1、2020 届山东省新高考数学原创试卷（二）届山东省新高考数学原创试卷（二） 一、单项选择題（本題共一、单项选择題（本題共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出四个选项中，只有分在每小题给出四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1已知集合 Ax|log2x1，Bx|2x10，则 AB（ ） A （1，2） B （1 2 ，+ ） C （1 2 ，2） D （0，1 2） 2设向量 ， 满足| |2，| |1， （ ）5，则 与 的夹角为（ ） A 6 B 3 C2 3 D5 6 3已知随机变量 XB（4，p） ，若 P（X2）= 8 27
2、，则 D（X）（ ） A2 9 B4 9 C2 3 D8 9 4 九章算术 是我国数学史上堪与欧几里得 几何原本 相媲美的数学名著 其第五卷 商 功中有如下问题： “今有委粟平地，下周一十二丈，高二丈问积及为粟几何？”翻译成 现代文为： “现将谷子堆放在平地成圆锥形，圆锥底面圆的周长为 12 丈，高 2 丈问这堆 谷子的体积应有多少斛？” 已知一丈10 尺， 1 斛谷子的体积约为 27 立方尺， 若 取 3， 则估计这堆谷子的体积为（ ） A2957 斛 B2960 斛 C2963 斛 D2966 斛 5随着经典诵读活动的持续开展，某校初中生掀起了经典诵读活动的热潮为调查该校学生 对经典诵读的
3、喜好程度，从中随机抽取了 100 名学生，记录他们在一周内平均每天进行 经典诵读的时间，整理得到如下频率分布直方图试估计该校学生一周内平均每天进行经 典诵读时间的中位数为（精确到 0.1，单位：分钟） （ ） A24.7 B24.5 C26.7 D26.5 6已知定义在 R 上的函数 f（x）在1，+）上单调递减，且 f（x+1）为偶函数若 f（2） 1，则满足 f（x1）1 的 x 的取值范围是（ ） A1，3 B1，3 C0，4 D2，2 7已知（1+ 2） （1+x） 6（aR）展开式的各项系数之和为 128，则展开式中 x3 的系数为 （ ）来源:学|科|网 Z|X|X|K A30 B
4、33 C26 D29 8已知椭圆 C1： 2 2 + 2 2 =1（ab0）与双曲线 C2： 2 2 2 2 = 1（m0，n0）有 共同的左、右焦点 F1、F2，且在第一象限的交点为 P，满足 22 = 2 2 （其中 O 为坐标原点） ， 设 C1， C2的离心率分别为 e1， e2， 当 4e1+e2取得最小值时， e1的值为 （ ） A 6 3 B 3 3 C 2 4 D 2 2 二、多项选择题（本题共二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符分在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的
5、得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9已知函数 f（x）= 2 + 2， 0， ，0 ，下列命题中的真命题是（ ） A若 a6，方程 f（x）2xa 有且仅有 1 个实根 来源:学_科_网Z_X_X_K B若 a4，则方程 f（x）2xa 至少有 2 个实根 C关于 x 的方程 f（x）2xa 有且仅有 2 个实根a0 D关于 x 的方程 f（x）2xa 有且仅有 3 个实根0a4 10已知数列an中，a11，a22，且n1，其前 n 项和 Sn满足 Sn+1+Sn12（Sn+1） ， 则（ ） Aa713 Ba814 CS743 DS86
6、4 11已知 ab0，且 a+b2，则下列结论中正确的是（ ） Aln（ab）0 BxR，x2+2x+a0 Cabba D 2 1: 1: + 1: 12已知函数 f（x）Asinxcosx（A0，0） ，g（x）2sinx，若x1R，x20， 4，使得 f（x1）g（x2）成立，且 f（x）在区间0， 3 4 上的值域为1，2，则实数 的取值可能是（ ） A1 2 B2 3 C1 D4 3 三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小題小题，每小題 5 分，共分，共 20 分）分） 13在平面直角坐标系 xOy 中，角 的顶点为 O，其始边与 x 轴的非负半轴重合，终边过 点（ 22
7、 3 ， 1 3） ，则 sin（2+ 3 2 ） 14在平面四边形 ABCD 中，ABAD，CACD，ABAC23，CD2，E 是 AD 的中 点，将ACD 沿对角线 AC 折起，使得 BE= 7，则异面直线 CD 与 BE 所成角的余弦值 为 15已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，斜率为 1 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的 交点为 P，若 =3 ，则|AF|+|BF| ，|AB| 16已知函数 f（x）xex 1a（x1 2）若 f（x）0 恒成立，则 a 的取值范围是 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文宇说明、证明过
8、程或演算步骤）分解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤） 17在ABC 中，BAC120，sinABC= 21 7 ，D 是线段 CA 延长线上一点，且 AD 2AC4 （1）求 sinACB 的值；来源:Z_xx_k.Com （2）求 BD 的长 18如图，在四棱锥 PABCD 中，AD23，AB3，PA= 3，ADBC，AD平面 PAB， APB90点 E 在 AB 上，且 AE= 1 2EB （1）证明：PEDC； （2）求二面角 APDE 的余弦值 19已知数列an和bn都是各项为正数的等比数列，设数列lnan和lnbn的前 n 项和分别 为 An和 Bn，a12， = 2:1 （1）
9、求数列an和bn的通项公式； （2）记 cn2an1:2 4 ，求数列cn的前 n 项和n 20已知抛物线 C：y22px（p0） ，点 P（1，2）在 C 上 （1）求 C 的方程； （2）过点 Q（1， 1）作不垂直于 x 轴的直线交抛物线 C 于不同的两点 A， B， 若直线 PA， PB 分别交直线 l：y2x+2 于 M，N 两点，求|MN|的最小值 21某高校的大一学生在军训结束前，需要进行各项过关测试，其中射击过关测试规定： 每位测试的大学生最多有两次射击机会，第一次射击击中靶标，立即停止射击，射击测 试过关，得 5 分；第一次未击中靶标，继续进行第二次射击，若击中靶标，立即停止
10、射 击，射击测试过关，得 4 分；若未击中靶标，射击测试未能过关，得 2 分现有一个班 组的12位大学生进行射击过关测试， 假设每位大学生两次射击击中靶标的概率分别为m， 0.5，每位大学生射击测试过关的概率为 p （1）求 p（用 m 表示） ； （2）设该班组中恰有 9 人通过射击过关测试的概率为 f（p） ，求 f（p）取最大值时 p 和 m 的值； （3）在（2）的结果下，求该班组通过射击过关测试所得总分的平均数 22已知函数 f（x）ex2sinx （1）若x0，+） ，f（x）1ax 恒成立，求正数 a 的取值范围； （2）求证 f（x）在（ 2 ，+ ）上有且仅有两个极值点 一、
11、单项选择題（本題共一、单项选择題（本題共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出四个选项中，只有分在每小题给出四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1已知集合 Ax|log2x1，Bx|2x10，则 AB（ ） A （1，2） B （1 2 ，+ ） C （1 2 ，2） D （0，1 2） 可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 = *|02+， = *| 1 2+， = (1 2，2) 故选：C 本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的定义域和单调性，交集的运算，考查了计 算能力，属于基础题 2设向量 ， 满足| |2，| |1
12、， （ ）5，则 与 的夹角为（ ） A 6 B 3 C2 3 D5 6 根据平面向量的数量积运算，求两向量的夹角即可 因为| |2，| |1， （ ）5， 所以 2 =5， 即 2221cos5， 解得 cos= 1 2； 又 0， 所以 与 的夹角 = 2 3 故选：C 本题考查了平面向量的数量积运算和夹角计算问题，是基础题 3已知随机变量 XB（4，p） ，若 P（X2）= 8 27，则 D（X）（ ） A2 9 B4 9 C2 3 D8 9 根据 XB（4，p） ，利用 P（X2）= 8 27，列方程求出 p 的值，再计算方差 D（X） 随机变量 XB（4，p） ， 由 P（X2）=
13、8 27，得4 2p2 （1p）2= 8 27， 解得 p= 1 3或 p= 2 3； 所以 D（X）4p（1p）4 1 3 2 3 = 8 9 故选：D 本题考查了离散型随机变量的期望与方差的计算问题，是基础题 4 九章算术 是我国数学史上堪与欧几里得 几何原本 相媲美的数学名著 其第五卷 商 功中有如下问题： “今有委粟平地，下周一十二丈，高二丈问积及为粟几何？”翻译成 现代文为： “现将谷子堆放在平地成圆锥形，圆锥底面圆的周长为 12 丈，高 2 丈问这堆 谷子的体积应有多少斛？” 已知一丈10 尺， 1 斛谷子的体积约为 27 立方尺， 若 取 3， 则估计这堆谷子的体积为（ ） A2
14、957 斛 B2960 斛 C2963 斛 D2966 斛 利用圆锥体积公式能估计这堆谷子的体积 估计这堆谷子的体积为： V= 1 3 (12 2) 2 2 103= 24000 立方尺， 取 3，得 V8000 立方尺= 8000 2.7 2963 斛 故选：C 本题考查圆锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识， 考查运算求解能力，是中档题 5随着经典诵读活动的持续开展，某校初中生掀起了经典诵读活动的热潮为调查该校学生 对经典诵读的喜好程度，从中随机抽取了 100 名学生，记录他们在一周内平均每天进行 经典诵读的时间，整理得到如下频率分布直方图试估计该校学生一周内平
15、均每天进行经 典诵读时间的中位数为（精确到 0.1，单位：分钟） （ ） A24.7 B24.5 C26.7 D26.5 求出从左边开始小矩形的面积和为 0.5 对应的横轴的坐标即为中位数 前两个矩形的面积为（0.01+0.02）100.30.5， 前三个矩形的面积为（0.01+0.02+0.03）100.60.5， 所以中位数位于第三个矩形取值区内， 设中位数的估计值为 20+x，则由 0.0310x0.50.3，得 x6.7， 所以中位数的估计值为 26.7 故选：C 解决频率分布直方图的有关特征数问题，利用众数是最高矩形的底边中点；中位数是左 右两边的矩形的面积相等的底边的值；平均数等于
16、各个小矩形的面积乘以对应的矩形的 底边中点的和 6已知定义在 R 上的函数 f（x）在1，+）上单调递减，且 f（x+1）为偶函数若 f（2） 1，则满足 f（x1）1 的 x 的取值范围是（ ） A1，3 B1，3 C0，4 D2，2 由 f（x+1）为偶函数，所以 f（x+1）f（x+1） ，进而可得函数的对称轴，再由在1， +）上单调递减，可得对称区间（，0）单调递增，再由 f（0）f（2）1 可得不 等式所满足的条件，进而求出解集 由 f（x+1）为偶函数，所以 f（x+1）f（x+1） ， 所以可得函数 f（x）的图象关于直线 x1 对称，又函数 f（x）在1，+）上单调递减， 所以
17、可得函数 f（x）在（，1）单调递增， 因为 f（0）f（2）1，所以 0x12，解得 1x3， 故选：B 本题考查函数的奇偶性及单调性的的应用，属于中档题 7已知（1+ 2） （1+x） 6（aR）展开式的各项系数之和为 128，则展开式中 x3 的系数为 （ ） A30 B33 C26 D29 先求出 a 的值，再利用二项展开式的通项公式，求出展开式中 x3的系数 令 x1，可得（1+ 2） （1+x） 6（aR）展开式的各项系数之和为（1+a） 26128， a1， 故（1+ 2） （1+x） 6，即 （1+1 2） （1+x） 6， 则展开式中 x3的系数6 3 + 6 5 =20+6
18、26， 故选：C 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基 础题 8已知椭圆 C1： 2 2 + 2 2 =1（ab0）与双曲线 C2： 2 2 2 2 = 1（m0，n0）有共 同的左、右焦点 F1、F2，且在第一象限的交点为 P，满足 22 = 2 2 （其中 O 为 坐标原点） ， 设 C1， C2的离心率分别为 e1， e2， 当 4e1+e2取得最小值时， e1的值为 （ ） A 6 3 B 3 3 C 2 4 D 2 2 如图，作 PMF1F2，垂足为 M，利用椭圆与双曲线的定义可得|1| = + |2| = ，结合 22 = 2 2 ，得点 P
19、 的横坐标为= 2，进一步求得即|1| = 3 2 ，|2| = 1 2 ， 然后利用勾股定理求得 c22am，即 e1e22，再由基本不等式求 4e1+e2取得最小值时， e1的值 如图，作 PMF1F2，垂足为 M， 根据椭圆与双曲线的定义可得|1| + |2| = 2 |1| |2| = 2，解得 |1| = + |2| = 由 22 = 2 2 ，得点 P 的横坐标为= 2 即|1| = 3 2 ，|2| = 1 2 由勾股定理可得( + )2 (3 2) 2 = ( )2 (1 2) 2， 整理得：c22am，即 e1e22 4e1+e2取 2412= 42，当且仅当 4e1e2，即
20、1= 2 2 时取等号 故选：D 本题是椭圆与双曲线的综合问题， 考查椭圆与双曲线的定义及简单性质， 考查计算能力， 是中档题 二、多项选择题（本题共二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符分在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9已知函数 f（x）= 2 + 2， 0， ，0 ，下列命题中的真命题是（ ） A若 a6，方程 f（x）2xa 有且仅有 1 个实根 B若 a4，则方程 f（x）2xa 至
21、少有 2 个实根 C关于 x 的方程 f（x）2xa 有且仅有 2 个实根a0 D关于 x 的方程 f（x）2xa 有且仅有 3 个实根0a4 根据条件可得出 = 2 + 4 0 + 20 ，可令() = 2 + 4 0 + 20 ，然后可画出 g （x）的图象，结合图象即可判断关于 x 的方程 f（x）2xa 的实根的个数与 a 的对 应的取值，从而得出正确的选项 f（x）2xaaf（x）+2x，即 = 2 + 4 0 + 20 ， 令() = 2 + 4 0 + 20 ，画出 g（x）的图象如下： 显然 g（x）在（0，+）上是增函数，且 0() = ， :() = +， 关于 x 的方程
22、 f（x）2xa 有且只有 1 个实根a4a4；关于 x 的方程 f （x）2xa 有且仅有 2 个实根a0 或a4a0 或 a4； 关于 x 的方程 f（x）2xa 有且仅有 3 个实根4a00a4；关于 x 的方 程 f（x）2xa 有且仅有 2 个实根a4 故选：AD 本题考查了数形结合的解题方法，对数函数和一次函数的单调性，二次函数的图象，考 查了计算能力，属于中档题 10已知数列an中，a11，a22，且n1，其前 n 项和 Sn满足 Sn+1+Sn12（Sn+1） ， 则（ ） Aa713 Ba814 CS743 DS864 由 Sn+1+Sn12（Sn+1） ，得 an+1an2
23、（n2） ，又因为 a2a11，所以数列an从第 二项起为等差数列， 且公差 d2， 再利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式即可求解 由 Sn+1+Sn12（Sn+1） ，得 an+1an2（n2） ， 又因为 a2a11，所以数列an从第二项起为等差数列，且公差 d2， 故 a7a2+5d2+5212，a8a2+6d2+6214， 所以选项 A 错误，选项 B 正确， 又7= 1+ 6(2+7) 2 =1+ 6(2+12) 2 =43，8= 1+ 7(2+8) 2 =1+ 7(2+14) 2 =57， 所以选项 C 正确，选项 D 错误， 故选：BC 本题主要考查了数列的递推式，以及等差
24、数列的通项公式和前 n 项和公式，是中档题 11已知 ab0，且 a+b2，则下列结论中正确的是（ ） Aln（ab）0 BxR，x2+2x+a0 Cabba D 2 1: 1: + 1: 根据 ab0，且 a+b2，依次对各选项进行判断即可； 对于 A：当 a= 3 2，b= 1 2，陷、显然 ln（ab）1，所以 A 不对； 对于 B：根据方程 x2+2x+a0，由判别式4（ba）0，可知对于xR，都有 x2+2x+a0，所以 B 不对； 对于C： abba， 构造函数y= ， 可知 （0， e） 上单调递增， 因为0bae， 可得 ， 即 abba 所以 C 对； 对于 D：由 :1 +
25、 :1 :1: + :1 = 2 :1:，所以 D 对 故选：CD 本题考查了基本不等式的应用和变形处理思想属于中档题来源:Zxxk.Com 12已知函数 f（x）Asinxcosx（A0，0） ，g（x）2sinx，若x1R，x20， 4，使得 f（x1）g（x2）成立，且 f（x）在区间0， 3 4 上的值域为1，2，则实数 的取值可能是（ ） A1 2 B2 3 C1 D4 3 根据不等式恒成立关系，结合三角函数的有界性，以及单调性和值域的关系进行求解即 可 x1R，x20， 4，使得 f（x1）g（x2）成立， f（x）maxg（x）max，即2+ 1 2， f（x）在区间0，3 4
26、上的值域为1，2， 则 f（x）max= 2+ 1 2，综2+ 1 = 2，得 A1， 此时 f（x）sinxcosx= 2sin（x 4） ， f（x）在区间0，3 4 上的值域为1，2， 即1 2sin（x 4） 2，得 2 2 sin（x 4）1， 当 x0，3 4 时，x 4 4， 3 4 4， 2 3 4 4 + 4，即 12，故正确的选项为 CD， 故选：CD 本题主要考查三角函数的命题的真假判断，根据不等式恒成立，以及三角函数单调性与 值域的关系建立不等式条件是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度 三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小題小题，每小題 5 分，共分
27、，共 20 分）分） 13在平面直角坐标系 xOy 中，角 的顶点为 O，其始边与 x 轴的非负半轴重合，终边过 点（ 22 3 ， 1 3） ，则 sin（2+ 3 2 ） 7 9 由题意利用任意角的三角函数的定义求得 sin 的值，再利用诱导公式，二倍角公式化简 所求即可求解 平面直角坐标系 xOy 中，角 的顶点为 O，其始边与 x 轴的非负半轴重合，终边过点 （ 22 3 ， 1 3） ， sin= 1 3 (22 3 )2+(1 3) 2 = 1 3， sin（2+ 3 2 ）cos2（12sin2）2（ 1 3） 21= 7 9 故答案为： 7 9 本题主要考查任意角的三角函数的定
28、义，诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中 的应用，考查了转化思想，属于基础题 14在平面四边形 ABCD 中，ABAD，CACD，ABAC23，CD2，E 是 AD 的中 点，将ACD 沿对角线 AC 折起，使得 BE= 7，则异面直线 CD 与 BE 所成角的余弦值 为 7 14 在三棱锥 DABC 中，取 AC 的中点 F， 连接 EF， BF， 由 E 是 AD 的中点，则 CDEF， 可得BEF 或其补角就是异面直线 CD 和 BE 所成角由三角形的中位线定理求得 EF 的 长，判定ACD 为等边三角形，由等边三角形的性质可得 BF 的长，再在BEF 中，运 用余弦定理计算可得所求
29、值 如图ACD 是以 C 为直角顶点的直角三角形，且 CD2，CAD30， ABC 是边长为 23的等边三角形， 在三棱锥 DABC 中，取 AC 的中点 F， 连接 EF， BF， 由 E 是 AD 的中点，则 CDEF， 可得BEF 或其补角就是异面直线 CD 和 BE 所成角 在BEF 中，BE= 7，EF= 1 2CD1，BFABsin6023 3 2 =3， 所以 cosBEF= (7)2+1232 271 = 7 14， 由异面直线 CD 和 BE 所成角的范围是（0， 2， 所以所求角的余弦值为 7 14 故答案为： 7 14 本题考查异面直线所成角的求法，考查三角形的中位线定理
30、和余弦定理的运用，考查运 算能力，属于基础题 15已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，斜率为 1 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的 交点为 P，若 =3 ，则|AF|+|BF| 12 ，|AB| 82 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，斜率为 1 的直线 l 的方程为 xy+m，令 y0，可得到点 P 的坐标，再将直线与抛物线的方程联立，消去 x，得到关于 y 的一元二次方程，写出韦达 定理，然后利用条件 =3 ，结合平面向量的坐标运算可求出 A、B 两点的坐标，最 后利用抛物线的定义和两点间距离公式即可逐一得解 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，斜率
31、为 1 的直线 l 的方程为 xy+m，则 P（m，0） ， 联立 = + 2= 4 ，得 y24y4m0，1 + 2= 4 12= 4， =3 ，y13y2， 又 y1+y24，y16，y22，从而 x19，x21， 故|AF|+|BF|x1+x2+212 由 A（9，6） ，B（1，2） ，得|AB|= 82 故答案为：12；82 本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系以及平面向量的线性坐标运算，考查 学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题 16 已知函数f （x） xex 1a （x1 2） 若f （x） 0恒成立， 则a的取值范围是 1 2 1 2 2 由已知可得 xex 1a
32、（x1 2）恒成立，设 g（x）xe x1，h（x）a（x1 2） ，则 g（x） 恒在 h（x）的上方或仅有一个交点，然后结合导数的几何意义及导数与单调性的关系可 求 由已知可得 xex 1a（x1 2）恒成立， 设 g（x）xex 1，h（x）a（x1 2） ，则 g（x）恒在 h（x）的上方或 h（x）与 g（x） 相切， g（x）（x+1）ex 1， 当 x1 时，g（x）0，g（x）单调递增，当 x1 时，g（x）0，g（x）单调 递减， 设 h（x）与 yg（x）相切的切点为（x0，y0） ，则 0= 00;1 (1 + 0)0;1= 0 01 2 ， 解可得，x01 或 x0=
33、1 2， 所以 yg（x）在过（x0，y0）的切线斜率分别为 2，1 2 1 2， 1 2 1 2 2 故答案为：1 2 1 2 2 本题主要考查了利用导数与单调性的关系及导数的几何意义的应用，属于中档试题 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤） 17在ABC 中，BAC120，sinABC= 21 7 ，D 是线段 CA 延长线上一点，且 AD 2AC4 （1）求 sinACB 的值； （2）求 BD 的长 （1） 由已知利用同角三角函数基本关系式可求 cosABC， 进而利用三角
34、形内角和定理， 两角差的正弦函数公式即可计算得解 sinACB 的值 （2）由已知利用正弦定理可得 AB 的值，进而根据余弦定理可得 BD 的值 （1）sinABC= 21 7 ，可得 cosABC=1 ( 21 7 )2= 27 7 ， sinACBsin（180BACABC）sin（60ABC）sin60cosABC cos60sinABC= 3 2 27 7 1 2 21 7 = 21 14 （2）由正弦定理 = ，可得 AB= = 221 14 21 7 =1， 由余弦定理可得： BD= 2+ 2 2 =12+ 42 2 1 4 1 2 = 13 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，
35、 三角形内角和定理， 两角差的正弦函数公式， 正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 18如图，在四棱锥 PABCD 中，AD23，AB3，PA= 3，ADBC，AD平面 PAB， APB90点 E 在 AB 上，且 AE= 1 2EB （1）证明：PEDC； （2）求二面角 APDE 的余弦值 （1）先解三角形可得 PA2PE2+AE2，由此得到 PEAB，再由 AD平面 PAB 的性质可 得 ADPE，进一步可得 PE平面 ABCD，由此可得证 PEDC； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量公式即可求得余弦值 （1）证明：在 RtP
36、AB 中， = 3， = 3， = = 3 3 ， 在PAE 中， = 3， = 1 3 = 1， = 3 3 ， 由余弦定理得 PE2PA2+AE22PAAEcosPAE= 3 + 1 2 3 1 3 3 = 2， 故 PA2PE2+AE2，则 PEAE，即 PEAB， AD平面 PAB，PE 在平面 PAB 内， ADPE， 又ABADA， PE平面 ABCD， 又DC 在平面 ACD 内， PEDC； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，Axyz，则 (0，0，0)，(0，0，23)，(0，1，0)，(2，1，0)，易得 = (2，0，0)， = (0， 1，23)， 设平面 PDE 的
37、一个法向量为 = (，)，则 = 2 = 0 = + 23 = 0 ，可取 = (0，23，1)， 易得 = (2，1，0)， = (0，0，23)， 设平面 APD 的一个法向量为 = (，)，则 = 2 + = 0 = 23 = 0 ，可取 = (1， 2，0)， 设二面角 APDE 的平面角为 ，则| = | | | |= 226 13 ， 易知二面角 APDE 的平面角为锐角，来源:Zxxk.Com 二面角 APDE 的余弦值为226 13 本题考查线面垂直的判定定理及性质定理的运用，考查利用空间向量求解二面角问题， 考查推理能力及计算能力，属于中档题 19已知数列an和bn都是各项为
38、正数的等比数列，设数列lnan和lnbn的前 n 项和分别 为 An和 Bn，a12， = 2:1 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）记 cn2an1:2 4 ，求数列cn的前 n 项和n 本题第 （1） 题先根据数列an和bn都是各项为正数的等比数列推导出数列lnan和lnbn 是等差数列，然后根据两个等差数列的通项公式与求和公式的比的关系式 = 21 21 可计算出 = 2;1 4;1，然后根据比的性质可设 lnank（2n1） ，则 lnbnk（4n1） ， k0，再根据 a12，即 lna1ln2，代入可计算出 k 的值，则即可计算出数列an和bn 的通项公式； 第（2）题先根
39、据第（1）题的结果计算出数列cn的通项公式，然后根据通项公式的特 点运用错位相减法可计算出前 n 项和n （1）由题意，设等比数列an的公比为 q（q0） ，则 +1 =q，nN*， 两边取以 e 为底的对数，可得 ln+1 =lnan+1lnanlnq， 故数列lnan是以 lnq 为公差的等差数列， 同理可得，数列lnbn也是一个等差数列， = 2 2 = 1:21 1:21 = (21)(1+21) 2 (21)(1+21) 2 = 21 21 = 2;1 2(2;1):1 = 2;1 4;1， 设 lnank（2n1） ，则 lnbnk（4n1） ，k0， a12，即 lna1ln2，
40、 k（211）ln2，解得 kln2， lnank（2n1）（2n1）ln2，即 an22n 1，nN*， 同理，lnbn（4n1）ln2，即 an24n 1，nN* （2）由（1）知， cn2an1:2 4 =222n 11:2241 4 =22n1:4;1 4 =n4n， 则nc1+c2+c3+cn141+242+343+n4n， 4n142+243+（n1） 4n+n4n+1， ，可得 3n41+42+43+4nn4n+1= 44+1 14 n4n+1（n 1 3） 4 n+14 3， n= 31 9 4n+1 4 9 本题主要考查等比数列与等差数列的关系应用，两个等差数列的通项公式与求和公式的 比的关系式的应用，以及运用错位相减法求前 n 项和考查了转化与化归思想，比的性 质应用， 指数对数的运算， 逻辑推理能力和数学运算能力 本题属综合性较强的中档题 20已知抛物线 C：y22px（p0） ，点 P（1，2）在 C 上 （1）求 C 的方程； （2） 过点 Q （1， 1） 作不垂直于 x 轴的直线交抛物线 C 于不同的两点 A， B， 若直线 PA，
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