案为：16：25 【点评】本题考查对相似三角

16、形性质的理解 （1）相似三角形周长的比等于相似比； （2）相似三角形面积的比等于相似比的平方； （3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 13 （4 分）如图，在大楼 AB 的楼顶 B 处测得另一栋楼 CD 底部 C 的俯角为 60 度，已知 A、 C 两点间的距离为 15 米，那么大楼 AB 的高度为 15 米 （结果保留根号） 【分析】解直角三角形即可得到结论 【解答】解：由题意得，BAC90，ACB60，AC15， tanACB， ABAC15， 答：大楼 AB 的高度为 15米 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，仰角俯角问题，正确的理解题意是解答此

17、题的关键 14 （4 分）某商场四月份的营业额是 200 万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长 率相同，都为 x（x0） ，六月份的营业额为 y 万元，那么 y 关于 x 的函数解式是 y 200x2+400x+200 【分析】根据增长率问题公式列出函数解析式即可 【解答】解：根据题意，得 y200（1+x）2 200x2+400x+200 故答案为 y200x2+400x+200 【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题 第 11 页（共 24 页） 15 （4 分）矩形的一条对角线长为 26，这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为，那么该 矩形的面积为 240 【

18、分析】由矩形的性质和三角函数求出 CD，由勾股定理求出 AD，即可得出矩形的面积 【解答】解：如图所示： 四边形 ABCD 是矩形， BAD90，ACBD26， tanDAC， CD10， AD24， 矩形的面积ADCD2410240， 故答案为：240 【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握矩形的性质，由 勾股定理求出 AD 是解决问题的关键 16 （4 分）已知二次函数 ya2x2+8a2x+a（a 是常数，a0） ，当自变量 x 分别取6、4 时，对应的函数值分别为 y1、y2，那么 y1、y2的大小关系是：y1 y2（填“” 、 “” 或“” ） 【分析】求出二

19、次函数的对称轴 x4，由于函数开口向上，在对称轴左侧，y 随 x 的 增大而减小，即可求解 【解答】解：ya2x2+8a2x+aa2（x2+8x）+aa2（x+4）2+a16a2， 对称轴 x4， x 分别取6、4 时，在对称轴左侧， y 随 x 的增大而减小， y1y2， 故答案为 【点评】本题考查二次函数的图象及性质；掌握二次函数的图象及性质是解题的关键 第 12 页（共 24 页） 17 （4 分）平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例 中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线” 在梯形 ABCD 中，ADBC，AD4， BC9，点 E、F 分别在边 AB、

20、CD 上，且 EF 是梯形 ABCD 的“比例中线” ，那么 【分析】连接 BD 交 EF 于 G，由 EF 是梯形 ABCD 的“比例中线” ，得出 EF2ADBC 36， EF6， 由平行线证出BEGBAD， DFGDCB， 得出， ，求出+1，即+1，解得 EG，得出 GF 6EG，即可得出答案 【解答】解：连接 BD 交 EF 于 G，如图所示： EF 是梯形 ABCD 的“比例中线” ， EF2ADBC4936， EF6， EFADBC， BEGBAD，DFGDCB， ， +1，即+1， 解得：EG， GF6EG， ， ； 故答案为： 第 13 页（共 24 页） 【点评】本题考查了

21、相似三角形的判定与性质、梯形的“比例中线”的性质等知识；熟 记相似三角形的判定定理是解题的关键 18 （4 分）如图，有一菱形纸片 ABCD，A60，将该菱形纸片折叠，使点 A 恰好与 CD 的中点 E 重合，折痕为 FG，点 F、G 分别在边 AB、AD 上，联结 EF，那么 cosEFB 的值为 【分析】如图，连接 BD设 BC2a在 RtBEF 中，求出 EF，BF 即可解决问题 【解答】解：如图，连接 BD设 BC2a 四边形 ABC 都是菱形， ABBCCDAD2a，AC60， BDC 是等边三角形， DEECa， BECD， BEa， ABCD，BECD， BEAB， EBF90，

22、 设 AFEFx，在 RtEFB 中，则有 x2（2ax）2+（a）2， x， AFEF，BFABAF， 第 14 页（共 24 页） cosEFB， 故答案为 【点评】本题考查菱形的性质，解翻折变换，直角三角形等知识，解题的关键是学会利 用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）先化简，再求值：，其中 xsin45，ycos60 【分析】现将原式化简为，再将 xsin45，ycos60代入计算即可 【解答】解：原式， 当 xsin45，ycos60时， 原式 【点评】本题考查分式的化简求

23、值，特殊角的三角函数值；准确将分式进行化简，牢记 特殊角的三角形函数值是解题的关键 20 （10 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC20，sinA，CDAB，垂足为 D （1）求 BD 的长； （2）设 ， ，用 、 表示 【分析】 （1）解直角三角形求出 CD，AD，再在 RtCDB 中求出 BD 即可 （2）利用三角形法则求解即可 第 15 页（共 24 页） 【解答】解： （1）CDAB，ADCBDC90， 在 RtACD 中，sinA， CDACsinA2012， AD16， tanA， ACB90， DCB+BA+B90， DCBA BDCDtanDCBCDtanA129

24、 （2）ABAD+DB16+925， ， 又+ ， 【点评】本题考查解直角三角形，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识， 属于中考常考题型 21 （10 分）已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+bx+1（b 为常数）的对称轴是直 线 x1 （1）求该抛物线的表达式； （2）点 A（8，m）在该抛物线上，它关于该抛物线对称轴对称的点为 A，求点 A的坐标； （3） 选取适当的数据填入下表， 并在如图所示的平面直角坐标系内描点， 画出该抛物线 x 1 0 1 2 3 y 4 1 0 1 4 第 16 页（共 24 页） 【分析】 （1）根据对称轴公式求得 b 的值，即可求得抛

25、物线的解析式； （2）把点 A（8，m）代入解析式求得 m 的值，然后根据轴对称的性质即可求得 A的坐 标； （3）列表、连线，画出函数的图象即可 【解答】解： （1）对称轴为 x， 1， b2， 抛物线的表达式为 yx22x+1； （2）点 A（8，m）在该抛物线的图象上， 当 x8 时，yx22x+18228+149 点 A（8，49） ， 点 A（8，49）关于对称轴对称的点 A的坐标为（6，49） ； （3）列表： x 1 0 1 2 3 y 4 1 0 1 4 描点、连线，画出图象如图： 第 17 页（共 24 页） 【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象，以及

26、二次函数的 性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键 22 （10 分）如图，在东西方向的海岸线 l 上有长为 300 米的码头 AB，在码头的最西端 A 处测得轮船 M 在它的北偏东 45方向上；同一时刻，在 A 点正东方向距离 100 米的 C 处测得轮船 M 在北偏东 22方向上 （1）求轮船 M 到海岸线 l 的距离； （结果精确到 0.01 米） （2）如果轮船 M 沿着南偏东 30的方向航行，那么该轮船能否行至码头 AB 靠岸？请 说明理由 （参考数据：sin220.375，cos220.927，tan220.404，1.732 ） 【分析】 （1）过点 M 作 MDAC 交 AC

27、的延长线于 D，设 DMx，解直角三角形即可得 到结论； （2）作DMF30，交 l 于点 F解直角三角形即可得到结论 【解答】解： （1）过点 M 作 MDAC 交 AC 的延长线于 D，设 DMx， 在 RtCDM 中，CDDMtanCMDxtan22， 又在 RtADM 中，MAC45， 第 18 页（共 24 页） ADDM， ADAC+CD100+xtan22， 100+xtan22x， x167.79， 答：轮船 M 到海岸线 l 的距离约为 167.79 米 （2）作DMF30，交 l 于点 F 在 RtDMF 中，DFDMtanFMDDMtan30 DM167.7996.87

28、米， AFAC+CD+DFDM+DF167.79+96.87264.66300， 所以该轮船能行至码头靠岸 【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，读懂题目信息并作出辅助线构 造成直角三角形是解题的关键 23 （12 分）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AC 与 BD 相交于点 O，点 E 在线段 OB 上， AE 的延长线与 BC 相交于点 F，OD2OBOE （1）求证：四边形 AFCD 是平行四边形； （2）如果 BCBD，AEAFADBF，求证：ABEACD 【分析】 （1）由已知得出，由平行线得出AODCOB，得出，证 出，得出 AFCD，即可得出结论； （2）由平行线

29、得出AEDBDC，BEFBDC，得出，证出AEB 第 19 页（共 24 页） ADC由已知得出，由平行四边形的性质得出 AFCD，得出，由相 似三角形的判定定理即可得出结论 【解答】 （1）证明：OD2 OEOB， ， ADBC， AODCOB， AFCD， 四边形 AFCD 是平行四边形； （2）证明：AFCD， AEDBDC，BEFBDC， ， BCBD， BEBF，BDCBCD， AEDBCD AEB180AED，ADC180BCD， AEBADC AEAFADBF， ， 四边形 AFCD 是平行四边形， AFCD， ， ABEADC 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边

30、形的判定与性质、梯形的性质、 等腰三角形的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质和平行四边形的判定是解 题的关键 第 20 页（共 24 页） 24 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中（如图） ，已知二次函数 yax2+bx+c（其中 a、b、c 是常数，且 a0）的图象经过点 A（0，3） 、B（1，0） 、C（3，0） ，联结 AB、AC （1）求这个二次函数的解析式； （2）点 D 是线段 AC 上的一点，联结 BD，如果 SABD：SBCD3：2，求 tanDBC 的 值； （3）如果点 E 在该二次函数图象的对称轴上，当 AC 平分BAE 时，求点 E 的坐标 【分析】 （

31、1）将 A、B、C 的坐标直接代入 yax2+bx+c 即可； （2）过点 D 作 DHBC 于 H，在ABC 中，设 AC 边上的高为 h，求出 AD 与 DC 的比， 证CHDCOA，可求出 CH，DH，BH 的长，可根据正切定义求出结果； （3）求出抛物线对称轴为直线 x2，设直线 x2 与 x 轴交于点 G，过点 A 作 AF 垂直 于直线 x2，垂足为 F，证OACOCA45，FACOCA45，推出BAO EAF，证OABFEA，即可求出 AF 的长，EF 的长，EG 的长，即可写出点 E 的 坐标 【解答】解： （1）将 A（0，3） 、B（1，0） 、C（3，0）代入 yax2+

32、bx+c， 得， 解得， 此抛物线的表达式是 yx2+4x3； （2）过点 D 作 DHBC 于 H， 在ABC 中，设 AC 边上的高为 h，则， 又DHy 轴， 第 21 页（共 24 页） CHDCOA， ， CHDH3， BHBCCH2， tanDBC； （3）yx2+4x3（x2）2+1， 对称轴为直线 x2，设直线 x2 与 x 轴交于点 G，过点 A 作 AF 垂直于直线 x2，垂 足为 F， OAOC3， AOC90， OACOCA45， AFx 轴， FACOCA45， AC 平分BAE， BACEAC， BAOOACBAC，EAFFACEAC， BAOEAF， AOBAFE

33、90， OABFEA， ， AF2， EF， EGGFEFAOEF3， E（2，） 第 22 页（共 24 页） 【点评】本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质等， 解题关键是能够由题意作出适当的辅助线构造相似三角形 25 （14 分）已知：如图 1，在ABC 中，ABAC，点 D、E 分别在边 BC、DC 上，AB2 BEDC，DE：EC3：1，F 是边 AC 上的一点，DF 与 AE 交于点 G （1）找出图中与ACD 相似的三角形，并说明理由； （2）当 DF 平分ADC 时，求 DG：DF 的值； （3）如图 2，当BAC90，且 DFAE 时，求 DG：D

34、F 的值 【分析】 （1）根据相似三角形的判定定理进行判定即可； 第 23 页（共 24 页） （2）由相似三角形的性质即可得出答案； （3）由等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质即可得出答案 【解答】解： （1）与ACD 相似的三角形有：ABE、ADC，理由如下： AB2 BEDC， ， ABAC， BC， ABEDCA ABEDCA， AEDDAC AEDC+EAC，DACDAE+EAC， DAEC ADECDA； （2）ADECDA， 又DF 平分ADC， ， 设 CEa，则 DE3CE3a，CD4a， ， 解得：AD2a， ； （3）BAC90，ABAC， BC45， DAEC45 DGAE， DAGADF45， AGDGAD2aa， EGa， 第 24 页（共 24 页） AEAG+EG（+）a， AEDDAC， ADEDFA， ， DF4（）a， 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知 识；熟记相似三角形的判定定理是解题的关键