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    湖南名师联盟2020届高三第一次模拟考试数学试题(理科)含答案

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    湖南名师联盟2020届高三第一次模拟考试数学试题(理科)含答案

    1、湖南名师联盟湖南名师联盟 20202020 届高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题届高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题 注意事项: 1答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答 题卡上的指定位置 2选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试 题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题 卡上的非答题区域均无效 4考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中

    2、,只有一 项是符合题目 要求的 1已知集合 2 , x Ay yxR, lg 2Bx yx,则AB ( ) A0,2 B,2 C,2 D0,2 2若复数 z 满足12z ii(i 为虚数单位) ,则z为( ) A1 i B1 i C1 i D1 i 3AQI 即空气质量指数,AQI 越小,表明空气质量越好,当 AQI 不大于 100 气质量为“优良”是某市 3 月 1 日到 12 日 AQI 的统计数据,则下列叙述正确的是( ) A这 12 天的 AQI 的中位数是 90 B12 天中超过 7 天空气质量为“优良” C从 3 月 4 日到 9 日,空气质量越来越好 D这 12 天的 AQI 的

    3、平均值为 100 4已知平面向量2,3a ,,4bx,若 aab,则x( ) A1 B 1 2 C2 D3 5某围棋俱乐部有队员 5 人,其中女队员 2 人,现随机选派 2 人参加围棋比赛,则选出的人中有女队员 的概率为( ) A 3 10 B 3 5 C 4 5 D 7 10 6已知 m,n 表示两条不同的直线,表示平面,下列说法正确的是( ) A若m/,/n,则mn/ B若m,n,则mn/ C若m,mn,则/n D若m/,mn,则n 7函数 3sin 2 2 f xx 的图象向左平移 6 个单位长度后,所得到的图象关于原点对称, 则等于( ) A 6 B 6 C 3 D 3 8下图是某实心

    4、机械零件的三视图,则该机械零件的表面积为( ) A66 2 B66 4 C66 2 D66 4 9函数 2 ln1f xxx的图象大致是( ) A B C D 10正三角形 ABC 的边长为 2,将它沿高 AD 折叠,使点 B 与点 C 间的距离为3,则四面体 ABCD 外接 球的表面积为( ) A6 B7 C8 D9 11有如下命题:函数sinyx与yx的图象恰有三个交点;函数sinyx与yx的图象恰有 2 一个交点; 函数sinyx与 2 yx的图象恰有两个交点; 函数sinyx与 3 yx的图象恰有三个交点, 其中真命题的个数为( ) A1 B2 C3 D4 12若函数 2 1f xxx

    5、axb的图象关于点2,0对称, 1 x, 2 x分别是 f x的极大值点与极 小值点,则 21 xx( ) A3 B2 3 C2 3 D3 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13在ABC中,若13AB ,3BC ,120C,则AC _ 14如图,圆 C(圆心为 C)的一条弦 AB 的长为 2,则AB AC_ 15在 4 1xx的展开式中, 2 x项的系数为_(结果用数值表示) 16 定义在正实数上的函数 f xxx, 其中 x表示不小于 x 的最小整数, 如0.21,1.62, 当0,xn, * nN时,函数 f x的值域为 n A,记集合 n A中元素的个数为 n a,则 n

    6、a _ 三、解答题:本大题共 6 大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(12 分) 如图, 在平面四边形 ABCD 中, 2 3AB ,2AC ,90ADCCAB, 设D A C (1)若60,求 BD 的长度; (2)若30ADB,求tan 18 (12 分)为了解全市统考情况,从所有参加考试的考生中抽取 4000 名考生的成绩,频率分布直方图如 下图所示 (1)求这 4000 名考生的平均成绩x(同一组中数据用该组区间中点值作代表) ; (2)由直方图可认为考生考试成绩 z 服从正态分布 2 2 N ,其中, 2 分别取考生的平均成绩x和考 生成绩的方差 2 s

    7、,那么抽取的 4000 名考生成绩超过 84.81 分(含 84.81 分)的人数估计有多少人? (3)如果用抽取的考生成绩的情况来估计全市考生的成绩情况,现从全市考生中随机抽取 4 名考生,记成 绩不超过 84.81 分的考生人数为,求3P (精确到 0.001) 附: 2 204.75s ,204.7514.31; 2 ,zN ,则0.6826Pz,220.9544Pz; 4 0.84130.501 19 (12 分)如图,三棱柱 111 ABCABC中, 1111 60B A AC A A, 1 4AAAC, 2AB ,P, Q 分别为棱 1 AA,AC 的中点 (1)在 BC 上确定点

    8、 M,使/AM平面 1 PQB,并说明理由; (2)若侧面 11 ACC A 侧面 11 ABB A,求直线 11 AC与平面 1 PQB所成角的正弦值 20 (12 分)已知两直线方程 1 2 : 2 lyx与 2 2 : 2 lyx ,点 A 在 1 l上运动,点 B 在 2 l上运动,且线段 AB 的长为定值2 2 (1)求线段 AB 的中点 C 的轨迹方程; (2)设直线: l ykxm与点 C 的轨迹相交于 M,N 两点,O 为坐标原点,若 5 4 OMON kk,求原点 O 到直线l的距离的取值范围 21 (12 分)已知函数 212 11 22 x f xexe fx (1)求

    9、f x的单调区间; (2)若存在 1 x, 212 xxx,使得 12 1f xf x,求证: 12 2xx 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分 22 (10 分) 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 1 C的参数方程为 32cos 22sin x y (为参数) ,直线 2 C的方程为 3 3 yx,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求曲线 1 C的极坐标方程; (2)若直线 2 C与曲线 1 C交于 P,Q 两点,求OP OQ的值 23 (10 分) 【选修 4-5:不等式选讲】 已知函数 2

    10、20f xxmxm m (1)当1m时,求不等式 1f x 的解集; (2)若xR ,tR ,使得 11f xtt ,求实数 m 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的 1 【答案】A 【解析】 2 ,0 x Ay yxRy y, 12202,2Bx ygxxxx x , 020,2ABxx 2 【答案】A、 【解析】12z ii(i 为虚数单位) ,112 1ziii , 221zi,解得1zi ,则1zi 3 【答案】C 【解析】这 12 天的 AQI 指数值的中位数是 95 104 99 2 ,

    11、故 A 不正确; 这 12 天中,空气质量为“优良”的有 95,85,77,67,72,92 共 6 天,故 B 不正确; 从 4 日到 9 日,空气质量越来越好,故 C 正确; 这 12 天的 AQI 指数值的平均值约为 110,故 D 不正确 4 【答案】B 【解析】2, 1abx, aab, 2 230aabx ,解得 1 2 x . 5 【答案】D 【解析】由题意结合排列组合公式可得随机选派 2 人参加围棋比赛的方法有 2 5 C种, 而选出的 2 人中没有女队员的方法有 2 3 C种, 结合古典概型计算公式可得:选出的 2 人中有女队员的概率为 22 53 2 5 1037 1010

    12、 CC P C . 6 【答案】B 【解析】A若/m,/n,则 m,n 相交或平行或异面,故 A 错; B若m,n ,由线面垂直的性质定理可知m n/,故 B 正确; C若m,mn,则/n或na,故 C 错; D若/m,mn ,则 /n或n或n,故 D 错 7 【答案】D 【解析】函数 3sin 2 2 f xx 的图象向左平移 6 个单位后, 得 3sin 2 32 g xx 图象, 由于平移后的图象关于原点对称,故 03sin0 3 g , 3 kZk ,由 2 ,得 3 8 【答案】B 【解析】由三视图可知该机械零件是一个长方体中间穿一个圆柱, 其中长方体的长宽高分别为 3,3,4,圆柱

    13、的底面半径为1r ,圆柱的高为 5, 据此可得,组合体的表面积23 3 3 4 3 421 2664S 9 【答案】B 【解析】代0x,知函数过原点,故排除 D, 代入1x ,得0y ,排除 C, 代入0.0000000001x,0y ,排除 A 10 【答案】B 【解析】根据题意可知四面体 ABCD 的三条侧棱BDAD、DCDA, 底面是等腰BDC, 它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球, 求出三棱柱的上下底面三角形的中心连线的中点到顶点 D 的距离,就是球的半径, 三棱柱中,底面BDC,1BDCD,3BC ,120BDC , BDC的外接圆的半径为 13 1 2sin120 , 由题意可得

    14、球心到底面的距离为 3 2 , 球的半径为 37 1 42 r ,外接球的表面积为 2 47 11 【答案】C 【解析】设 sinf xxx,则 cos10fxx ,即函数 f x为减函数, 00f,函数 f x是奇函数, 函数 f x只有一个零点,即函数sinyx与yx的图象恰有一个交点,故错误, 由知当0x时,sinxx;当01x时,sinxxx; 当1x 时,sinxx当0x时,sin xx, 故函数sinyx与yx的图象恰有一个交点,故正确, 作出函数sinyx与 2 yx的图象, 由图象知两个函数有 2 个交点, 即函数sinyx与 2 yx的图象恰 有两个交点,故正确, 作出函数s

    15、inyx与 3 yx的图象,由图象知两个函数有 3 个交点,即函数sinyx与 3 yx的图象恰 有三个交点,故正确 12 【答案】C 【解析】由题意可得23 420fab, 函数图象关于点2,0对称,且 10f,故50f , 即56 25 50fab, 据此可得 240 5250 ba ba ,解得 10 7 b a , 故函数的解析式为 232 17106310f xxxxxxx , 22 3123341fxxxxx , 结合题意可知 1 x, 1 x是方程 2 410xx 的两个实数根,且 12 xx, 故 2 2 2112121 2 444 12 3xxxxxxx x . 二、填空题:

    16、本大题共 4 小题,每小题 5 分 13 【答案】1 【解析】由余弦定理得 2 1393ACAC,解得1AC 或4AC (舍去) 14 【答案】2 【解析】过点 C 作CDAB于 D,则 D 为 AB 的中点, 2 1 2 2 AB ACABADDCAB ADAB 15 【答案】19 【解析】由于 22 xxx, 2 2 xxx, 4 20 xxx, 据此结合排列组合的性质可得 2 x项的系数 20212104 42243144 6 12 119C C CC C CC C 16 【答案】 1 2 n n 【解析】易知,当1n 时,因为0,1x,所以 1x , 所以 1xx,所以 1 1A ,

    17、1 1a 当2n时,当1,2x,则 2x ,所以 2,4xx, 所以 2 1,3,4A , 2 3a 当3n时,当2,3x,则 3x ,所以 36,9xxx, 3 1,3,4,7,8,9A , 3 6a ; 当4n时,当3,4x,则仅 4x ,所以 412,16xxx, 所以 4 1,3,4,7,8,9,13,14,15,16A , 4 10a ; 当5n时,当4,5x,则 5x ,所以 520,25xxx, 所以 5 1,3,4,78,9,13,14,15,16,21,22,23,24,25A , 5 15a 由此类推: 1nn aan 故 121321 1 1 23 2 nnn n n a

    18、aaaaaaan 三、解答题:本大题共 6 大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】 (1)19; (2) 2 3 3 【解析】 (1)由题意可知,1AD , 在ABD中,150DAB,2 3AB ,1AD , 由余弦定理可知, 2 22 3 2 312 2 3 119 2 BD ,19BD (2)由题意可知,2cosAD,60ABD 在ABD中,由正弦定理可知, sinsinABD AAB A B D D 2cos 4 3 sin 60 , 2 tan3 3 18 【答案】 (1)70.5x 分; (2)约 635 人; (3)0.499 【解析】 (1)由

    19、题意知: 中间值 45 55 65 75 85 95 概率 0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1 45 0.1 55 0.15 65 0.2 75 0.3 85 0.15 95 0.170.5x , 4000名考生的竞赛平均成绩x为 70.5 分 (2)依题意 z 服从正态分布 2 2 N ,其中70.5x, 2 20 7 . 4 5D,1431,z服从正 态分布 22 2 .705,1431.NN , 而56198481068.62PzPz, .1 0 6826 8481015 7.8. 2 P z 竞赛成绩超过 84.81 分(含 84.81 分)的人数估计为0.1587 4

    20、000634.8人635人 (3)全市竞赛考生成绩不超过 84.81 分的概率1 0.15870.8413 而4,0.8413B, 44 4 31410.84131 0.5010.499PPC 19 【答案】 (1)详见解析; (2) 39 13 【解析】 (1)取 1 BB中点 E,连结 AE,BQ, 在 1 BBQ中,取 H 为 BQ 中点,连接 EH,AH,则 1 / /EHBQ, 延长 AH 与 BC 交于点 M,则 M 即为所求点, 11 ABB A为平行四边形,点 E,P 为中点,则 1 / /AEPB 由线面平行的判定定理可得/AE平面 1 PQB, 同理可得,/EH平面 1 P

    21、QB, 又AEEHE, 111 B PBQB, 据此可得平面/AME平面 1 PQB,故/AM平面 1 PQB (2)作QO 平面 11 ABB A,与 1 AA延长线交于 O, 则1AO,3QO , 1 1 2542 5 219 2 OB , 1 22QB 1 2B P ,2 3PQ , 1 124223 cos 42 2 32 QPB , 1 13 sin 4 QPB , 1 11339 2 32 242 PQB S 作 11 / /PNC A,则直线 11 AC与平面 1 PQB所成角即直线PN与平面 1 PQB所成角, 1 432 3 2 PQN S , 1 1 2 332 3 BPQ

    22、N V 设 N 到平面 1 PQB的距离为 h,则 139 2 32 h, 4 39 13 h, 直线 11 AC与平面 1 PQB所成角的正弦值为 39 413 h 20 【答案】 (1) 2 2 1 4 x y 2 14 0, 7 【解析】 (1)点 A 在 1 2 : 2 lyx上运动,点 B 在 2 2 : 2 lyx 上运动, 设 11 2 , 2 A xx , 22 2 , 2 B xx , 线段AB的中点,C x y,则有 12 2 xx x , 12 22 22 2 xx y , 12 2xxx, 12 2 2xxy, 线段AB的长为定值2 2, 2 2 1212 22 8 2

    23、2 xxxx , 22 2 228yx,化简得 2 2 1 4 x y, 线段AB的中点 C 的轨迹方程为 2 2 1 4 x y (2)设 33 ,M x y, 44 ,N x y,联立 2 2 1 4 x y ykxm , 得 222 418440kxkxm, 2 22 84 41 440kmkm , 化简得 22 41mk,则 34 2 8 41 km xx k , 2 34 2 44 41 m x x k , 22 34349434 y ykxmkxmk x xkm xxm, 若 5 4 OMON kk,则 34 34 5 4 y y x x ,即 3434 45y yx x, 所以

    24、22 543454 4445k x xkm xxmx x, 即 2 22 22 448 45440 4141 mkm kkmm kk ,化简得 22 5 4 mk, 由得 2 6 0 5 m, 2 15 204 k, 因为 O 到直线 l 的距离 2 1 m d k ,所以 2 2 2 22 2 5 9 4 1 114 1 k m d kkk , 又因为 2 15 204 k,所以 2 8 0 7 d, 所以 O 到直线 l 的距离的取值范围是 2 14 0, 7 21 【答案】 (1)函数 f x在 R 上单调递增; (2)证明见解析 【解析】 (1) 21 1 2 2 x fxexe f

    25、, 令 1 2 x ,则 111 1 22 fe f e ,解得 11 2 f e , 21 21 x fxex , 令 21 21 x h xex , 2111 22211 xxx h xeee , 1x 时,函数 fx取得极小值即最小值, 10fxf, 函数 f x在 R 上单调递增 (2)由(1)可得函 212 1 2 x f xexx 在 R 上单调递增 要证明 121212 222xxxxf xfx, 又 12 1f xf x,因此 1222 212f xfxf xfx , 即 22 210f xfx , 11 11 1 22 f ,则 12 1xx , 令 2 2 12(1)2 1

    26、1 21221 22 xx g xfxf xexxexx 2 1212 11 243 22 xx eexx , 1x , 10g, 2 121 44 xx gxeex , 令 2 121 44 xx xeex , 2 121 2240 xx xee , g x 在 1,上单调递增 10g xg ,函数 g x在1,上单调递增 10g xg,因此结论 12 2xx成立 22 【答案】 (1) 2 2 3 cos4 sin30; (2)3 【解析】 (1)曲线 1 C的普通方程为 2 2 324xy, 则 1 C的极坐标方程为 2 2 3 cos4 sin30 (2)设 1, P , 2, Q ,

    27、 将 6 代入 2 2 3 cos4 sin30,得 2 530, 所以 12 3 ,所以3OP OQ 23 【答案】 (1) 2 2, 3 , (2)01m 【解析】 (1)当1m时, 1 1221 31 x xx x 或 11 31 1 x x 或 1 31 x x , 解得 2 2 3 x ,所以原不等式的解集为 2 2, 3 (2) 1111f xttf xtt 对任意xR恒成立,对实数 t 有解 f 3 , 3, 3 , xm xm f xxmmxm xmm x , 根据分段函数的单调性可知:xm时, f x取得最大值2fmm, 11112tttt , 2112tt ,即11tt 的最大值为 2, 所以问题转化为22m,解得01m


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