1、已知 i 是虚数单位，若复数 z（1+2i） （1i） ，则 z 的虚部是（ ） A3 B3i C1 Di 2 （5 分）已知集合 A，B 均为全集 U1，2，3，4，5的子集，且U（AB）3，4， B1，2，则集合 A 可以有（ ）种情况 A2 B3 C4 D6 3 （5 分）已知命题 p：角 的终边在直线上，命题 q：，那么 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 4 （5 分）若 a30.3，blog21.2，clog0.21.5，则（ ） Aabc Bbac Ccab Dbca 5 （5 分）已知两个非零向量 ， 满足，则的值为
2、 （ ） A1 B1 C0 D2 6 （5 分） 已知数列an是首项为 a12， 公比 q2 的等比数列， 且 bnan+an+1 若数列bn 的前 n 项和为 Sn，则 Sn（ ） A32n3 B32n+13 C32n D32n+16 7 （5 分）已知 a，bR，不等式组表示的平面区域为 M，不等式组 表示的平面区域为 N在平面区域 M 内有一粒豆子随机滚动，则该豆子始终滚不出平面 区域 N 的概率是（ ） A B C D 8 （5 分）如图所示，是某几何体的正视图（主视图） ，侧视图（左视图）和俯视图，其中 俯视图为等腰直角三角形，则该几何体体积为（ ） 第 2 页（共 21 页） A6
3、+20 B9+16 C9+18 D 9 （5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）2x1，若 f（6a2） f（a） ，则实数 a 的取值范围是（ ） A （，2）（3，+） B （3，2） C （2，3） D （，3）（2，+） 10 （5 分）已知双曲线 C1：，当双曲线 C1的焦距取得最小值时，其右焦 点恰为抛物线 C2：y22px（p0）的焦点、若 A、B 是抛物线 C2上两点，|AF|+|BF|8， 则 AB 中点的横坐标为（ ） A B2 C D3 11（5 分） 已知ABC 的三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， b6， 且，
4、则锐角 A 的大小为（ ） A B C D 12 （5 分）已知函数（其中 a1） ，则函数 f（x）零点的个数 为（ ）个 A0 B1 C2 D3 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）设函数，若，则 f（2019） 第 3 页（共 21 页） 14 （5 分）的最小值为 15 （5 分）已知四面体 MDEF 中，MEDE，MEEF，ME4， 则该四面体的外接球的体积为 16（5 分） 在ABC 中， 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c ABC 的面积 S， 若 sin2BsinAsinC，则角 B
5、的值为 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分）分） 17 （12 分）已知an为等比数列，且各项均为正值，a4a616a3a9 （1）求数列an的通项公式； （2）若 bnlog4an，数列的前 n 项和为 Tn，求 Tn 18 （12 分）某气象站统计了 4 月份甲、乙两地的天气温度（单位C） ，统计数据的茎叶图 如图所示， （1）根据所给茎叶图利用平均值和方差的知识分析甲，乙两地气温的稳定性； （2）气象主管部门要从甲、乙两地各随机抽取一天的天气温度，若甲、乙两地的温度之 和大于或等于 20C，则被称为“甲、乙两地往来温度适宜天气” ，求“甲、乙两地往来 温度适
6、宜天气”的概率 19 （12 分） 在四棱锥 SEFGH 中， EFEH， EHFG， EH2FG2EF4， 平面 SEH平面 EFGH，M，N 分别为 SF，GH 的中点 （1）求证：MN平面 SEH； （2）求 E 到平面 SGH 的距离 第 4 页（共 21 页） 20 （12 分）已知椭圆 C：的离心率，且圆 x2+y22 过椭圆 C 的上，下顶点 （1）求椭圆 C 的方程 （2）若直线 l 的斜率为，且直线 l 交椭圆 C 于 P、Q 两点，点 P 关于原点的对称点为 E，点 A（2，1）是椭圆 C 上一点，判断直线 AE 与 AQ 的斜率之和是否为定值，如果 是，请求出此定值：如果
7、不是，请说明理 21 （12 分）已知函数 f（x）lnxx （1）求函数 f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （2）若函数只有一个极值点，求实数 的取值范围； （3）若函数（其中 4）有两个极值点，分别为 x1，x2，且 在区间（0，+）上恒成立，证明：不等式 kln43 成立 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答注意：只能两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目做所选定的题目.如果多做，则按所做第一如果多做，则按所做第一 个题目计分，作答时，请用个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修选修 44：
8、坐标系：坐标系 与参数方程与参数方程 22 （10 分）平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2sin （1）求直线 l 的极坐标方程及曲线 C 的直角坐标方程； （2）若 A（1，）是直线 l 上一点，是曲线 C 上一点，求的 最大值 选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 23设函数（xR，实数 a0） （1）若，求实数 a 的取值范围； （2）求证： 第 5 页（共 21 页） 2019-2020 学年内蒙古乌兰察布市、 巴彦淖尔市等五市高三 （上）学年内蒙古乌兰察布市、 巴彦淖
9、尔市等五市高三 （上） 期末数学试卷（文科）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求一项符合题目要求 1 （5 分）已知 i 是虚数单位，若复数 z（1+2i） （1i） ，则 z 的虚部是（ ） A3 B3i C1 Di 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：z（1+2i） （1i）1i+2i+23+i， z 的虚部是 1 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考
10、查复数的基本概念，是基础题 2 （5 分）已知集合 A，B 均为全集 U1，2，3，4，5的子集，且U（AB）3，4， B1，2，则集合 A 可以有（ ）种情况 A2 B3 C4 D6 【分析】根据题意，直接写出满足条件的 A 即可 【解答】解：依题意，集合 A 可能为5，1，5，2，5，1，2，5，共 4 种情况 故选：C 【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题 3 （5 分）已知命题 p：角 的终边在直线上，命题 q：，那么 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 【分析】命题 p：角 的终边在直线上，可得 tan，k+kZ 【
11、解答】解：命题 p：角 的终边在直线上，则 tan，k+kZ 命题 q：，那么 p 是 q 的充要条件 故选：C 第 6 页（共 21 页） 【点评】本题考查了直线的斜率与倾斜角之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推 理能力与计算能力，属于基础题 4 （5 分）若 a30.3，blog21.2，clog0.21.5，则（ ） Aabc Bbac Ccab Dbca 【分析】利用指数对数函数的单调性即可得出 【解答】解：log21.2（0，1） ，30.31，log0.21.50， cba 故选：A 【点评】本题考查了指数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 5 （5 分）已
12、知两个非零向量 ， 满足，则的值为 （ ） A1 B1 C0 D2 【分析】根据条件即可求出向量 ， 的坐标，然后进行数量积的坐标运算即可 【解答】解：， ， ， 故选：B 【点评】本题考查了向量的数乘运算及向量坐标的数乘运算，向量坐标的数量积运算， 考查了计算能力，属于基础题 6 （5 分） 已知数列an是首项为 a12， 公比 q2 的等比数列， 且 bnan+an+1 若数列bn 的前 n 项和为 Sn，则 Sn（ ） A32n3 B32n+13 C32n D32n+16 【分析】由等比数列的通项公式和求和公式，化简可得所求和 【解答】解：数列an是首项为 a12，公比 q2 的等比数列
13、， 可得 bnan+an+12n+2n+132n， Sn62n6， 第 7 页（共 21 页） 故选：D 【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查化简运算能力，属于基 础题 7 （5 分）已知 a，bR，不等式组表示的平面区域为 M，不等式组 表示的平面区域为 N在平面区域 M 内有一粒豆子随机滚动，则该豆子始终滚不出平面 区域 N 的概率是（ ） A B C D 【分析】画出不等式组表示的平面区域 M 和 N，利用几何概型的概率公式计算对应的面 积比即可 【解答】解：画出不等式组表示的平面区域为 M， 和不等式组表示的平面区域为 N，如图所示； 则所求的概率是 P11 故选：
14、A 【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，也考查了数形结合的解题方法，是基础 题 8 （5 分）如图所示，是某几何体的正视图（主视图） ，侧视图（左视图）和俯视图，其中 俯视图为等腰直角三角形，则该几何体体积为（ ） 第 8 页（共 21 页） A6+20 B9+16 C9+18 D 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体由一个半球和一个三棱锥 体组成的组合体 所以 V18+9 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基
15、础题型 9 （5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）2x1，若 f（6a2） f（a） ，则实数 a 的取值范围是（ ） A （，2）（3，+） B （3，2） C （2，3） D （，3）（2，+） 【分析】由 x0 得函数的单调性，又有函数又是 R 上的奇函数，所以在 R 上单调性相 同，可得不等式进而求出不等式的解集 【解答】解：因为当 x0 时，f（x）2x1 是单调递增的函数， 又 f（x）是定义在 R 上的奇函数， 由奇函数的性质，在原点两边对称区间的单调性相同， 所以函数在 R 上都是单调递增的， 因为 f（6a2）f（a） ，整理：6a2a， 即
16、 a2a60， 第 9 页（共 21 页） 解得：2a3， 故选：C 【点评】考查函数的单调性和奇函数的性质，属于基础题 10 （5 分）已知双曲线 C1：，当双曲线 C1的焦距取得最小值时，其右焦 点恰为抛物线 C2：y22px（p0）的焦点、若 A、B 是抛物线 C2上两点，|AF|+|BF|8， 则 AB 中点的横坐标为（ ） A B2 C D3 【分析】求出双曲线的焦距，求出最小值，然后求解抛物线的方程，利用 A、B 是抛物线 C2上两点，|AF|+|BF|8，求解 AB 中点的横坐标即可 【解答】解：双曲线 C1：，m2， 可得 2c24，当双曲线 C1的焦距取得最小值时，m1， 所
17、以 c2，其右焦点恰为抛物线 C2：y22px（p0）的焦点， 所以抛物线的焦点坐标（2，0） ，所以抛物线方程为：y28x， 准线方程 x2， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， |AF|+|BF|x1+2+x2+28， x1+x24， 线段 AB 的中点横坐标为 2， 故选：B 【点评】本题考查双曲线的简单性质，抛物线的简单性质的应用，解决抛物线上的点到 焦点的距离问题，解题的关键是利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距 离是中档题 11（5 分） 已知ABC 的三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， b6， 且， 则锐角 A 的大小为（ ） A B
18、C D 【分析】首先利用余弦定理求出 a 的长，进一步利用正弦定理的应用求出结果 第 10 页（共 21 页） 【解答】解：根据已知条件：，b6，且， 所以， 解得： ， 所以， 故：A与边长的关系矛盾，舍去 ， 所以， 整理得， 故 A 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 12 （5 分）已知函数（其中 a1） ，则函数 f（x）零点的个数 为（ ）个 A0 B1 C2 D3 【分析】先求函数 f（x）的定义域，再求导 f（x），从而讨论 a 以 确定导数的正负，结合函数零点的判定定理确定
19、函数 f（x）的零点个数 【解答】解：函数（其中 a1） ，定义域为（0，+） ， f（x）x+（a+1）； 由于 a1，x0，故当 0x1 时，f（x）0，f（x）单调递减；当 1xa 时，f（x） 0， 第 11 页（共 21 页） f（x）单调递增；当 xa 时，f（x）0，f（x）单调递减； 故 f（x）在 x1 处有极小值，在 xa 处有极大值； f（1）+a+10，当 x+时，f（x），故 f（x）图象草图如图所示， 故 f（x）只有一个零点； 故选：B 【点评】本题考查了导数的综合应用及函数零点的判定定理的应用，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小
20、题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）设函数，若，则 f（2019） 【分析】可判断函数 f（x）为奇函数，进而得到答案 【 解 答 】 解 ： 函 数 的 定 义 域 为， 关 于 原 点 对 称 ， ，故函数 f（x）为奇函数， 故答案为： 【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，属于基础题 14 （5 分）的最小值为 16 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和基本不等式的应用求出结果 【 解 答 】 解 ： 10+ 故答案为：16 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要 考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 第
21、 12 页（共 21 页） 15 （5 分）已知四面体 MDEF 中，MEDE，MEEF，ME4， 则该四面体的外接球的体积为 【分析】三角形中，由对边和角求出外接圆的半径，再由侧棱垂直于底面，外接球的球 心为过底面外接圆的圆心作垂直于底面直线，直线与中截面的交点即为外接球的球心求 出半径，进而求出体积 【解答】解：在DEF 中，设外接圆的半径 r，则 2r4，所以 r 2， 因为 MEDE，MEEF，EFDEE，ME面 DEF， 所以侧棱垂直于底面，外接球的球心为过底面外接圆的圆心作垂直于底面直线，直线与 中截面的交点即为外接球的球心， 设外接球半径为 R， 则 R2r2+（）222+（）2
22、8， 所以 R2， 所以外接球的体积 V， 故答案为： 【点评】考查三角形求外接圆的半径和三棱锥的外接球的半径的求法，属于中档题 16（5 分） 在ABC 中， 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c ABC 的面积 S， 若 sin2BsinAsinC，则角 B 的值为 【分析】直接利用正弦定理余弦定理和三角形的面积公式和三角函数关系式的恒等变换 求出结果 【解答】解：由于 sin2BsinAsinC， 利用正弦定理整理得， 由于ABC 的面积 S， 所以，且 a2+c2b2+2accosB， 第 13 页（共 21 页） 故：，转换为， 化简得：， 即，故 由于 0B， 所以，
23、 所以，解得：B 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用， 正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思 维能力，属于基础题型 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分）分） 17 （12 分）已知an为等比数列，且各项均为正值，a4a616a3a9 （1）求数列an的通项公式； （2）若 bnlog4an，数列的前 n 项和为 Tn，求 Tn 【分析】 （1）设等比数列的公比为 q，q0，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项 和公比，可得所求通项公式； （2）运用对数的运算性质可得 b
24、nn，由数列的裂项 相消求和，计算可得所求和 【解答】解： （1）an为等比数列，且各项均为正值，设公比为 q，q0， 由，a4a616a3a9， 可得 a1q，a5216a62，即 q2，即有 q，a1， 可得 an（）n； （2）bnlog4anlog4（）nn， ， 第 14 页（共 21 页） 可得 Tn1+1 【点评】本题考查等比数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能 力，属于中档题 18 （12 分）某气象站统计了 4 月份甲、乙两地的天气温度（单位C） ，统计数据的茎叶图 如图所示， （1）根据所给茎叶图利用平均值和方差的知识分析甲，乙两地气温的稳定性； （2）
25、气象主管部门要从甲、乙两地各随机抽取一天的天气温度，若甲、乙两地的温度之 和大于或等于 20C，则被称为“甲、乙两地往来温度适宜天气” ，求“甲、乙两地往来 温度适宜天气”的概率 【分析】 （1）由茎叶图，求出 4 月份甲、乙地的天气温度的平均数和方差，根据所给茎 叶图利用平均值和方差的知识分析乙地气温比甲地气温更稳定性 （2）基本事件总数 n5525，利用列举法求出“甲、乙两地往来温度适宜天气”包 含的基本事件有 14 个，由此能求出“甲、乙两地往来温度适宜天气”的概率 【解答】解： （1）由茎叶图，得： 4 月份甲地的天气温度的平均数为： （8+7+10+12+13）10， 4 月份甲地的
26、天气温度的方差为： （810）2+（710）2+（1010）2+（1210）2+（1310）2 4 月份乙地的天气温度的平均数为： （8+9+10+11+12）10， 4 月份乙地的天气温度的方差为： （810）2+（910）2+（1010）2+（1110）2+（1210）22 ， 根据所给茎叶图利用平均值和方差的知识分析乙地气温比甲地气温更稳定性 （2）气象主管部门要从甲、乙两地各随机抽取一天的天气温度， 第 15 页（共 21 页） 基本事件总数 n5525， 甲、乙两地的温度之和大于或等于 20C，则被称为“甲、乙两地往来温度适宜天气” ， “甲、乙两地往来温度适宜天气”包含的基本事件有
27、 14 个，分别为： （8，12） ， （10，10） ， （10，11） ， （10，12） ， （12，8） ， （12，9） ，12，10） ， （12，11） ， （12，12） ， （13，8） ， （13，9） ， （13，10） ， （13，11） ， （13，12） ， “甲、乙两地往来温度适宜天气”的概率为 p 【点评】本题考查甲、乙两地气温稳定性的判断，考查概率的求法，考查茎叶图、平均 数、方差、列举法等基础知识，免费提供查运算求解能力，是基础题 19 （12 分） 在四棱锥 SEFGH 中， EFEH， EHFG， EH2FG2EF4， 平面 SEH平面 EFGH，M，N
28、 分别为 SF，GH 的中点 （1）求证：MN平面 SEH； （2）求 E 到平面 SGH 的距离 【分析】 （1）取 EH 的中点为 D，连接 SD，DF，EG，DG，设 EGDFO，连接 ON； 先证明平面 MON平面 SEH，进而可得线面平行； （2）根据 VESGNVSEGN列方程得出 E 到平面 SGH 的距离 【解答】解： （1）在四棱锥 SEFGH 中，EFEH，EHFG，EH2FG2EF4， ， 平面 SEH平面 EFGH 取 EH 的中点为 D，连接 SD，DF，EG，DG，设 EGDFO，连接 ON； EH2FG2EF4，平面 SEH平面 EFGH； SDEHSD平面 EF
29、GH； EFEH，EHFG，EH2FG2EF4； 四边形 EDGF 为正方形；且 FGDH 且 FGDH； 第 16 页（共 21 页） O 为 DF 的中点， 因为 M，N 分别为 SF，GH 的中点； ONDH，MOSD； ON平面 SEH，OM平面 SEH； 平面 MON平面 SEH； MN平面 MONMN平面 SEH； （2）由题可知 SDDGONDHFG2； 又因为 VESGNVSEGNdSSGNSDSEGH； SEGNENEF4； GH2，SG2； SSHG22sin2； d 即 E 到平面 SGH 的距离为 【点评】本题主要考查线面平行的判定，以及点到平面的距离，要求熟练掌握线面
30、平行 的判定定理和直线和平面平行的性质， 以及等体积法在求解点到面的距离中的应用问题 20 （12 分）已知椭圆 C：的离心率，且圆 x2+y22 过椭圆 C 的上，下顶点 （1）求椭圆 C 的方程 （2）若直线 l 的斜率为，且直线 l 交椭圆 C 于 P、Q 两点，点 P 关于原点的对称点为 E，点 A（2，1）是椭圆 C 上一点，判断直线 AE 与 AQ 的斜率之和是否为定值，如果 第 17 页（共 21 页） 是，请求出此定值：如果不是，请说明理 【分析】 （1）由题意可得 b，运用椭圆的离心率公式和 a，b，c 的关系，解方程可得 a， c，进而得到所求椭圆方程； （2）可设直线 l
31、 的方程为 yx+t，联立椭圆方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公 式，化简整理，计算可得所求定值 【解答】解： （1）椭圆 C：的离心率，且圆 x2+y22 过椭 圆 C 的上，下顶点， 可得 b，e，c2a2b2，解得 a2，c， 则椭圆的方程为+1； （2）若直线 l 的斜率为，可设直线 l 的方程为 yx+t， 联立椭圆方程 x2+4y280， 可得 x2+2tx+2t240，则4t24（2t24）0，解得2t2， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，E（x1，y1） ，可得 x1+x22t，x1x22t24， 则 kAE+kAQ+ 0 则直线 AE 与 AQ 的斜率之和为定值
32、 0 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理， 以及直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）lnxx （1）求函数 f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （2）若函数只有一个极值点，求实数 的取值范围； （3）若函数（其中 4）有两个极值点，分别为 x1，x2，且 在区间（0，+）上恒成立，证明：不等式 kln43 成立 第 18 页（共 21 页） 【分析】 （1）f（x）lnxxx0，f（1）1f（x）1，f（1）0，利 用点斜式即可得出函数 f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程 （2）函数（
33、lnxx）+x2 （x0） h（x）（1）+x 令 u（x）x2x+，由于函数 h（x）只有一个极值点，可得 u（x） x2x+0 只有一个大于 0 的实数根首先0，解得 0，或 4对 分类讨 论即可得出实数 的取值范围 （3）若函数（lnxx）+x2 （x0） （其中 4）有两个极值 点 ， 分 别 为 x1， x2， 由 （ 2 ） 可 得 ： x1+x2 ， x1x2 ln1令 v（）ln 1 （4，+） ） 利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明不等式 kln43 成立 【解答】解： （1）f（x）lnxxx0，f（1）1 f（x）1，f（1）0， 函数 f（x）在点（1，f（1）
34、 ）处的切线方程为：y（1）0，即 y+10 （2）函数（lnxx）+x2 （x0） h（x）（1）+x 令 u（x）x2x+， 函数 h（x）只有一个极值点，u（x）x2x+0 只有一个大于 0 的实数根 首项（）240，解得 0，或 4 若 0，u（x）x2x+2， 对称轴 x0，u（0）0，因此 u（x）0，有且只有一个大于 0 的实数根， 满足条件 若 4设满足 u（x）x2x+0 的两个实数根分别为 x1，x2， 则 x1+x20，x1x20，可得：x10，x20，不满足条件，舍去 综上可得：实数 的取值范围是（，0） 第 19 页（共 21 页） （3）证明：若函数（lnxx）+x
35、2 （x0） （其中 4）有两 个极值点，分别为 x1，x2， 由（2）可得：x1+x2，x1x2 ln1 令 v（）ln1 （4，+） ） v（）0， v（）在（4，+）上单调递减， v（）v（4）ln43 在区间（0，+）上恒成立， kkln43 因此：不等式 kln43 成立 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等 价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一如果多做，则按所做第一 个题目计分，作
36、答时，请用个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修选修 44：坐标系：坐标系 与参数方程与参数方程 22 （10 分）平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2sin （1）求直线 l 的极坐标方程及曲线 C 的直角坐标方程； （2）若 A（1，）是直线 l 上一点，是曲线 C 上一点，求的 最大值 第 20 页（共 21 页） 【分析】 （1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果； （2）利用（
37、1）的极坐标方程，进一步利用三角函数关系式的恒等变变换和正弦函数的 性质的应用求出结果 【解答】解： （1）直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， 转换为直角坐标方程为：y1（x） ， 整理得：xy20， 转换为极坐标方程为cossin20 由曲线 C 的极坐标方程为 2sin 得：22sin， 转换为直角坐标方程 x2+y22y， 即：x2+y22y0； （2）由于 A（1，）是直线 l 上一点， 则：1cos1sin20， B（2，）是曲线 C 上一点， 则：， |（） （cossin）|， |sin（2）1|2， 故：的最大值为 2 【点评】本题考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之
38、间的转换，三角函数关系式 的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，是中档 题 选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 23设函数（xR，实数 a0） （1）若，求实数 a 的取值范围； 第 21 页（共 21 页） （2）求证： 【分析】 （1）由得|a|+|，解不等式即可得出实数 a 的取值范围； （2）利用分段讨论法去掉绝对值，求出 f（x）的最小值，即可证明 【解答】解： （1）函数（xR，实数 a0） ， 所以，即|a|+|， 3|a|210|a|+30，解得|a|3， 又 a0，所以实数 a 的取值范围是a3； （2）由 a0，则 f（x）|xa|+|2x+|， xa 时，f（x）3xa+是单调增函数，f（x）f（a）2a+； xa 时，f（x）x+a+是单调增函数，且 f（x）f（）a+； x时，f（x）是单调减函数，且 f（x）f（）a+； 综上知，f（x）a+2，当且仅当 a，即 a时取“” ； 所以 【点评】本题考查了含有绝对值不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论与转化能力， 是中档题
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