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    江苏省南京市金陵中学2020届高三数学检测试卷(28)含答案

    • 资源ID:138726       资源大小:568.21KB        全文页数:8页
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    江苏省南京市金陵中学2020届高三数学检测试卷(28)含答案

    1、金陵中学金陵中学 2020 届高三数学检测卷(届高三数学检测卷(28) 校审:朱骏校审:朱骏 一、填空题(本大题共一、填空题(本大题共 14 小题,每小题小题,每小题 5 分,计分,计 70 分分.请把答案写在答题纸的指定位置上)请把答案写在答题纸的指定位置上) 1 设全集 Ux|x5,xN*,集合 A1,3,B3,4,则 CU(AB)_ 2 已知 i 是虚数单位,若复数 z(12i)(ai)的实部与虚部相等,则实数 a 的值为 3 函数 f(x) xlog2(1x)的定义域为_ 4 从甲,乙,丙,丁 4 个人中随机选取两人,则甲乙两人中 有且只一个被选取的概率为_ 5 对一批产品的质量(单位

    2、:克)进行抽样检测,样本容量为 800, 检测结果的频率分布直方图如图所示根据标准,单件产 品质量在区间25,30)内为一等品,在区间20,25)和 30, 35)内为二等品, 其余为次品 则样本中次品件数为_ 6 如图是一个算法流程图,则输出的 b 的值为_ 7若抛物线 y22px(p0)的焦点恰好是双曲线x 2 5 y2 41 的右 焦点,则 p_ 8如图,在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中,上,下底面为平行四边 形,E 为棱 CD 的中点,设四棱锥 EADD1A1的体积为 V1,四 棱柱 ABCDA1B1C1D1的体积为 V2,则 V1:V2 9已知函数 f(x) 3sin(2x)co

    3、s(2x)(0)是定义在 R 上的奇函数,则 f( 8)的值为 _ 10已知数列an与a 2 n n 均为等差数列(nN*),且 a12,则 a10 _ 11如图,在 ABC 中,AB4,AC2,BAC60 ,已知 点 E, F 分别是边 AB, AC 的中点, 点 D 在边 BC 上, 若DE DF 13 4 ,则线段 BD 的长为_ 12已知点 A(3,0),B(1,2),若圆(x2)2y2r2(r0) 上恰有两点 M,N,使得 MAB 和 NAB 的面积均为 4,则 r 的取值范围是_ 13定义在 R 上的函数 f(x),g(x),h(x),若xR,点(x,h(x),(x,g(x)关于点

    4、(x,f(x) 对称,则称 h(x)是函数 g(x)关于 f(x)的“对称函数” 已知函数 h(x)是函数 g(x)a|x 1|关于函数 f(x)|x23x|的“对称函数” ,且函数 h(x)存在 4 个零点,则实数 a 的取值范 围是 14 已知 a0,b0,且 a12b63 a 1 b,则 ab a3b的最大值为 _ 二、解答题(二、解答题(本大题共本大题共 6 小题,计小题,计 90 分分.请把答案写在答题纸的指定区域内)请把答案写在答题纸的指定区域内) (第 8 题) D1 C1 B1 A1 E D C B A C A E B D 15如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 x 轴正半

    5、轴为始边的锐 角 的终边与单位圆 O 交于点 A,且点 A 的纵坐标是 10 10 (1)求 cos(3 4 )的值; (2)若以 x轴正半轴为始边的钝角 的终边与单位圆O 交于点 B,且点 B 的横坐标为 5 5 ,求 的值 16如图,在正三棱柱 ABCA1B1C1中,点 D 在棱 BC 上, ADC1D,点 E,F 分别是 BB1,A1B1的中点 (1)求证:D 为 BC 的中点; (2)求证:EF/平面 ADC1 17已知点 A(0,2) ,椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F, 直线 AF 的斜率为2 3 3 ,以焦点 F 及短轴两端点为顶点的三 角形周长为 6

    6、,O 为坐标原点 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设过点 A 的定直线 l 与 C 相交于 PQ 两点,当OPQ 的 面积为 1 时,求直线 l 的方程 18如图,甲乙两观察哨所位于海岸线 l(一条南北方向的直线) 上的点 AB 处,两观察哨所相距 32 n mile,在海岸线东侧有一 半径为 6 n mile 圆形暗礁区,该暗礁区中心点 C 位于乙观察哨 所北偏东 53 的方向上,与甲观察哨所相距 2 193n mile,暗礁 中心与乙观察哨所的距离大于 2 193n mile; (1)求暗礁中心点 C 到海岸线 l 的距离;(参考数据:sin53 4 5,cos53 3 5) (2)某时

    7、刻,甲观察哨所发现在其正南方向且位于暗礁中心正西方向的点 D 处有一走私 船正欲逃窜, 甲观察哨所立即派缉私艇进行追击 已知缉私艇的最大航速是走私船最大 航速的 (1)倍假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行问:无论走私船 沿何方向逃窜,要保证缉私艇总能在暗礁区(不包含暗礁区边界)以外的海域内拦截成 功,求 的取值范围 19已知 f(x)是定义在集合 M 上的函数若区间 DM,且对任意 x0D,均有 f(x0)D,则称 函数 f(x)在区间 D 上封闭 (1) 判断 f(x)x1 在区间2,1上是否封闭,并说明理由; (2) 若函数 g(x)3xa x1 在区间3,10上封闭,求实数 a

    8、 的取值范围; (3) 若函数 h(x)x33x 在区间a,b(abZ,且 ab)上封闭,求 ab 的值 20已知正项数列an的前 n 项和为 Sn(nN*),其中 Snanu (1)若 a12,a26,求数列an的通项公式; (2)若 a1a32a2,求证:数列an是等差数列 A1 A B C B1 C1 F E D 12 23 30,1) 42 3 5200 68 76 81:6 9 2 1020 11 3 2 解:因为在ABC 中,AB=4,AC=2,BAC=60,所以AB AC=4, 又在ABC 中,由余弦定理可得:BC2AB2AC22ABACcosCAB, 又 AB=4,AC=2,B

    9、AC=60 ,得 BC=2 3, 设BD BC(01),则 DE DF(BEBD) (DCCF)(1 2AB BC) (1)BC1 2AC ) (1 2)AB AC (1 2)AC (1)AB (1 2)(1)AB 2(1 2)AC 2(2221 4)AB AC 12218713 4 , 解得:1 4,即BD 1 4BC ,即线段 BD 的长为 3 2 12( 2 2 ,9 2 2 ) 解:由题意可得|AB| (13)2(20)22 2, 根据 MAB 和 NAB 的面积均为 4,可得两点 M,N 到直线 AB 的距离为 2 2; 由于 AB 的方程为 y0 20 x3 13,即 xy30;

    10、若圆上只有一个点到直线 AB 的距离为 2 2, 则有圆心(2,0)到直线 AB 的距离为|203| 2 r2 2,解得 r 2 2 ; 若圆上只有 3 个点到直线 AB 的距离为 2 2, 则有圆心(2,0)到直线 AB 的距离为|203| 2 r2 2,解得 r9 2 2 ; 综上,r 的取值范围是( 2 2 ,9 2 2 ) 13(0,2)(18,) 141 9 解:令3 a 1 bt,a12b6t,(a12b)t6tt 2,(a12b)t6tt2, (a12b)(3 a 1 b)6tt 2,3a b 36b a 126tt2,276tt2, t26t270,(t9)(t3)0,t9,

    11、ab a3b 1 1 b 3 a 1 9 15解:因为锐角 的终边与单位圆 O 交于点 A,且点 A 的纵坐标是 10 10 , 所以由任意角的三角函数的定义可知 sin 10 10 从而 cos 1sin23 10 10 3 分 (1)cos(3 4 )cos cos 3 4 sin sin 3 4 , 3 10 10 ( 2 2 ) 10 10 2 2 5 5 7 分 (2)因为钝角 的终边与单位圆 O 交于点 B,且点 B 的横坐标是 5 5 , 所以 cos 5 5 ,从而 sin 1cos22 5 5 9 分 于是 sin()sin cos cos sin 10 10 ( 5 5 )

    12、3 10 10 2 5 5 2 2 12 分 因为 为锐角, 为钝角,所以( 2, 3 2 ), 从而 3 4 14 分 16证明:(1)在正三棱柱 ABCA1B1C1中,点 D 在棱 BC 上,ADC1D, CC1ABC,ADCC1, C1DCC1C1,AD平面 BCC1B1, ADBC,D 为 BC 的中点 6 分 (2)连结 AC1,A1C,交于点 O,连结 DO,A1B, 正三棱柱 ABCA1B1C1中,ACC1A1是矩形,O 是 A1C 的中点, OD/A1B, 点 E,F 分别是 BB1,A1B1的中点,EF/A1B, EF/OD, EF平面 ADC1,DO平面 ADC1 EF/平

    13、面 ADC1 14 分 17解:(1)设右焦点为 F(c,0),由于直线 AF 的斜率为2 3 3 , 即有 2 c 2 3 3 ,解得,c 3, 2 分 则 a2b2c23, 又以焦点 F 和短轴两端点为顶点的三角形周长为 6, 则 2a2b6,即有 ab3,则 ab1,解得 a2,b1 则椭圆 C 的方程为x 2 4y 21; 6 分 (2)设直线 l:ykx2,联立椭圆方程,消去 y,得到 (14k2)x216kx120, 8 分 则有0,即(16k)248(14k2)0, x1x2 16k 14k2,x1x2 12 14k2, 弦长|PQ| 1k2 (x1x2)24x1x2 1k2(

    14、16k 14k2) 2 48 14k2 1k2 64k248 14k2 , 10 分 O 到直线 l 的距离为 d 2 1k2, 则有OPQ 的面积为1 2d|PQ| 64k248 14k2 1, 解得,k27 4,即有 k 7 2 ,代入,检验成立 故直线 l 的方程为:y 7 2 x2 14 分 18(本小题满分 16 分) (1)在三角形 ABC 中,由余弦定理可得:AC2AB2BC22AB BC cosABC, 即:(2 197)2322BC2232BC3 5,整理得:5BC 2192BC12600, A1 A B C B1 C1 F E D O 解得:BC30,或者 BC42 5 (

    15、舍去) 4 分 过点 C 作 CD 垂直于 l,垂足为 D,在直角三角形 CDB 中, CDBCsinABC30 4 524, 故暗礁中心点 C 到海岸线 l 的距离为 24n mile 6 分 (2) 由(1)可知 AD14,BD18,以点 C 为坐标原点,建立如图所示平面直角坐标系, 则 A(24,14),D(24,0), 暗礁区域边界所在的圆的方程为 x2y236 7 分 假设缉私艇在点 T(x,y)处拦截成功,则AT DT, 则点 T 满足方程: (x24)2(y14)2 (x24)2y2 , 化简得:(x24)2(y 14 21) 2( 14 21) 2 10 分 要保证缉私艇总能在

    16、暗礁区(不包含暗礁区边界)以外的海域内拦截成功, 只需要圆(x24)2(y 14 21) 2( 14 21) 2与圆 x2y236 外离, 故(024)2(0 14 21) 2( 14 21)6 12 分 整理得:1352421840,解得 4 3或 46 45(舍去) 15 分 答:(1)暗礁中心点 C 到海岸线 l 的距离是 24n mile; (2)当 4 3时,就能保证无论走私船沿何方向逃窜,缉私艇总能在暗礁区 (不包含暗礁区边界)以外的海域内拦截成功 16 分 19解:(1) 因为函数 f(x)x1 在区间2,1上单调递增, 所以当 x2,1时,f(x)的取值范围为3,0 2 分 而

    17、3,02,1,所以 f(x)在区间2,1上不是封闭的 4 分 (2) 因为 g(x)3xa x1 3a3 x1. 当 a3 时,函数 g(x)3,显然33,10,故 a3 满足题意 当 a3 时,在区间3,10上,函数 g(x)单调递减, 此时 g(x)的取值范围为 30a 11 ,9a 4 . 由 30a 11 ,9a 4 3,10,得 30a 11 3, 9a 4 10, 解得 3a31,故 3a31. 7 分 当 a3 时,在区间3,10上,有 g(x)3a3 x13,不合题意 综上所述,实数 a 的取值范围是区间3,31 9 分 (3) 因为 h(x)x33x,所以 h(x)3x233

    18、(x1)(x1) 因为当 x1 或 x1 时,h(x)0;当 x1 或 1 时,h(x)0;当1x1 时,h (x)0,所以 h(x)在区间(,1上单调递增,在区间1,1上单调递减,在区间 1,)上单调递增 从而 h(x)在 x1 处取得极大值 2,在 x1 处取得极小值2. 11 分 方法一: 当 ab1 时,因为 h(x)在区间a,b上单调递增, 所以 h(a)a33aa, h(b)b33bb,即 a(a2)(a2)0, b(b2)(b2)0,解得 2a0或a2, b2或0b2, 此时无解 当 a1b1 时,因为 h(1)2b,与“h(x)在区间a,b上封闭”矛盾,即 此时无解 当 a1

    19、且 b1 时,因为 h(1)2,h(1)2,故 a2, b2. 由 h(a)a33aa, h(b)b33bb,解得 2a0或a2, b2或0b2,从而 a2, b2. 当1ab1 时,h(x)在区间a,b上单调递减,所以 h(b)b33ba, h(a)a33ab. (*) 又 a、bZ,所以 a1, b0 或 a1, b1 或 a0, b1. 分别代入(*)检验,均不合要求,即此时无解 当1a1 且 b1 时,因为 h(1)2a,与“h(x)在区间a,b上封闭”矛盾, 即此时无解 当 1ab 时,因为 h(x)在区间a,b上递增, 所以 h(a)a33aa, h(b)b33bb,即 2a0或a

    20、2, b2或0b2,此时无解 综上所述,a2,b2. 16 分 方法二: 由题意知, h(a)a33aa, h(b)b33bb,即 a(a2)(a2)0, b(b2)(b2)0,解得 2a0或a2, b2或0b2. 因为 ab,所以2a0,0b2. 又 a、bZ,故 a 只可能取2,1,0,b 只可能取 0,1,2. 当 a2 时,因为 b0,故由 h(1)2,得 b2.因此 b2. 经检验,a2,b2 满足题意 当 a1 时,由于 h(1)2,故 b2,此时 h(1)2,不满足题意 当 a0 时,显然不满足题意 综上所述,a2,b2. 16 分 20(本小题满分 16 分) 解:(1)根据题

    21、意,有 22u 2 26u,解得 2 4 u 2 2 , 2 分 故 Sn1 8(an2) 2,当 n2,nN*时,有 Sn11 8(an 12)2, 两式相减得(anan1)(anan1)4(anan1), 又 an0,则 anan14, 5 分 故an是首项为 2,公差为 4 的等差数列,则 an4n2 6 分 (2)根据题意,有 a1(a1u)2,(1) a1a2(a2u)2,(2) a1a2a3(a3u)2,(3) , 因为 a1a32a2,所以可设 a2a1a3a2d, (2)减去(1)得:a2(a1a22)d, (4) (3)减去(3)得:a3(a2a32)d, (5) 8 分 (5)减去(4)得:d22d2 当 d0 时,a20 与题意矛盾, 则有 2 1 2d, 10 分 代入(4)式得 41, 代入(1)式得 a1d 2 , 12 分 所以 Sn2a2n2anu2 1 2da 2 n1 2an d 8, n2,nN*时,有 Sn1 1 2da 2 n11 2an 1d 8, 式相减得:an 1 2d(a 2 na 2 n1)1 2(anan 1),整理得:(anan1)(anan1d)0 又 an0,则 anan1d 故an是等差数列 16 分


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