1、已知集合 Ax|ylog2（x1），B0，1，2，3，则 AB（ ） A1 B1，2 C2，3 D1，2，3 2 （5 分）已知复数（i 为虚数单位） ，则|Z|（ ） A1 B C D2 3 （5 分）已知，则（ ） A B C D 4 （5 分）设变量 x、y 满足约束条件，则 Z2xy 的最小值为（ ） A3 B2 C0 D6 5 （5 分）已知，且，则 与 的夹角为（ ） A B C D 6 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 b2，a+c4，且 ，则ABC 的面积等于（ ） A B C D 7 （5 分）已知直线 x+ya0 与圆 C： （xa）2
2、+（y+a）21 相交于 A，B 两点，且ABC 为等腰直角三角形，则实数 a 的取值为（ ） A1 或 B1 或1 C2 或2 D1 8 （5 分）若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于（ ） A6 B6 C D 9 （5 分）某高校高三年级理科共有 1500 人，在第一次模拟考试中，据统计数学成绩 服 第 2 页（共 22 页） 从正态分布 N（100，100） ，则这次考试年级数学成绩超过 120 分的人数约为（ ） 参考数据：若 服从正态分布 N（，2） ，有 P（+）0.6826，P（2 +2）0.9544，P（3+3）0.9974 A32 人 B34 人 C39 人 D40 人
3、 10 （5 分）函数 f（x）的图象可能是（ ） A B C D 11 （5 分）双曲线的左右焦点分别为 F1、F2，过点 F2的直 线与圆 x2+y2a2相切于点 A，与双曲线左支交于点 P，且|PF1|F1F2|，则双曲线的离心 率为（ ） A B2 C D 12 （5 分）设函数 f（x）是定义在（0，+）上的可导函数，其导函数为 f（x） ，且有 2f （x）+xf（x）x2，则不等式（ （x2019） 2f（x2019）9f（3）0 的解集为（ ） A （0，2020） B （2019，+） C （0，2019） D （2019，2022） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共
4、 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在题中横线上）分把答案填在题中横线上） 13 （5 分）在的展开式中，常数项是 （用数字作答） 14 （5 分）已知函数 f（x），则 f（log23） 15 （5 分）如图，已知三棱锥 PABC 中，PA面 ABC，ABBC，PA2，ABBC， 第 3 页（共 22 页） 则该三棱锥的外接球的表面积为 16 （5 分）已知抛物线 C：y24x，直线 l 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，直线 OA，OB 的斜率分别为 k1，k2，若 k1k22，则AOB 面积的最小值为 三、解答题（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
5、三、解答题（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）已知等差数列an中，公差 d0，a12，且 a1，a3，a7成等比数列 （）求数列an的通项公式； （）记 bn，求数列bn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）根据我市房地产数据显示，今年我市前 5 个月新建住宅销售均价逐月上升，为 抑制房价过快上涨， 政府从 6 月份开始推出限价房等宏观调控措施， 6 月份开始房价得到 很好的抑制，房价回落今年前 10 个月的房价均价如表： 月份 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 均价 y（万 元/平方米） 0.83 0.95 1.00 1.05 1.17 1.15 1
6、.10 1.06 0.98 0.94 地产数据研究发现，从 1 月份至 5 月份的各月均价 y（万元/平方米）与 x 之间具有正线 性相关关系，从 6 月份至 10 月份的各月均价 y（万元/平方米）与 x 之间具有负线性相关 关系 （1）若政府不调控，根据前 5 个月的数据，求 y 关于 x 的回归直线方程，并预测 12 月 份的房地产均价 （精确到 0.01） （2）政府调控后，从 6 月份至 10 月份的数据可得到 y 与 x 的回归直线方程为： 由此预测政府调控后 12 月份的房地产均价说明政府调控的必要 性 （精确到 0.01）； 19 （12 分）如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C
7、1中，点 O、E 分别是 A1C1、A1B1的中点，A1C 第 4 页（共 22 页） 与 AC1交于点 F，AO平面 A1B1C1已知BCA90，AA1ACBC2 （1）求证：EF平面 BB1C1C； （2）求 A1C1与平面 AA1B1所成角的正弦值 20 （12 分）给定椭圆 C：b0） ，称圆心在原点 O，半径为的圆 是椭圆 C 的“准圆” 若椭圆 C 的一个焦点为，其短轴上的一个端点到 F 的 距离为 （1）求椭圆 C 的方程和其“准圆”方程 （2）点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的一个动点，过点 P 作直线 l1，l2，使得 l1，l2与椭圆 C 都只有一个交点求证：l1l2 21
8、 （12 分）已知函数 （1）当 a3 时，求函数 yf（x）的图象在 x0 处的切线方程； （2）当 x0 时，f（x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程（本题满分（本题满分 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C1的极坐标方程为 26cos+50，曲线 C2的参数方程为（t 为参 数） （1）求曲线 C1的直角坐标方程，并说明是什么
9、曲线？ （2）若曲线 C1与 C2相交于 A、B 两点，求|AB|的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本题满分（本题满分 0 分）分） 第 5 页（共 22 页） 23已知函数 f（x）|2xa|+a （1）若不等式 f（x）6 的解集为x|2x3，求实数 a 的值； （2）在（1）的条件下，若存在实数 n 使 f（n）mf（n）成立，求实数 m 的取值范 围 第 6 页（共 22 页） 2018-2019 学年广西柳州市高三 （上）学年广西柳州市高三 （上） 10 月月考数学试卷 （理科）月月考数学试卷 （理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择
10、题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合 Ax|ylog2（x1），B0，1，2，3，则 AB（ ） A1 B1，2 C2，3 D1，2，3 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 Ax|ylog2（x1）x|x1， B0，1，2，3， AB2，3 故选：C 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 2 （5 分）已知复数（i 为虚数单位） ，则|Z|（ ）
11、A1 B C D2 【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解 【解答】解： ， |Z| 故选：B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 3 （5 分）已知，则（ ） A B C D 【分析】直接利用二倍角公式化简求解即可 【解答】解：， 则12sin212 第 7 页（共 22 页） 故选：A 【点评】本题考查二倍角公式的应用，是基本知识的考查 4 （5 分）设变量 x、y 满足约束条件，则 Z2xy 的最小值为（ ） A3 B2 C0 D6 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数 z2x y 的最小值 ， 【
12、解答】解：由变量 x、y 满足约束条件， 作出不等式对应的可行域（阴影部分） 平移直线 y2xz，由平移可知当直线 y2xz， 经过点 A 时，直线 y2xz 的截距最大，此时 z 取得最小值， 由，解得 A（，3） 将 A（，3）的坐标代入 z2xy，得 z0， 即目标函数 z2xy 的最小值为：0 故选：C 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数 学思想是解决此类问题的基本方法 第 8 页（共 22 页） 5 （5 分）已知，且，则 与 的夹角为（ ） A B C D 【分析】根据即可得出，进行数量积的运算即可求出 ，根据向量夹角的范围即可求出夹角 【
13、解答】解：； ； ； 又； 与 的夹角为 故选：B 【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量垂直的充要条件，向量夹角的范 围 6 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 b2，a+c4，且 ，则ABC 的面积等于（ ） A B C D 【分析】由已知及正弦定理，同角三角函数基本关系式可求 tanB，结合范围可求 B 的值，由已知及余弦定理可求 ac 的值，利用三角形面积公式即可得解 【解答】解：，可得：， 由正弦定理，可得：sinBcosB，即：tanB， 又0B， 可求 B， b2，a+c4， 由余弦定理可得： b2a2+c22accosB， 可得：
14、4a2+c2ac （a+c） 23ac163ac， 解得：ac4， SABCacsinB4 第 9 页（共 22 页） 故选：A 【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积 公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基本知识的考查 7 （5 分）已知直线 x+ya0 与圆 C： （xa）2+（y+a）21 相交于 A，B 两点，且ABC 为等腰直角三角形，则实数 a 的取值为（ ） A1 或 B1 或1 C2 或2 D1 【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，结合等腰直角三角形的性质分析可得圆心 C 到直线 AB 的距离 dr， 又由点到直线的距离公式可得 d
15、 ，解可得 a 的值，即可得答案 【解答】解：根据题意，圆 C： （xa）2+（y+a）21 的圆心为（a，a） ，半径 r1， 若ABC 为等腰直角三角形，则圆心 C 到直线 AB 的距离 dr， 又由 AB 的方程为 x+ya0， 则有 d， 解可得：a1 或1； 故选：B 【点评】本题考查直角与圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式和圆的标准方程，熟 练掌握公式及性质是解本题的关键 8 （5 分）若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于（ ） A6 B6 C D 【分析】由圆台的正视图可以看出圆台是一个下底面直径是 4，上底面直径是 2，圆台的 高是 2， 根据这三个数据可以在轴截面上过
16、上底的顶点向下底做垂线， 根据勾股定理写出 圆台的母线长，利用侧面积公式得到结果 【解答】解：由圆台的正视图可以看出圆台是一个下底面直径是 4， 上底面直径是 2，圆台的高是 2， 第 10 页（共 22 页） 根据这三个数据可以写出圆台的母线长是 圆台的侧面积是 s， 故选：C 【点评】本题考查空间图形的三视图，考查由三视图还原直观图，考查圆台的侧面积公 式，考查圆台的轴截面的用法，本题是一个基础题 9 （5 分）某高校高三年级理科共有 1500 人，在第一次模拟考试中，据统计数学成绩 服 从正态分布 N（100，100） ，则这次考试年级数学成绩超过 120 分的人数约为（ ） 参考数据：
17、若 服从正态分布 N（，2） ，有 P（+）0.6826，P（2 +2）0.9544，P（3+3）0.9974 A32 人 B34 人 C39 人 D40 人 【分析】数学成绩 服从正态分布 N（100，100） ，故数学成绩关于直线 x100 对称， 再结合 P（2+2）0.9544，得到超过 120 的概率，即可得到这次考试年级 数学成绩超过 120 分的人数 【解答】解：根据题意，数学成绩 服从正态分布 N（100，100） ， 所以 P（120） 0.0228 本次考试共有 1500 人，所以估计数学分数超过 120 的人数为 15000.022834 人 故选：B 【点评】本题考查了
18、正态分布，3原则，合理利用正态分布的对称性是解决本题的关 键属于基础题 10 （5 分）函数 f（x）的图象可能是（ ） A B 第 11 页（共 22 页） C D 【分析】化简函数的解析式，判断函数的对称性，利用函数的值判断即可 【解答】解：函数 f（x），可知函数的图象关于（2，0） 对称，排除 A，B 当 x0 时，ln（x2）20， （x2）30，函数的图象在 x 轴下方，排除 D， 故选：C 【点评】本题考查函数的图象的判断与应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用 11 （5 分）双曲线的左右焦点分别为 F1、F2，过点 F2的直 线与圆 x2+y2a2相切于点 A，与双曲线左支
19、交于点 P，且|PF1|F1F2|，则双曲线的离心 率为（ ） A B2 C D 【分析】由直线和圆相切的性质，设切点为 M，可得 OMPF1，且|OM|a，取 PF1的 中点为 N，连接 NF2，余弦定理，结合双曲线的定义，即可得双曲线的离心率 【解答】解：在PF1F2中，|PF1|F1F2|，|PF2|2a+2c， 由余弦定理可知，cosPF2F1， 在 RtMF2O 中，cosPF2F1， 化简可得：3c22ac5a20， e 故选：D 第 12 页（共 22 页） 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查中位线定理和直线和圆相切的性质， 考查运算能力，属于基础题 12 （5 分）
20、设函数 f（x）是定义在（0，+）上的可导函数，其导函数为 f（x） ，且有 2f （x）+xf（x）x2，则不等式（ （x2019） 2f（x2019）9f（3）0 的解集为（ ） A （0，2020） B （2019，+） C （0，2019） D （2019，2022） 【分析】根据题意，令 g（x）x2f（x） ，x（0，+） ，对 g（x）求导分析可得 g（x） 在（0，+）递增，原问题转化为 g（x2019）g（3） ，根据函数的单调性得到关于 x 的不等式组，解出即可 【解答】解：根据题意，令 g（x）x2f（x） ，x（，0） ， 故 g（x）x2f（x）+xf（x）， 而 2
21、f（x）+xf（x）x2， 故 x0 时，g（x）0，g（x）递增， （x2019）2f（x2019）9f（3） ，即（x2019）2f（x2010）32f（3） ， 则有 g（x2019）g（3） ， 则有 0x20193， 解可得 2019x2022； 故选：D 【点评】本题考查函数的单调性与导数的关系，关键是构造函数 g（x）x2f（x） ，并利 用导数分析 g（x）的单调性 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在题中横线上）分把答案填在题中横线上） 13 （5 分）在的展开式中，常数项是 15 （用数字作答） 【分析
22、】先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 0，求得 r 的值，即可求 第 13 页（共 22 页） 得展开式中的常数项 【解答】解：在的展开式的通项公式为 Tr+1 （1）r， 令r60，求得 r4，故的展开式中的常数项是 5 故答案为：15 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公 式，求展开式中某项的系数，属于中档题 14 （5 分）已知函数 f（x），则 f（log23） 12 【分析】根据分段函数的表达式，代入即可得到结论 【解答】解：1log232， f（log23）f（2+log23）f（log212） 32+log234， 3lo
23、g2124， 当 x3 时，f（x）2x， f（log212）12， 故答案为：12 【点评】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式以及对数的运算是解决本 题的关键 15 （5 分）如图，已知三棱锥 PABC 中，PA面 ABC，ABBC，PA2，ABBC， 则该三棱锥的外接球的表面积为 8 【分析】确定 PC 的中点 O 为球心，求出球的半径，利用球的表面积公式，即可求得结 论 【解答】解：PA面 ABC，BC面 ABC， 第 14 页（共 22 页） PABC ABBC，PAABA BC面 PAB PB面 PAB BCPB 取 PC 的中点 O，则 OPOAOBOC，O 为球心 P
24、A2，PC2 球半径为 r 该三棱锥的外接球的表面积为 4r28 故答案为：8 【点评】本题考查球的表面积，解题的关键是确定球心与半径，属于基础题 16 （5 分）已知抛物线 C：y24x，直线 l 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，直线 OA，OB 的斜率分别为 k1，k2，若 k1k22，则AOB 面积的最小值为 4 【分析】由题意可设直线 AB 的方程为：xmy+b，与抛物线方程联立可得根与系数的关 系、利用斜率公式得出直线 AB 过定点 M（2，0） ，再利用三角形的面积计算公式即可得 出结论 【解答】解：由题意可设直线 AB 的方程为：xmy+b 联立，化为 y24my4b0， y
25、1+y24m，y1y24b 直线 OA，OB 的斜率分别为 k1，k2，k1k22 2 y1y28， 4b8， b2 因此直线 AB 过定点 M（2，0） AOB 面积 S|y1y2| 因此当 m0 时，AOB 的面积取得最小值 4 第 15 页（共 22 页） 故答案为：4 【点评】本题综合考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、 斜率公式、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算 能力，属于中档题 三、解答题（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）三、解答题（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）已知等差数列an中，
26、公差 d0，a12，且 a1，a3，a7成等比数列 （）求数列an的通项公式； （）记 bn，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （）由题意列出方程，解得公差 d，写出通项公式； （）利用裂项相消法对数列求和即得结论 【解答】解： （I）设数列an的公差为 d a1，a3，a7成等比数列 a1a7，a1（a1+6d） 又 a12，d1 或 d0（舍去） an2+（n1） 1n+1； （）由（）得 bn， Tnb1+b2+bn+ 【点评】本题考查等差数列的性质及裂项相消法对数列求和，注意方程思想在解题中的 运用，属中档题 18 （12 分）根据我市房地产数据显示，今年我市前 5 个月新建住
27、宅销售均价逐月上升，为 抑制房价过快上涨， 政府从 6 月份开始推出限价房等宏观调控措施， 6 月份开始房价得到 很好的抑制，房价回落今年前 10 个月的房价均价如表： 第 16 页（共 22 页） 月份 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 均价 y（万 元/平方米） 0.83 0.95 1.00 1.05 1.17 1.15 1.10 1.06 0.98 0.94 地产数据研究发现，从 1 月份至 5 月份的各月均价 y（万元/平方米）与 x 之间具有正线 性相关关系，从 6 月份至 10 月份的各月均价 y（万元/平方米）与 x 之间具有负线性相关 关系 （1）若政府不调控，根据
28、前 5 个月的数据，求 y 关于 x 的回归直线方程，并预测 12 月 份的房地产均价 （精确到 0.01） （2）政府调控后，从 6 月份至 10 月份的数据可得到 y 与 x 的回归直线方程为： 由此预测政府调控后 12 月份的房地产均价说明政府调控的必要 性 （精确到 0.01）； 【分析】 （1）将 15 月份的信息，代入回归系数的公式即可得到回归方程，再将 x 代 成 12 即可得到 12 月份的新建房地产的价格 （2）将 x 代成 12，用调控后的回归方程得到 12 月份的新建房地产价格与（1）中的数据 比较即可看出调控的效果 【解答】解： （1） 3， 1， 0.78， 10，
29、0.078， 10.07830.766 第 17 页（共 22 页） y 关于 x 的回归直线方程为： 0.078x+0.766 x12 代入方程得， 1.70（万元） 于是政府若不调控，预计 12 月份的新建房地产均价将达到每平方米 1.7 万元 （2）政府调控后，从 6 月份至 3310 月份的数据，得到 y 关于想的回归方程为： 0.054x+1.48， 当 x12 时， 0.05412+1.480.83（万元） ， 政府调控后， 预计到 12 月份的新建房地产均价将回落到 0.83 万元每平方米， 对控制房 价过快上涨起到了显著的效果，出台调控效果是非常有必要的 【点评】本题考查了回归
30、方程的求法以及回归方程的应用，属中档题 19 （12 分）如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1中，点 O、E 分别是 A1C1、A1B1的中点，A1C 与 AC1交于点 F，AO平面 A1B1C1已知BCA90，AA1ACBC2 （1）求证：EF平面 BB1C1C； （2）求 A1C1与平面 AA1B1所成角的正弦值 【分析】 （1）推导出 OEB1C1，OFC1C，从而平面 OEF平面 BB1C1C，由此能证明 EF平面 BB1C1C （2）设点 C1到平面 AA1B1的距离为 d，由，求出 d， 由此能求出 A1C1与平面 AA1B1所成角的正弦值 【解答】证明： （1）O，E 分别是 A
31、1C1、A1B1的中点，A1C 与 AC1交于点 F， OEB1C1，OFC1C， 平面 OEF平面 BB1C1C， EF平面 OEF，EF平面 BB1C1C 第 18 页（共 22 页） 解： （2）设点 C1到平面 AA1B1的距离为 d， ， ， AO，OB1， AB12， AA1B1中，A1B1AB12，AA2， ， ， 解得 d， 设 A1C1与平面 AA1B1所成角为 ， A1C1与平面 AA1B1所成角的正弦值为： sin 【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）给
32、定椭圆 C：b0） ，称圆心在原点 O，半径为的圆 是椭圆 C 的“准圆” 若椭圆 C 的一个焦点为，其短轴上的一个端点到 F 的 距离为 （1）求椭圆 C 的方程和其“准圆”方程 （2）点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的一个动点，过点 P 作直线 l1，l2，使得 l1，l2与椭圆 第 19 页（共 22 页） C 都只有一个交点求证：l1l2 【分析】 （1）欲求椭圆 C 的方程和其“准圆”方程，只要求出半径即可，即分 别求出椭圆方程中的 a，b 即得，这由题意不难求得； （2）先分两种情况讨论：当 l1，l2中有一条无斜率时；当 l1，l2都有斜率时， 第一种情形比较简单，对于第二种情形
33、，将与椭圆只有一个公共点的直线为 yt（xx0） +y0，代入椭圆方程，消去去 y 得到一个关于 x 的二次方程，根据根的判别式等于 0 得到 一个方程： （3x02）t2+2x0y0t+（x023）0，而直线 l1，l2的斜率正好是这个方程的两 个根，从而证得 l1l2 【解答】解： （1）因为，所以 b1 所以椭圆的方程为， 准圆的方程为 x2+y24 （2）当 l1，l2中有一条无斜率时，不妨设 l1无斜率， 因为 l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为或， 当 l1方程为时，此时 l1与准圆交于点， 此时经过点（或且与椭圆只有一个公共点的直线是y1 （或y1） ， 即 l2为 y1（或
34、y1） ，显然直线 l1，l2垂直； 同理可证 l1方程为时，直线 l1，l2垂直 当 l1，l2都有斜率时，设点 P（x0，y0） ，其中 x02+y024， 设经过点 P（x0，y0） ，与椭圆只有一个公共点的直线为 yt（xx0）+y0， 则，消去 y 得到 x2+3（tx+（y0tx0） ）230， 即（1+3t2）x2+6t（y0tx0）x+3（y0tx0）230，6t（y0tx0）24 （1+3t2）3 （y0tx0）230， 经过化简得到：（3x02） t2+2x0y0t+1y020， 因为 x02+y024， 所以有 （3x02） t2+2x0y0t+ （x023）0， 设 l
35、1，l2的斜率分别为 t1，t2，因为 l1，l2与椭圆都只有一个公共点， 所以 t1，t2满足上述方程（3x02）t2+2x0y0t+（x023）0， 所以 t1t21，即 l1，l2垂直 第 20 页（共 22 页） 【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题，突出考查了数 形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决 问题的能力、计算能力较高 21 （12 分）已知函数 （1）当 a3 时，求函数 yf（x）的图象在 x0 处的切线方程； （2）当 x0 时，f（x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1） 当 a3 时，
36、f （x） 3ln （x+1） +3x1， f （x） ， 进而求解； （2）令 tx+1，则 t1，f（x）aln（x+1）+3x1alnt+3t4，x0 时，f （x）0 恒成立，等价于 t1 时，alnt+3t40，进而求解 【解答】解： （1）函数的定义域为（1，+） ， 当 a3 时，f（x）3ln（x+1）+3x1，f（x）， f（0）5，又 f（0）0， 切点为（0，0）斜率 k5 的切线方程为：y5x； （2）令 tx+1，若 x0 时，则 t1，f（x）aln（x+1）+3x1alnt+3t4， x0 时，f（x）0 恒成立，等价于 t1 时，alnt+3t40 令 g（t）
37、alnt+3t4，g（1）0，g（t）+3， 设 h（t）3t2+at1，则 h（t）恒过（0，1）点， 当 h（1）0，即 a2 时，h（t）0 在 t1 恒成立，g（t）在 t1 时单调递增， g（t）g（1）0 恒成立， 设抛物线 h（t）3t2+at1 与 x 轴的两个交点分别为 t1，t2，且 t1t2， 当 h（1）0 时，即 a2 时，h（t）0，在 t（1，t2）恒成立， g（t）0 在 t（1，t2）恒成立，g（x）在（1，t2）时单调递减， g（t）g（1）0 恒成立， 不满足 g（t）0 恒成立， 综上所述 a2 第 21 页（共 22 页） 【点评】考查函数的切线方程，
38、函数的求导，利用导函数确定单调区间，分类讨论的思 想，转化思想，属于拔高题 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程（本题满分（本题满分 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C1的极坐标方程为 26cos+50，曲线 C2的参数方程为（t 为参 数） （1）求曲线 C1的直角坐标方程，并说明是什么曲线？ （2）若曲线 C1与 C2相交于 A、B 两点，求|AB|的值 【分析】
39、（1）把 xcos，2x2+y2，代入 26cos+50，即可求得曲线 C1的直角 坐标方程，配方可得曲线 C1是以（3，0）为圆心，以 2 为半径的圆； （2）由已知可得，曲线 C2过定点 O（0，0） ，倾斜角为的直线，把其方程代入圆的 方程，联立后利用参数 t 的几何意义求解 【解答】解： （1）xcos，2x2+y2，代入 26cos+50， 可得 x2+y26x+50 曲线 C1的直角坐标方程为 x2+y26x+50， 即（x3）2+y24， 曲线 C1是以（3，0）为圆心，以 2 为半径的圆； （2）由，即，可知曲线 C2过定点 O（0，0） ，倾斜角为， 把代入（x3）2+y24
40、，可得 则，t1t25 |AB|t2t1| 【点评】本题考查参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程，考查直线与圆位 置关系的应用，是中档题 第 22 页（共 22 页） 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本题满分（本题满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|2xa|+a （1）若不等式 f（x）6 的解集为x|2x3，求实数 a 的值； （2）在（1）的条件下，若存在实数 n 使 f（n）mf（n）成立，求实数 m 的取值范 围 【分析】 （1）通过讨论 x 的范围，求得 a3x3再根据不等式的解集为x|2x 3，可得 a32，从而求得实数 a 的值 （2）在（1）的条件下，
41、f（n）|2n1|+1，即 f（n）+f（n）m，即|2n1|+|2n+1|+2 m求得|2n1|+|2n+1|的最小值为 2，可得 m 的范围 【解答】解： （1）函数 f（x）|2xa|+a， 故不等式 f（x）6， 即 ， 求得 a3x3 再根据不等式的解集为x|2x3， 可得 a32， 实数 a1 （2）在（1）的条件下，f（x）|2x1|+1， f（n）|2n1|+1，存在实数 n 使 f（n）mf（n）成立， 即 f（n）+f（n）m，即|2n1|+|2n+1|+2m 由于|2n1|+|2n+1|（2n1）（2n+1）|2， |2n1|+|2n+1|的最小值为 2， m4， 故实数 m 的取值范围是4，+） 【点评】本题主要考查分式不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，体现了等价转化 的数学思想，属于中档题
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