2018-2019学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷（含详细解答）

1、设双曲线1（b0）的焦点为 F1、F2，P 为该双曲线上的一点，若|PF1| 5，则|PF2| 7 （3 分）设 x，y 满足约束条件，则目标函数 z2x3y 的最小值是 8 （3 分）若复数 z 满足 z2i|z|2+1（其中 i 为虚数单位） ，则|z| 9 （3 分）在直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0，1）和点 B（3，4） ，若点 C 在AOB 的 平分线上且|2，则 10 （3 分）参数方程（t 为参数）化成普通方程为 ； 11 （3 分）在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为， 、分别是两条渐近线的方向向量任取双曲线上的点 P，若 （a、bR） ，则 a、

2、b 满足的一个等式是 12 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 在椭圆上，点 P 满足 ，且，则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值 为 二、选择题：二、选择题： 第 2 页（共 20 页） 13 （3 分）对于一元二次方程 ax2+bx+c0（其中 a，b，cR，a0）下列命题不正确的是 （ ） A两根 x1，x2满足， B两根 x1，x2满足 C若判别式b24ac0 时，则方程有两个相异的实数根 D若判别式b24ac0 时，则方程有两个相等的实数根 14 （3 分）已知两点 A（1，2） ，B（4，2）到直线 l 的距离分别为 1，4，则满足条件的 直线 l 共有（

3、） A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 15 （3 分）如图在四边形 ABCD 中ABBC，ADDC，若|a，|b则 （ ） Ab2a2 Ba2b2 Ca2+b2 Dab 16（3 分） 已知 F 为抛物线 C： y24x 的集点， A， B， C 为抛物线 C 上三点， 当 时，称ABC 为“和谐三角形” ，则“和谐三角形”有（ ） A0 个 B1 个 C3 个 D无数个 三、解答题：三、解答题： 17设 z+1 为关于 x 的方程 x2+mx+n0，m，nR 的虚根，i 为虚数单位 （1）当 z1+i 时，求 m、n 的值； （2）若 n1，在复平面上，设复数 z 所对应的点为 P，复

4、数 2+4i 所对应的点为 Q， 试求|PQ|的取值范围 18 （1）已知非零复数 z 满足|z+2|2，求复数 z （2）已知虚数 z 使和都是实数，求虚数 z 19已知椭圆 第 3 页（共 20 页） （1）M 为直线上动点，N 为椭圆上动点，求|MN|的最小值； （2）过点，作椭圆的弦 AB，使，求弦 AB 所在的直线方程 20圆，圆，动圆 P 与两圆 M1、 M2外切 （1）动圆圆心 P 的轨迹 C 的方程； （2）过点 N（1，0）的直线与曲线 C 交于不同的两点 N1，N2，求直线 N1N2斜率的取值 范围； （3）是否存在直线 l：ykx+m 与轨迹 C 交于点 A，B，使，且|

5、AB|2|OA|， 若存在，求 k，m 的值；若不存在，说明理由 21过抛物线 y22px（p0）的焦点 F 的直线交抛物线于 M，N 两点，且 M，N 两点的纵 坐标之积为4 （1）求抛物线的方程； （2）求的值（其中 O 为坐标原点） ； （3）已知点 A（1，2） ，在抛物线上是否存在两点 B、C，使得 ABBC？若存在，求出 C 点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由 第 4 页（共 20 页） 2018-2019 学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：一、填空题： 1 （3 分）若复数（

6、m25m+6）+（m23m）i（m 为实数，i 为虚数单位）是纯虚数，则 m 2 【分析】直接根据复数 za+bi（aR，bR）是纯虚数则 a0，b0，建立方程组，解 之即可求出所求 【解答】解：复数（m25m+6）+（m23m）i（i 为虚数单位）是纯虚数， m25m+60 且 m23m0，解得 m2， 故答案为：2 【点评】本题主要考查了纯虚数的概念，解题的关键根据 za+bi 是纯虚数可知 a0，b 0，属于基础题 2 （3 分）复数 z（2+i） （1i） ，其中 i 为虚数单位，则 z 的虚部为 1 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：z（2+i） （1i）

7、3i 则 z 的虚部为1 故答案为：1 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 3 （3 分）抛物线 x212y 的准线方程为 y3 【分析】直接利用跑完操方程求解准线方程即可 【解答】解：抛物线 x212y 的准线方程为：y3 故答案为：y3 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查 4 （3 分）已知向量 （1，2） ，如果，则实 数 2 【分析】利用向量的线性运算及向量的垂直与数量积的关系即可求出 【解答】解：（0，3） ，（1+，2+） ， 第 5 页（共 20 页） 3（2+）0，解得 2 实数 2 故答案为 2 【点评】熟练掌握向量

8、的线性运算及向量的垂直与数量积的关系是解题的关键 5 （3 分） 若直线 l1： ax+2y0 和 l2： 3x+ （a+1） y+10 平行， 则实数 a 的值为 3 或 2 【分析】根据两直线平行的条件，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，从而求 得实数 a 的值 【解答】解：l1：ax+2y0 与 l2：3x+（a+1）y+10 平行 a3 或 2 故答案为：3 或 2 【点评】本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，一次项系数之比相等，但不等 于常数项之比，属于基础题 6 （3 分）设双曲线1（b0）的焦点为 F1、F2，P 为该双曲线上的一点，若|PF1| 5，则|PF2| 1

9、1 【分析】根据题意，由双曲线的方程可得 a 的值，结合双曲线的定义可得|PF1|PF2| 6，解可得|PF2|的值，即可得答案 【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：1， 其中 a3， 则有|PF1|PF2|6， 又由|PF1|5， 解可得|PF2|11 或1（舍） 故|PF2|11， 故答案为：11 【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义 7 （3 分）设 x，y 满足约束条件，则目标函数 z2x3y 的最小值是 6 第 6 页（共 20 页） 【分析】由约束条件作出可行域，由 z2x3y 得，要使 z 最小，则 在 y 轴上的截距最大，由此可知最优解，代入目标函数得答案

10、 【解答】解：由约束条件，得可行域如图， 使目标函数 z2x3y 取得最小值的最优解为 A（3，4） ， 目标函数 z2x3y 的最小值为 z23346 故答案为：6 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是找出最 优解，是中档题 8 （3 分）若复数 z 满足 z2i|z|2+1（其中 i 为虚数单位） ，则|z| 1 【分析】设 za+bi，则 2ai2ba2+b2+1，由复数相等的定义列出方程组求出 a0，b 1，由此能求出|z| 【解答】解：设 za+bi， 复数 z 满足 z2i|z|2+1（其中 i 为虚数单位） ， （a+bi） 2ia2+b2+1，

11、 2ai2ba2+b2+1， ， 解得 a0，b1， |z|1 故答案为：1 【点评】本题考查复数的模的求法，考查复数相等、复数的模等基础知识，考查运算求 解能力，考查函数与方程思想，是基础题 第 7 页（共 20 页） 9 （3 分）在直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0，1）和点 B（3，4） ，若点 C 在AOB 的 平分线上且|2，则 （，） 【分析】本题考查的知识点是线段的定比分点，处理的方法是，根据三角形内角平分线 定理，求出 OC 所在直线分有线向量 AB 所成的比然后代入定比分点公式求出 OC 与 AB 的交点坐标，再根据向量的模求出答案 【解答】解：， 设 OC 与 AB

12、交于 D（x，y）点 则：AD：BD1：5 即 D 分有向线段 AB 所成的比为 则 解得： 又|2 （，） 故答案为： （，） 【点评】如果已知，有向线段 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 及点 C 分线段 AB 所成的比，求 分点 C 的坐标，可将 A，B 两点的坐标代入定比分点坐标公式：坐标公式 进行求解 第 8 页（共 20 页） 10 （3 分）参数方程（t 为参数）化成普通方程为 3x+y70（x3） ； 【分析】 本题对于两个式子， 可分别转化成 t 关于 x 和 y 的表达式， 然后联立两个表达式， 即可得到结果 【解答】解：由题意，可知：， 对于式，可化成用 x 表示 t

13、 的函数形式， x（1+t）2+3t 化简，整理得：，其中 x3 同理，对于式，可化成用 y 表示 t 的函数形式， y（1+t）12t 化简，整理得：，其中 y2 联立两个 t 的表达式，得： 两式交叉相乘，得： （x3） （1y）（2x） （y+2） 化简，整理，得：3x+y70（x3） 故答案为 3x+y70（x3） 【点评】本题相对来说比较简单，但要注意的是转化后 x 和 y 相应的取值问题，这一点 容易忽略本题属于基础题 11 （3 分）在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为， 、分别是两条渐近线的方向向量任取双曲线上的点 P，若 （a、bR） ，则 a、b 满足

14、的一个等式是 4ab1 【分析】根据、是渐近线方向向量，进而可知双曲线渐近线方 程根据 c，进而求得 a 和 b，求得双曲线方程，进而根据化简整理可 得答案 第 9 页（共 20 页） 【解答】解：因为、是渐近线方向向量， 所以双曲线渐近线方程为， 又，a2，b1 双曲线方程为，（2a+2b，ab） ， ，化简得 4ab1 故答案为 4ab1 【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质考查了考生分析问题和解决问题的能力 12 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 在椭圆上，点 P 满足 ，且，则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为 10 【分析】由已知可知，O，A，P 三点共

15、线，先设 Op 与 x 轴的夹角为 ，B 为 A（x，y） 在 x 轴上的投影， 从而有线段 OP在 x 轴上的投影长度为|cos， 结合椭圆方程及基本不等式可求 【解答】解：， ，则 O，A，P 三点共线， ， 设 Op 与 x 轴的夹角为 ，B 为 A（x，y）在 x 轴上的投影， 则线段 OP 在 x 轴上的投影长度为|cos 4810， 当且仅当即|x|时取得最大值 10 故答案为：10 【点评】本题主要考查了向量共线定理及向量数量积的性质的综合应用，属于中档试题 二、选择题：二、选择题： 第 10 页（共 20 页） 13 （3 分）对于一元二次方程 ax2+bx+c0（其中 a，b

16、，cR，a0）下列命题不正确的是 （ ） A两根 x1，x2满足， B两根 x1，x2满足 C若判别式b24ac0 时，则方程有两个相异的实数根 D若判别式b24ac0 时，则方程有两个相等的实数根 【分析】根与一元二次方程根与判别式的关系以及根与系数之间的关系分别进行判断 即可 【解答】解：由根与系数之间的关系得对实系数二次方程，无论判别式0 还是0， 两根 x1，x2满足，故 A 正确， 若两根 x1，x2为虚根，则不成立，故 B 错误， 判别式0 时，方程有两个相等的实数根，b24ac0 时，则方程有两个相异的 实数根，故 C，D，正确， 故选：B 【点评】本题主要考查命题的真假判断，根

17、据一元二次方程根与判别式以及根与系数 之间的关系是解决本题的关键 14 （3 分）已知两点 A（1，2） ，B（4，2）到直线 l 的距离分别为 1，4，则满足条件的 直线 l 共有（ ） A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 【分析】由于以点 A 为圆心，半径 1 为的圆，与以点 B 为圆心，半径为 4 的圆相外切， 满足条件的直线 l 即两个圆的公切线，故两个圆的公切线的条数即为所求 【解答】解：由点 A（1，2） ，B（4，2） ，易得|AB|5，以点 A 为圆心，半径 1 为的圆， 与以点 B 为圆心，半径为 4 的圆外切， 故满足条件的直线 l 即两个圆的公切线，显然，两个圆的公切

18、线共有 3 条， 故选：C 【点评】本题考查了查直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系、直线方程，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题 15 （3 分）如图在四边形 ABCD 中ABBC，ADDC，若|a，|b则 第 11 页（共 20 页） （ ） Ab2a2 Ba2b2 Ca2+b2 Dab 【分析】利用向量的线性运算及向量的数量积公式，即可得到结论 【解答】解：ADDC， 0， （+） （） （+） （+） ， ABBC， 0， （+）， |a，|b， b2a2， 故选：A 【点评】本题考查向量在几何中的应用，考查向量的线性运算及向量的数量积公式，属 于中档题 16（3 分） 已知 F

19、为抛物线 C： y24x 的集点， A， B， C 为抛物线 C 上三点， 当 时，称ABC 为“和谐三角形” ，则“和谐三角形”有（ ） A0 个 B1 个 C3 个 D无数个 【分析】根据满足时，得到 F 为ABC 的重心，然后结合构造以 F 为重 心的三角形可以构造无数个得答案 【解答】解：抛物线方程为 y24x，A、B、C 为抛物线 C 三点， 当满足时时，F 为ABC 的重心， 连接 AF 并延长至 D，使 FDAF， 当 D 在抛物线内部时，存在以 D 为中点的弦 BC，则这样的三角形有无数个 第 12 页（共 20 页） 故“和谐三角形”有无数个， 故选：D 【点评】本题主要考查

20、抛物线性质的应用，结合条件时，得到 F 为ABC 的重心是解决本题的关键注意利用数形结合去求解判断 三、解答题：三、解答题： 17设 z+1 为关于 x 的方程 x2+mx+n0，m，nR 的虚根，i 为虚数单位 （1）当 z1+i 时，求 m、n 的值； （2）若 n1，在复平面上，设复数 z 所对应的点为 P，复数 2+4i 所对应的点为 Q， 试求|PQ|的取值范围 【分析】 （1）由 z1+i，可得 z+1i，可得方程 x2+mx+n0 的两根分别为 i，i利 用根与系数的关系可得，解出 m，n （2）设 za+bi（a，bR） ，可得a+1bi由题意可得： （z+1）（a+1）2+b

21、2 1令 a+1cos，bsin，0，2） |PQ|，化 简即可得出 【解答】解： （1）z1+i，z+1i， 则方程 x2+mx+n0 的两根分别为 i，i 由根与系数的关系可得，即 m0，n1； （2）设 za+bi（a，bR） ，则a+1bi 由题意可得： （z+1）（a+1）2+b21 令 a+1cos，bsin，0，2） 第 13 页（共 20 页） |PQ|4，6 【点评】本题考查实系数一元二次方程的根与系数的关系、共轭复数的性质、三角函数 求值、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 18 （1）已知非零复数 z 满足|z+2|2，求复数 z （2）已知虚数 z 使

22、和都是实数，求虚数 z 【分析】 （1）设 za+bi，根据条件结合复数的运算法则进行转化求解即可 （2）设 za+bi，根据条件结合复数的运算法则进行转化求解即可 【解答】解： （1）设 za+bi， （a，b 是实数） ，则 z+a+bi+a+bi+ a+（b）i， ， b0，得 b（1）0， 得 b0 或 10，得 a2+b24， 若 b0，则 za， 由|z+2|2 得|a+2|2 得 a0，或 a4， 当 a0 时，z0，不满足条件 当 a4 时，z4，满足条件， 若 a2+b24， 由|z+2|2 得|a+bi+2|2， 得2，即（a+2）2+b24，即 a2+4a+4+b24，

23、得 4+4a+44，得 a1，此时 b，即 z1i 综上：z4 或 z1I （2）设 za+bi， （b0） ， （a，b 是实数） ， 和都是实数， 设m 和n， 第 14 页（共 20 页） 即 z2m（z+1） ，zn（z2+1） ， 即 a2b2+2abim（a+1+bi）m（a+1）+mbi， 则，即 m2a，即 a2+b2+2a0， 由 zn（z2+1） ，得 a+bin（a2b2+2abi+1） 即， 得 n，a（a2b2+1） ，即 a2+b210， 则 2a1，得 a，b， 即 zi 【点评】本题主要考查复数的计算，利用待定系数法结合复数的有关概念建立方程公式 是解决本题的关

24、键 19已知椭圆 （1）M 为直线上动点，N 为椭圆上动点，求|MN|的最小值； （2）过点，作椭圆的弦 AB，使，求弦 AB 所在的直线方程 【分析】 （1）设点 N 的坐标为，并利用点到直线的距离公式计算 点 N 到直线 l 的距离，结合三角函数求出点 N 到直线 l 的距离的最小值，即|MN|的最小 值； （2）设直线 AB 的参数方程为（t 为参数，且 为倾斜角） ，设点 A、B 对应的参数分别为 t1、t2，由已知条件得出 t13t2将直线的参数方程代入椭圆方程， 列出韦达定理，结合关系式求出 或 的正切值，从而求出直线 AB 的方程 【解答】解： （1）设点 N 的坐标为， 则点N

25、到直线l的距离为 第 15 页（共 20 页） ， 所以，|MN|的最小值为； （2）设直线 AB 的参数方程为（t 为参数，且 为倾斜角） ，设点 A、B 对应的参数分别为 t1、t2， 由于，则t13t2， 将 直 线AB的 参 数 方 程 代 入 椭 圆 的 方 程 ， 并 化 简 得 ， 由 韦 达 定 理 得， ，则， 所以，化简得 ，得 cos0 或， 因此，弦 AB 所在的直线方程为或 y，即或 【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查向量与椭圆的综合问题，本题巧妙地使 用参数方程来解题，大大降低了运算难度，考查了转化能力与计算能力，属于中等题 20圆，圆，动圆 P 与两圆 M

26、1、 M2外切 （1）动圆圆心 P 的轨迹 C 的方程； （2）过点 N（1，0）的直线与曲线 C 交于不同的两点 N1，N2，求直线 N1N2斜率的取值 范围； （3）是否存在直线 l：ykx+m 与轨迹 C 交于点 A，B，使，且|AB|2|OA|， 若存在，求 k，m 的值；若不存在，说明理由 第 16 页（共 20 页） 【分析】 （1） 圆 M1的圆心为 M1（0， ） ， 半径为 r1， 圆 M2的圆心为 M2（0，） ， 半径为 r2设 P（x，y） ，动圆 P 的半径为 R，|PM1|R+，|PM2| R+，+2，整理即可得出 （2）设 yk（x1） ，则1k0联立，化为： （

27、k21）x22k2x+k21 0，利用0，解得 k 范围 （3）k0 时，不成立k0 时，直线 OA 的方程为：yx，则1 或1， 解得 k 范围 联立， 解得 A 坐标 设 A （x1， y1） ， B （x2， y2） 联立， 化为（k21）x2+2kmx+m210，0利用根与系数的关系可得|AB|2（1+k2） 4x1x2，根据|AB|2|OA|，化为：m222k2联立，解得 A 坐 标，可得：m2联立解出即可得出 【解答】解： （1）圆 M1的圆心为 M1（0，） ，半径为 r1，圆 M2的圆心为 M2 （0，） ，半径为 r2 设 P（x，y） ，动圆 P 的半径为 R， 则|PM1

28、|R+，|PM2|R+， +2， 整理得：y2x21 动圆圆心 P 的轨迹 C 的方程 y2x21（y1） （2）设 yk（x1） ，则1k0 联立，化为： （k21）x22k2x+k210， 4k44（k21） （k21）0，解得：1k 第 17 页（共 20 页） （3）k0 时，不成立 k0 时，直线 OA 的方程为：yx，则1 或1，解得1k0，或 0 k1 联立，解得， |OA|2+ 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 联立，化为（k21）x2+2kmx+m210， 4k2m24（k21） （m21）0，化为：k2+m210 x1+x2，x1x2， |AB|2（1+k2）4x1

29、x2（1+k2）4， |AB|2|OA|，|AB|24|OA|2， （1+k2）44 化为：m222k2 联立，解得：A ，化为：m2 22k2，0k21 （1k2）k2+1， 第 18 页（共 20 页） 解得 因此存在 k，m 满足题意 【点评】本题考查了圆的标准方程及其相切性质、双曲线的标准方程及其性质、一元二 次方程的根与系数的关系、弦长公式、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推 理能力与计算能力，属于难题 21过抛物线 y22px（p0）的焦点 F 的直线交抛物线于 M，N 两点，且 M，N 两点的纵 坐标之积为4 （1）求抛物线的方程； （2）求的值（其中 O 为坐标原点）

30、； （3）已知点 A（1，2） ，在抛物线上是否存在两点 B、C，使得 ABBC？若存在，求出 C 点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由 【分析】 （1）设直线 MN 的方程为，将直线 MN 的方程与抛物线的方程联立， 列出韦达定理可求出 p 的值，从而得出抛物线的方程； （2）利用平面向量数量积的坐标运算并结合韦达定可得出的值； （3）设点、，将 ABBC 转化为两向量数量积为 0，通过化 简得出 y4关于 y3的关系式，然后利用基本不等式可求出 y4的取值范围 【解答】 （1）y24x； （2）3； （2） （，6）10，+） ； 解： （1）设点 M（x1，y1） 、N（x2，y2

31、） ，抛物线的焦点 F 的坐标为，设直线 第 19 页（共 20 页） MN 的方程为， 将直线 MN 的方程与抛物线的方程联立，消去 x 并整理得 y22mpyp20 由韦达定理得，由于 p0，解得 p2 因此，抛物线的方程为 y24x； （2）； （3）设点、 ， ABBC，则 易 知 ， y3 2 ， y4 y3， 化 简 得 （ y3+2 ）（ y4+y3） +16 0 ， 所 以 ， 当y3+20时，由基本不等式可得 ， 当且仅当，即当 y36 时，等号成立； 当 y3+20 时， 当且仅当时，即当 y32 时，等号成立， 事实上，y32，此时，有 y46 综上所述，C 点纵坐标的取值范围是（，6）10，+） 【点评】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查韦达定理设而不求法在抛物线综合问 第 20 页（共 20 页） 题中的应用，考查计算能力，属于中等题