1、2020 年高考数学一模试卷（文科）年高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题） 1已知集合 AxZ|0x3，Bx|（x+1）（x2）0，则 AB（ ） A0，1，2 B1，2 Cx|0x2 Dx|1x3 2若复数 zcos+isin，则当 时，复数 z 在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3在等差数列an中，若 a1+a25，a3+a415，则 a5+a6（ ） A10 B20 C25 D30 4如图是某学校研究性课题什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类问题的统计图 （每个受访者都只能在问卷的 5 个活动中选择一个），以下结论错误的是（
2、） A回答该问卷的总人数不可能是 100 个 B回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多 C回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少 D回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少 8 个 5若 5 件产品中包含 2 件废品，今在其中任取两件则取出的两件中至少有一件是废品的概 率是（ ） A B C D 6已知 alog23， ，clog56，则（ ） Abac Bbca Ccab Dcba 7古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球若球的表面积等于 圆柱的侧面积，则球的体积与圆柱的体积之比为（ ） A B C D 8
3、已知抛物线 y24x，F 是焦点，P 是抛物线准线上一点，Q 为线段 PF 与抛物线的交点， 定义 当点 P 坐标为 ， 时，d（P）（ ） A B4 C D2 9如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱长为底面边长的 2 倍，M 是侧棱 CC1的中点， 则异面直线 AB1和 BM 所成的角的余弦值为（ ） A B C D 10已知定义在 R 上的偶函数 f（x），当 x0 时，其解析式为 ，则 f（x） 在点（1，f（1）处的切线方程为（ ） A B C D 11已知函数 f（x）sin2x2sin2x+1，给出下列四个结论： 函数 f（x）的最小正周期是 ； 函数 f（x）在区间 ，
4、上是减函数； 函数 f（x）的图象关于直线 对称； 函数 f（x）的图象可由函数 的图象向左平移 个单位得到 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 12（文）已知定义在实数集 R 上的函数 f（x）满足 f（2）7，且 f（x）的导数 f（x） 在 R 上恒有 f（x）3（xR），则不等式 f（x）3x+1 的解集为（ ） A（1，+） B（，2） C（1）（1，+） D（2，+） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把正确答案填在答题卡的相应位置.） 13已知 ， ， ， ，若 与 共线，则 x 14在一次电子邮件传播病毒的事例中，已知第一轮感染的计算机数
5、是 6 台，并且从第一轮 开始，以后各轮的每一台计算机都会感染下一轮的 10 台，那么到第 6 轮后，被感染的计 算机的台数为 （用数字作答） 15给出下列四个命题： “x3”是“ln（x+4）0”的必要不充分条件； 函数 的最小值为 2； 命题“x0，（2020）x+20200”的否定是“x00， ”； 已知双曲线 C 过点 ， ，且渐近线为 ，则离心率 其中所有正确命题的编号是： 16动直线 l：（1+2m）x+（m1）y3（m+1）0（mR）与圆 C：x2+y22x+4y40 交于点 A、B，则动直线 l 必过定点 ；当弦 AB 最短时，直线 l 的方程为 三、解答题（本大题共 5 小题
6、，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17在ABC 中，B45，AC ，cosC ， （1）求 BC 的长； （2）若点 D 是 AB 的中点，求中线 CD 的长度 18呼和浩特市地铁一号线于 2019 年 12 月 29 日开始正式运营有关部门通过价格听证会， 拟定地铁票价后又进行了一次调查调查随机抽查了 50 人，他们的月收入情况与对地铁 票价格态度如表： 月收入（单位： 百元） 15，25） 25，35） 35，45） 45，55） 55，65） 65，75） 认为票价合理的 人数 1 2 3 5 3 4 认为票价偏高的 人数 4 8 12 5 2 1 （） 若以区
7、间的中点值作为月收人在该区间内人的人均月收入求参与调查的人员中 “认 为票价合理者”的月平均收人与“认为票价偏高者”的月平均收人的差是多少（结果保 留 2 位小数）； （） 由以上统计数据填写下面 22 列联表分析是否有 99%的把握认为 “月收入以 5500 元为分界点对地铁票价的态度有差异” 月收入不低于 5500 元人数 月收入低于 5500 元人数 合计 认为票价偏高者 认为票价合理者 合计 附： P（k2k0） 0.05 0.01 k0 3.841 6.635 19如图，矩形 ABCD 中，AB4，AD2，E 在 DC 边上，且 DE1，将ADE 沿 AE 折 到ADE 的位置，使得
8、平面 ADE平面 ABCE （）求证：AEBD； （）求三棱锥 ABCD的体积 20已知函数 f（x）x3+ax2+bx+1（a0，bR）有极值，且导函数 f（x）的极值点是 f（x） 的零点 （）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域； （）证明：b23a 21已知椭圆 ： 的离心率为 ，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点， 点 P 为椭圆上一点，F1PF2面积的最大值为 （）求椭圆 C 的方程； （）过点 A（4，0）作关于 x 轴对称的两条不同直线 l1，l2分别交椭圆于 M（x1，y1） 与 N（x2，y2），且 x1x2，证明直线 MN 过定点，并求AMN 的面积 S 的取值范围
9、 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22已知椭圆 C1的普通方程为： ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系， 曲线 C2的极坐标方程为： 4， 正方形 ABCD 的顶点都在 C2上， 且 A、 B、 C、D 逆时针依次排列，点 A 的极坐标为 ， （）写出曲线 C1的参数方程，及点 B、C、D 的直角坐标； （）设 P 为椭圆 C1上的任意一点，求：|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的最大值 23已知函数 f（x）|2xa|+2|x+1| （）当 a1 时，解关于
10、x 的不等式 f（x）6； （）已知 g（x）|x1|+2，若对任意 x1R，都存在 x2R，使得 f（x1）g（x2）成 立，求实数 a 的取值范围 参考答案 一、单项选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的） 1已知集合 AxZ|0x3，Bx|（x+1）（x2）0，则 AB（ ） A0，1，2 B1，2 Cx|0x2 Dx|1x3 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 解：集合 AxZ|0x30，1，2，3， Bx|（x+1）（x2）0x|1x2， AB0，1，2 故选：A 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等
11、基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2若复数 zcos+isin，则当 时，复数 z 在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】由已知求得 z 的坐标，再由三角函数的象限符号得答案 解：复数 zcos+isin 在复平面内对应的点的坐标为（cos，sin）， ，cos0，sin0， 则复数 z 在复平面内对应的点在第二象限 故选：B 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数的象限符号，是基础 题 3在等差数列an中，若 a1+a25，a3+a415，则 a5+a6（ ） A10 B20 C25 D30 【分析】由题意利用等差数列的
12、性质，求出结果 解：等差数列an中，每相邻 2 项的和任然成等差数列， 若 a1+a25，a3+a415，则 a5+a615+（155）25， 故选：C 【点评】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题 4如图是某学校研究性课题什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类问题的统计图 （每个受访者都只能在问卷的 5 个活动中选择一个），以下结论错误的是（ ） A回答该问卷的总人数不可能是 100 个 B回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多 C回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少 D回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少 8 个 【分
13、析】先对图表数据分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解 解：对于选项 A，若回答该问卷的总人数不可能是 100 个，则选择的同学人数不 为整数，故 A 正确， 对于选项 B，由统计图可知，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多，故 B 正确， 对于选项 C，由统计图可知，选择“学校团委会宣传”的人数最少，故 C 正确， 对于选项 D，由统计图可知，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少 8%，故 D 错误， 故选：D 【点评】本题考查了对图表数据的分析处理能力及简单的合情推理，属中档题 5若 5 件产品中包含 2 件废品，今在其中任取两件则取出的两件中至少有一件是废品的概 率是（
14、 ） A B C D 【分析】基本事件总数 n ，至少有一件是废品包含的基本事件个数 m 7，由此能求出至少有一件是废品的概率 解：5 件产品中包含 2 件废品，今在其中任取两件则取出的两件， 基本事件总数 n ， 至少有一件是废品包含的基本事件个数 m 7， 至少有一件是废品的概率是 p 故选：D 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 6已知 alog23， ，clog56，则（ ） Abac Bbca Ccab Dcba 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解 解： ， ，即 ， 3， ，1c ， bac， 故选：A 【点评】本题考查三
15、个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数 和指数函数的性质的合理运用 7古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球若球的表面积等于 圆柱的侧面积，则球的体积与圆柱的体积之比为（ ） A B C D 【分析】设球的半径为 R，则圆柱的底面半径为 R，高为 2R，由圆柱和球的体积公式能 求出球的体积与圆柱的体积之比 解：设球的半径为 R， 则圆柱的底面半径为 R，高为 2R， V圆柱R22R2R3，V 球 R 3 球的体积与圆柱的体积之比为 球 圆柱 故选：B 【点评】本题考查球和圆柱的体积和表面积的计算及其应用，考查圆柱、球的性质等基 础知识，考查运算求解能力
16、，是中档题 8已知抛物线 y24x，F 是焦点，P 是抛物线准线上一点，Q 为线段 PF 与抛物线的交点， 定义 当点 P 坐标为 ， 时，d（P）（ ） A B4 C D2 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，求得 PF 的斜率和方程，解得 Q 的坐标，由两 点的距离公式可得所求值 解：（1）抛物线方程 y24x 的焦点 F（1，0），抛物线的准线方程为 x1， 当 P（1，4 ）时，kPF 2 ，PF 的方程为 y2 （x1），代入抛物 线的方程，解得 xQ ， 则可得|PF| 6，|QF| 1 ， 所以 4 故选：B 【点评】本题考查抛物线的定义和方程及性质，考查新定义的理解和运用，考查
17、两点的 距离公式和联立直线方程和抛物线方程，考查化简运算能力，属于中档题 9如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱长为底面边长的 2 倍，M 是侧棱 CC1的中点， 则异面直线 AB1和 BM 所成的角的余弦值为（ ） A B C D 【分析】取 BB1的中点 N，AB 的中点 K，连接 NC1，NK，CK，由平行四边形的性质和 三角形的中位线定理，可得KNC1（或其补角）为异面直线 AB1和 BM 所成的角设正 三棱柱的底面边长为 1，侧棱长为 2，运用线面垂直的性质和三角形的勾股定理和余弦定 理，计算可得所求值 解：取 BB1的中点 N，AB 的中点 K，连接 NC1，NK，CK，
18、可得四边形 BNC1M 为平行四边形，可得 C1NBM， 由 NK 为ABB1的中位线，可得 NKAB1， 则KNC1（或其补角）为异面直线 AB1和 BM 所成的角 设正三棱柱的底面边长为 1，侧棱长为 2， 由 NC1BM ，NK AB1 ， 在直角三角形 CKC1中，可得 C1K ， 在KNC1（中，cosKNC1 ， 由异面直线所成角的范围可得异面直线 AB1和 BM 所成的角的余弦值为 ， 故选：C 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值，注意运用定义法和解三角形，考查运算能 力，属于基础题 10已知定义在 R 上的偶函数 f（x），当 x0 时，其解析式为 ，则 f（x） 在点（1
19、，f（1）处的切线方程为（ ） A B C D 【分析】由已知求出 x0 时的函数解析式，再求得函数，得到 f（1），进一步求出 f（1），再由直线方程的点斜式得答案 解：设 x0，则x0， f（x）f（x）xex ， f（x）ex+xex+x 则 f（1）ee12e1， 又 f（1）e ， f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为 ye （2e+1）（x+1）， 即 故选：A 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数 的导函数，是中档题 11已知函数 f（x）sin2x2sin2x+1，给出下列四个结论： 函数 f（x）的最小正周期是 ； 函数 f（x）在
20、区间 ， 上是减函数； 函数 f（x）的图象关于直线 对称； 函数 f（x）的图象可由函数 的图象向左平移 个单位得到 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 【分析】先利用余弦的二倍角公式、辅助角公式将函数化简成 f（x） ， 再结合正弦函数的周期性、单调性、对称性和平移变换逐一判断每个选项即可 解：f（x）sin2x2sin2x+1sin2x+cos2x ， 最小正周期 ，即正确； 令 ， ， ，则 ， ， ，这是 函数 f（x）的减区间，即正确； 令 ， ，则 ， ，这是函数 f（x）的对称轴，当 k 1 时， ，即正确； 的图象向左平移 个单位得到 ， 即 错误 正确的有， 故
21、选：C 【点评】本题考查三角恒等变换和三角函数图象与性质的综合，熟练运用正弦函数的图 象与性质是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题 12（文）已知定义在实数集 R 上的函数 f（x）满足 f（2）7，且 f（x）的导数 f（x） 在 R 上恒有 f（x）3（xR），则不等式 f（x）3x+1 的解集为（ ） A（1，+） B（，2） C（1）（1，+） D（2，+） 【分析】构造函数 g（x）f（x）3x1，g（x）f（x）30，从而可得 g（x） 的单调性，结合 f（2）7，可求得 g（2）2，然后求出不等式的解集即可 解：令 g（x）f（x）3x1， f（x）3（xR
22、）， g（x）f（x）30， g（x）f（x）3x1 为减函数， 又 f（2）7， g（2）f（2）610， 不等式 f（x）x+1 的解集g（x）f（x）3x10g（2）的解集， 即 g（x）g（2），又 g（x）f（x）3x1 为减函数， x2，即 x（2，+） 故选：D 【点评】本题利用导数研究函数的单调性，可构造函数，考查所构造的函数的单调性是 关键，也是难点所在，属于中档题 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把正确答案填在答题卡的相应位置.） 13已知 ， ， ， ，若 与 共线，则 x 【分析】根据向量共线，可知坐标的关系，解出参数 解：若 与 共线，则
23、 2（x1）32x，解之得 x ， 故答案为： 【点评】本题考查向量共线，属于基础题 14在一次电子邮件传播病毒的事例中，已知第一轮感染的计算机数是 6 台，并且从第一轮 开始，以后各轮的每一台计算机都会感染下一轮的 10 台，那么到第 6 轮后，被感染的计 算机的台数为 666666 （用数字作答） 【分析】先由每轮感染的计算机的台数构成数列an，研究其通项公式，再求出前六项 和即可 解：设每轮感染的计算机的台数构成数列an，由题知其构成等比数列，首项 a16，公 比 q10，又其前六项之和为 T6 666666 故填：666666 【点评】本题主要考查等比数列在实际问题中的应用，属于基础题
24、 15给出下列四个命题： “x3”是“ln（x+4）0”的必要不充分条件； 函数 的最小值为 2； 命题“x0，（2020）x+20200”的否定是“x00， ”； 已知双曲线 C 过点 ， ，且渐近线为 ，则离心率 其中所有正确命题的编号是： 【分析】利用充要条件判断；函数的单调性求解最值判断；命题的否定判断；双 曲线的性质判断 解：“x3”推不出“ln（x+4）0”，反之成立，所以“x3”是“ln（x+4） 0”的必要不充分条件；正确； 函数 2 2，所以表达式的最小值为 2，所 以不正确； 命题“x0，（2020）x+20200”的否定是“x00， ”；所 以不正确； 已知双曲线 C 过
25、点 ， ，且渐近线为 ，可知点 C 在渐近线 y x 的下 方，在 y 的上方， 所以双曲线的焦点坐标在 x 轴时，方程设为： ， 可得 ，可得 a ，b1，c2，则离心率 所以正确； 故答案为： 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及充要条件，命题的否定，双曲线的简 单性质以及函数的最值，是中档题 16动直线 l：（1+2m）x+（m1）y3（m+1）0（mR）与圆 C：x2+y22x+4y40 交于点 A、 B， 则动直线 l 必过定点 （2， 1） ； 当弦 AB 最短时， 直线 l 的方程为 x+y 10 【分析】把已知直线变形，可得 xy3+m（2x+y3）0，联立 ，即可 求
26、得动直线 l 所过定点 P 的坐标；化圆的方程为标准方程，求出圆心 C，再求出 PC 所在 直线当斜率，得到直线 l 的斜率，求得 m 值，则直线 l 的方程可求 解：由（1+2m）x+（m1）y3（m+1）0，得 xy3+m（2x+y3）0， 联立 ，解得 ， 动直线 l 必过定点 P（2，1）； 由圆 C：x2+y22x+4y40，得（x1）2+（y+2）29， 则圆心坐标为 C（1，2）， 要使弦 AB 最短，则直线 l 与 CP 垂直， ，直线 l 的斜率为 1，即 ，得 m0， 此时直线 l 的方程为 x+y10 故答案为：（2，1）；x+y10 【点评】本题考查直线系方程的应用，考
27、查直线与圆的位置关系，考查数学转化思想方 法，是中档题 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17在ABC 中，B45，AC ，cosC ， （1）求 BC 的长； （2）若点 D 是 AB 的中点，求中线 CD 的长度 【分析】（1）先由 cosC 求得 sinC，进而根据 sinAsin（18045C）求得 sinA， 再由正弦定理知求得 BC （2）先由正弦定理知求得 AB，进而可得 BD，再在ACD 中由余弦定理求得 CD 解：（1）由 得 由正弦定理知 （2） 由余弦定理知 【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用属
28、基础题 18呼和浩特市地铁一号线于 2019 年 12 月 29 日开始正式运营有关部门通过价格听证会， 拟定地铁票价后又进行了一次调查调查随机抽查了 50 人，他们的月收入情况与对地铁 票价格态度如表： 月收入（单位： 百元） 15，25） 25，35） 35，45） 45，55） 55，65） 65，75） 认为票价合理的 人数 1 2 3 5 3 4 认为票价偏高的 人数 4 8 12 5 2 1 （） 若以区间的中点值作为月收人在该区间内人的人均月收入求参与调查的人员中 “认 为票价合理者”的月平均收人与“认为票价偏高者”的月平均收人的差是多少（结果保 留 2 位小数）； （） 由以上
29、统计数据填写下面 22 列联表分析是否有 99%的把握认为 “月收入以 5500 元为分界点对地铁票价的态度有差异” 月收入不低于 5500 元人数 月收入低于 5500 元人数 合计 认为票价偏高者 3 29 32 认为票价合理者 7 11 18 合计 10 40 50 附： P（k2k0） 0.05 0.01 k0 3.841 6.635 【分析】（）由题意结合月平均收入计算公式求解； （）由已知表格中的数据填写 22 列联表，计算 K2的值，结合临界值表得结论 解：（）设 x 表示“认为价格合理者”的月平均收入，y 表示“认为价格偏高者”的月 平均收入， 则 ， “赞成定价者”与“认为价
30、格偏高者”的月平均收入的差距为 11.81（百元） （）根据条件可到列联表如下： 月收入不低于 5500 元人数 月收入低于 5500 元人数 合计 认为票价偏高者 3 29 32 认为票价合理者 7 11 18 合计 10 40 50 6.276.635， 没有 99%的把握认为“月收入以 5500 元为分界点对地铁定价的态度有差异 【点评】本题考查独立性检验，考查计算能力，是基础题 19如图，矩形 ABCD 中，AB4，AD2，E 在 DC 边上，且 DE1，将ADE 沿 AE 折 到ADE 的位置，使得平面 ADE平面 ABCE （）求证：AEBD； （）求三棱锥 ABCD的体积 【分析
31、】 （） 连接 BD 交 AE 于点 O， 推导出 RtABDRtDAE， 从而得到 OBAE， ODAE，由此能证明 AE平面 OBD （）由 VABCDVDABC，能求出三棱锥 ABCD的体积 【解答】证明：（）连接 BD 交 AE 于点 O，依题意得 ， 所以 RtABDRtDAE， 所以DAEABD，所以AOD90，所以 AEBD， 即 OBAE，ODAE，又 OBODO， OB，OD平面 OBD 所以 AE平面 OBD 解：（）因为平面 ADE平面 ABCE， 由（）知，OD平面 ABCE， 所以 OD为三棱锥 DABC 的高， 在矩形 ABCD 中，AB4，AD2，DE1，所以 ，
32、 所以 VABCDVDABC 即三棱锥 ABCD的体积为 【点评】本题考查几何体的体积及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等 基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归转化思想、 函数与方程思想，数形结合思想，是中档题 20已知函数 f（x）x3+ax2+bx+1（a0，b一、选择题）有极值，且导函数 f（x）的极 值点是 f（x）的零点 （）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域； （）证明：b23a 【分析】（）求导后可得0，且 是 f（x）的零点，依题意， ，进 而求得 b 关于 a 的函数关系式及定义域； （）利用分析法可知只需证明 ，构造函数
33、 ，利用导数求 其在 ， 上单调性及最值情况即可得证 解：（）f（x）3x2+2ax+b，4a212b0，则 a23b， 依题意， 是 f （x） 的零点， 即 ， 即 ， ， 又 a23b， a3， ， ； （）证明：要证 b23a，a3， 只要证 ， 只要证 ， 只要证 ， 设 ， ， ，则 ， g（t）在 ， 上为增函数， ， b23a，得证 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及极值，考查不等式的证明，同时也涉及 了分析法的运用，考查推理能力及计算能力，属于中档题 21已知椭圆 ： 的离心率为 ，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点， 点 P 为椭圆上一点，F1PF2面积的最大值为 （
34、）求椭圆 C 的方程； （）过点 A（4，0）作关于 x 轴对称的两条不同直线 l1，l2分别交椭圆于 M（x1，y1） 与 N（x2，y2），且 x1x2，证明直线 MN 过定点，并求AMN 的面积 S 的取值范围 【分析】（）根据题意，由椭圆的离心率公式可得 ，结合椭圆的几何性质可得 bc ，解可得 a、b 的值，将 a、b 的值代入椭圆的方程即可得答案； （）设 MN 方程为 xny+m，与椭圆的方程联立可得（n2+4）y2+2nmy+m240，结 合根与系数的关系分析可得即 ，解可得 m 的值，分析可 得直线过定点，结合三角形面积公式分析可得答案 解：（）根据题意，椭圆 ： 的离心率为
35、 ，则 ， 设 P（x，y），则 ， 解得 所以椭圆 C 的方程为 （）设 MN 方程为 xny+m，（n0），联立 ， 得（n2+4）y2+2nmy+m240， ， ， 因为关于 x 轴对称的两条不同直线 l1，l2的斜率之和为 0 即 ，即 ， 得 2ny1y2+m（y1+y2）4（y1+y2）0， 即 解得：m1 直线 MN 方程为：xny+1，所以直线 MN 过定点 B（1，0） 又 令 ， ， ， 又 ， 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，关键是求出椭圆的标 准方程 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用 2B 铅
36、笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22已知椭圆 C1的普通方程为： ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系， 曲线 C2的极坐标方程为： 4， 正方形 ABCD 的顶点都在 C2上， 且 A、 B、 C、D 逆时针依次排列，点 A 的极坐标为 ， （）写出曲线 C1的参数方程，及点 B、C、D 的直角坐标； （）设 P 为椭圆 C1上的任意一点，求：|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的最大值 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果 解：（1）椭圆
37、C1的普通方程为： ，转换为参数方程为 （ 为参数） 曲线 C2的极坐标方程为：4， 点 A，B，C，D 的极坐标分别为 ， ， ， ， ， ， ， 点 A， B， C， D 的直角坐标分别为 ， ， ， ， ， ， ， ； （2）设 P（x0，y0）：则 （ 为参数）， ， 故当且仅当点 P 坐标为（0，3）或（0，3）时|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的最大值为 100 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角 函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能 力及思维能力，属于基础题型 23已知函数 f（x）|
38、2xa|+2|x+1| （）当 a1 时，解关于 x 的不等式 f（x）6； （）已知 g（x）|x1|+2，若对任意 x1R，都存在 x2R，使得 f（x1）g（x2）成 立，求实数 a 的取值范围 【分析】（）把 a1 代入函数解析式，对 x 分类去绝对值，转化为关于 x 的一元一次 不等式求解，取并集得答案； （）把问题转化为y|yf（x）y|yg（x），通过函数的最值，列出不等式求解即 可 解：（）当 a1 时，f（x）|2x1|+2|x+1|， 即 f（x） ， ， ， 当 x1 时，4x16，得 x1； 当1 时，f（x）6 成立； 当 x 时，4x+16，解得 则 f（x）6 的解集为： ； （）对任意 x1R，都存在 x2R 使得 f（x1）g（x2）成立， y|yf（x）y|yg（x） 又 f（x）|2xa|+2|x+1|2xa（2x+2）|a+2|， （当且仅当（2xa）（x+1）0 时取等号） g（x）|x1|+22 |a+2|2， 解得 a4 或 a0， 实数 a 的取值范围是（，40，+） 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，训练了恒成立问题的求解方法，考查数学转化 思想方法，是中档题
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