1、定义：对于实数 m 和两定点 M，N，在某图形上恰有 n（nN*）个不同的点 Pi， 使得，称该图形满足“n 度契合” 若边长为 4 的正方 形 ABCD 中，2，3，且该正方形满足“4 度契合” ，则实数 m 的取值范围 是 二、选择题二、选择题 13 （3 分）设 aR，则“a1”是“直线 l1：ax+2y10 与直线 l2：x+（a+1）y+40 平 第 2 页（共 18 页） 行”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 14 （3 分）已知| |3，| |4， （ ） （ 3 ）81，则 与 的夹角为（ ） A B C D 15 （3 分）
2、二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（ ） A系数行列式 D0 B比例式 C向量不平行 D直线 a1x+b1yc1，a2x+b2yc2不平行 16 （3 分）如图，由四个边长为 1 的等边三角形拼成一个边长为 2 的等边三角形，各项点 依次为，A1，A2，A3，A6则的值组成的 集合为（ ） A2，1，0，1，2 B C D 三、解答题三、解答题 17已知直线方程 l1：mx+ym+1，l2：x+my2m，问 m 为何值时，l1，l2相交，平行，重 第 3 页（共 18 页） 合？ 18已知| |1，| |2， 与 的夹角为 120，当 k 为何值时 （1）k + 与 垂直； （2）|k
3、 2 |取得最小值？并求出最小值 19设 D 为ABC 的边 AB 上一点，P 为ABC 内一点，且满足， +，0求： （1）记 f（），求 f（）关于 的表达式； （2）求出 f（）的最大值并求出相应的 值 20在直角坐标系 Oy 中，过点 P（4，2）作直线 l 交 x 轴于 A 点、交 y 轴于 B 点，且 P 位 于两点之间 （1）若3，求直线 l 的方程； （2）求当取得最小值时直线 l 的方程； （3）当 SOAB面积最小值时的直线方程 21已知直线： （2m+1）x+（m1）y5m10，且与坐标轴形成的三角形面积为 S求： （1）求证：不论 m 为何实数，直线 L 过定点 P；
4、（2）分别求 S3 和 S5 时，所对应的直线条数； （3）针对 S 的不同取值，讨论集合l|直线经过 P 且与坐标轴围成的三角形面积为 S中 的元素个数 第 4 页（共 18 页） 2018-2019 学年上海市嘉定二中等四校联考高二（上）期中数学学年上海市嘉定二中等四校联考高二（上）期中数学 试卷试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题一、填空题 1 （3 分）方程组的增广矩阵为 【分析】根据增广矩阵的定义即可求出 【解答】解：方程组的增广矩阵为， 故答案为：， 【点评】本题考查了增广矩阵的定义，属于基础题 2 （3 分）直线 x+y10 的倾斜角是 【分析】利用直线方程求出
5、斜率，然后求出直线的倾斜角 【解答】解：因为直线的斜率为：， 所以 tan， 所以直线的倾斜角为： 故答案为： 【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的倾斜角的求法，考查计算能力 3 （3 分）过点（1，0）且与直线 2x+y5 垂直的直线的方程 x2y10 【分析】设过点（1，0）且与直线 2x+y5 垂直的直线的方程为 x2y+c0，把（1，0） 代入能求出结果 【解答】解：设过点（1，0）且与直线 2x+y5 垂直的直线的方程为 x2y+c0， 把（1，0）代入，得：120+c0， 解得 c1， 过点（1，0）且与直线 2x+y5 垂直的直线的方程为 x2y10 故答案为：x2y10 【
6、点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求 第 5 页（共 18 页） 解能力，是基础题 4 （3 分）已知3，设，则实数 2 【分析】可知，这样带入便可得到，从而便可得出 的值 【解答】解：根据条件，； 2 故答案为：2 【点评】考查向量减法及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，向量相等的概念 5（3 分） 行列式中第 2 行第 1 列元素的代数余子式的值为10， 则 k 14 【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第 2 行第 1 列后所余下的 2 阶行列式 带上符号（1）i+j为 M21，求出其表达式列出关于 k 的方程解之即可 【解答】解：由题意得
7、 M21（1）322+1k10 解得：k14 故答案为：14 【点评】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是一道基 础题 6 （3 分）已知、是夹角为的两个单位向量，向量 2， k+2， 若 ，则实数 k 的值为 1 【 分 析 】 根 据即 可 得 出 ， 存 在 实 数 ， 使 得， 从 而 得 出 ，并且不共线，从而得出，这样即可求出 k 的值 【解答】解：； 存在实数 ，使； ； 又不共线； 第 6 页（共 18 页） ； k1 故答案为：1 【点评】考查单位向量的概念，共线向量和平面向量基本定理，向量的数乘运算 7 （3 分）以行列式的形式表示的直线方程的一个
8、法向量 （1，2） 【分析】2+x2y1x2y+10由此能求出结果 【解答】解：2+x2y1x2y+10 以行列式的形式表示的直线方程的一个法向量 （1，2） 故答案为： （1，2） 【点评】本题考查直线的法向量的求法，考查行列式的展开法则、直线方程等基础知识， 考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 8 （3 分）直线（m+2）x+（2m）y2m0 在 x 轴上的截距等于 y 轴上的截距的 2 倍， 则 m 的值为 或 0 【分析】讨论 m0 时直线化为 x+y0，满足题意； m0 时，直线化为x+y1，求出在 x 轴和 y 轴上的截距，列方程求出 m 的值 【解答】解：直线（m+2
9、）x+（2m）y2m0， 当 m0 时，直线化为 x+y0， 在 x 轴上的截距与在 y 轴上的截距都为 0，满足题意； 当 m0 时，直线化为x+y1， 在 x 轴上的截距是，在 y 轴上的截距是， 2，解得 m； 综上，m 的值为或 0 故答案为：或 0 第 7 页（共 18 页） 【点评】本题考查了直线方程的应用问题，也考查了分类讨论思想应用问题，是基础题 9 （3 分）已知直线（a2）y（3a1）x1，为使这条直线不经过第二象限，则实数 a 的范围是 2，+） 【分析】由已知中直线（a2）y（3a1）x1 不经过第二象限，我们分别讨论 a2 0（斜率不存在） ，a20（斜率存在）两种情
10、况，讨论满足条件的实数 a 的取值，进 而综合讨论结果，得到答案 【解答】解：若 a20，即 a2 时，直线方程可化为 x，此时直线不经过第二象 限，满足条件； 若 a20，直线方程可化为 yx，此时若直线不经过第二象限， 则0，0 解得 a2 综上满足条件的实数 a 的范围是2，+） 故答案为：2，+） 【点评】本题考查的知识点是确定直线位置的几何要素，其中根据直线的斜截式方程中， 当 k0 且 b0 时，直线不过第二象限得到关于 a 的不等式组，是解答本题的关键，但 解答时，易忽略对 a20（斜率不存在）时的讨论，而错解为（2，+） 10 （3 分）已知点（，3）和（2，0）在直线 l：a
11、xy+20（a0）的同侧，则直线 l 倾斜角的取值范围是 （，） 【分析】点（，3）和（2，0）在直线 l：axy+20（a0）的同侧，推导出（ 3+2） （2a+2）0，由此能求出直线的倾斜角的范围 【解答】解：点（，3）和（2，0）在直线 l：axy+20（a0）的同侧， （3+2） （2a+2）0， 解得1a， 设直线的倾斜角为 0，） ， 1tan， 直线 l 倾斜角的取值范围是（，） 第 8 页（共 18 页） 故答案为： （，） 【点评】要求直线 l 倾斜角的取值范围的范围，关键是要根据题意建立关于 a 的不等式 的范围，而根据不等式表示平面区域的知识可得在直线同一侧的点的坐标代入
12、直线方程 的左侧的值的符号一致，两侧的值的符号相反，考查运算求解能力，是基础题 11 （3 分）已知点 A（1，0） ，B（1，0） ，C（0，1） ，直线 yax+b（a0）将ABC 分 割成面积相等的两部分，则 b 的取值范围是 【分析】先求得直线 yax+b（a0）与 x 轴的交点为 M（，0） ，由0 可得点 M 在射线 OA 上求出直线和 BC 的交点 N 的坐标，利用面积公式、点到直线以及两点之 间的距离公式再分三种情况分别讨论：若点 M 和点 A 重合，求得 b；若点 M 在点 O 和点 A 之间，求得 b；若点 M 在点 A 的左侧，求得 b1，综合起 来可得结论 【解答】解：
13、由题意可得，三角形 ABC 的面积为 SABOC1， 由于直线 yax+b（a0）与 x 轴的交点为 M（，0） ，由0 可得点 M 在射线 OA 上 设直线和 BC 的交点为 N，则由，可得点 N 的坐标为（，） ， 若点 M 和点 A 重合，则点 N 为线段 BC 的中点，则1，且，解得 a b， 若点 M 在点 O 和点 A 之间，则点 N 在点 B 和点 C 之间，由题意可得三角形 NMB 的 面积等于，即MByN， 即 （1+） ，解得，故 b， 若点 M 在点 A 的左侧，则1，ba，设直线 yax+b 和 AC 的交点为 P， 则由求得点 P 的坐标为（，） ， 此时，NP 第
14、9 页（共 18 页） ， 此时，点 C（0，1）到直线 yax+b 的距离等于， 由题意可得， 三角形 CPN 的面积等于， 即， 化简可得 2（1b）2|a21| 由于此时 0ba1，2（1b）2|a21|1a2 两边开方可得（1b），则 1b，即 b， 综合以上可得，b可以，且 b，且 b，即 b 的取值范围是， 故答案为： 【点评】本题主要考查确定直线的要素，点到直线和两点之间的距离公式以及三角形的 面积公式的应用，还考查运算能力和综合分析能力，分类讨论思想，属于难题 12 （3 分）定义：对于实数 m 和两定点 M，N，在某图形上恰有 n（nN*）个不同的点 Pi， 使得，称该图形满
15、足“n 度契合” 若边长为 4 的正方 形 ABCD 中，2，3，且该正方形满足“4 度契合” ，则实数 m 的取值范围 是 m或 2m6 【分析】利用数量积的定义和 M，N 两点的位置可得点 Pi的运动轨迹是以（2，）为圆 第 10 页（共 18 页） 心，半径 r的圆，只需该圆与正方形有 4 个交点即可 即可求得 m 的取值范围 【解答】解，如图建立平面直角坐标系，可得 N（0，1） ，M（4，2） ， 设 Pi（x，y） ，由，可得（x2）2+（y）2， 即点 Pi的运动轨迹是以（2，）为圆心，半径 r的圆，只需该圆与正方形有 4 个交点即可 如图：当 r2，即 m时（图中从内往外第一个
16、圆） ，有 4 个交点； 当动圆在图中第二个与第三个之间（从内往外第一个圆）时有 4 个交点，此时： ，2m6 答案为：m或 2m6 【点评】本题考查学生对文字的处理能力和数量积的定义动点轨迹问题，属于中档题 二、选择题二、选择题 13 （3 分）设 aR，则“a1”是“直线 l1：ax+2y10 与直线 l2：x+（a+1）y+40 平 行”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】运用两直线平行的充要条件得出 l1与 l2平行时 a 的值，而后运用充分必要条件 的知识来解决即可 【解答】解：当 a1 时，直线 l1：x+2y10 与直线
17、l2：x+2y+40， 第 11 页（共 18 页） 两条直线的斜率都是，截距不相等，得到两条直线平行， 故前者是后者的充分条件， 当两条直线平行时，得到， 解得 a2，a1， 后者不能推出前者， 前者是后者的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查必要条件充分条件和充要条件的问题，考查两条直线平行时要满足的 条件，本题解题的关键是根据两条直线平行列出关系式，不要漏掉截距不等的条件，本 题是一个基础题 14 （3 分）已知| |3，| |4， （ ） （ 3 ）81，则 与 的夹角为（ ） A B C D 【分析】由（ ） （ 3 ）4+39434cos+316 81，由此能求出 与 的夹角
18、 【解答】解：| |3，| |4， （ ） （ 3 ）81， （ ） （ 3 ）4+3 9434cos+31681， cos， 与 的夹角为 故选：C 【点评】本题考查向量的夹角的求法，考查向量数量积公式等基础知识，考查运算求解 能力，考查函数与方程思想，是中档题 15 （3 分）二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（ ） A系数行列式 D0 第 12 页（共 18 页） B比例式 C向量不平行 D直线 a1x+b1yc1，a2x+b2yc2不平行 【分析】利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于 0，即可得到 A，B，C 为充要条件，对于选项的，直线分共面和异面两种情况 【解答
19、】解：当两直当两直线共面时，直线 a1x+b1yc1，a2x+b2yc2不平行，二元一次 方程组存在唯一解 当两直线异面，直线 a1x+b1yc1，a2x+b2yc2不平行，二元一次方程组 无解， 故直线 a1x+b1yc1，a2x+b2yc2不平行是二元一次方程组存在唯一解 的必要非充分条件 故选：D 【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解 时，系数行列式不等于 0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题 16 （3 分）如图，由四个边长为 1 的等边三角形拼成一个边长为 2 的等边三角形，各项点 依次为，A1，A2，A3，A6则的值组成的 集合为（ ）
20、A2，1，0，1，2 第 13 页（共 18 页） B C D 【分析】通过观察图形知道向量分成以下三个类型：小三角形边上的向量， 大三角形边上的向量，大三角形中线向量，这样求出每种情况下的值， 从而求得答案 【解答】解：对向量分成以下几种类型： 边长为 1 的小三角形边上的向量，只需找一个小三角形 A1A2A4，它其它小三角形边上的 向量相等； 大三角形 A1A3A6边上的向量，和它的中线上的向量，所以有： ， ， ， ， ； 所有值组成的集合为1，1， 故选：D 【点评】考查相等向量，相反向量的概念，向量数量积的计算公式，等边三角形中线的 特点 三、解答题三、解答题 17已知直线方程 l1
21、：mx+ym+1，l2：x+my2m，问 m 为何值时，l1，l2相交，平行，重 合？ 【分析】 l1， l2相交时，； l1， l2平行时，； l1， l2重合时， 【解答】解：直线方程 l1：mx+ym+1，l2：x+my2m， l1，l2相交时，即 m1， 第 14 页（共 18 页） m1 时，l1，l2相交； l1，l2平行时，解得 m1， m1 时，l1，l2平行； l1，l2重合时，解得 m1， m1 时，l1，l2重合 【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线相交、平行、重合的性质等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题 18已知| |1，| |2， 与 的夹角为 120，
22、当 k 为何值时 （1）k + 与 垂直； （2）|k 2 |取得最小值？并求出最小值 【分析】 （1）根据条件先求出，与垂直时， 进行数量积的运算即可求出 k； （2）先得出，配方即可求出 k2+4k+16 的最小值，进而得出 的最小值 【解答】解： （1）； 与垂直； ； ； （2）； k2 时，取得最小值 【点评】考查向量数量积的计算公式及数量积的运算，向量垂直的充要条件，配方求二 次函数最值的方法 19设 D 为ABC 的边 AB 上一点，P 为ABC 内一点，且满足， +，0求： 第 15 页（共 18 页） （1）记 f（），求 f（）关于 的表达式； （2）求出 f（）的最大值并
23、求出相应的 值 【分析】 （1）先推出：，DPBC，再根据面积公式可求得 f（） ； （2）利用基本不等式求最值 【解答】解： （1）+， ， f（），0； （2）f（），当且仅当 时，f（）取得最大值 【点评】本题考查了平面向量基本定理、基本不等式属中档题 20在直角坐标系 Oy 中，过点 P（4，2）作直线 l 交 x 轴于 A 点、交 y 轴于 B 点，且 P 位 于两点之间 （1）若3，求直线 l 的方程； （2）求当取得最小值时直线 l 的方程； （3）当 SOAB面积最小值时的直线方程 【分析】设直线 l：yk（x4）+2，可求出 A（4，0） ，B（0，24k） 结合 P 位 于
24、 A、B 之间，建立不关于 k 的不等式，可得 k0 （1）由 A、B、P 的坐标，得出向量和坐标，从而将3化为关于 k 的方程， 解出 k 值即得直线 l 的方程； （2）由向量数量积的坐标运算公式，得出关于 k 的表达式，再用基本不等式得到 取得最小值时 l 的斜率 k，从而得到直线 l 的方程 第 16 页（共 18 页） （3）SOAB8（）8+28+816， 当8k 时，即 k时，取等号，由此能求出当 SOAB面积最小值时的直线方程 【解答】解：由题意知，直线 l 的斜率 k 存在且 k0， 设 l：yk（x4）+2，得令 y0，得 x4，所以 A（4，0） ， 再令 x0，得 y2
25、4k，所以 B（0，24k） ， 点 P（4，2）位于 A、B 两点之间，4且 24k2，解得 k0 （，2） ，（4，4k）2 分 （1）3，解得 k 直线 l 的方程为 y（x4）+2，整理得 x+6y160 （2）k0，8（k）+（）16， 当k，即 k1 时，等号成立 当取得最小值时直线 l 的方程为 y（x4）+2，化为一般式：x+y60 （3）A（4，0） ，B（0，24k） ，k0， SOAB8（）8+28+816， 当8k 时，即 k时，取等号， 当 SOAB面积最小值时的直线方程为 y（x4）+2，即 x+2y80 【点评】本题以向量的坐标运算为载体，求直线 l 的方程，着重
26、考查了直线的方程和向 量在几何中的应用等知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题 21已知直线： （2m+1）x+（m1）y5m10，且与坐标轴形成的三角形面积为 S求： （1）求证：不论 m 为何实数，直线 L 过定点 P； （2）分别求 S3 和 S5 时，所对应的直线条数； （3）针对 S 的不同取值，讨论集合l|直线经过 P 且与坐标轴围成的三角形面积为 S中 的元素个数 【分析】 （1）直线方程化为 m（2x+y5）+（xy1）0，令求得直线 L 所过的定点； 第 17 页（共 18 页） （2）由题意知直线的斜率存在且不为 0，设出直线方程，求出直线与 x、y 轴的交点
27、， 计算对应三角形的面积，由此求得直线条数； （3）由题意得（2k1）22S|k|，讨论 k0 和 k0 时方程对应的实数根，从而求出对 应直线的条数， 即可得出集合l|直线经过 P 且与坐标轴围成的三角形面积为 S中元素的个数 【解答】解： （1）直线（2m+1）x+（m1）y5m10 可化为 m（2x+y5）+（xy1）0， 令， 解得， 不论 m 为何实数，直线 L 过定点 P（2，1） ； （2）由题意知，直线的斜率 k 存在，且 k0， 设直线方程为 y1k（x2） ，则直线与 x 轴的交点为 A（2，0） ， 与 y 轴的交点为 B（0，12k） ； AOB 的面积为 S|OA|O
28、B|2|12k|； 令 S3，得（2k1）26|k|，k0 时，方程化为 4k210k+10， 解得 k，有两个正根，即有两条直线； k0 时，方程化为 4k2+2k+10，120，方程无实数根，即无直线； 综上知，S3 时有两条直线； 令 S5，得（2k1）210|k|，k0 时，方程化为 4k214k+10， 解得 k，有两个正根，即有两条直线； k0 时，方程化为 4k2+6k+10，解得 k，有两个负根，即有两条直线； 综上知，S5 时有四条直线； （3）由题意得， （2k1）22S|k|，k0 时，方程化为 4k2（2S+4）k+10， 解得 k，有两个正根，即有两条直线； k0 时
29、，方程化为 4k2（42S）k+10，4S（S4） ，0S4 时， 0，方程无实数根，此时无直线； 第 18 页（共 18 页） S4 时，0，方程有一负根 k，此时有一条直线； S4 时，0，解得 k，方程有两负根，即有两条直线； 综上知，0S$时有两条直线； S4 时有三条直线，S4 时有 4 条直线； 即 0S4 时，集合l|直线经过 P 且与坐标轴围成的三角形面积为 S中的元素有 2 个； S4 时，集合l|直线经过 P 且与坐标轴围成的三角形面积为 S中的元素有 3 个； S4 时，集合l|直线经过 P 且与坐标轴围成的三角形面积为 S中的元素有 4 个 【点评】本题考查了直线恒过定点的应用问题，也考查了三角形的面积应用问题和方程 解的个数判断问题，是难题
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