1、2020 年高考数学一模试卷（文科）年高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题）. 1若 z（12i）（23i），则（ ） Az 的实部大于38i 的实部 Bz 的实部等于38i 的实部 Cz 的虚部大于38i 的虚部 Dz 的虚部小于38i 的虚部 2已知集合 A3，2，2，4，6，Bx|（x+2）（5x）0，则 AB（ ） A2，4 B2，2，4 C2，2 D3，2，2 3某单位去年的开支分布的折线图如图 1 所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位： 万 元 ） 如 图 2 所 示 ， 则 去 年 的 水 费 开 支 占 总 开 支 的 百 分 比 为 （ ） A6.25%
2、B7.5% C10.25% D31.25% 4若函数 f（x）1+sin（2x ），则（ ） Af（x）的最大值为 1 Bf（x）f（ x） Cf（x）的最小正周期为 2 Df（x）f（ x） 5设非零向量 ， 满足| |3| |，cos ， ， （ ）16，则| |（ ） A B C2 D 6设双曲线 ， ， 的离心率分别为 e1，e2，e3，则（ ） Ae3e2e1 Be3e1e2 Ce1e2e3 De2e1e3 7将 60 个个体按照 01，02，03，60 进行编号，然后从随机数表的第 9 行第 9 列开始 向右读数（下表为随机数表的第 8 行和第 9 行）， 63 01 63 78
3、59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 则抽取的第 11 个个体是（ ） A38 B13 C42 D02 8若 log2x+log4y1，则 x2+y 的最小值为（ ） A2 B2 C4 D2 9若 tan 3，则 cos4（ ） A B C D 10已知函数 f（x）的图象关于点（1，0）对称，当 x1 时，f（x）x2mx+5，且 f（x） 在（，0）上单调
4、递增，则 m 的取值范围为（ ） A4，+） B2，+） C（，4 D（，2 11如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1， ，E，F 分别为 AB，BC 的中点，异 面直线 AB1与 C1F 所成角的余弦值为 m，则（ ） A直线 A1E 与直线 C1F 异面，且 B直线 A1E 与直线 C1F 共面，且 C直线 A1E 与直线 C1F 异面，且 D直线 A1E 与直线 C1F 共面，且 12已知直线 yk（x1）与抛物线 C：y24x 交于 A，B 两点，直线 y2k（x2）与抛 物线 D：y28x 交于 M，N 两点，设 |AB|2|MN|，则（ ） A16 B16 C120 D12
5、二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边已知 a5bsinA，则 sinB 14四面体 ABCD 的每个顶点都在球 O 的球面上，AB，AC，AD 两两垂直，且 AB1，AC 2，AD3，则四面体 ABCD 的体积为 ，球 O 的表面积为 15小林手中有六颗糖果，其中牛奶薄荷味、巧克力味、草莓味各两颗，现要将糖果随机地 平均分给他的儿子与女儿两人，则这两个孩子都分到三种口味的糖果的概率为 16函数 f（x）（4x3）e 的最小值为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出必
6、要的文字说明、证明过程或演算步骤 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分 17如图，四棱锥 PABCD 的底面是正方形，E 为 AB 的中点，PDCE，AE1，PD3， PC （1）证明：AD平面 PCD （2）求三棱锥 BCEP 的侧面积 18某公司 A 产品生产的投入成本 x（单位：万元）与产品销售收入 y（单位：十万元）存 在较好的线性关系，如表记录了该公司最近 8 次该产品的相关数据，且根据这 8 组数据 计算得到 y 关于 x 的线性回归方程为 ybx+0.7604 x（万元） 6 7 8 11 12 1
7、4 17 21 y（十万元） 1.2 1.5 1.7 2 2.2 2.4 2.6 2.9 （1）求 b 的值（结果精确到 0.0001），并估计公司 A 产品投入成本 30 万元后产品的销 售收入（单位：元） （2）该公司 B 产品生产的投入成本 u（单位：万元）与产品销售收入 v（单位：十万元） 也存在较好的线性关系，且 v 关于 u 的线性回归方程为 v0.15u+0.5 （）估计该公司 B 产品投入成本 30 万元后的毛利率（毛利率 收入 成本 收入 100%）； （）判断该公司 A，B 两个产品都投入成本 30 万元后，哪个产品的毛利率更大 19设 Sn为数列an的前 n 项和，a11
8、，且 Sn+12Sn+n1 （1）证明：数列Sn+n为等比数列，并求 an （2）求数列 的前 n 项和 Tn 20已知函数 f（x）x3+ax （1）讨论 f（x）在（a，+）上的单调性； （2）若 a3，求不等式 f（2x24x+3）f（x2+2）的解集 21已知椭圆 C： 1（ab0）过点（1， ），过坐标原点 O 作两条互相垂直的 射线与椭圆 C 分别交于 M，N 两点 （1）证明：当 a2+9b2取得最小值时，椭圆 C 的短轴长为 （2）若椭圆 C 的焦距为 2，是否存在定圆 O 与直线 MN 总相切？若存在，求定圆 O 的 方程；若不存在，请说明理由 （二）选考题：共 10 分.请
9、考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分. 22在直角坐标系 xOy 中，已知点 M（1， ），C1的参数方程为 （t 为参数）， 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2+cos2 （1）求 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； （2）设曲线 C1与曲线 C2相交于 A，B 两点，求 的值 23已知函数 f（x）|x3|+|x1| （1）求不等式 f（x）6 的解集； （2）设 f（x）的最小值为 M，正数 a，b 满足 a2+4b2M，证明：a+2b4ab 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题
10、 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1若 z（12i）（23i），则（ ） Az 的实部大于38i 的实部 Bz 的实部等于38i 的实部 Cz 的虚部大于38i 的虚部 Dz 的虚部小于38i 的虚部 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的基本概念逐一核对四个选项得 答案 解：z（12i）（23i）47i， z 的实部小于38i 的实部，z 的虚部大于38i 的虚部 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 2已知集合 A3，2，2，4，6，Bx|（x+2）（5x）0，则 AB（ ） A2，4 B2
11、，2，4 C2，2 D3，2，2 【分析】可以求出集合 B，然后进行交集的运算即可 解：A3，2，2，4，6，Bx|2x5， AB2，4 故选：A 【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属 于基础题 3某单位去年的开支分布的折线图如图 1 所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位： 万 元 ） 如 图 2 所 示 ， 则 去 年 的 水 费 开 支 占 总 开 支 的 百 分 比 为 （ ） A6.25% B7.5% C10.25% D31.25% 【分析】由拆线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为 20%，由条形图得去年 水、电、交通支出合计为 25
12、0+450+100800（万元），共中水费支出 250（万元），由 此能求出去年的水费开支占总开支的百分比 解：由拆线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为 20%， 由条形图得去年水、电、交通支出合计为： 250+450+100800（万元）， 共中水费支出 250（万元）， 去年的水费开支占总开支的百分比为： 6.25% 故选：A 【点评】本题考查去年的水费开支占总开支的百分比的求法，考查拆线图、条形图等基 础知识，考查运算求解能力，是基础题 4若函数 f（x）1+sin（2x ），则（ ） Af（x）的最大值为 1 Bf（x）f（ x） Cf（x）的最小正周期为 2 Df（x）f（
13、x） 【分析】根据三角函数的周期公式以及最值公式分别进行求解判断即可 解：f（x）的最大值为 1+12，f（x）的最小正周期 T 1， 故选：B 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的周期公式，最值性是解 决本题的关键比较基础 5设非零向量 ， 满足| |3| |，cos ， ， （ ）16，则| |（ ） A B C2 D 【分析】由于 （ ） ，再利用平面向量数量积进行运算求解即可 解：| |3| |，cos ， ， （ ） ， 故选：A 【点评】本题考查平面向量的混合运算，考查学生的计算能力，属于基础题 6设双曲线 ， ， 的离心率分别为 e1，e2，e3，则（ ） A
14、e3e2e1 Be3e1e2 Ce1e2e3 De2e1e3 【分析】利用双曲线的离心率公式，求出 3 个双曲线的离心率，然后判断大小即可 解：因为双曲线 ， 的离心率为 ，e1 e2 ， e3 ， 所以 e2e1e3 故选：D 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查 7将 60 个个体按照 01，02，03，60 进行编号，然后从随机数表的第 9 行第 9 列开始 向右读数（下表为随机数表的第 8 行和第 9 行）， 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 2
15、1 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 则抽取的第 11 个个体是（ ） A38 B13 C42 D02 【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论 解：随机数表第 9 行第 9 列为 2，抽取的个体分别为 29，56，07，52，42，44，38，15， 51，13，02，第 11 个个体为 02 故选：D 【点评】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比 较基础 8若 log2x+log4y1，则 x2+y 的最小值为（ ） A2 B2 C4 D2 【分析】
16、由对数的运算法则可求 x2y4（x0，y0），再用均值不等式可求 x2+y 的最 小值 解：因为 log2x+log4ylog4x2+log4ylog（x2y）1， x2y4（x0，y0）， 则 x2+y2 4，当且仅当 x2y2 时等号成立，则 x2+y 的最小值为 4 故选：C 【点评】本题考查了对数的运算法则与基本不等式的性质应用，属于基础题 9若 tan 3，则 cos4（ ） A B C D 【分析】 由已知利用同角三角函数基本关系式， 二倍角的正弦函数公式可求 sin2 的值， 进而根据二倍角的余弦函数公式即可求解 解：tan 3， sin2 ， cos412sin2 2 故选：D
17、 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式，余弦函数 公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题 10已知函数 f（x）的图象关于点（1，0）对称，当 x1 时，f（x）x2mx+5，且 f（x） 在（，0）上单调递增，则 m 的取值范围为（ ） A4，+） B2，+） C（，4 D（，2 【分析】根据题意，由函数的单调性以及对称性可得 f（x）在（2，+）上为增函数， 又由二次函数的性质以及函数的解析式可得 2，解可得 m 的取值范围，即可得答案 解：根据题意，函数 f（x）的图象关于点（1，0）对称，且 f（x）在（，0）上单调 递增， 则 f（x
18、）在（2，+）上为增函数， 又由当 x1 时，f（x）x2mx+5，则有 2，解可得 m4； 即 m 的取值范围为（，4； 故选：C 【点评】本题考查函数的单调性与对称性的综合应用，涉及二次函数函数的性质，属于 基础题 11如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1， ，E，F 分别为 AB，BC 的中点，异 面直线 AB1与 C1F 所成角的余弦值为 m，则（ ） A直线 A1E 与直线 C1F 异面，且 B直线 A1E 与直线 C1F 共面，且 C直线 A1E 与直线 C1F 异面，且 D直线 A1E 与直线 C1F 共面，且 【分析】连结 EF，A1C1，C1D，DF，推导出 EFA1C
19、1，从而直线 A1E 与直线 C1F 共面， 由题意得 AB1C1D，得异面直线 AB1与 C1F 所成角为DC1F，由此能推导出直线 A1E 与直线 C1F 共面，且 解：连结 EF，A1C1，C1D，DF， E，F 分别为 AB，BC 的中点，EFA1C1， 直线 A1E 与直线 C1F 共面， 由题意得 AB1C1D，异面直线 AB1与 C1F 所成角为DC1F， 设 AA1 ，则 AB 2，则 DF ，C1F ， ， 由余弦定理得异面直线 AB1与 C1F 所成角的余弦值： mcosDC1 F 综上：直线 A1E 与直线 C1F 共面，且 故选：B 【点评】本题考查两直线的位置关系的判
20、断，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考 查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 12已知直线 yk（x1）与抛物线 C：y24x 交于 A，B 两点，直线 y2k（x2）与抛 物线 D：y28x 交于 M，N 两点，设 |AB|2|MN|，则（ ） A16 B16 C120 D12 【分析】分别求出两条直线与两条曲线的相交弦长，代入可得 的值 解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），联立 ， 得 k2x2（2k2+4）x+k2 0，则 ， 因为直线 yk（x1）经过 C 的焦点， 所以 同理可得 ， 所以 41612 故选：D 【点评】 考查抛物线的性
21、质到焦点的距离等于到准线的距离及直线与抛物线的综合应用， 属于中档题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边已知 a5bsinA，则 sinB 【分析】 由正弦定理化简已知可得 sinA5sinBsinA， 结合 sinA0， 即可解得 sinB 的值 解：a5bsinA， 由正弦定理可得 sinA5sinBsinA， 又sinA0， sinB 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题 14四面体 ABCD 的每个顶点都在球 O 的球面上，AB，AC，AD
22、 两两垂直，且 AB1，AC 2，AD3，则四面体 ABCD 的体积为 1 ，球 O 的表面积为 14 【分析】利用三棱锥的体积计算公式即可得出体积，把此三棱锥补形为长方体，利用球 的直径即为长方体的对角线即可得出 解：AB，AC，AD 两两垂直，且 AB1，AC2，AD3， 四面体 ABCD 的体积 1231， 把此三棱锥补形为长方体，球的直径即为长方体的对角线 设球 O 的半径为 r，则（2r）212+22+3214 其表面积4r214 故答案为：1，14 【点评】本题考查了正四棱锥与球的性质、直角三角形的性质，考查了推理能力与计算 能力，属于基础题 15小林手中有六颗糖果，其中牛奶薄荷味
23、、巧克力味、草莓味各两颗，现要将糖果随机地 平均分给他的儿子与女儿两人，则这两个孩子都分到三种口味的糖果的概率为 【分析】记牛奶薄荷味的两颗糖为 A1，A2，巧克力味的两颗糖为 B1，B2，草莓味的两颗 糖为 C1，C2，利用列举法能求出这两个孩子都分到三种口味的糖果的概率 解：记牛奶薄荷味的两颗糖为 A1，A2，巧克力味的两颗糖为 B1，B2，草莓味的两颗糖为 C1，C2， 则这两个孩子分到的糖的所有情况为： （A1，A2，B1），（A1，A2，B2），（A1，A2，C1），（A 1，A2，C2），（A1，B1，B2）， （A1，B1，C1）， （A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（
24、A1，B2，C2），（A 1，C1，C2），（A2，B1，B2） （A2，B1，C1）， （A2，B1，C2），（A2，B2，C1），（A2，B2，C2），（A 2，C1，C2），（B1，B2，C1）， （B1，B2，C2）， （B1，C1，C2），（B2，C1，C2），共 20 种， 其中都含 A，B，C，的有 8 种， 故这两个孩子都分到三种口味的糖果的概率为 P 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 16函数 f（x）（4x3）e 的最小值为 2e 【分析】利用换元法化简函数的解析式，通过函数的导数转化求解函数的最小值即可
25、解：令 2xt（t0），g（t）（t23）et（t0），g（t）（t2+2t3）et 当 0t1 时，g（t）0，函数是减函数；当 t1 时，g（t）0函数是增函数， 故 f（x）ming（t）ming（1）2e 故答案为：2e 【点评】 本题考查函数的导数的应用， 函数的最值的求法， 换元法以及转化思想的应用， 是中档题 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分 17如图，四棱锥 PABCD 的底面是正方形，E 为 AB 的
26、中点，PDCE，AE1，PD3， PC （1）证明：AD平面 PCD （2）求三棱锥 BCEP 的侧面积 【分析】（1）先证明 PD底面 ABCD，得到 PDAD，再由 ADCD，即可得证 AD 平面 PCD； （2）求出PBC，PBE 及BCE 的面积，再相加即可求得三棱锥 BCEP 的侧面积 【解答】（1）证明：因为 E 为 AB 的中点，AE1， 所以 CDAB2， 所以 CD2+PD2PC2，从而 PDCD 又 PDCE，CDCEC， 所以 PD底面 ABCD， 所以 PDAD， 因为四边形 CDCEC，ABCD 是正方形，所以 ADCD， 又 CDPDD， 所以 AD平面 PCD （
27、2）解：由（1）知 AD平面 PCD，因为 BCAD，所以 BC平面 PCD， 因为 PC平面 PCD，所以 BCPC， 所以PBC 的面积为 易证PBCPBA， 所以PBE 的面积为 故三棱锥 BCEP 的侧面积为 【点评】本题考查线面垂直判定定理及性质定理的运用，考查三棱锥侧面积的求法，考 查推理能力及计算能力，属于中档题 18某公司 A 产品生产的投入成本 x（单位：万元）与产品销售收入 y（单位：十万元）存 在较好的线性关系，如表记录了该公司最近 8 次该产品的相关数据，且根据这 8 组数据 计算得到 y 关于 x 的线性回归方程为 ybx+0.7604 x（万元） 6 7 8 11
28、12 14 17 21 y（十万元） 1.2 1.5 1.7 2 2.2 2.4 2.6 2.9 （1）求 b 的值（结果精确到 0.0001），并估计公司 A 产品投入成本 30 万元后产品的销 售收入（单位：元） （2）该公司 B 产品生产的投入成本 u（单位：万元）与产品销售收入 v（单位：十万元） 也存在较好的线性关系，且 v 关于 u 的线性回归方程为 v0.15u+0.5 （）估计该公司 B 产品投入成本 30 万元后的毛利率（毛利率 收入 成本 收入 100%）； （）判断该公司 A，B 两个产品都投入成本 30 万元后，哪个产品的毛利率更大 【分析】（1）求出样本中心的坐标，定
29、义回归直线方程，即可求 b 的值然后代入投入 成本 30 万元后，求解产品的销售收入即可 （2）（）通过 u 的线性回归方程为 v0.15u+0.5，估计该公司 B 产品投入成本 30 万 元后的毛利率求解即可 （）当 x30 时， ，A 产品对应的毛利率与 B 产品的毛利率半径大小，即 可得到结果 解：（1） ， ， ， 解得 当 x30 时， ， 故公司 A 产品投入成本 30 万元后产品的销售收入约为 401540 元 （2）（i）当 u30 时， ，B 产品对应的毛利率为 （ii）当 x30 时， ，A 产品对应的毛利率为 ， 故 B 产品的毛利率更大 【点评】 本题考查线性回归直线方
30、程的应用， 考查分析问题解决问题的能力， 是中档题 19设 Sn为数列an的前 n 项和，a11，且 Sn+12Sn+n1 （1）证明：数列Sn+n为等比数列，并求 an （2）求数列 的前 n 项和 Tn 【分析】第（1）题先将 Sn+12Sn+n1 转化变形并加以计算可证得数列Sn+n是首项为 2，公比为 2 的等比数列，再计算出数列Sn+n的通项公式，以及 Sn的表达式，然后运用 公式 an ， ， 即可计算出数列a n的通项公式； 第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列 的通项公式，然后运用分组求和法计 算出前 n 项和 Tn 【解答】（1）证明：依题意，由 Sn+12Sn+n1
31、两边同时加上 n+1，可得 Sn+1+n+12Sn+n1+n+12（Sn+n）， 又S1+1a1+12， 数列Sn+n是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 则 ，即 ，n一、选择题*， 当 n2 时， ， 当 n1 时，a11 不满足上式， an ， ， （2）解：由（1）知，当 n2 时， ， 则 Tn （ ）+（ ）+（ ） （ ） ， 当 n1 时，T1 也满足上式， Tn 【点评】本题主要考查等比数列的判别，数列求通项公式，以及求和问题，考查了转化 与化归思想，分类讨论，分组求和法，逻辑思维能力和数学运算能力，本题属中档题 20已知函数 f（x）x3+ax （1）讨论 f（x）在（a
32、，+）上的单调性； （2）若 a3，求不等式 f（2x24x+3）f（x2+2）的解集 【分析】（1）先求出导函数 f（x），再对 a 分情况讨论，分别利用导函数的正负得到函 数 f（x）的单调性； （2）因为 a3，所以 f（x）3x2+a3x23，当 x1 时，f（x）0，所以 f（x） 在1，+）上单调递增，利用函数 f（x）单调性即可求解不等式的解集 解：（1）f（x）3x2+a， 当 a0 时，f（x）0，则 f（x）在（a，+）上单调递增； 当 a0 时，令 f（x）0，得 ， （i）当 时， ， 令 f（x）0，得 axa；令 f（x）0，得 xa 所以 f（x）得单调递减区间为
33、（a，a），单调递增区间为（a，+）； （ii）当 时， ， 令 f（x）0，得 ；令 f（x）0，得 或 ， 所以 f （x） 得单调减区间为 ， ， 单调递增区间为 ， ， ， ； （iii）当 时， ， 令 f（x）0，得 ；令 f（x）0，得 ， 所以 f（x）的单调递减区间为 ， ，单调递增区间为 ， ； （2）因为 a3，所以 f（x）3x2+a3x23，当 x1 时，f（x）0， 所以 f（x）在1，+）上单调递增， 因为 2x24x+32（x1）2+11，x2+21， 所以 2x24x+3x2+2， 解得： ， 故所求不等式的解集为 ， 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的
34、单调性，以及利用函数的单调性求解不等 式，是中档题 21已知椭圆 C： 1（ab0）过点（1， ），过坐标原点 O 作两条互相垂直的 射线与椭圆 C 分别交于 M，N 两点 （1）证明：当 a2+9b2取得最小值时，椭圆 C 的短轴长为 （2）若椭圆 C 的焦距为 2，是否存在定圆 O 与直线 MN 总相切？若存在，求定圆 O 的 方程；若不存在，请说明理由 【分析】（1）椭圆 C 经过点 ， ，得到 ，通过“1”的代换，利用基本 不等式转化求解证明即可 （2）通过椭圆 C 的焦距为 2，结合 ，求出 a24，b23当直线 MN 的斜 率不存在时，由对称性，设 M（x0，x0），N（x0，x0
35、），MN 在椭圆 C 上，求解 O 到 直线 MN 的距离当直线 MN 的斜率存在时，设 MN 的方程为 ykx+m，联立直线与椭 圆方程， 设 M （x1， y1） ， N （x2， y2） ， 利用韦达定理， 结合 OMON 推出 7m212 （k2+1） ， 然后求解 O 到直线 MN 的距离说明到直线 MN 的距离为定值，且定值为 ，存在定 圆 ： ，使得圆 O 与直线 MN 总相切 【解答】（1）证明：椭圆 C 经过点 ， ， ， ， 当且仅当 ，即 a 22b2时，等号成立， 又 ， ，C 的短轴长为 （2）解：椭圆 C 的焦距为 2，a2b21，又 ，a24，b23 当直线 MN
36、 的斜率不存在时，由对称性，设 M（x0，x0），N（x0，x0）， MN 在椭圆 C 上， ， ，O 到直线 MN 的距离 当直线 MN 的斜率存在时，设 MN 的方程为 ykx+m， 由 ，得（3+4k 2）x2+8kmx+4m2120，（8km）24（3+4k2）（4m2 12）0 设 M（x1，y1），N（x2，y2），则 ， ， OMON，x1x2+y1y20， ， ，即 7m212（k2+1）， O 到直线 MN 的距离 综上，到直线 MN 的距离为定值，且定值为 存在定圆 ： ， 使得圆 O 与直线 MN 总相切 【点评】本题考查椭圆的简单性质，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关
37、系的综合应 用，涉及圆与直线的位置关系，是难题 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分. 22在直角坐标系 xOy 中，已知点 M（1， ），C1的参数方程为 （t 为参数）， 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2+cos2 （1）求 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； （2）设曲线 C1与曲线 C2相交于 A，B 两点，求 的值 【分析】（1）由代入消元法，消去 t 可得 C1的普通方程；由 xcos，x2+y22，代 入计算可得 C2的直角坐标方程； （2）判断 M 在
38、 C2上，设出曲线 C1的参数的标准方程，代入曲线 C2的直角坐标方程， 再由韦达定理和参数的几何意义，计算可得所求值 解：（1）由 C1的参数方程 （t 为参数），消去参数 t，可得 ， 由曲线 C2的极坐标方程 2+cos2，得 22 +2cos2 3， 由 xcos，x2+y22， 所以 C2的直角坐方程为 3x2+2y23，即 （2）因为 ， 在曲线 C1上， 故可设曲线 C1的参数方程为 （t 为参数）， 代入 3x2+2y23，化简可得 3t2+8t+20， 设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则644320， 且 ， ， 所以 【点评】本题考查参数方程和极坐标方程与直角坐标
39、方程的互化，考查直线的参数方程 的运用，注意参数的几何意义，考查方程思想和运算能力，属于中档题 23已知函数 f（x）|x3|+|x1| （1）求不等式 f（x）6 的解集； （2）设 f（x）的最小值为 M，正数 a，b 满足 a2+4b2M，证明：a+2b4ab 【分析】（1）先将 f（x）写为分段函数的形式，然后根据 f（x）6 利用零点分段法解 不等式即可； （2） 先利用绝对值三角不等式求出 f （x） 的最小值 M， 然后利用分析法证明不等式即可 解：（1）f（x）|x3|+|x1| ， ， ， f（x）6， 或 或 ， 即以1x1 或 3x5 或 1x3， 不等式的解集为1，5 （2）（x）|x+3|+|x1|x3x+1|2，M2， a0，b0，要证 a+2b4ab，只需证（a+2b）216a2b2， 即证 a2+4b2+4ab16a2b2， a2+4b22，只要证 2+4ab16a2b2， 即证 8（ab）22ab10，即证（4ab+1）（2ab1）0， 4ab+10，只需证 ， 2a2+4b24ab， 成立， a+2b4ab 【点评】 本题考查了绝对值不等式的解法， 绝对值三角不等式和利用分析法证明不等式， 考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题
浙公网安备33030202001339号